1.3集合的基本运算
【知识点1】Venn图表示交集 1
【知识点2】集合交并补混合关系的应用 2
【知识点3】全集及其运算 2
【知识点4】Venn图表示补集 3
【知识点5】集合的交并补混合运算 3
【知识点6】Venn图表示交并补混合运算 4
【知识点7】集合并集关系的应用 4
【知识点8】集合交集关系的应用 5
【知识点9】集合补集关系的应用 5
【知识点10】Venn图表示并集 5
【知识点11】求集合的补集 6
【知识点12】求集合的交集 6
【知识点13】求集合的并集 7
【题型1】已知交集推断问题 8
【题型2】集合交、并集运算中的含参问题 8
【题型3】全集、补集的概念及运算 9
【题型4】根据全集、补集推断问题 9
【题型5】交、并、补混合运算 10
【题型6】并集交集的混合运算 10
【题型7】根据交、并、补混合运算推断问题 11
【题型8】已知并集推断问题 11
【题型9】根据并集和交集混合运算推断问题 11
【题型10】新定义题 12
【题型11】Venn图 13
【题型12】新定义题 14
【题型13】由集合间的运算求参数的值或范围 15
【知识点1】Venn图表示交集
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
图形语言：
在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．
已知集合A={0，1，2，3，4，5，6}，集合B={-1，0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
解：图中阴影部分为A∩B，
则A∩B={0，1，2，3}．
【知识点2】集合交并补混合关系的应用
集合交换律 A∩B=B∩A，A∪B=B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C=A∩（B∩C），（A∪B）∪C=A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 U（A∩B）= UA∪ UB， U（A∪B）= UA∩ UB．
集合吸收律 A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A．
集合求补律 A∪ UA=U，A∩ UA= ．
直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
已知集合A={x|x≤a}，B={x|1＜x＜2}，且A∩（ RB）=A，则实数a的取值范围是（ ）
解：因为B={x|1＜x＜2}，所以 RB={x|x≤1或x≥2}，
由A={x|x≤a}，且A RB，
得a≤1．
【知识点3】全集及其运算
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限的．例如{1，2}；R；Q等等．
注意审题，可以借助数轴韦恩图解答．
本考点属于理解，常出现的类型有直接求出全集，利用全集求解子集的个数，集合在参数的范围等问题，难度属于容易题．
【知识点4】Venn图表示补集
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．
一般情况涉及Venn图的交集、并集、补集的简单运算，也可以与信息迁移，应用性开放问题．也可以联系实际命题．
【知识点5】集合的交并补混合运算
集合交换律 A∩B=B∩A，A∪B=B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C=A∩（B∩C），（A∪B）∪C=A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 U（A∩B）= UA∪ UB， U（A∪B）= UA∩ UB．
集合吸收律 A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A．
集合求补律 A∪ UA=U，A∩ UA= ．
直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
设全集U=R，A={x|0≤x＜8}，B={x|1＜x＜5}，求：
（Ⅰ） U（A∩B）；
（Ⅱ）（ UA）∪（ UB）；
（Ⅲ）A∩（ UB）．
解：（Ⅰ）∵全集U=R，A={x|0≤x＜8}，B={x|1＜x＜5}，
∴A∩B={x|1＜x＜5}，
∵全集U=R，∴ U（A∩B）={x|x≤1或x≥5}；
（Ⅱ）（ UA）∪（ UB）= U（A∩B）={x|x≤1或x≥5}；
（Ⅲ）∵全集U=R，B={x|1＜x＜5}，
∴ UB={x|x≤1或x≥5}，
∵A={x|0≤x＜8}，
∴A∩（ UB）={x|0≤x≤1或5≤x＜8}．
【知识点6】Venn图表示交并补混合运算
集合交换律 A∩B=B∩A，A∪B=B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C=A∩（B∩C），（A∪B）∪C=A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 U（A∩B）= UA∪ UB， U（A∪B）= UA∩ UB．
集合吸收律 A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A．
集合求补律 A∪ UA=U，A∩ UA= ．
Venn图表示N∩（ UM）为：．
直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
如图，全集U=R，M={x|x2-6x-16＞0}，N={x|x=k+2，k∈M}，则阴影部分表示的集合是（ ）
解：由题意得M={x|x＜-2或x＞8}，所以N={x|x＜0或x＞10}，所以M∪N={x|x＜0或x＞8}，
故阴影部分表示的集合是 R（M∪N）=[0，8]．
【知识点7】集合并集关系的应用
两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关系求出变量的取值等问题．
求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等．
集合中的参数取值范围问题，一般难度比较大，几乎与高中数学的所以知识相联系，特别是与函数问题结合的题目，涉及恒成立，函数的导数等知识命题，值得重视．
【知识点8】集合交集关系的应用
两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关系求出变量的取值等问题．
求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等．
集合中的参数取值范围问题，一般难度比较大，几乎与高中数学的所以知识相联系，特别是与函数问题结合的题目，涉及恒成立，函数的导数等知识命题，值得重视．
【知识点9】集合补集关系的应用
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．
设全集U={2，4，a2}，集合A={4，a+2}， UA={a}，则实数a的值为（ ）
解：∵集合A={4，a+2}，
∴a+2≠4，∴a≠2，
∵全集U={2，4，a2}， UA={a}，
∴，解得a=0，经验证a=0满足条件，
综上，实数a的值为0．
【知识点10】Venn图表示并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B={x|x∈A或x∈B}．
图形语言：．
绘制集合圆圈：在Venn图中绘制两个（或多个）集合的圆圈．标记并集区域：将所有属于任意集合的区域标记出来，形成并集区域．颜色或阴影：使用颜色或阴影标记并集部分，直观表示并集．
