1.2集合间的基本关系
【知识点1】子集的个数 1
【知识点2】判断两个集合是否相同 2
【知识点3】空集及空集的性质 2
【知识点4】两个集合相等的应用 3
【知识点5】判断两个集合的包含关系 4
【知识点6】子集的判断与求解 4
【知识点7】集合的包含关系的应用 5
【知识点8】Venn图表集合的包含关系 6
【题型1】集合的真子集个数 7
【题型2】由集合间的关系求参数的值或范围 8
【题型3】判断两个集合的真包含关系 10
【题型4】根据两个集合相等求参数 12
【题型5】判断两个集合的包含关系(子集) 13
【题型6】集合相等 14
【题型7】判断两个集合是否相等 16
【题型8】集合的子集个数 18
【题型9】Venn图 19
【题型10】空集的判断和运用 20
【知识点1】子集的个数
1、子集真子集定义：如果集合A B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
2、一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n-1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．
公式计算：若一个集合有n个元素，则它的子集个数为2^n．理解幂集：幂集是一个集合的所有子集组成的集合．
已知集合A={x|-1≤x+1≤6}，当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．
解：当x∈Z时，A={x|-2≤x≤5}={-2，-1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，
∴A的非空真子集的个数为28-2=254个；
【知识点2】判断两个集合是否相同
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B．就是如果A B，同时B A，那么就说这两个集合相等，记作 A=B．
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．元素一一对应：两个集合相同，需确保每个元素都在两个集合中出现，且没有遗漏．直接对比：对于简单集合，可以直接对比元素列举是否完全一致．
下列集合中相等的集合是（ ）
①{x|y=+1}；
②{y|y=+1}；
③{（x，y）|y=+1}；
④{s|s=t2+1}．
解：①{x|y=+1}={x|x≥0}；
②{y|y=+1}={y|y≥1}；
③{（x，y）|y=+1}={（x，y）|}；
④{s|s=t2+1}={s|s≥1}．
∴相等的集合是②④．
【知识点3】空集及空集的性质
1、空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作 ．空集的性质：空集是一切集合的子集．
2、注意：
空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点．
将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；
袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的．
例如：{x|x2+1=0，x∈R}= ．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集．
3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
解答与空集有关的问题，例如集合A∩B=B B A，实际上包含3种情况：
①B= ；
②B A且B≠ ；
③B=A；往往遗漏B是 的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先
考虑空集．
一般情况下，多与集合的基本运算联合命题，是学生容易疏忽、出错的地方，考查分析问题解决问题的细心程度，难度不大，可以在选择题、填空题、简答题中出现．
【知识点4】两个集合相等的应用
对于两个有限数集A=B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：
①两个集合的元素个数相等；
②两个集合的元素之和相等；
③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．
已知集合A={0，2，4}，．若A=B，则实数n的值为（ ）
解：由题意，得m+n=0或，
当m+n=0时，，即m=2n+4，
故2n+4+n=0，解得，
故，所以B={4，0，2}，满足题意；
当时，m+n=2，解得n=2，
所以n=2或．
【知识点5】判断两个集合的包含关系
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A B；
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系．
已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，则（ ）
A．A＞B
B．B∈A
C．A B
D．B A
解：由题意可得，B A．
故选：D．
【知识点6】子集的判断与求解
1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．
记作：A B（或B A）．
2、真子集是对于子集来说的．
真子集定义：如果集合A B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，3} {1，2，3，4}
{1，2，3，4} {1，2，3，4}
定义子集：A是B的子集，当且仅当A中的每一个元素都在B中．
验证元素：逐个检查A中的元素是否在B中．符号表示：用 表示子集关系，若A是B的子集，记为A B．
本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．
【知识点7】集合的包含关系的应用
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
设m为实数，集合A={x|-3≤x≤2}，B={x|m≤x≤2m-1}，满足B A，则m的取值范围是_____．
解：∵集合A={x|-3≤x≤2}，B={x|m≤x≤2m-1}，且B A，
∴当m＞2m-1时，即m＜1时，B= ，符合题意；
当m≥1时，可得，解得．
综上所述，，即m的取值范围是．
故答案为：．
【知识点8】Venn图表集合的包含关系
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．
Venn图表示如下：
明确集合：了解每个集合的元素和定义．绘制圆圈：使用圆圈表示集合，每个集合一个圆圈．包含关系：一个集合完全包含于另一个集合，用一个圆圈完全包含另一个圆圈表示．
下列表示集合M={x|x2-4=0}和关系的Venn图中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：集合M={x|x2-4=0}={-2，2}，={1，-1，2，-2}，
则M N．
故选：D．
【题型1】集合的真子集个数
【典型例题】已知集合A＝{x,1}，B＝{y,1,2,4}，且A是B的真子集．若实数y在集合{0,1,2,3,4}中，则不同的集合{x，y}共有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【答案】A
【解析】分析知x≠y.由A是B的真子集，得x＝2或x＝4.
