1.1集合的概念
【知识点1】元素与集合的属于关系的应用 1
【知识点2】列举法表示集合 2
【知识点3】判断自然语言描述内容能否组成集合 2
【知识点4】集合的确定性、互异性、无序性 3
【知识点5】常用数集及其记法 3
【知识点6】判断元素与集合的属于关系 4
【知识点7】描述法表示集合 4
【题型1】列举法 5
【题型2】集合中元素确定性的应用 5
【题型3】集合表示法的综合应用 6
【题型4】元素与集合之间的关系 7
【题型5】有限集与无限集 7
【题型6】描述法 8
【题型7】集合中元素特征的综合应用 9
【题型8】集合中元素互异性和无序性的应用 9
【知识点1】元素与集合的属于关系的应用
元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a A．
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．
已知集合A={a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．
分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a=3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．
解答：解：因为3∈A，所以a+2=3或2a2+a=3…（2分）
当a+2=3时，a=1，…（5分）
此时A={3，3}，不合条件舍去，…（7分）
当2a2+a=3时，a=1（舍去）或，…（10分）
由，得，成立…（12分）
故…（14分）
点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．
【知识点2】列举法表示集合
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来即可．
方程3x2-x-2=0的解集用列举法表示为______．
解：解方程3x2-x-2=0，得x=1或，
故方程3x2-x-2=0的解集为．
故答案为：．
【知识点3】判断自然语言描述内容能否组成集合
判断自然语言描述内容能否组成集合是高中数学中集合概念的重要部分．集合是由某种特定性质确定的对象组成的整体，这些对象称为元素．自然语言描述内容能否组成集合，关键在于描述内容是否明确、具体．例如，描述“所有小于10的偶数”能组成集合，因为可以明确确定这些元素为2，4，6，8．而描述“所有美丽的花”则不能组成集合，因为“美丽”是主观的，缺乏明确标准．判断时，需要分析描述的内容是否具有唯一性和清晰性，以确保所有元素均能明确归类到该集合中．
在解题过程中，判断自然语言描述内容能否组成集合，通常需要以下步骤．首先，仔细阅读描述内容，确定其标准或特征．其次，检验这些标准是否具体明确，是否能对所有元素进行唯一判断．例如，描述“所有3的倍数小于20的数”能组成集合，因为这些元素可以明确列举为3，6，9，12，15，18．再者，通过反例验证描述内容的标准是否严谨，如描述“所有高个子的学生”因“高”定义不明确，无法组成集合．最后，综合判断描述内容是否具备形成集合的条件．
在高中数学考试中，关于判断自然语言描述内容能否组成集合的命题，常以简单明了的方式出现．这类题目主要考查学生对集合概念的理解和应用能力．例如，题目可能会给出一段描述，要求学生判断其能否组成集合并说明理由．题目可能描述“所有小于100的平方数”或“所有以字母A开头的英语单词”，学生需通过分析描述的明确性和唯一性进行判断．这类命题旨在培养学生的逻辑思维和严谨性，要求他们在阅读理解和分析推理方面具备一定的能力．通过这些练习，学生能够更好地掌握集合的基础知识．
【知识点4】集合的确定性、互异性、无序性
集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．
（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．
（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．
解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复．
本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集合相等，含参数的集合的讨论为主．
【知识点5】常用数集及其记法
数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集，记为R．
-
熟练掌握几个常见数集的符号与含义，能判断给出的数是否属于这些数集．
给出下列关系：（1）；（2）；（3）3.1 Z；（4）0 N．其中正确的个数为____．
解：（1）错误；（2）正确；（3）3.1 Z正确；（4）0 N错误．
故答案为：2．
【知识点6】判断元素与集合的属于关系
元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a A．
明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符号表示：用∈表示元素属于某集合，用 表示元素不属于某集合．
验证元素是否是集合的元素
已知集合A={x|x=m2-n2，m∈Z，n∈Z}．求证：
（1）3∈A；
（2）偶数4k-2（k∈Z）不属于A．
分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；
（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．
解答：解：（1）∵3=22-12，3∈A；
（2）设4k-2∈A，则存在m，n∈Z，使4k-2=m2-n2=（m+n）（m-n）成立，
1、当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数，
∴（m-n）（m+n）为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数，
∴（m-n）（m+n）为奇数，与4k-2是偶数矛盾．
综上4k-2 A．
点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．
【知识点7】描述法表示集合
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．
明确描述对象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述条件：描述条件要准确、简洁，通常用文字或符号来表示集合中的元素特征．统一标准：确保描述的方法能够唯一确定一个集合，避免模糊或歧义的描述．
直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为___．
解：直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为：{（x，y）|x＜0，y＞0}．
故答案为：{（x，y）|x＜0，y＞0}．
【题型1】列举法
【典型例题】把集合{x|x2－4x－5＝0}用列举法表示为( )
A.{x＝－1，x＝5} B.{x|x＝－1或x＝5} C.{x2－4x－5＝0} D.{－1,5}
【举一反三1】已知集合，若，则中所有元素之和为（ ）
A.3 B.1 C. D.
