第5节 科学验证：机械能守恒定律
第1课时 机械能守恒定律
1.下列运动过程中，机械能守恒的是（ ）
A.跳伞运动员在空中匀速下落过程
B.不计空气阻力，抛出的在空中运动的标枪
C.不计空气阻力，随摩天轮做圆周运动的小孩（速度大小不变）
D.一个处于压缩状态的弹簧把小球弹出去的过程，小球的机械能
2.（多选）神舟号载人飞船从发射至返回的过程中，以下哪些阶段返回舱的机械能是守恒的（ ）
A.飞船升空的阶段
B.只在地球引力作用下，返回舱沿椭圆轨道绕地球运行的阶段
C.在大气层外，只在地球引力作用下，返回舱飞向地球的阶段
D.临近地面时返回舱减速下降的阶段
3.如果一个物体在运动的过程中克服重力做了80 J的功，则（ ）
A.物体的重力势能一定增加80 J
B.物体的机械能一定增加80 J
C.物体的动能一定减少80 J
D.物体的机械能一定减少80 J
4.（多选）教材中双锥体向“上”滚的迷你实验如图所示。在书脊上架两根筷子作为轨道，把双锥体放在较低一端的轨道上，你会发现双锥体会向“上”滚动。关于这一现象的分析正确的是（ ）
A.双锥体滚动过程中，重心逐渐上升
B.双锥体滚动过程中，重心逐渐下降
C.调整使两根筷子平行，实验也可能成功
D.将双锥体换成圆柱体，实验不可能成功
5.（多选）如图所示，通过质量不计的定滑轮悬挂两个质量为m1、m2的物体（m1＞m2），不计绳子质量、绳子与滑轮间的摩擦，由静止释放，在m1向下运动一段距离的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A.m1和地球组成的系统机械能守恒
B.m1、m2和地球组成的系统机械能守恒
C.m1机械能的减少量等于m2机械能的增加量
D.m1减少的重力势能小于m2增加的动能
6.（多选）如图，小球自a点由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由b→c的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A.小球和弹簧构成的系统总机械能守恒
B.小球的重力势能随时间先减小后增大
C.小球在b点时动能最大
D.小球动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量
7.如图所示，一质量为m的足球，被以速度v由地面踢起，当它到达离地面高度为h的B点处（取B点处所在水平面为零势能参考平面）时，下列说法正确的是（重力加速度为g，不计空气阻力）（ ）
A.足球在B点处的重力势能为mgh
B.足球在B点处的动能为mgh
C.足球在B点处的机械能为mv2－mgh
D.足球在B点处的机械能为mv2
8.如图所示，质量m＝0.2 kg 的皮球（视为质点），从A点被踢出后沿曲线ABC运动，AC在同一水平面上，最高点B距地面的高度h＝2.0 m，皮球在B点的速度v＝3.0 m/s，重力加速度g＝10 m/s2，取地面为零势能参考平面，不计空气阻力。求：
（1）皮球由B到C过程中重力对皮球做的功W；
（2）皮球在B点的机械能E；
（3）皮球在A点被踢出时的速度v0的大小。
9.（多选）如图所示，将物体P用长度适当的轻质细绳悬挂于天花板下方，两物体P、Q用一轻弹簧相连，物体Q在力F的作用下处于静止状态，弹簧被压缩，细绳处于伸直状态。已知该弹簧的弹性势能仅与其形变量有关，且弹簧始终在弹性限度内，现将力F撤去，轻绳始终未断，不计空气阻力，则（ ）
A.弹簧恢复原长时，物体Q的速度最大
B.撤去力F后，弹簧和物体Q组成的系统机械能守恒
C.在物体Q下落的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大
D.撤去力F前，细绳的拉力不可能为零
10.（多选）一个物体以一定的初速度竖直上抛，不计空气阻力，如图所示，表示物体的动能Ek随高度h变化的图像A、物体的重力势能Ep随速度v变化的图像B（图线形状为四分之一圆弧）、物体的机械能E随高度h变化的图像C、物体的动能Ek随速度v变化的图像D（图线形状为开口向上的抛物线的一部分），其中可能正确的是（ ）
11.如图所示，质量m＝70 kg的运动员以10 m/s的速度从高 h＝10 m 的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B所在的水平面为零势能参考平面，一切阻力可忽略不计。（取g＝10 m/s2）求运动员：
（1）在A点时的机械能；
（2）到达最低点B时的速度大小；
（3）相对于B点能到达对面斜坡的最大高度。
第1课时 机械能守恒定律
1.B 运动员匀速下落过程中，动能不变，重力势能减小，机械能不守恒，故A错误；抛出的标枪，在不计空气阻力下，只受重力，满足机械能守恒的条件，故B正确；因为小孩在竖直平面内做圆周运动，速度大小不变，动能不变，而重力势能随高度改变，机械能不守恒，故C错误；压缩的弹簧将小球弹出去的过程中，弹力做正功，小球的动能增加，小球的机械能增加，所以小球的机械能不守恒，故D错误。
2.BC 飞船升空的阶段，推力做正功，机械能增加，故A错误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受重力作用，重力势能和动能之和保持不变，故B正确；返回舱在大气层外向着地球做无动力飞行阶段，只有重力做功，重力势能减小，动能增加，机械能守恒，故C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，克服空气阻力做功，机械能减小，故D错误。
3.A 重力势能的变化只与重力做功有关，克服重力做功80 J，重力势能增大80 J，A正确；动能的变化根据合力做功求得，机械能的变化根据除了重力以外其他力做功求得，所以动能变化和机械能变化无法求出，B、C、D错误。