由y在集合{0,1,2,3,4}中及集合中元素的互异性，得y＝0或y＝3，即x＝2，y＝0或x＝2，y＝3或x＝4，y＝0或x＝4，y＝3，故集合{x，y}的所有可能情况为{2,0}，{2,3}，{4,0}，{4,3}，共4个，故选A.
【举一反三1】已知集合A＝{x|x2－mx＋＝0}有两个非空真子集，则实数m的取值范围为( )
A.{m|m>4} B.{m|m<0或m>4} C.{m|m≥4} D.{m|m≤0或m>4}
【答案】A
【解析】由集合A＝{x|x2－mx＋＝0}有两个非空真子集，知关于x的方程x2－mx＋＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0，且Δ＝m2－4·>0，
即m2－4m>0，且m>0，
∴m>4，即实数m的取值范围为{m|m>4},故选A.
【举一反三2】已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A.8 B.7 C.4 D.3
【答案】B
【解析】，
，，
∴，它是真子集有7个．
故选：B．
【举一反三3】定义集合运算：.已知集合，则集合有______个真子集.
【答案】15
【解析】由题
因为，
所以，则集合有个真子集.
【举一反三4】集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________．
【答案】{(1,2)}，{(－3,4)}
【解析】{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有 ，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．
【举一反三5】写出满足{3,4}P {0,1,2,3,4}的所有集合P.
【答案】解 由题意知，集合P中一定含有元素3,4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．
【题型2】由集合间的关系求参数的值或范围
【典型例题】已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
∵，
∴，所以N分为空集和非空集合来讨论
当时，有，解得，
当时，有，解得，
当时，有，方程组无解，
当时，有，所以，方程组无解，
综上所述，实数的取值集合为.
故选：C.
【举一反三1】设集合，，满足，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】已知，，且.
那么中最大元素需满足，
可得，即.
故选：C．
【举一反三2】已知集合A＝{x|x<－1，或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，若B A，则实数p的取值范围是________.
【答案】{p|p≥4}
【解析】集合A＝{x|x<－1，或x>2}，
B＝{x|4x＋p<0}＝，
若B A，则－≤－1，p≥4，
则实数p的取值范围是{p|p≥4}.
【举一反三3】（2023·湖南省长沙市长郡中学期中）设全集集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）因为，所以，解得，所以，
又因为，
所以或，或．
（2）当时，，因为，所以，解得；
当时，，此时成立；
当时，，因为，所以，解得，
综上所述，的取值范围是．
【题型3】判断两个集合的真包含关系
【典型例题】集合的真子集的个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】由于，因此，所以集合的真子集有：，个数是．
故选：A.
【举一反三1】已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，
由，，
所以或，
而，
当时，,
当时，；
其中分子都表示奇数，所以.
故选：A.
【举一反三2】用适当的符号填空：
(1)a {a,b,c};
(2)0____
(3) ;
(4){0,1} N;
(5){0}____{}；
(6){2,1}___{}
【答案】(1)∈ (2)∈ (3)= (4) (5) (6)=
【举一反三3】选用适当的符号填空：
(1)若集合A={x|2x-3<3x},B={x|x≥2},则
-4 B,-3 A,{2} B,B A;
(2)若集合{}，则
1 A,{-1} A, A,{1,-1} A;
(3){x|x是菱形} {x|x是平行四边形};
{x|x是等腰三角形} {x|x是等边三角形}.