【举一反三2】用列举法表示集合D＝{(x，y)，x∈N，y∈N|y＝－x2＋8}为________.
【举一反三3】已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
【举一反三4】用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝－3x＋12上所有满足x∈N*，y∈N*的点所组成的集合．
【题型2】集合中元素确定性的应用
【典型例题】下列给出的对象中能构成集合的是( )
A.著名的物理学家 B.很大的数 C.聪明的人 D.小于3的实数
【举一反三1】下列对象能构成集合的是（ ）
A.本班成绩较好的同学全体
B.与10接近的实数全体
C.绝对值小于5的整数全体
D.本班兴趣广泛的学生
【举一反三2】下列对象中，能构成集合的是( )
A.一切很大的数
B.好心人
C.漂亮的小女孩
D.方程x2－1＝0的实数根
【举一反三3】下列对象不能组成集合的是（ ）
A.不超过 20的偶数
B.π的近似值
C.方程的实数根
D.最小的正整数
【举一反三4】考察下列每组对象能否构成一个集合：
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某校2022年在校的所有矮个子同学；
(4)的近似值的全体.
【举一反三5】判断下列元素的全体是否能组成集合，并说明理由：
(1)平面上到∠AOB两边等距离的点；
(2)高中学生中的灌篮高手．
【题型3】集合表示法的综合应用
【典型例题】设P＝{1,2,3,4}，Q＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为( )
A.4 B.5 C.19 D.20
【举一反三1】集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
【举一反三2】若集合A＝{－1,2}，B＝{0,1}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【举一反三3】设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________．
【举一反三4】选择适当的方法表示下列集合．
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝x＋6图象上所有点组成的集合；
(4)满足方程x＝|x|，x∈Z的所有x的值构成的集合．
【题型4】元素与集合之间的关系
【典型例题】已知a∈{0，1，2，3}，且a {0，1，2}，则a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三1】设不等式3－2x<0的解集为M，则下列关系中正确的是( )
A.0∈M,2∈M B.0 M,2∈M C.0∈M,2 M D.0 M,2 M
【举一反三2】（2023·湖南省长沙市德城学校期中）集合，若，则__________．
【举一反三3】设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
【举一反三4】设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
【题型5】有限集与无限集
【典型例题】设集合A＝{周长为4 cm的正方形}，B＝{面积为4 cm2的长方形}，则正确的是（ ）
A.A，B都是有限集
B.A，B都是无限集
C.A是无限集，B是有限集
D.A是有限集，B是无限集
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A.，，，是两个集合
B.中有两个元素
C.是有限集
D.是空集
【举一反三2】以下集合为有限集的是（ ）
A. 由大于10的所有自然数组成的集合
B. 平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P组成的集合
C. 由24与30的所有公约数组成的集合
D. 由24与30的所有公倍数组成的集合
【举一反三3】有下列集合：
5的负整数倍的全体组成的集合；
②2022的正约数的全体组成的集合；
③2021年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合；
④给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合；
⑤末位是7的全体自然数组成的集合.