4.BD 双锥体滚动过程中，动能逐渐增加，则重力势能逐渐减小，则重心逐渐下降，选项A错误，B正确；要使重心下降，两根筷子较低一端的宽度应比两根筷子较高一端的宽度小，选项C错误；将双锥体换成圆柱体，则圆柱体若沿筷子向上滚动的话，重力势能增加，机械能增加，这是不可能的，即实验不可能成功，选项D正确。
5.BC 单独对m1来说，绳子的拉力属于外力，有外力做功，所以m1和地球组成的系统机械能不守恒，A错误；将m1、m2看作一个整体，绳子拉力属于内力，只有重力做功，所以m1、m2和地球组成的系统机械能守恒，所以m1机械能的减少量等于m2机械能的增加量，m1减少的重力势能等于m2增加的重力势能和两个物体增加的动能之和，所以，B、C正确，D错误。
6.AD 小球由b→c运动过程中，对于小球和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以系统总机械能守恒，故A正确；小球不断下降，重力势能不断减小，故B错误；小球从b到c的过程，先加速后减速，动能先变大后变小，动能最大的位置在b、c之间的某点，故C错误；小球从b到c过程中，重力势能、动能、弹性势能相互转化，机械能总量守恒，小球动能和重力势能的减少量等于弹性势能的增加量，即小球动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量，故D正确。
7.C 取重力势能在B处为零势能参考平面，所以在B点处重力势能为零，A错误；从A到B过程，由机械能守恒定律得mv2－mgh＝m，可得在B处的动能为EkB＝mv2－mgh，B错误；足球的机械能守恒，在B点处的机械能E机＝mv2－mgh，D错误，C正确。
8.（1）4 J （2）4.9 J （3）7 m/s
解析：（1）由B到C过程重力对皮球做功W＝mgh＝0.2×10×2.0 J＝4 J。
（2）皮球在B点的机械能E＝mgh＋mv2＝0.2×10×2.0 J＋×0.2×32 J＝4.9 J。
（3）皮球由A运动到B，根据机械能守恒定律有
mv2＋mgh＝m，解得v0＝7 m/s。
9.BC 由题意可知，撤去力F后，在Q下落过程中，Q和弹簧组成的系统满足机械能守恒，弹簧弹性势能先减小后增大，Q的动能先增大后减小，当弹簧向上的弹力大小等于Q物体的重力时，Q的速度最大，故A错误，B、C正确；F撤去之前，弹簧被压缩，对P受力分析，当重力等于弹簧弹力时，细绳的拉力为零，故D错误。
10.ACD 设物体的初速度为v0，物体的质量为m，由机械能守恒定律得m＝mgh＋mv2，所以物体的动能与高度h的关系为Ek＝m－mgh，图像A可能正确；物体的重力势能与速度v的关系为Ep＝m－mv2，则Ep-v图像为开口向下的抛物线（第一象限中的部分），图像B错误；由于竖直上抛运动过程中机械能守恒，所以E-h图像为一平行于h轴的直线，图像C可能正确；由Ek＝mv2知，Ek-v图像为一开口向上的抛物线（第一象限中的部分），所以图像D可能正确。
11.（1）10 500 J （2）10 m/s （3）15 m
解析：（1）运动员在A点时的机械能
E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝×70×102 J＋70×10×10 J＝10 500 J。
（2）运动员从A运动到B的过程，根据机械能守恒定律得
E＝m，
解得vB＝＝ m/s＝10 m/s。
（3）运动员从A运动到对面斜坡上最高点过程，
由机械能守恒定律得E＝mgh'，
解得h'＝ m＝15 m。
3 / 3第5节 科学验证：机械能守恒定律
第1课时 机械能守恒定律
核心素养目标 物理观念 1.通过实例观察，体会生活中的能量转化过程，初步形成机械能的概念。 2.理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件。 3.在具体问题中，能判定机械能是否守恒，并能应用机械能守恒定律解决简单问题。
科学思维 1.运用机械能守恒定律解决问题时建构物理模型，分析机械能守恒的条件。 2.能从机械能守恒的角度分析动力学问题，通过推理获得结论。 3.能从不同的视角解决动力学问题。
知识点 机械能守恒定律
1.机械能：物体的 与重力势能（弹性势能）之和称为机械能。
2.机械能守恒定律
（1）内容：在只有 或 这类力做功的情况下，物体系统的动能与势能 ，机械能的总量 。
（2）推导：如图所示，如果物体只在重力作用下自由下落，重力做的功设为WG，
由重力做功和重力势能的变化关系可知
WG＝mgh1－mgh2
由动能定理得
WG＝ 联立可得mgh1－mgh2＝m－m，移项后得： ＋m＝mgh1＋m，即Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。
【情景思辨】
如图所示，小朋友从幼儿园中粗糙的滑梯上加速滑下。
（1）重力势能减小，动能不变，机械能减少。（ ）
（2）重力势能减小，动能增加，机械能减少。（ ）
（3）重力势能减小，动能增加，机械能增加。（ ）
（4）重力势能减小，动能增加，机械能守恒。（ ）
要点一 机械能守恒的判断
1.对机械能守恒条件的理解
（1）只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。
（2）只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。
（3）只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。
（4）除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为0。
2.判断机械能守恒的方法
（1）做功分析法（常用于单个物体）
（2）能量分析法（常用于多个物体组成的系统）
（3）机械能的定义法
机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加。