【答案】(1) ; ;; (2)∈;;;= (3);
【举一反三4】在平面直角坐标系中，集合C={(x，y)|y=x}表示直线y=x，从这个角度看，集合表示什么 集合C，D之间有什么关系
【答案】解 集合D表示直线与直线4y=5的交点(1，1)组成的集合，而(1，1)在直线y=x上，∴DC.
【举一反三5】判断下列两个集合之间的关系：
(1)A={x|x<0},B={x|x<1};
(2)A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6z,z∈N};
(3)A={x∈N+|x是4与10的公倍数},B={x|x=20m,m∈N+}.
【答案】解 (1)AB.
(2)A={x|x=3k，k∈N}是由自然数中3 的倍数构成的集合，B={x|x=6z，z∈N} 是由自然数中6的倍数构成的集合，6的倍数一定是3的倍数，但3的倍数不一定是6的倍数，∴AB.
(3)4和10的公倍数是20的倍数，因而A={是4与10的公倍数}{是20的倍数}{}
【题型4】根据两个集合相等求参数
【典型例题】已知集合，且，则（ ）
A. B. 1 C. D. 0
【答案】A
【解析】因为，所以.
解得.
【举一反三1】若，则的值为（ ）
A. B.3 C. D.7
【答案】C
【解析】因为，
所以，解得，
所以.
故选：C.
【举一反三2】，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据集合中元素的互异性，，而，只好，
于是.则 .
故选：C.
【举一反三3】，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据集合中元素的互异性，，而，只好，
于是.则 .
故选：C.
【举一反三4】已知集合，且，则（ ）
A. B. 1 C. D. 0
【答案】A
【解析】因为，所以.
解得.
【题型5】判断两个集合的包含关系(子集)
【典型例题】已知集合A={0，1，2}，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】“”是用于表示集合与集合之间的包含关系，而0是一个元素，不是集合，不能用来表示，所以选项A错误.
“”用于表示元素与集合之间的属于关系，0是集合 A={0，1，2}中的一个元素，所以，选项B正确.
“”用于元素与集合的关系，是一个集合，所以表示是错误的，应该是，选项C错误.
因为空集是任何集合的子集，所以应该是，而不是，选项D错误.
正确答案为B
【举一反三1】设集合M＝{1，2，3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )
A.N∈M B.N M C.N M D.N M
【答案】D
【举一反三2】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x＜8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C．
【答案】(1)＝ (2) (3) (4)∈
【解析】集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x＜8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A C；(3){2} C；(4)2∈C.
【举一反三3】设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是________．
【答案】B A
【解析】因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故B A.
【举一反三4】判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：
(1)A＝{1,2,3}，B＝{x|x是8的约数}；
(2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．
【答案】解 (1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．
(2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．
【举一反三5】判断下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)M＝{x|x＝2n，n∈N*}，N＝{x|x＝4n，n∈N*}；
(3)集合P＝{x|y＝x2}，集合Q＝{y|y＝x2}．
【答案】解：(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)由列举法知M＝{2，4，6，8，…}，N＝{4，8，12，16，…}，故N M.
(3)因为P＝{x|y＝x2}＝R，Q＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，所以Q P.
【题型6】集合相等
【典型例题】已知集合A＝，B＝，C＝，下列结论正确的是( )
A.A＝B B.A＝C C.B＝C D.A＝B＝C
【答案】A
【解析】∵A＝={x|x≠0}，B＝={y|y≠0}，C=表示曲线y＝上的点形成的集合，∴A＝B.
【举一反三1】给出以下集合，其中是相等集合的有( )
A.M＝{(－5,3)}，N＝{－5,3}
B.M＝ ，N＝{0}
C.M＝{π}，N＝{3.141 5}
D.M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}
【答案】D
【解析】对于A，M＝{(－5,3)}中只有一个元素(－5,3)，
N＝{－5,3}中有两个元素－5,3，故M，N不是相等的集合；
对于B，M＝ ，N＝{0}，M是空集，N中有一个元素0，故M，N不是相等的集合；
对于C，M＝{π}，N＝{3.141 5}，M和N中各有一个元素，但元素不相同，故M，N不是相等的集合；
对于D，解一元二次方程可得，M和N都只有两个元素1,2，所以M和N是相等的集合．故选D.