其中是有限集的序号为______，是无限集的序号为______.
【举一反三4】判断下列集合是有限集还是无限集：
（1）；
（2）；
（3）（A，B为平面上两个不同的定点，P为动点）.
【题型6】描述法
【典型例题】集合{x∈N*|x－2≤1}的另一种表示法是( )
A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} C.{0,1,2,3,4} D.{1,2,3,4}
【举一反三1】集合M＝的元素个数是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【举一反三2】不等式4x－5＜3的解集用集合表示为________．
【举一反三3】已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值.
【题型7】集合中元素特征的综合应用
【典型例题】已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【举一反三1】给出下列说法：
①在一个集合中可以找到两个相同的元素；
②好听的歌能组成一个集合；
③高一(3)班所有姓氏能构成集合；
④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.
其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三2】设a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝，则a－b＝________．
【举一反三3】已知不等式x－a≥0的解组成的集合为A，若3 A，则实数a的取值范围是________．
【举一反三4】已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．
(1)若1∈A，求实数a的值；
(2)若A为单元素集合，求实数a的值；
(3)若A为双元素集合，求实数a的取值范围．
【题型8】集合中元素互异性和无序性的应用
【典型例题】方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数根组成的集合为M，则M中的元素个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】以实数x，﹣x，|x|，，为元素所组成的集合最多含有( )
A.2个元素 B.3个元素 C.4个元素 D.5个元素
【举一反三2】以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有________个元素．
【举一反三3】已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值.1.1集合的概念
【知识点1】元素与集合的属于关系的应用 1
【知识点2】列举法表示集合 2
【知识点3】判断自然语言描述内容能否组成集合 2
【知识点4】集合的确定性、互异性、无序性 3
【知识点5】常用数集及其记法 3
【知识点6】判断元素与集合的属于关系 4
【知识点7】描述法表示集合 4
【题型1】列举法 5
【题型2】集合中元素确定性的应用 6
【题型3】集合表示法的综合应用 8
【题型4】元素与集合之间的关系 9
【题型5】有限集与无限集 11
【题型6】描述法 13
【题型7】集合中元素特征的综合应用 14
【题型8】集合中元素互异性和无序性的应用 16
【知识点1】元素与集合的属于关系的应用
元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a A．
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．
已知集合A={a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．
分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a=3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．
解答：解：因为3∈A，所以a+2=3或2a2+a=3…（2分）
当a+2=3时，a=1，…（5分）
此时A={3，3}，不合条件舍去，…（7分）
当2a2+a=3时，a=1（舍去）或，…（10分）
由，得，成立…（12分）
故…（14分）
点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．
【知识点2】列举法表示集合
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来即可．
方程3x2-x-2=0的解集用列举法表示为______．
解：解方程3x2-x-2=0，得x=1或，
故方程3x2-x-2=0的解集为．
故答案为：．
【知识点3】判断自然语言描述内容能否组成集合
判断自然语言描述内容能否组成集合是高中数学中集合概念的重要部分．集合是由某种特定性质确定的对象组成的整体，这些对象称为元素．自然语言描述内容能否组成集合，关键在于描述内容是否明确、具体．例如，描述“所有小于10的偶数”能组成集合，因为可以明确确定这些元素为2，4，6，8．而描述“所有美丽的花”则不能组成集合，因为“美丽”是主观的，缺乏明确标准．判断时，需要分析描述的内容是否具有唯一性和清晰性，以确保所有元素均能明确归类到该集合中．
在解题过程中，判断自然语言描述内容能否组成集合，通常需要以下步骤．首先，仔细阅读描述内容，确定其标准或特征．其次，检验这些标准是否具体明确，是否能对所有元素进行唯一判断．例如，描述“所有3的倍数小于20的数”能组成集合，因为这些元素可以明确列举为3，6，9，12，15，18．再者，通过反例验证描述内容的标准是否严谨，如描述“所有高个子的学生”因“高”定义不明确，无法组成集合．最后，综合判断描述内容是否具备形成集合的条件．