【典例1】 如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（ ）
A.图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B.图乙中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C.图丙中，不计任何阻力和滑轮质量时A加速下落、B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D.图丁中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒
尝试解答
1.（多选）在下列几个实例中，机械能守恒的是（ ）
A.雨滴接近地面时匀速下落
B.铅球在空中飞行（空气阻力不计）
C.物块沿光滑固定斜面向上滑动
D.运载火箭携带卫星飞离地球
2.光滑水平面上有A、B两木块，A、B之间用一轻弹簧拴接，A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态，若突然撤去力F，则下列说法中正确的是（ ）
A.木块A离开墙壁前，A、B组成的系统机械能守恒
B.木块A离开墙壁后，A、B组成的系统机械能守恒
C.木块A离开墙壁前，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒
D.木块A离开墙壁后，A、B及弹簧组成的系统机械能不守恒
要点二 机械能守恒定律的应用
1.机械能守恒定律的不同表达式
项目 表达式 物理意义 说明
从守恒的角度看 Ek1＋Ep1＝ Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必须先选零势能参考平面
从转化角度看 Ek2－Ek1＝ Ep1－Ep2或 ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选零势能参考平面
从转移角度看 EA2－EA1＝ EB1－EB2或 ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
（1）根据题意选取研究对象。
（2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
（3）恰当地选取零势能参考平面，确定研究对象在此过程中的初状态和末状态的机械能。
（4）根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解。
【典例2】 跳水运动是我国体育运动的强项之一，其中高台跳水项目要求运动员从距离水面10 m的高台上跳下，在完成空中动作后进入水中。如图所示，质量为50 kg的运动员起跳瞬间重心离高台台面的高度为1 m，斜向上跳离高台的瞬时速度大小为3 m/s，跳至最高点时重心离台面的高度为1.3 m，入水（手刚触及水面）时重心离水面的高度为1 m，图中虚线为运动员重心的运动轨迹，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
（1）以水面为零势能参考平面，运动员起跳瞬间具有的重力势能；
（2）从跳离高台瞬间到跳至最高点的过程中，运动员克服重力做的功；
（3）计算运动员入水时的速度大小。
尝试解答
1.质量为m的物体，以水平速度v0从距地面高度为H处抛出，若取抛出点所在平面为零势能参考平面，不计空气阻力，则当它经过离地高度为h的A点时，所具有的机械能是（ ）
A.m＋mgh
B.m－mgh
C.m＋mg（H－h）
D.m
2.如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求：
（1）弹簧的最大弹性势能；
（2）木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。
要点回眸
1.如图所示，下列四个选项图中，木块均在固定的斜面上运动，其中选项A、B、C中的斜面是光滑的，选项D中的斜面是粗糙的，选项A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，选项A、B、D中的木块向下运动，选项C中的木块向上运动，在这四个选项图所示的运动过程中机械能守恒的是（ ）
2.如图所示，质量为m的苹果从距地面高度为H的树上由静止开始下落，树下有一深度为h的坑。若以地面为零势能参考平面，不计空气阻力，则苹果刚要落到坑底时的机械能为（ ）
A.－mgh B.mgH
C.mg（H＋h） D.mg（H－h）
3.如图所示，由距离地面h2＝1 m的高度处以v0＝4 m/s的速度斜向上抛出质量为m＝1 kg的物体，当其上升的高度为h1＝0.4 m时到达最高点，最终落在水平地面上，现以过抛出点的水平面为零势能面，取重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，则（ ）
A.物体在最大高度处的重力势能为14 J
B.物体在最大高度处的机械能为16 J
C.物体在地面处的机械能为8 J
D.物体在地面处的动能为8 J
4.小明同学用实验研究“圆珠笔的上跳”，一支可伸缩的圆珠笔，内有一根弹簧，尾部有一个小帽，压一下小帽，笔尖就伸出。如图所示，手握笔杆，使笔尖向上，小帽抵在桌面上，在压下后突然放手，笔杆将竖直向上跳起一定的高度。在某次实验中，小明用刻度尺测得圆珠笔跳起的高度为12 cm，请你帮他分析：
（1）圆珠笔由桌面静止起跳到上升至最大高度的过程中，能量发生了怎样的变化？
（2）从能量转化的角度计算出圆珠笔起跳的初速度v0多大？（g取10 m/s2）
第1课时 机械能守恒定律
【基础知识·准落实】
知识点
1.动能 2.（1）重力 弹力 相互转化 保持不变