【举一反三2】已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( )
A.PM B.MP C.M＝P D.M∈P
【答案】C
【解析】∵∴∴M＝P.
【举一反三3】已知集合M＝{－1,3,2m－1}，集合N＝{3，m2}，若N M，则实数m＝________.
【答案】1
【解析】依题意，知当N M时，m2＝－1或m2＝2m－1，又因为m2≥0，所以m2＝2m－1，
解得m＝1，经检验满足题意．
【举一反三4】设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x|x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，则a＝________，b＝________.
【答案】0 1
【解析】A＝{1，a}，解方程x(x－a)(x－b)＝0，
得x＝0或x＝a或x＝b，若A＝B，
则a＝0，b＝1，经检验，满足题意.
【举一反三5】设 ，集合，且，求实数的值．
【答案】解：，，且，
，
解得或 .
【举一反三6】集合，，若，求x，y的值.
【答案】解：若，则或，
解得或（舍），所以，.
【题型7】判断两个集合是否相等
【典型例题】下列各组两个集合和表示同一集合的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】A选项中集合中的元素为无理数，而中的元素为有理数，故；
B选项中集合中的元素为实数，而中的元素为有序数对，故；
C选项中因为，则集合故；
D选项中集合中的元素为0，1，而中的元素为1，故．
故选：C．
【举一反三1】下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】B
【解析】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确；
对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确；
对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确；
对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确．
故选：B．
【举一反三2】已知集合，，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵是单元素集，集合中的元素是，
，
，
，集合中的元素是点，
.
∴.
故选：D.
【举一反三3】下列各组两个集合和表示同一集合的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】A选项中集合中的元素为无理数，而中的元素为有理数，故；
B选项中集合中的元素为实数，而中的元素为有序数对，故；
C选项中因为，则集合故；
D选项中集合中的元素为0，1，而中的元素为1，故．
故选：C．
【题型8】集合的子集个数
【典型例题】已知集合A＝{(x，y)|4x＋3y－12＜0，x∈N*，y∈N*}，则集合A的子集的个数为( )
A.3 B.4 C.7 D.8
【答案】D
【解析】用列举法表示集合A，得A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，则集合A的子集的个数为23＝8.
【举一反三1】（2023·江苏省扬州市高邮市月考）设集合，集合，则的子集个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】由题意可知，有三个元素，
故其子集的个数为个.
故选：D.
【举一反三2】已知非空集合P满足：(1)P {1，2，3，4，5}；(2)若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为________.
【答案】7
【解析】由a∈P，6－a∈P，且P {1，2，3，4，5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1，5同时选，2，4时同选，3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}，共7个.
【举一反三3】已知集合A {0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．
【答案】6
【解析】集合{0,1,2}的子集为 ，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有{0}，{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，{0,1}，共6个．
【举一反三4】已知集合A＝{x∈R|ax2－3x－4＝0}．
(1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围．
【答案】解 (1)由于A中有两个元素，
∴关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，
∴Δ＝9＋16a>0，且a≠0，即a>－，且a≠0.
故实数a的取值范围是.
(2)集合A最多有两个子集即A中至多有一个元素，
即方程ax2－3x－4＝0无解或只有一解，
当a＝0时，方程为－3x－4＝0，解得x＝－，集合A＝；
当a≠0时，若关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个相等的实数根，则A中只有一个元素，此时a＝－；
若关于x的方程ax2－3x－4＝0没有实数根，则A中没有元素，此时a<－.
综上可知，实数a的取值范围是.
【举一反三5】已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
【答案】解 ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
∴A的子集有：，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
【题型9】Venn图
【典型例题】下列表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2－x＝0}的关系的Venn图正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由x2－x＝0，解得x=1或x=0，所以N＝{1,0}，又因为M＝{－1,0,1}，所以N M.故选B.
【举一反三1】下列各选项中，表示M N的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由M N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中．
【举一反三2】已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是( )
A.{2，4，5} B.{1，2，5} C.{1，6} D.{1，3}
【答案】D
【解析】由题图可知B A.由A＝{1，2，3}，结合选项可知{1，3} A，故选D.
