人教版七年级上册第四章《4.3 角》教学设计

4．3　角
4．3.1　角
教学目标
1．掌握角的两种定义及表示方法，并在图形中认识角、熟悉角的表示方法；
2．理解度分秒的换算，会进行简单的计算．(重点，难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
教学过程
一、情境导入
观察了下面实物，你发现这些实物给我们共同的形象是什么？
二、合作探究
探究点一：角的定义及表示方法
【类型一】
角的定义
例1
下列关于角的说法正确的个数是(　　)
①角是由两条射线组成的图形；
②角的边越长，角越大；
③在角一边延长线上取一点D；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，错误；②角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，错误；③角的边是射线，不能延长，错误；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确．所以只有④正确．故选A.
方法总结：本题主要是对角的定义的考查，正确理解角的定义是解题的关键：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，需要熟练掌握．
【类型二】
角的表示方法
例2
下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是(　　)
　　　A　　　　　　　　　B
　　　C　　　　　　　　　D
解析：在角的顶点处有多个角时，用一个字母表示这个角，这种方法是错误的．所以A、C、D错误，故选B.
方法总结：角的两个基本元素中，边是两条射线，顶点是这两条射线的公共端点．解题时要善于排除一些似是而非的说法的干扰，选出能准确描述“角”的说法．用三个大写字母表示角，表示角顶点的字母在中间．
【类型三】
判断角的数量
例3
如图所示，在∠AOB的内部有3条射线，则图中角的个数为(　　)
A．10
B．15
C．5
D．20
解析：可以根据图形依次数出组成角的个数；或者根据公式求图中角的个数是：×5×(5－1)＝10.故选A.
方法总结：若从一点发出n条射线，则构成n(n－1)个角．
探究点二：角的度量
例4
(1)用度、分、秒表示48.26°；
(2)用度表示37°24′36″.
解析：(1)度、分、秒是常用的角的度量单位．根据1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″把大单位化成小单位乘以60即可；
(2)根据度分秒之间60进制的关系计算．
解：(1)48.26°＝48°＋0.26×60′＝48°15′＋0.6×60″＝48°15′36″；
(2)根据1°＝60′，1′＝60″得36″÷60＝0.6′，24.6′÷60＝0.41°，所以37°24′36″用度来表示为37.41°.
方法总结：用度、分、秒表示的角度和用度表示的角度的相互转化的过程正好相反：大单位化小单位，乘以进率；而小单位化大单位要除以进率．
三、板书设计
1．角的概念
(1)有公共端点；
(2)两条射线．
2．角的表示方法
(1)三个大写字母，端点字母在中间；
(2)一个大写字母；
(3)数字或希腊字母．
3．度、分、秒的换算
1°＝60′，1′＝60″.
教学反思
本节的教学从学生熟悉的实物出发，点出课题，引导学生明确角的初步概念．课中给学生提供了主动探索的时间、空间、能让学生表述的要让学生自己去表述，能让学生总结的要让学生自己推导出结论，能让学生思考的要让学生自己去思考，能让学生观察的要让学生自己去观察．有针对性的设计例题、习题，从而完成教学目标．
4．3.2　角的比较与运算
教学目标
1．会比较角的大小，理解两个角的和、差、倍、分的意义；(重点)
2．掌握角平分线的概念，能够利用角平分线的定义解决相关计算问题，会用量角器画角的平分线；(难点)
3．经历比较角的大小、用量角器画角平分线、用折纸法确定角平分线的过程，积累活动经验，培养动手操作能力．(重点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
教学过程
一、情境导入
有一天聪聪和明明各带了一把折扇(状态如下)．
下面是他们的一段对话：
聪聪：“我的折扇张开大一些，所以我的折扇的角也大一些”．
明明：“我的折扇长一些，所以我的折扇的角也大一些”．
同学们有办法帮他们进行判断吗？
二、合作探究
探究点一：角的比较
例1
如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部，外部，下列各式错误的是(　　)
A．∠AOB<∠AOD
B．∠BOC<∠AOB
C．∠COD<∠AOD
D．∠AOB<∠AOC
解析：A.∠AOB与∠AOD的边OA重合，OB在∠AOD内，所以∠AOB<∠AOD，A正确；同理B、C正确；D.∠AOB和∠AOC的边AO重合，OC在∠AOB内，所以∠AOB>∠AOC.D错误，故选D.
方法总结：此题主要考查了角的比较大小，解题的关键是掌握角比较大小的方法．
探究点二：角度的有关计算
【类型一】
利用角平分线进行角度的计算
例2
如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1)求∠EOD的度数；
(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
解析：(1)根据OD平分∠BOC，OE平分∠AOC可知∠DOE＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB，由此即可得出结论；
(2)先根据∠BOC＝90°求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论．
解：(1)∵∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB＝×120°＝60°；
(2)∵∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，∴∠AOC＝120°－90°＝30°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.
方法总结：能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键．
【类型二】
利用三角板叠合进行角度的计算
例3
如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB＝(　　)
A．120°
B．180°
C．150°
D．135°
解析：由图可得∠AOC＋∠DOB＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°.故选B.
方法总结：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．
【类型三】
折叠问题中角的计算
例4
如图，将矩形ABCD沿EF折叠，C点落在C′，D点落在D′处．若∠EFC＝119°，则∠BFC′为(　　)
A．58°
B．45°
C．60°
D．42°
解析：∵将矩形ABCD沿EF折叠，C点落在C′，D点落在D′处，∠EFC＝119°，∴∠EFC′＝∠EFC＝119°，∠EFB＝180°－∠EFC＝61°，∴∠BFC′＝∠EFC′－∠EFB＝119°－61°＝58°，故选A.