（2）m－m mgh2
情景思辨
（1）× （2）√ （3）× （4）×
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】 C 若不计空气阻力，题图甲中只有重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，选项A错误；题图乙中物体B除受重力外，还受A的弹力，A的弹力对B做负功，物体B机械能不守恒，但A、B组成的系统机械能守恒，选项B错误；题图丙中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能守恒，选项C正确；题图丁中小球的重力势能转化为小球的动能和橡皮条的弹性势能，小球的机械能不守恒，选项D错误。
素养训练
1.BC 雨滴接近地面时匀速下落，空气阻力做负功，机械能减小，故A错误；空气阻力不计，铅球在空中运动的过程中，只受到重力的作用，所以它的机械能守恒，故B正确；物块沿光滑固定斜面向上滑动，只有重力做功，物块的机械能守恒，故C正确；运载火箭携带卫星飞离地球的过程中，燃料对火箭做正功，机械能增大，故D错误。
2.C 木块A离开墙壁前，弹簧的弹力对B做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，选项A错误，C正确；木块A离开墙壁后，弹簧的弹力对A、B都做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，选项B、D错误。
要点二
知识精研
【典例2】 （1）5 500 J （2）150 J （3）14.5 m/s
解析：（1）以水面为零势能参考平面，运动员在起跳瞬间重心相对于水面的高度为h＝10 m＋1 m＝11 m
运动员起跳瞬间具有的重力势能为
Ep＝mgh＝50×10×11 J＝5 500 J。
（2）从跳离高台瞬间到跳至最高点的过程中，运动员重心上升的高度为Δh＝1.3 m－1.0 m＝0.3 m
运动员克服重力做的功为
W＝mgΔh＝50×10×0.3 J＝150 J。
（3）从起跳到入水过程中，根据机械能守恒定律得
m＋mgh＝m＋mgh2
其中h＝11 m，h2＝1 m，代入数据得
vt≈14.5 m/s。
素养训练
1.D 物体在运动的过程中只受重力作用，机械能守恒，则A点的机械能等于抛出点的机械能，抛出点的机械能E＝m，则A点的机械能等于m，故D正确，A、B、C错误。
2.（1）50 J （2）32 J
解析：（1）对弹簧和木块组成的系统，由机械能守恒定律有Epm＝m＝×4×52 J＝50 J。
（2）对弹簧和木块组成的系统，由机械能守恒定律有
m＝m＋Ep1
则Ep1＝m－m＝32 J。
【教学效果·勤检测】
1.C A选项，力F对木块做正功，机械能增加，机械能不守恒，故错误；B选项，力F做负功，机械能减小，故错误；C选项，木块斜面光滑，运动过程中只有重力做功，只有重力势能和动能的相互转化，机械能守恒，故正确；D选项，斜面粗糙，木块下滑中，摩擦力做负功，机械能减小，机械能不守恒，故错误。
2.B 以地面为零势能参考平面，苹果刚下落时的机械能为mgH，下落过程中苹果只有重力做功，机械能守恒，则知当苹果将要落到坑底时，其机械能等于刚下落时的机械能mgH，故选B。
3.C 物体在最高点时具有的重力势能Ep1＝mgh1＝1×10×0.4 J＝4 J，A错误；物体在最高点时具有的机械能等于刚抛出时的动能，即8 J，B错误；物体在下落过程中，机械能守恒，任意位置的机械能都等于8 J，C正确；物体落地时的动能Ek＝E－Ep2＝E－mgh2＝8 J－1×10×（－1）J＝18 J，D错误。
4.（1）圆珠笔弹簧的弹性势能→圆珠笔动能→圆珠笔重力势能 （2）1.55 m/s
解析：（1）圆珠笔弹簧的弹性势能减少，转化为圆珠笔的动能，离开桌子后，圆珠笔减少的动能转化成圆珠笔增加的重力势能，圆珠笔运动到最高点时，圆珠笔的重力势能最大，动能为零。
（2）由机械能守恒定律得mgh＝m，代入数据得v0≈1.55 m/s。
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第1课时 机械能守恒定律
核心素 养目标 物理观
念 1.通过实例观察，体会生活中的能量转化过程，
初步形成机械能的概念。
2.理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和
适用条件。
3.在具体问题中，能判定机械能是否守恒，并能
应用机械能守恒定律解决简单问题。
科学思
维 1.运用机械能守恒定律解决问题时建构物理模
型，分析机械能守恒的条件。
2.能从机械能守恒的角度分析动力学问题，通过
推理获得结论。
3.能从不同的视角解决动力学问题。
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点 机械能守恒定律
1. 机械能：物体的 与重力势能（弹性势能）之和称为机
械能。
2. 机械能守恒定律
（1）内容：在只有 或 这类力做功的情况下，物
体系统的动能与势能 ，机械能的总量
。
动能
重力
弹力
相互转化
保持不
变
（2）推导：如图所示，如果物体只在重力作用下自由下落，重力
做的功设为WG，
由重力做功和重力势能的变化关系可知WG＝mgh1－mgh2
由动能定理得
联立可得mgh1－mgh2＝m－m，移项后得：
＋m＝mgh1＋m
即Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。
m－m
mgh2
【情景思辨】
如图所示，小朋友从幼儿园中粗糙的滑梯上加速滑下。
（1）重力势能减小，动能不变，机械能减少。 （ × ）
（2）重力势能减小，动能增加，机械能减少。 （ √ ）
（3）重力势能减小，动能增加，机械能增加。 （ × ）