【举一反三3】下列各选项中，表示M N的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由M N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中．
【题型10】空集的判断和运用
【典型例题】下列四个集合中，是空集的是( )
A.{x|x＋3＝3}
B.{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}
C.{x|x2≤0}
D.{x|x2－x＋1＝0，x∈R}
【答案】D
【解析】A项，{x|x+3=3}＝{0}，不是空集，
B项，{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}＝{0,0}，不是空集；
C项，{x|x2≤0}＝{0}，不是空集，D项，∵x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3<0，方程无解，
∴{x|x2－x＋1＝0，x∈R}＝ ，故选D.
【举一反三1】下列集合中为空集的是( )
A.{x∈N|x2≤0} B.{x∈R|x2－1＝0} C.{x∈R|x2＋x＋1＝0} D.{0}
【答案】C
【解析】A项，{x∈N|x2≤0}＝{0}，不是空集；
B项，{x∈R|x2－1＝0}＝{－1,1}，不是空集；
C项，{x∈R|x2＋x＋1＝0}，
因为方程x2＋x＋1＝0判别式Δ=1-4=-3<0,所以无实数解，所以该集合是空集；
D项，{0}显然不是空集．
【举一反三2】下列表述中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】不包含任何元素，故中含有元素0，错误；
为点集，为数集，故，B错误；
是集合中的一个元素，即，C错误；
表示自然数集，故，D正确.
故选：D.
【举一反三3】不等式组的解集为，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】∵不等式组的解集为，
①当时，由求得；由，求得，
故不等式组的解集为，故不满足条件；
②当时，由求得；由，求得，
若，即时，不等式组的解集为，满足条件；
若，即时，不等式组的解集为，不满足条件，
综上可得实数的取值范围是，
故答案为：．
【举一反三4】关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由题意得：，所以．
故答案为：.
【举一反三5】已知集合.
（1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围；
（2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值.
【答案】解 （1）因为集合A的子集只有一个，
则，即方程无实数根，
于是得，即，解得，
所以实数a的取值范围为；
（2）因为集合A中有且只有一个元素，
则方程只有一个实数根或者两个相等实根，
当时，集合满足题意，则，
当时，则，，集合满足题意，即，
所以实数a的值为0或1.1.2集合间的基本关系
【知识点1】子集的个数 1
【知识点2】判断两个集合是否相同 2
【知识点3】空集及空集的性质 2
【知识点4】两个集合相等的应用 3
【知识点5】判断两个集合的包含关系 4
【知识点6】子集的判断与求解 4
【知识点7】集合的包含关系的应用 5
【知识点8】Venn图表集合的包含关系 6
【题型1】集合的真子集个数 7
【题型2】由集合间的关系求参数的值或范围 7
【题型3】判断两个集合的真包含关系 8
【题型4】根据两个集合相等求参数 8
【题型5】判断两个集合的包含关系(子集) 9
【题型6】集合相等 10
【题型7】判断两个集合是否相等 10
【题型8】集合的子集个数 11
【题型9】Venn图 11
【题型10】空集的判断和运用 12
【知识点1】子集的个数
1、子集真子集定义：如果集合A B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
2、一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n-1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．
公式计算：若一个集合有n个元素，则它的子集个数为2^n．理解幂集：幂集是一个集合的所有子集组成的集合．
已知集合A={x|-1≤x+1≤6}，当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．
解：当x∈Z时，A={x|-2≤x≤5}={-2，-1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，
∴A的非空真子集的个数为28-2=254个；
【知识点2】判断两个集合是否相同
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B．就是如果A B，同时B A，那么就说这两个集合相等，记作 A=B．
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．元素一一对应：两个集合相同，需确保每个元素都在两个集合中出现，且没有遗漏．直接对比：对于简单集合，可以直接对比元素列举是否完全一致．
下列集合中相等的集合是（ ）
①{x|y=+1}；
②{y|y=+1}；
③{（x，y）|y=+1}；
④{s|s=t2+1}．
解：①{x|y=+1}={x|x≥0}；
②{y|y=+1}={y|y≥1}；
③{（x，y）|y=+1}={（x，y）|}；
④{s|s=t2+1}={s|s≥1}．
∴相等的集合是②④．
【知识点3】空集及空集的性质
1、空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作 ．空集的性质：空集是一切集合的子集．
2、注意：
空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点．
将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；
袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的．
例如：{x|x2+1=0，x∈R}= ．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集．
