2.2 代数式的值 课件(共40张PPT) 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

(共40张PPT)
2.2
代数式的值
请四位同学做一个传数游戏.
规则为：第一个同学任意报一个数给第二个同学，第二个同学把这个数加1传给第三个同学，第三个同学再把听到的数平方后传给第四个同学，第四个呢？噢！把听到的数减去1报出答案.
x
→x＋1
→(x＋1)2
→(x＋1)2－1
若第一位同学报出的数用x表示，请用代数式表示出这一过程.
问题 某礼堂第1排有18个座位，往后每排比前一排多2个座位. 问：
(1) 第 n 排有多少个座位 (用含n的代数式表示)
(2) 第10排、第15排、第23排分别有多少个座位
探索
第2排比第1排多2个座位，它的座位数应为 18＋2＝20；
第3排比第2排多2个座位，它的座位数应为 20＋2＝22.
先考察特例：计算第 2 排、第 3排、第4 排的座位数，从 中发 现 规律，再求出第 n 排的座位数.
(1) 第 n 排有多少个座位 (用含n的代数式表示)
也可以这样考虑：
第 3 排是第 1 排的后 2 排，它的座位数应比第 1 排多 2×2，即为 18＋2×2＝22；
类似地，第 4 排是第 1 排的后 3 排，它的座位数应比第 1 排多 2×3. 即为 18＋2×3＝24；
······
一般地，第 n 排是第 1 排的后(n－1) 排，它的座位数应比第1 排多 2(n－1)，即为 18＋2(n－1).
(2) 第10排、第15排、第23排分别有多少个座位
当 n＝10 时，18＋2(n－1)＝18＋2×9＝36；
当 n＝15 时，18＋2(n－1)＝18＋2×14＝46；
当 n＝23 时，18＋2(n－1)＝18＋2×22＝62；
因此，第 10 排、第 15 排、第 23 排分别有 36 个、46 个、62 个座位.
由一般 到 特殊，即将 n 的特定值代入得到的代数式，计算出特定各排的座位数.
概括
我们看到，当 n 取不同数值时，代数式 18＋2(n－1) 的计算结果不同，以上结果可以说：当 n＝10 时，代数式 18＋2(n－1)的值是 36；当 n＝15 时，代数式 18＋2(n－1) 的值是 46；等等.
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算计算得出的结果，叫做代数式的值 (value of algebraic expression)
例1
当 a＝2，b＝－1，c＝－3 时，求下列各代数式的值：
(1) b2－4ac；
解：当 a＝2，b＝－1，c＝－3 时，
b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－3)
＝1＋24
＝25.
(2) (a＋b＋c)2.
解：当 a＝2，b＝－1，c＝－3 时，
(a＋b＋c)2＝(2－1 －3)2
＝(－2)2
＝4.
例2
某地积极响应党中央号召，大力推进美丽中国建设工程，去年的投资为 a 亿元，今年的投资比去年增长了10%. 如果明年的投资还能按这个速度增长，请你预测一下，该地明年的投资将达到多少亿元 如果去年的投资为 2 亿元，那么预计明年的投资是多少亿元
解：由题意可得，今年的投资为a·(1＋10%) 亿元，于是明年的投资将
a·(1＋10%)·(1＋10%)＝1.21a (亿元)
如果去年的投资为2亿元，即 a＝2，那么当 a＝2 时，
1.21a＝1.21×2＝2.42 (亿元).
答：该地明年的投资将达到 1.21 a 亿元，如果去年的投资为 2 亿元，那么预计明年的投资是 2.42 亿元.
1. 填表：
3
4
4
4
－4
－
4
1
2
9
8
16
2. 根据下列各组 x、y 的值，分别求出代数式 x2＋2xy＋y2和 x2－2xy＋y2 的值：
(1) x＝2，y＝3；
解：当 x＝2，y＝3 时，
x2＋2xy＋y2＝22＋2×2×3＋32＝4＋12＋9＝25，
x2－2xy＋y2＝22－2×2×3＋32＝4－12＋9＝1.
(2) x＝－2，y＝－4.
解：当 x＝－2，y＝－4 时，
x2＋2xy＋y2＝(－2)2＋2×(－2)×(－4)＋(－4)2
＝4＋16＋16＝36，
x2－2xy＋y2＝(－2)2－2×(－2)×(－4)＋(－4)2
＝4－16＋16＝4.
3. 已知梯形的上底 a＝2cm，下底 b＝4cm，高 h＝3cm，利用梯形的面积公式求这个梯形的面积.
解：当 a＝2 cm，b＝4 cm，h＝3 cm 时，
梯形的面积 S＝＝＝9(cm2).
有趣的“3x＋1”问题
现有两个代数式：
3x＋1，①
x. ②
如果随意给出一个正整数x，我们可以根据代数式①或②求出一个对应值.
我们约定一个规则：若正整数 x 为奇数，我们就根据求对应值；若正整数 x 为偶数，我们就根据②求对应值，例如，取正整数 x 为 18，它是偶数，则应由②求得对应值为 9；而 9 是奇数，应由①求得对应值为 28；同样，28 是偶数，对应值为 14······我们感兴趣的是，从某一个正整数出发，不断地这样对应下去，会是一个什么样的结果呢 也许这是一个非常吸引人的数学游戏.