（4）重力势能减小，动能增加，机械能守恒。 （ × ）
×
√
×
×
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一 机械能守恒的判断
1. 对机械能守恒条件的理解
（1）只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。
（2）只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。
（3）只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力
势能的相互转化。
（4）除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和
始终为0。
2. 判断机械能守恒的方法
（1）做功分析法（常用于单个物体）
（2）能量分析法（常用于多个物体组成的系统）
（3）机械能的定义法
机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能
变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加。
【典例1】 如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（ ）
A. 图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B. 图乙中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械
能守恒
C. 图丙中，不计任何阻力和滑轮质量时A加速下落、B加速上升过程
中，A、B系统机械能守恒
D. 图丁中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒
解析：若不计空气阻力，题图甲中只有重力和弹力做功，物体A和弹
簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，选项A错误；题
图乙中物体B除受重力外，还受A的弹力，A的弹力对B做负功，物体B
机械能不守恒，但A、B组成的系统机械能守恒，选项B错误；题图丙
中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能
守恒，选项C正确；题图丁中小球的重力势能转化为小球的动能和橡
皮条的弹性势能，小球的机械能不守恒，选项D错误。
1. （多选）在下列几个实例中，机械能守恒的是（ ）
A. 雨滴接近地面时匀速下落
B. 铅球在空中飞行（空气阻力不计）
C. 物块沿光滑固定斜面向上滑动
D. 运载火箭携带卫星飞离地球
解析： 雨滴接近地面时匀速下落，空气阻力做负功，机械能
减小，故A错误；空气阻力不计，铅球在空中运动的过程中，只受到重力的作用，所以它的机械能守恒，故B正确；物块沿光滑固定斜面向上滑动，只有重力做功，物块的机械能守恒，故C正确；运载火箭携带卫星飞离地球的过程中，燃料对火箭做正功，机械能增大，故D错误。
2. 光滑水平面上有A、B两木块，A、B之间用一轻弹簧拴接，A靠在
墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状
态，若突然撤去力F，则下列说法中正确的是（ ）
A. 木块A离开墙壁前，A、B组成的系统机械能守恒
B. 木块A离开墙壁后，A、B组成的系统机械能守恒
C. 木块A离开墙壁前，A、B及弹簧组成的系统机械能
守恒
D. 木块A离开墙壁后，A、B及弹簧组成的系统机械能
不守恒
解析： 木块A离开墙壁前，弹簧的弹力对B做功，则A、B组成
的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，
选项A错误，C正确；木块A离开墙壁后，弹簧的弹力对A、B都做
功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系
统机械能守恒，选项B、D错误。
要点二 机械能守恒定律的应用
1. 机械能守恒定律的不同表达式
项目 表达式 物理意义 说明
从守恒的 角度看 Ek1＋Ep1＝ Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能
等于末状态的机
械能 必须先选零势能
参考平面
项目 表达式 物理意义 说明
从转化 角度看 Ek2－Ek1＝ Ep1－Ep2或 ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增
加量等于势能的
减少量 不必选零势能参
考平面
从转移 角度看 EA2－EA1＝ EB1－EB2或 ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两
物体时，A增加的
机械能等于B减少
的机械能 2. 应用机械能守恒定律解题的一般步骤
（1）根据题意选取研究对象。
（2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力
情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
（3）恰当地选取零势能参考平面，确定研究对象在此过程中的初
状态和末状态的机械能。
（4）根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解。
【典例2】 跳水运动是我国体育运动的强项之一，其中高台跳水项目要求运动员从距离水面10 m的高台上跳下，在完成空中动作后进入水中。如图所示，质量为50 kg的运动员起跳瞬间重心离高台台面的高度为1 m，斜向上跳离高台的瞬时速度大小为3 m/s，跳至最高点时重心离台面的高度为1.3 m，入水（手刚触及水面）时重心离水面的高度为1 m，图中虚线为运动员重心的运动轨迹，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