3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
解答与空集有关的问题，例如集合A∩B=B B A，实际上包含3种情况：
①B= ；
②B A且B≠ ；
③B=A；往往遗漏B是 的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先
考虑空集．
一般情况下，多与集合的基本运算联合命题，是学生容易疏忽、出错的地方，考查分析问题解决问题的细心程度，难度不大，可以在选择题、填空题、简答题中出现．
【知识点4】两个集合相等的应用
对于两个有限数集A=B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：
①两个集合的元素个数相等；
②两个集合的元素之和相等；
③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．
已知集合A={0，2，4}，．若A=B，则实数n的值为（ ）
解：由题意，得m+n=0或，
当m+n=0时，，即m=2n+4，
故2n+4+n=0，解得，
故，所以B={4，0，2}，满足题意；
当时，m+n=2，解得n=2，
所以n=2或．
【知识点5】判断两个集合的包含关系
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A B；
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系．
已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，则（ ）
A．A＞B
B．B∈A
C．A B
D．B A
解：由题意可得，B A．
故选：D．
【知识点6】子集的判断与求解
1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．
记作：A B（或B A）．
2、真子集是对于子集来说的．
真子集定义：如果集合A B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，3} {1，2，3，4}
{1，2，3，4} {1，2，3，4}
定义子集：A是B的子集，当且仅当A中的每一个元素都在B中．
验证元素：逐个检查A中的元素是否在B中．符号表示：用 表示子集关系，若A是B的子集，记为A B．
本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．
【知识点7】集合的包含关系的应用
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
设m为实数，集合A={x|-3≤x≤2}，B={x|m≤x≤2m-1}，满足B A，则m的取值范围是_____．
解：∵集合A={x|-3≤x≤2}，B={x|m≤x≤2m-1}，且B A，
∴当m＞2m-1时，即m＜1时，B= ，符合题意；
当m≥1时，可得，解得．
综上所述，，即m的取值范围是．
故答案为：．
【知识点8】Venn图表集合的包含关系
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．
Venn图表示如下：
明确集合：了解每个集合的元素和定义．绘制圆圈：使用圆圈表示集合，每个集合一个圆圈．包含关系：一个集合完全包含于另一个集合，用一个圆圈完全包含另一个圆圈表示．
下列表示集合M={x|x2-4=0}和关系的Venn图中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：集合M={x|x2-4=0}={-2，2}，={1，-1，2，-2}，
则M N．
故选：D．
【题型1】集合的真子集个数
【典型例题】已知集合A＝{x,1}，B＝{y,1,2,4}，且A是B的真子集．若实数y在集合{0,1,2,3,4}中，则不同的集合{x，y}共有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【举一反三1】已知集合A＝{x|x2－mx＋＝0}有两个非空真子集，则实数m的取值范围为( )
A.{m|m>4} B.{m|m<0或m>4} C.{m|m≥4} D.{m|m≤0或m>4}
【举一反三2】已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A.8 B.7 C.4 D.3
【举一反三3】定义集合运算：.已知集合，则集合有______个真子集.
【举一反三4】集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________．
【举一反三5】写出满足{3,4}P {0,1,2,3,4}的所有集合P.
【题型2】由集合间的关系求参数的值或范围
【典型例题】已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）.
A. B. C. D.
【举一反三1】设集合，，满足，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知集合A＝{x|x<－1，或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，若B A，则实数p的取值范围是________.
【举一反三3】（2023·湖南省长沙市长郡中学期中）设全集集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【题型3】判断两个集合的真包含关系
【典型例题】集合的真子集的个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【举一反三1】已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】用适当的符号填空：
(1)a {a,b,c};
(2)0____
(3) ;
(4){0,1} N;
(5){0}____{}；
(6){2,1}___{}
【举一反三3】选用适当的符号填空：
(1)若集合A={x|2x-3<3x},B={x|x≥2},则
-4 B,-3 A,{2} B,B A;
(2)若集合{}，则
1 A,{-1} A, A,{1,-1} A;
(3){x|x是菱形} {x|x是平行四边形};
{x|x是等腰三角形} {x|x是等边三角形}.