在高中数学考试中，关于判断自然语言描述内容能否组成集合的命题，常以简单明了的方式出现．这类题目主要考查学生对集合概念的理解和应用能力．例如，题目可能会给出一段描述，要求学生判断其能否组成集合并说明理由．题目可能描述“所有小于100的平方数”或“所有以字母A开头的英语单词”，学生需通过分析描述的明确性和唯一性进行判断．这类命题旨在培养学生的逻辑思维和严谨性，要求他们在阅读理解和分析推理方面具备一定的能力．通过这些练习，学生能够更好地掌握集合的基础知识．
【知识点4】集合的确定性、互异性、无序性
集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．
（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．
（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．
解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复．
本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集合相等，含参数的集合的讨论为主．
【知识点5】常用数集及其记法
数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集，记为R．
-
熟练掌握几个常见数集的符号与含义，能判断给出的数是否属于这些数集．
给出下列关系：（1）；（2）；（3）3.1 Z；（4）0 N．其中正确的个数为____．
解：（1）错误；（2）正确；（3）3.1 Z正确；（4）0 N错误．
故答案为：2．
【知识点6】判断元素与集合的属于关系
元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a A．
明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符号表示：用∈表示元素属于某集合，用 表示元素不属于某集合．
验证元素是否是集合的元素
已知集合A={x|x=m2-n2，m∈Z，n∈Z}．求证：
（1）3∈A；
（2）偶数4k-2（k∈Z）不属于A．
分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；
（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．
解答：解：（1）∵3=22-12，3∈A；
（2）设4k-2∈A，则存在m，n∈Z，使4k-2=m2-n2=（m+n）（m-n）成立，
1、当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数，
∴（m-n）（m+n）为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数，
∴（m-n）（m+n）为奇数，与4k-2是偶数矛盾．
综上4k-2 A．
点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．
【知识点7】描述法表示集合
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．
明确描述对象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述条件：描述条件要准确、简洁，通常用文字或符号来表示集合中的元素特征．统一标准：确保描述的方法能够唯一确定一个集合，避免模糊或歧义的描述．
直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为___．
解：直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为：{（x，y）|x＜0，y＞0}．
故答案为：{（x，y）|x＜0，y＞0}．
【题型1】列举法
【典型例题】把集合{x|x2－4x－5＝0}用列举法表示为( )
A.{x＝－1，x＝5} B.{x|x＝－1或x＝5} C.{x2－4x－5＝0} D.{－1,5}
【答案】D
【解析】根据题意，解x2－4x－5＝0可得x＝－1或5，用列举法表示为{－1,5}．
【举一反三1】已知集合，若，则中所有元素之和为（ ）
A.3 B.1 C. D.
【答案】C
【解析】若，则，矛盾；
若，则，矛盾，故，
解得（舍）或，
故，元素之和为，
故选：C.
【举一反三2】用列举法表示集合D＝{(x，y)，x∈N，y∈N|y＝－x2＋8}为________.
【答案】{(0，8)，(1，7)，(2，4)}
【解析】由已知得集合D为点集，结合元素的条件可知答案只有三组，列举可得答案.
【举一反三3】已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
【答案】解 ①若a＋3＝1，则a＝－2，，
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，a+3=3，，此时A＝{3,1,2}，满足题意；
当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，a+3=2，，
此时A＝{2,0,1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
【举一反三4】用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝－3x＋12上所有满足x∈N*，y∈N*的点所组成的集合．
【答案】解：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}．
(3)当x＝1时，y＝9；当x＝2时，y＝6；当x＝3时，y＝3，所以在直线y＝－3x＋12上满足x∈N*，y∈N*所有点组成的集合为{(1，9)，(2，6)，(3，3)}．
【题型2】集合中元素确定性的应用
【典型例题】下列给出的对象中能构成集合的是( )
A.著名的物理学家 B.很大的数 C.聪明的人 D.小于3的实数
【答案】D
【解析】只有D项有明确的标准，能构成一个集合.