（1）以水面为零势能参考平面，运动员起跳瞬间具有的重力势能；
答案： 5 500 J
解析： 以水面为零势能参考平面，运动员在起跳瞬间重心
相对于水面的高度为h＝10 m＋1 m＝11 m
运动员起跳瞬间具有的重力势能为
Ep＝mgh＝50×10×11 J＝5 500 J。
（2）从跳离高台瞬间到跳至最高点的过程中，运动员克服重力做
的功；
答案： 150 J
解析：从跳离高台瞬间到跳至最高点的过程中，运动员重心上升
的高度为Δh＝1.3 m－1.0 m＝0.3 m，运动员克服重力做的功为
W＝mgΔh＝50×10×0.3 J＝150 J。
（3）计算运动员入水时的速度大小。
答案： 14.5 m/s
解析：从起跳到入水过程中，根据机械能守恒定律得
m＋mgh＝m＋mgh2
其中h＝11 m，h2＝1 m，代入数据得
vt≈14.5 m/s。
1. 质量为m的物体，以水平速度v0从距地面高度为H处抛出，若取抛
出点所在平面为零势能参考平面，不计空气阻力，则当它经过离地
高度为h的A点时，所具有的机械能是（ ）
解析： 物体在运动的过程中只受重力作用，机械能守恒，则A
点的机械能等于抛出点的机械能，抛出点的机械能E＝m，则A
点的机械能等于m，故D正确，A、B、C错误。
2. 如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量
为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹
簧，求：
（1）弹簧的最大弹性势能；
答案： 50 J
解析： 对弹簧和木块组成的系统，由机械能守恒定律有
Epm＝m＝×4×52 J＝50 J。
解析：对弹簧和木块组成的系统，由机械能守恒定律有
m＝m＋Ep1
则Ep1＝m－m＝32 J。
（2）木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。
答案： 32 J
要点回眸
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 如图所示，下列四个选项图中，木块均在固定的斜面上运动，其中
选项A、B、C中的斜面是光滑的，选项D中的斜面是粗糙的，选项
A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，选项A、
B、D中的木块向下运动，选项C中的木块向上运动，在这四个选
项图所示的运动过程中机械能守恒的是（ ）
解析： A选项，力F对木块做正功，机械能增加，机械能不守
恒，故错误；B选项，力F做负功，机械能减小，故错误；C选项，
木块斜面光滑，运动过程中只有重力做功，只有重力势能和动能的
相互转化，机械能守恒，故正确；D选项，斜面粗糙，木块下滑
中，摩擦力做负功，机械能减小，机械能不守恒，故错误。
2. 如图所示，质量为m的苹果从距地面高度为H的树上由静止开始下
落，树下有一深度为h的坑。若以地面为零势能参考平面，不计空
气阻力，则苹果刚要落到坑底时的机械能为（ ）
A. －mgh B. mgH
C. mg（H＋h） D. mg（H－h）
解析： 以地面为零势能参考平面，苹果刚下落时的机械能为
mgH，下落过程中苹果只有重力做功，机械能守恒，则知当苹果将
要落到坑底时，其机械能等于刚下落时的机械能mgH，故选B。
3. 如图所示，由距离地面h2＝1 m的高度处以v0＝4 m/s的速度斜向上
抛出质量为m＝1 kg的物体，当其上升的高度为h1＝0.4 m时到达最
高点，最终落在水平地面上，现以过抛出点的水平面为零势能面，
取重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，则（ ）
A. 物体在最大高度处的重力势能为14 J
B. 物体在最大高度处的机械能为16 J
C. 物体在地面处的机械能为8 J
D. 物体在地面处的动能为8 J
解析： 物体在最高点时具有的重力势能Ep1＝mgh1＝1×10×0.4
J＝4 J，A错误；物体在最高点时具有的机械能等于刚抛出时的动
能，即8 J，B错误；物体在下落过程中，机械能守恒，任意位置的
机械能都等于8 J，C正确；物体落地时的动能Ek＝E－Ep2＝E－
mgh2＝8 J－1×10×（－1）J＝18 J，D错误。
4. 小明同学用实验研究“圆珠笔的上跳”，一支可伸缩的圆珠笔，内
有一根弹簧，尾部有一个小帽，压一下小帽，笔尖就伸出。如图所
示，手握笔杆，使笔尖向上，小帽抵在桌面上，在压下后突然放
手，笔杆将竖直向上跳起一定的高度。在某次实验中，小明用刻度
尺测得圆珠笔跳起的高度为12 cm，请你帮他分析：
（1）圆珠笔由桌面静止起跳到上升至最大高
度的过程中，能量发生了怎样的变化？
答案： 圆珠笔弹簧的弹性势能→圆珠
笔动能→圆珠笔重力势能
解析： 圆珠笔弹簧的弹性势能减少，转化为圆珠笔的动
能，离开桌子后，圆珠笔减少的动能转化成圆珠笔增加的重
力势能，圆珠笔运动到最高点时，圆珠笔的重力势能最大，
动能为零。
（2）从能量转化的角度计算出圆珠笔起跳的初速度v0多大？（g取
10 m/s2）
答案： 1.55 m/s
解析：由机械能守恒定律得mgh＝m，代入数据得
v0≈1.55 m/s。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 下列运动过程中，机械能守恒的是（ ）
A. 跳伞运动员在空中匀速下落过程
B. 不计空气阻力，抛出的在空中运动的标枪
C. 不计空气阻力，随摩天轮做圆周运动的小孩（速度大小不变）
D. 一个处于压缩状态的弹簧把小球弹出去的过程，小球的机械能