【举一反三4】在平面直角坐标系中，集合C={(x，y)|y=x}表示直线y=x，从这个角度看，集合表示什么 集合C，D之间有什么关系
【举一反三5】判断下列两个集合之间的关系：
(1)A={x|x<0},B={x|x<1};
(2)A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6z,z∈N};
(3)A={x∈N+|x是4与10的公倍数},B={x|x=20m,m∈N+}.
【题型4】根据两个集合相等求参数
【典型例题】已知集合，且，则（ ）
A. B. 1 C. D. 0
【举一反三1】若，则的值为（ ）
A. B.3 C. D.7
【举一反三2】，且，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】，且，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】已知集合，且，则（ ）
A. B. 1 C. D. 0
【题型5】判断两个集合的包含关系(子集)
【典型例题】已知集合A={0，1，2}，那么（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】设集合M＝{1，2，3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )
A.N∈M B.N M C.N M D.N M
【举一反三2】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x＜8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C．
【举一反三3】设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是________．
【举一反三4】判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：
(1)A＝{1,2,3}，B＝{x|x是8的约数}；
(2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．
【举一反三5】判断下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)M＝{x|x＝2n，n∈N*}，N＝{x|x＝4n，n∈N*}；
(3)集合P＝{x|y＝x2}，集合Q＝{y|y＝x2}．
【题型6】集合相等
【典型例题】已知集合A＝，B＝，C＝，下列结论正确的是( )
A.A＝B B.A＝C C.B＝C D.A＝B＝C
【举一反三1】给出以下集合，其中是相等集合的有( )
A.M＝{(－5,3)}，N＝{－5,3}
B.M＝ ，N＝{0}
C.M＝{π}，N＝{3.141 5}
D.M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}
【举一反三2】已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( )
A.PM B.MP C.M＝P D.M∈P
【举一反三3】已知集合M＝{－1,3,2m－1}，集合N＝{3，m2}，若N M，则实数m＝________.
【举一反三4】设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x|x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，则a＝________，b＝________.
【举一反三5】设 ，集合，且，求实数的值．
【举一反三6】集合，，若，求x，y的值.
【题型7】判断两个集合是否相等
【典型例题】下列各组两个集合和表示同一集合的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A.，
B.，
C.，
D.，
【举一反三2】已知集合，，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】下列各组两个集合和表示同一集合的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【题型8】集合的子集个数
【典型例题】已知集合A＝{(x，y)|4x＋3y－12＜0，x∈N*，y∈N*}，则集合A的子集的个数为( )
A.3 B.4 C.7 D.8
【举一反三1】（2023·江苏省扬州市高邮市月考）设集合，集合，则的子集个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【举一反三2】已知非空集合P满足：(1)P {1，2，3，4，5}；(2)若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为________.
【举一反三3】已知集合A {0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．
【举一反三4】已知集合A＝{x∈R|ax2－3x－4＝0}．
(1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围．
【举一反三5】已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
【题型9】Venn图
【典型例题】下列表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2－x＝0}的关系的Venn图正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】下列各选项中，表示M N的是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是( )
A.{2，4，5} B.{1，2，5} C.{1，6} D.{1，3}
【举一反三3】下列各选项中，表示M N的是( )
A. B. C. D.
【题型10】空集的判断和运用
【典型例题】下列四个集合中，是空集的是( )
A.{x|x＋3＝3}
B.{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}
C.{x|x2≤0}
D.{x|x2－x＋1＝0，x∈R}
【举一反三1】下列集合中为空集的是( )
A.{x∈N|x2≤0} B.{x∈R|x2－1＝0} C.{x∈R|x2＋x＋1＝0} D.{0}
【举一反三2】下列表述中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】不等式组的解集为，则实数的取值范围是_____________.
【举一反三4】关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为__________．
【举一反三5】已知集合.
（1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围；
（2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值.