下面我们以正整数 18 为例，不断地做下去，如图1所示，最后竟出现了个循环：4、2，1，4，2，1，…
再取一个正整数试试看，比如取 x 为21，如图2所示，最后结果仍是一个同样的循环.
大家可以再随意取一些正整数试一试，结果一定同样奇妙——最后总是落入 4、2、1 循环的“黑洞”. 是不是从所有的正整数出发，都落入 4、2、1 循环的“黑洞”而无一例外呢 这就是“3x＋1”问题，在中国和日本常称之为“角谷问题”，关于其成立的猜想叫做角谷猜想，这是因为日本数学家角谷静夫 (Shizuo Kakutani)对此做过研究，西方把这个猜想叫做科拉兹猜想 (Collatz Conjecture).
“3x＋1”问题或角谷猜想通俗易懂，所以引起很多人(包括很多非数学家)的兴趣并参与其中，有人动用计算机，试遍了从1到7×1011 的所有整数，结果都成立，一些网络计算机平台也把“3x＋1”问题的验证列为自由参与的研究项目，例如，美国加州伯克利开放式网络计算平台BOINC就曾有一个项目“3x＋1 @ home”，此项目于 2008 年停止后，又有平台开放了“Collatz Conjecture”项目，大量的验证都没有找到反例.
验证不可能把所有的正整数穷尽，角谷猜想成立需要一个数学证明! 事实上，国内外都有人宣称证明了角谷猜想，但他们的证明都还没有获得数学界的确认。看来，“3x＋1”问题的解决似乎还有一段不短的路要走.
习题 2.2
1. 华氏温度()与摄氏温度(℃)之间的转换关系为：
华氏度数＝摄氏度数×＋32.
(1) 当摄氏度数为 x 时，华氏度数为_____________________；
(2) 当摄氏度数为 20 时，华氏度数为____________________.
x＋32
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2. 当 a＝， b＝2 时，求下列代数式的值：
(1) (a＋b)2－(a－b)；
解：当 a＝，b＝2 时，
原式＝(＋2)2－(－2)2
＝－
＝4
(2) a2＋2ab＋b2.
解：当 a＝，b＝2 时，
原式＝()2＋2××2＋22
＝＋2＋4
＝.
3. 当 a＋b＝3 时，求下列代数式的值：
(1) (a＋b＋1)2；
(2) (a＋b)2－2(a＋b)＋1.
解：原式＝(3－1)2＝42＝16
解：原式＝32－2×3＋1＝4
4. 如图所示，路障锥筒的上部分可近似看作一个圆锥，若该圆锥的底面直径 d＝20 cm，高 h＝60 cm，利用圆锥的体积公式求这个圆锥的体积. (π 取 3.14)
解：当 d＝20 cm，h＝60cm，π＝3.14时，
圆锥的体积 V＝π()h＝×3.14×102×60＝6 280 (cm3).
5. 某学校数学学期成绩的计算方法是：
平时成绩×40%＋期中成绩×30%＋期末成绩×30%.
甲、乙两名学生的数学平时成绩、期中成绩和期末成绩如下表：
则甲、乙两名学生的数学学期成绩谁更高
解：甲的数学学期成绩为
95×40%＋96×30%＋99×30%＝96.5 (分)，
乙的数学学期成绩为
96×40%＋98×30%＋97×30%＝96.9(分)，
因为 96.5＜96.9，
所以乙的数学学期成绩更高.
6. 按如图所示的方式摆放餐桌和餐椅.
(1) n张餐桌可以摆放多少把餐椅
(2) 8 张餐桌可以摆放多少把餐椅 10 张呢 15 张呢
(1) n 张餐桌可以摆放多少把餐椅
解：1张餐桌放 (4×1＋2) 把餐椅；
2张餐桌放 (4×2＋2) 把餐椅；
3张餐桌放 (4×3＋2) 把餐椅；
······
则 n 张餐桌放 (4n＋2) 把餐椅.
(2) 8 张餐桌可以摆放多少把餐椅 10 张呢 15 张呢
解：8张餐桌放 4×8＋2＝34 (把) 餐椅，
10 张餐桌放 4×10＋2＝42 (把)餐椅，
15张餐桌放 4×15＋2＝62 (把) 餐椅.
7. 如图，在某月的月历中，用一个“＋”形框出 5 个数，设这 5 个数中最小的数为 a .
(1) 框出的5个数中最大的数为__________，框出的5个数的和为___________.
16
45
(2) 若 a＝17，则框出的 5 个数中最大的数为多少 框出的 5 个数的和为多少
解：最大的数为 31，5 个数的和为 120.
8. 有一组数：a，2a，4a，8a，···，其中从第二个数开始，每个数都是它前面那个数的2倍.
(1) 第 n (n≥2) 个数为多少
(2) 若 a＝4，则第 9 个数为多少
解：第 n 个数为 2n－1a (n＞2).
解：当 a＝4 时，第9个数为 28×4＝1 024.