四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.(本题满分13分)
已知数列{a.}的前n项和为S,且a2=3,2S。=n(a,+2).
(1)求数列{a,}的通项公式：
(2)若存在n∈N·,使得1+1+…+，】≥Aa.:成立，求实数A的取值范围。
aa:
a.aa+l
10.设曲线C:√(x+1)+y+√(x-1)+y=22,点M(-1,0),N(1,0),点P是曲
线C上的动点，则下列结论正确的是
()
人曲线C的离心率是
B.IPMI
C△PMW面积的最大值为2
D.以线段MN为直径的圆与直线x+y-2=0相切
1.(本题满分15分)
某市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收人大幅增
长.某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游的情况，得到的数据如下表：
(单位：位)》
喜欢旅游
不喜欢旅游
总计
男性
20
30
50
女性
30
20
50
总计
50
50
100
(1)能否有95%的把握认为喜欢旅游与性别有关？
(2)将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游
的人数为专，求专的分布列与数学期望
附：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
16.(本题满分15分)
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=6O°，PA⊥面ABCD,
且PA=3.点F在棱PA上，且AF=1,点E在棱PD上，
(1)若CE∥面BDF,求PE:ED的值；
(2)求二面角B-DF-A的余弦值
E
B
(第16题图)
18.(本题满分17分》
已知双曲线C的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为y=之x,且M,N分别是双曲线的
左、右顶点
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点G(4,0)的动直线I交双曲线C右支于A,B两点，若直线AM,BW的斜率分别
为k1,k2
①试探究，与k2的比值是否为定值若是定值，求出这个定值：若不是定值，请
说明理由、
②i设∠AwG=a,∠BNG=B,0
面积
19.(本题满分17分)
已知函数x)=2(nx-子)+ax(nx-1),其中a≠0.
(1)讨论函数(x)的单调性：
(2)若f代x)>0,求实数a的取值范围.绵阳南山中学2025-2026学年度上期高2026届一诊模拟考试
数学参考答案
-、1.A.2.C.3.B.4.B.
5.A.f(y=sin2x+V5cos2x=2sin(2,x+=2sim[2(x+2).所以y=2sin2x向
左平港看得到y=2sin2c+:
6.C.由于函数f)+fcx-)在R上单调递减，当x≤时，有
2
f+fx-2>3+f0=-2+1+1>1.
所以f()+f(x-)>1在(-∞，上恒成立，
因此，只需f)+fx-为)=-x+1-(x-之+1>1，
解得x的取值范围为（一 子。
7.B.1⊥可推出l⊥m,所以“1⊥m”是“1⊥a”的必要而不充分条件.故选B.
8.D.显然a>0,由f(x)>g(x)得ar+lna>x+e*-lnx,得ar+ln(ax)>e+x.
从而得e(a)+ln(ax)>e+x.
令h(x)=e+x,x>0,则h(x)=e+1>1>0,所以函数h(x)=e+x在区间
e
(0,+oo)上为增函数，所以e)+ln(ax)>e+x等价于ln(ax)>x,即ax>e,即a>
e
所以关于x的不等式a>在区间(0，+∞)内有且只有两个整
数解
设8闭=三(x>0),则g田=e-)
x2
令g'(x)>0得x>1,令g'(x)<0,得0o十23
(0,1)上为减函数，在(L,+∞)上为增函数.
e
因为关于x的不等式a>二在区间(0，+∞)内有且只有两个整数解，结合图形可知，满
足题意得整数解只能是1和2，所以g2,故选D
二、9.CD.对于A:若A,B是互斥事件，则P(AB)=0,故A错误：对于B,若事件A,B互
斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B),故B错误：对于C,因为对立事件一定是互斥事件，
所以若A,B是对立事件，则A,B是互斥事件，故C正确：对于D,因为事件A,B至少有一个发
生包含A,B恰好有一个发生和A,B同时发生两种情况，所以事件A,B至少有一个发生的概
率不小于A,B恰好有一个发生的概率，故D正确.
10.BCD.易知，|PM+|PN=2W2,所以曲线T是一个椭圆，a=√2，c=1,b=1.其
标准方程是
+少=l,曲线Γ的离心率是
2,所以A错误。
2
叉0,(舍)，tanB=l.
x=-y+2
所以直线BN的方程为x=一y+2,由{
红家3少二。即B点的
x2
坐标为号故5e方2×号号
1
2
19.(I)函数f(x)的定义域为(0，+o).
()=[2x(ln-)+x+a(nx-1+1)=xlx+alnx=(x+a)lnx.
当a>0时，f(x)在(0，)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增：
当a=-1时，f(x)在(0，+oo)上单调递增：
当-1当a<-1时，f(x)在(0,1)，(-a,+oo)上单调递增，在(1，-a)上单调递减.
(1)若a>0,由(1)的结论及了0=-}-a<0得，当0f因=号0r-之+a@r-叨<0恒成立，所以了树>0，必有<0.
又由f0>0,可得a<-
因此，不等式f>0等价于2x0x-分+amx-)>0.
设ge)=0ar-3+a0r-,则g0因-2tnr+x+4e
4x
当01且x>4a时，可得g'(x)>0:
当a<0时，函数y=nx+8+单调递增，故存在正数m使得2mlhm+m+4a=0.
2
若0这与2mlnm+m+4a=0矛盾，可得m>1.
当x>m时，g(x)>0:当x增区间为(m,+o)·
若g>0,必有gm个=方mm-宁+a(nm-)>0.
2mlnm-m+4alnm-4a >0.
又由2mlnm+m+4a=0,2mlnm+m+4a=0,
所以2mlnm-m+4alnm-4a+(2mlnm+m+4a)>0.
从而mlnm+alnm>0,(m+a)lnm>0.
又由m>1,有m>-a,可得a>-m,
从而2mlnm+m+4a=0>2mlnm+m-4m=2mlnm-3m,可得1由a=-4(2mlnm+m）,及1<2mlm+m<4e,可得-e24
苦若了网>0.则实数a的取值袍围为(e,7