【举一反三1】下列对象能构成集合的是（ ）
A.本班成绩较好的同学全体
B.与10接近的实数全体
C.绝对值小于5的整数全体
D.本班兴趣广泛的学生
【答案】C
【解析】对于A，成绩较好不是一个确定的概念，不能构成集合，故A不符合；
对于B，与10接近的不是一个确定的概念，不能构成集合，故B不符合；
对于C，绝对值小于5的整数全体是个明确的概念，并且给定一个元素能确定是否属于这个整体，故能构成集合，故C符合；
对于D，兴趣广泛的不是一个确定的概念，不能构成集合，故D不符合.
故选：C.
【举一反三2】下列对象中，能构成集合的是( )
A.一切很大的数
B.好心人
C.漂亮的小女孩
D.方程x2－1＝0的实数根
【答案】D
【解析】选项ABC中的都没有明确的标准，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合，选项D中方程x2－1＝0的实数根是x=1或x=-1，是确定的，能构成集合．
【举一反三3】下列对象不能组成集合的是（ ）
A.不超过 20的偶数
B.π的近似值
C.方程的实数根
D.最小的正整数
【答案】B
【解析】对A，不超过20的偶数是确定的，可以组成集合；
对B，π的近似值无法确切取到，不能组成集合；
对C，方程的实数根是确定的，就是1，可以组成集合；
对D，最小的正整数是确定的，是1，可以组成集合，
故选：B.
【举一反三4】考察下列每组对象能否构成一个集合：
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某校2022年在校的所有矮个子同学；
(4)的近似值的全体.
【答案】解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合，方程只有两个实根3和－3；
(3)“矮个子”无明确的标准，对于某个人算不算矮个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.
【举一反三5】判断下列元素的全体是否能组成集合，并说明理由：
(1)平面上到∠AOB两边等距离的点；
(2)高中学生中的灌篮高手．
【答案】解 (1)到∠AOB两边等距离的点在∠AOB的角平分线上，故元素是明确的，可以组成集合．
(2)对于灌篮高手，概念模糊，无法明确界定，故不能组成集合．
【题型3】集合表示法的综合应用
【典型例题】设P＝{1,2,3,4}，Q＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为( )
A.4 B.5 C.19 D.20
【答案】C
【解析】由题意知集合P*Q的元素为点，当a＝1时，集合P*Q的元素为(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，共5个元素．同样当a＝2,3时，集合P*Q的元素个数都为5，当a＝4时，集合P*Q中元素为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，共4个．因此P*Q中元素的个数为5×3+4=19.
【举一反三1】集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
【答案】B
【解析】∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，
∴x＝1,2,3,4.
∴可用列举法表示集合为{1,2,3,4}.
【举一反三2】若集合A＝{－1,2}，B＝{0,1}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】B
【解析】∵集合A＝{－1,2}，B＝{0,1}，集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}，
∴当x＝－1，y＝0时，可得z＝－1，当x＝－1，y＝1时，可得z＝0，
当x＝2，y＝0时，可得z＝2，当x＝2，y＝1时，可得z＝3，
∴集合z的元素有－1,0,2,3，共4个元素．
【举一反三3】设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________．
【答案】{－1,4}
【解析】∵4∈A，∴将x=4代入方程-3x+a=0得，16－12＋a＝0，
∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．
【举一反三4】选择适当的方法表示下列集合．
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝x＋6图象上所有点组成的集合；
(4)满足方程x＝|x|，x∈Z的所有x的值构成的集合．
【答案】解：(1)绝对值不大于3的整数有－3，－2，－1，0，1，2，3共7个，用列举法表示为{－3，－2，－1，0，1，2，3}．
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是x1＝，x2＝－2，用列举法表示为.
(3)一次函数y＝x＋6图象上有无数个点．用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}．
(4)用描述法表示为{x|x＝|x|，x∈Z}．
【题型4】元素与集合之间的关系
【典型例题】已知a∈{0，1，2，3}，且a {0，1，2}，则a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【解析】由元素与集合的关系知，a＝3.