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解析： 运动员匀速下落过程中，动能不变，重力势能减小，机
械能不守恒，故A错误；抛出的标枪，在不计空气阻力下，只受重
力，满足机械能守恒的条件，故B正确；因为小孩在竖直平面内做
圆周运动，速度大小不变，动能不变，而重力势能随高度改变，机
械能不守恒，故C错误；压缩的弹簧将小球弹出去的过程中，弹力
做正功，小球的动能增加，小球的机械能增加，所以小球的机械能
不守恒，故D错误。
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2. （多选）神舟号载人飞船从发射至返回的过程中，以下哪些阶段返
回舱的机械能是守恒的（ ）
A. 飞船升空的阶段
B. 只在地球引力作用下，返回舱沿椭圆轨道绕地球运行的阶段
C. 在大气层外，只在地球引力作用下，返回舱飞向地球的阶段
D. 临近地面时返回舱减速下降的阶段
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解析： 飞船升空的阶段，推力做正功，机械能增加，故A错
误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受重力作用，重力势
能和动能之和保持不变，故B正确；返回舱在大气层外向着地球做
无动力飞行阶段，只有重力做功，重力势能减小，动能增加，机械
能守恒，故C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，克服空气
阻力做功，机械能减小，故D错误。
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3. 如果一个物体在运动的过程中克服重力做了80 J的功，则（ ）
A. 物体的重力势能一定增加80 J
B. 物体的机械能一定增加80 J
C. 物体的动能一定减少80 J
D. 物体的机械能一定减少80 J
解析： 重力势能的变化只与重力做功有关，克服重力做功80
J，重力势能增大80 J，A正确；动能的变化根据合力做功求得，机
械能的变化根据除了重力以外其他力做功求得，所以动能变化和机
械能变化无法求出，B、C、D错误。
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4. （多选）教材中双锥体向“上”滚的迷你实验如图所示。在书脊上
架两根筷子作为轨道，把双锥体放在较低一端的轨道上，你会发现
双锥体会向“上”滚动。关于这一现象的分析正确的是（ ）
A. 双锥体滚动过程中，重心逐渐上升
B. 双锥体滚动过程中，重心逐渐下降
C. 调整使两根筷子平行，实验也可能成功
D. 将双锥体换成圆柱体，实验不可能成功
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解析： 双锥体滚动过程中，动能逐渐增加，则重力势能逐渐
减小，则重心逐渐下降，选项A错误，B正确；要使重心下降，两
根筷子较低一端的宽度应比两根筷子较高一端的宽度小，选项C错
误；将双锥体换成圆柱体，则圆柱体若沿筷子向上滚动的话，重力
势能增加，机械能增加，这是不可能的，即实验不可能成功，选项
D正确。
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5. （多选）如图所示，通过质量不计的定滑轮悬挂两个质量为m1、
m2的物体（m1＞m2），不计绳子质量、绳子与滑轮间的摩擦，由
静止释放，在m1向下运动一段距离的过程中，下列说法中正确的
是（ ）
A. m1和地球组成的系统机械能守恒
B. m1、m2和地球组成的系统机械能守恒
C. m1机械能的减少量等于m2机械能的增加量
D. m1减少的重力势能小于m2增加的动能
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解析： 单独对m1来说，绳子的拉力属于外力，有外力做功，
所以m1和地球组成的系统机械能不守恒，A错误；将m1、m2看作一
个整体，绳子拉力属于内力，只有重力做功，所以m1、m2和地球
组成的系统机械能守恒，所以m1机械能的减少量等于m2机械能的
增加量，m1减少的重力势能等于m2增加的重力势能和两个物体增
加的动能之和，所以，B、C正确，D错误。
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6. （多选）如图，小球自a点由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，
到c点时弹簧被压缩到最短，若不计弹簧质量和空气阻力，在小球
由b→c的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 小球和弹簧构成的系统总机械能守恒
B. 小球的重力势能随时间先减小后增大
C. 小球在b点时动能最大
D. 小球动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量
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解析： 小球由b→c运动过程中，对于小球和弹簧组成的系
统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以系统总机械能守恒，故
A正确；小球不断下降，重力势能不断减小，故B错误；小球从b到
c的过程，先加速后减速，动能先变大后变小，动能最大的位置在
b、c之间的某点，故C错误；小球从b到c过程中，重力势能、动
能、弹性势能相互转化，机械能总量守恒，小球动能和重力势能的
减少量等于弹性势能的增加量，即小球动能的减少量小于弹簧弹性