方法总结：掌握折叠的性质，要善于发现题中的隐含条件：折叠前后两图形是完全重合的，其角不变．
探究点三：角度的换算
例5
计算：
(1)153°29′42″＋26°40′32″；
(2)110°36′－90°37′28″；
(3)62°24′17″×4；
(4)102°43′21″÷3.
解析：(1)相同单位相加，超过60向上一位进1即可；(2)先借1°化为分和秒，然后同一单位分别相减即可得解；(3)每一个单位分别乘以4，分、秒超出60的部分向上一个单位进1即可；(4)从度开始计算，余数乘以60继续除以3进行计算即可得解．
解：(1)153°29′42″＋26°40′32″＝179°69′74″＝180°10′14″；
(2)110°36′－90°37′28″＝109°95′60″－90°37′28″＝19°58′32″；
(3)62°24′17″×4＝248°96′68″＝249°37′8″；
(4)102°43′21″÷3＝102°42′81″÷3＝34°14′27″.
方法总结：角度的运算规律为：(1)加减法时将同一单位进行加减，加法够60进1，减法不够减要借1当60；(2)乘法时将数与度、分、秒分别相乘，然后从小到大逢60进1；(3)除法时用度先除，把余数化为分，再加上原来的分，用这个数除以除数，把余数化成秒，再加上原来的秒，再用这个数除以除数，如果除不尽，就按题意要求，进行四舍五入．
三、板书设计
1．角的比较方法
(1)度量法；(2)叠合法．
2．角的计算
(1)角平分线；(2)角的折叠．
3.角度的换算
教学反思
本节课的教学内容是角的大小的比较、角的和差关系，角的平分线．可利用类比线段的学习方法引出角的大小的比较的两种方法：度量法、叠合法．对于本节教学要把握以下几点：
1．首先在讲授知识的过程中，必须对旧的知识进行适当的复习，使学生能对角的知识有一个更深的记忆．
2．在角的形象比较中，要努力引导学生的思维方向．
3．重叠法是一个难点，但此法比较适用于实际中的比较．对于角度的计算要设计各个类型的教学．
4．3.3　余角和补角
教学目标
1．在具体情境中认识余角和补角，掌握余角和补角的性质；(重点)
2．能利用余角和补角的性质进行计算和简单的推理．(重点)
　　　　　　　　　　　　　　　
教学过程
一、情境导入
让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔．
比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工．设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜．
二、合作探究
探究点一：余角和补角及其性质
【类型一】
余角和补角的概念
例1
如果α与β互为余角，则(　　)
A．α＋β＝180°
B．α－β＝180°
C．α－β＝90°
D．α＋β＝90°
解析：如果α与β互为余角，则α＋β＝90°.故选D.
方法总结：正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键．
【类型二】
利用余角和补角计算求值
例2
已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．
解析：根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值．
解：∵∠A与∠B互余，∴∠A＋∠B＝90°，又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，∴∠A＝3∠B＋30°，∴3∠B＋30°＋∠B＝90°，解得∠B＝15°.故∠B的度数为15°.
方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程组来解决．
【类型三】
余角、补角和角平分线的综合计算
例3
如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
解析：根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°，根据角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°，根据角平分线的性质，可得∠BOM＝∠AOB，根据解方程，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．
解：由∠AOB与∠COM互补，得∠AOB＋∠COM＝180°.
由角的和差，得∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°，∠AOB＋∠BOM＝90°.
由OM是∠AOB的平分线，得∠BOM＝∠AOB，
即∠AOB＋∠AOB＝90°.解得∠AOB＝60°.
由角的和差，得∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.
由ON平分∠AOC得∠AON＝∠AOC＝×150°＝75°.由角的和差，得∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°.
方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．
探究点二：方位角
【类型一】
利用方位角确定方向
例4
M地是海上观测站，从M地发现两艘船A、B的方位如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A．船A在M的南偏东30°方向
B．船A在M的南偏西30°方向
C．船B在M的北偏东40°方向
D．船B在M的北偏东50°方向
解析：船A在M的南偏西90°－30°＝60°方向，故A、B选项错误；船B在M的北偏东90°－50°＝40°方向，故C正确，D错误．故选C.
方法总结：用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
【类型二】
方位角的有关计算
例5
如图所示，甲、乙、丙三艘轮船从港口O出发，当分别行驶到A、B、C处时，经测量得甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向．
(1)求∠BOC的度数；
(2)求∠AOB的度数．
解析：(1)根据方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOC的度数，根据角的和差，可得答案；
(2)根据方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOA的度数，根据角的和差，可得答案．
解：如图，(1)由乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向，得∠EOB＝76°，∠EOC＝45°.由角的和差，得∠BOC＝∠EOB＋∠EOC＝76°＋45°＝121°；
(2)由甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，得∠EOB＝76°，∠EOA＝44°.由角的和差，得∠AOB＝∠EOB－∠EOA＝76°－44°＝32°.
方法总结：解决本题主要是理解方向角的表示方法，结合图形找到相应的角，然后进行计算．
三、板书设计
1．互余、互补
(1)和为90°的两个角互余；
(2)和为180°的两个角互补．
2．方位角
教学反思
通过比萨斜塔这一学生熟知的著名建筑激发学生的学习兴趣，再运用现代化的教学手段，把图形的“静”变成“动”，在动态课件演示中引出概念，增强了趣味性，并且可以充分调动学生的学习兴趣，一下子把学生吸引到课堂上来．这样也把书本上原本呆板的概念激活了，使数学知识充满新鲜感，实现了书本知识和学生发现的一种沟通，增强学生对几何图形的敏感性．