【举一反三1】设不等式3－2x<0的解集为M，则下列关系中正确的是( )
A.0∈M,2∈M B.0 M,2∈M C.0∈M,2 M D.0 M,2 M
【答案】B
【解析】本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0 M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M.
【举一反三2】（2023·湖南省长沙市德城学校期中）集合，若，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以，若，则可得或2，
当时，，不满足互异性，舍去，
当时，，满足题意；
若，则，此时，不满足互异性，舍去；
综上
故答案为：．
【举一反三3】设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，.
（2）解：，A，，且，，，
故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合.
（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.
【举一反三4】设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
【答案】解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．
【题型5】有限集与无限集
【典型例题】设集合A＝{周长为4 cm的正方形}，B＝{面积为4 cm2的长方形}，则正确的是（ ）
A.A，B都是有限集
B.A，B都是无限集
C.A是无限集，B是有限集
D.A是有限集，B是无限集
【答案】D
【解析】集合A：周长为4 cm的正方形，可以解得边长1cm，这样的正方形只有1个．
所以为有限集．
集合B：面积为4 cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个，
所以为无限集．
故选：D．
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A.，，，是两个集合
B.中有两个元素
C.是有限集
D.是空集
【答案】C
【解析】在中，由集合中元素的无序性，
得到，，，是同一个集合，故错误；
在中，中有一个元素，故错误；
在中，，2，3，，是有限集，故正确；
在中，，，不是空集，故错误.
故选：.
【举一反三2】以下集合为有限集的是（ ）
A. 由大于10的所有自然数组成的集合
B. 平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P组成的集合
C. 由24与30的所有公约数组成的集合
D. 由24与30的所有公倍数组成的集合
【答案】C
【解析】对于A：大于10的所有自然数，有无数个满足条件的自然数，所以选项A不合题意；
对于B：满足题意点的轨迹是以点O为圆心，以l为半径的圆，
即满足条件的点是圆上的点，而圆上有无数个点，所以选项B不合题意；
对于C：24与30的公约数有：1、2、3、6．共有4个，所以选项C满足题意；
对于D：设，则m是24与30的公倍数，
所以24与30的公倍数有无数个，选项D不合题意．
故选：C．
【举一反三3】有下列集合：
5的负整数倍的全体组成的集合；
②2022的正约数的全体组成的集合；
③2021年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合；
④给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合；
⑤末位是7的全体自然数组成的集合.
其中是有限集的序号为______，是无限集的序号为______.
【答案】②③ ①④⑤
【解析】①由于负整数集是无限集，所欲5的负整数倍的全体组成的集合是无限集，
②由于，所以2022的正约数的全体组成的集合是有限集，
③2021年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合，显然是有限集，
④由于圆的直径有无数条，所以给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合是无限集，
⑤末位是7的全体自然数组成的集合，显然是无有限集.
故答案为：②③；①④⑤.
【举一反三4】判断下列集合是有限集还是无限集：
（1）；
（2）；
（3）（A，B为平面上两个不同的定点，P为动点）.
【答案】解 （1）因为
所以集合A中的元素为，所以集合A是有限集；
（2）因为中的元素有无限个元素，
所以集合是无限集；
（3）因为表示线段AB上的点组成的集合，线段AB上有无数个点，
所以集合为无限集.
【题型6】描述法
【典型例题】集合{x∈N*|x－2≤1}的另一种表示法是( )
A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} C.{0,1,2,3,4} D.{1,2,3,4}
【答案】B
【解析】因为x－2≤1，x∈N*，所以x≤3，x∈N*，从而x＝1,2,3.
【举一反三1】集合M＝的元素个数是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】A
【解析】因为M＝，所以当x＝0时，y＝＝ N；当x＝1时，y＝＝2∈N；当x＝2时，y＝＝ N；当x＝3时，y＝＝ N；当x＝4时，y＝＝ N；当x＝5时，y＝＝1∈N；当x≥6时，y＝<1，因为y≠0，所以y N.综上所述，集合M＝＝{2,1}，元素个数是2.故选A.