势能的增加量，故D正确。
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7. 如图所示，一质量为m的足球，被以速度v由地面踢起，当它到达
离地面高度为h的B点处（取B点处所在水平面为零势能参考平面）
时，下列说法正确的是（重力加速度为g，不计空气阻力）
（ ）
A. 足球在B点处的重力势能为mgh
B. 足球在B点处的动能为mgh
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解析： 取重力势能在B处为零势能参考平面，所以在B点处重力
势能为零，A错误；从A到B过程，由机械能守恒定律得mv2－mgh
＝m，可得在B处的动能为EkB＝mv2－mgh，B错误；足球的机
械能守恒，在B点处的机械能E机＝mv2－mgh，D错误，C正确。
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8. 如图所示，质量m＝0.2 kg的皮球（视为质点），从A点被踢出后
沿曲线ABC运动，AC在同一水平面上，最高点B距地面的高度h＝
2.0 m，皮球在B点的速度v＝3.0 m/s，重力加速度g＝10 m/s2，取
地面为零势能参考平面，不计空气阻力。求：
（1）皮球由B到C过程中重力对皮球做的功W；
答案： 4 J
解析： 由B到C过程重力对皮球做功W＝mgh＝0.2×10×2.0 J＝4 J。
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（2）皮球在B点的机械能E；
答案： 4.9 J
解析： 皮球在B点的机械能E＝mgh＋mv2＝0.2×10×2.0 J＋
×0.2×32 J＝4.9 J。
（3）皮球在A点被踢出时的速度v0的大小。
答案： 7 m/s
解析：皮球由A运动到B，根据机械能守恒定律有
mv2＋mgh＝m，解得v0＝7 m/s。
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9. （多选）如图所示，将物体P用长度适当的轻质细绳悬挂于天花板
下方，两物体P、Q用一轻弹簧相连，物体Q在力F的作用下处于静
止状态，弹簧被压缩，细绳处于伸直状态。已知该弹簧的弹性势能
仅与其形变量有关，且弹簧始终在弹性限度内，现将力F撤去，轻
绳始终未断，不计空气阻力，则（ ）
A. 弹簧恢复原长时，物体Q的速度最大
B. 撤去力F后，弹簧和物体Q组成的系统机械能守恒
C. 在物体Q下落的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大
D. 撤去力F前，细绳的拉力不可能为零
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解析： 由题意可知，撤去力F后，在Q下落过程中，Q和弹
簧组成的系统满足机械能守恒，弹簧弹性势能先减小后增大，
Q的动能先增大后减小，当弹簧向上的弹力大小等于Q物体的重
力时，Q的速度最大，故A错误，B、C正确；F撤去之前，弹簧
被压缩，对P受力分析，当重力等于弹簧弹力时，细绳的拉力为
零，故D错误。
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10. （多选）一个物体以一定的初速度竖直上抛，不计空气阻力，如
图所示，表示物体的动能Ek随高度h变化的图像A、物体的重力势
能Ep随速度v变化的图像B（图线形状为四分之一圆弧）、物体的
机械能E随高度h变化的图像C、物体的动能Ek随速度v变化的图像
D（图线形状为开口向上的抛物线的一部分），其中可能正确的
是（ ）
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解析： 设物体的初速度为v0，物体的质量为m，由机械能
守恒定律得m＝mgh＋mv2，所以物体的动能与高度h的关系
为Ek＝m－mgh，图像A可能正确；物体的重力势能与速度v的
关系为Ep＝m－mv2，则Ep-v图像为开口向下的抛物线（第一
象限中的部分），图像B错误；由于竖直上抛运动过程中机械能
守恒，所以E-h图像为一平行于h轴的直线，图像C可能正确；由
Ek＝mv2知，Ek-v图像为一开口向上的抛物线（第一象限中的部
分），所以图像D可能正确。
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11. 如图所示，质量m＝70 kg的运动员以10 m/s的速度从高 h＝10 m
的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B所在的水平面为零势能
参考平面，一切阻力可忽略不计。（取g＝10 m/s2）求运动员：
（1）在A点时的机械能；
答案： 10 500 J
解析： 运动员在A点时的机械能
E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝×70×102 J＋70×10×10 J＝10
500 J。
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（2）到达最低点B时的速度大小；
答案： 10 m/s
解析：运动员从A运动到B的过程，根据机械能守恒定律得
E＝m，
解得vB＝＝ m/s＝10 m/s。
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（3）相对于B点能到达对面斜坡的最大高度。
答案： 15 m
解析：运动员从A运动到对面斜坡上最高点过程，
由机械能守恒定律得E＝mgh'，
解得h'＝ m＝15 m。
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