【举一反三2】不等式4x－5＜3的解集用集合表示为________．
【答案】{x|x＜2}
【解析】由4x－5＜3得x＜2.所以不等式4x－5＜3的解集用集合表示为{x|x＜2}．
【举一反三3】已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值.
【答案】解 当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，原方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
故Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意.
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，
此时A中只有一个元素.
【题型7】集合中元素特征的综合应用
【典型例题】已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【答案】D
【解析】因为集合中的元素具有互异性，
所以l，m，n互不相等，又l，m，n分别是△ABC的三边长，所以△ABC一定不是等腰三角形．故选D.
【举一反三1】给出下列说法：
①在一个集合中可以找到两个相同的元素；
②好听的歌能组成一个集合；
③高一(3)班所有姓氏能构成集合；
④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.
其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】①错误，集合中的元素是互不相同的；②错误，好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合；
③正确，高一(3)班的姓氏是确定的，所以能构成集合；
④错误，因为集合中的元素满足无序性，故由1，2，3三个元素只能组成一个集合.
【举一反三2】设a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝，则a－b＝________．
【答案】－2
【解析】因为{1，a＋b，a}中含有元素0，a≠0，所以a＋b＝0，所以＝{0，－1，b}．由已知{1，a＋b，a}＝，得{1，0，a}＝{0，－1，b}，所以a＝－1，b＝1，a－b＝－2.
【举一反三3】已知不等式x－a≥0的解组成的集合为A，若3 A，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为3 A，所以3是不等式x－a<0的解，
所以3－a<0，解得a>3.故实数a的取值范围是.
【举一反三4】已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．
(1)若1∈A，求实数a的值；
(2)若A为单元素集合，求实数a的值；
(3)若A为双元素集合，求实数a的取值范围．
【答案】解 (1)∵1∈A，∴a×12－3×1＋1＝0，∴a＝2.
(2)当a＝0时，-3x+1=0，∴x＝，满足题意；
当a≠0时，对于方程ax2-3x＋1＝0，Δ＝(－3)2－4a＝0，
∴a＝，满足题意，
∴当a＝0或时，A为单元素集合．
(3)当a≠0时，且对于方程ax2-3x＋1＝0，Δ＝(－3)2－4a>0，即a<且a≠0时，方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，此时A为双元素集合，当a=0时，由(2)可知，此时A为单元素集合，不符合题意.∴a的取值范围为.
【举一反三5】已知集合
（1）若，求实数k的取值范围；
（2）若集合A中的元素至少有一个，求实数k的取值范围.
【答案】解：（1）若，二次函数的图象与轴没有交点，
则有，解得.
（2）若集合A中的元素至少有一个，
则有，解得.
【题型8】集合中元素互异性和无序性的应用
【典型例题】方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数根组成的集合为M，则M中的元素个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】解方程x2＋2x－8＝0得x=2或x=-4，解方程x2＋x－12＝0得x=3或x=-4，故这两个方程的实数根分别是2，－4和3，－4，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数根组成的集合M中含有2，-4，3共3个元素．
【举一反三1】以实数x，﹣x，|x|，，为元素所组成的集合最多含有( )
A.2个元素 B.3个元素 C.4个元素 D.5个元素
【答案】A
【解析】由题意可知：，=-x，
并且|x|=±x
所以，以实数x，﹣x，|x|，，为元素所组成的集合最多含有x，﹣x，两个元素．
故选：A．
【举一反三2】以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有________个元素．
【答案】3
【解析】方程x2－5x＋6＝0的根是2,3，方程x2－x－2＝0的根是－1,2.根据集合中元素的互异性知，以这两个方程的根为元素的集合中有2，3，-1共3个元素．
【举一反三3】(2023·河北省保定市期中)已知则实数的值为_____________.
【答案】5
【解析】因为，
当时，那么，不满足集合元素的互异性，不符合题意，
当时，，此时集合为符合题意，
所以实数的值为.
故答案为：．
【举一反三4】已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值.
【答案】解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，，符合集合中元素的互异性，∴a＝－.