根据所给的韦恩图，求A∪B（ ）
解：由图可得：A∪B={1，3，5，6，7，8}．
【知识点11】求集合的补集
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x A}．
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
已知集合，则 RA=（ ）
解：根据题意可得A={x|x≤1}，
∴ RA={x|x＞1}．
【知识点12】求集合的交集
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B=B∩A．②A∩ = ．③A∩A=A．④A∩B A，A∩B B．
解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
已知集合A={x∈Z|x+1≥0}，B={x|x2-x-6＜0}，则A∩B=（ ）
解：因为A={x∈Z|x+1≥0}={x∈Z|x≥-1}，B={x|x2-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，
所以A∩B={-1，0，1，2}．
故选：D．
【知识点13】求集合的并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B={x|x∈A或x∈B}．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算性质：
①A∪B=B∪A．②A∪ =A．③A∪A=A．④A∪B A，A∪B B．
定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集．
已知集合，B={x∈Z|x2＜3}，则A∪B=（ ）
解：依题意，，，
所以A∪B={-1，0，1，2}．
【题型1】已知交集推断问题
【典型例题】已知集合A＝{0，1，2}，B＝，若A∩B＝B，则实数x的值为( )
A. B.0 C.1 D.2
【举一反三1】已知集合，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】设集合A＝{5，a＋1}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＝________，A∪B＝________.
【举一反三3】（2023·广东省深圳市人大附中深圳学校期中）已知集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【举一反三4】(2023·江苏省连云港市第一中学模拟)设集合，，或．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
【题型2】集合交、并集运算中的含参问题
【典型例题】设集合，若，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x
A.{a|a<2} B.{a|a>－2} C.{a|a>－1} D.{a|－1【举一反三2】已知集合，，若，则实数m的取值范围为_________．
【举一反三3】(2023·江苏省连云港市第一中学模拟)已知为实数，，
.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【题型3】全集、补集的概念及运算
【典型例题】（2023·河南省部分重点中学联考）设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，则 UA＝( )
A.{1，3} B.{1，3，6} C.{2，3，6} D.{2，3，5}
【举一反三2】已知全集U，集合A＝{1，3，5，7，9}， UA＝{2，4，6，8}， UB＝{1，4，6，8，9}，则集合B＝________．
【举一反三3】设U＝{x|x是小于7的自然数}，A＝{2,3,4}，B＝{1,5,6}，求 UA， UB.
【题型4】根据全集、补集推断问题
【典型例题】已知全集U＝{3，a2－3a－2,2}，集合A＝{3，|a－1|}， UA＝{－2}，则实数a等于( )
A.0 B.3 C.1 D.2
【举一反三1】已知全集U={1,3,5},且 UA={3},则集合A的真子集的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三2】正确表示图中阴影部分的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】已知全集U＝R，A＝{x|1≤x【举一反三4】已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}， UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.
【举一反三5】已知集合．
（1）当时，求；
（2）若是的子集，求的取值范围．
【举一反三6】已知全集S={1,3,x3+3x2+2x},集合A={1,|2x-1|},若 SA={0},则这样的实数x是否存在 若存在,求出x;若不存在,请说明理由.
【题型5】交、并、补混合运算
【典型例题】集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩( RB)等于( )
A.{x|x>1} B.{x|x≥1} C.{x|1【举一反三1】已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】设全集U＝R，集合A＝{x|0【举一反三3】设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则= .
【举一反三4】已知全集，集合.
（1）求；
（2）求.
【举一反三5】已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},求A∩ UB，( UA)∩( UB).
【题型6】并集交集的混合运算
【典型例题】已知全集为R，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】设集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则(A∩B)∪C等于( )
A.{0} B.{0，1，3，5} C.{0，1，2，4} D.{0，2，3，4}
【举一反三2】已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|1≤x≤2}，则A∪B＝________.集合C＝{x|1【举一反三3】设A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},求
【举一反三4】集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},求A∪B,A∩B.
【题型7】根据交、并、补混合运算推断问题
【典型例题】若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{1,4}，N＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )
A.M∪N B.M∩N C.( UM)∪( UN) D.( UM)∩( UN)
【举一反三1】已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则( )
A.( UM) ( UN) B.M ( UN) C.( UM) ( UN) D.M ( UN)
【举一反三2】高一某班60名同学参加跳远和铅球测试,及格人数分别为40人和31人,这两项均不及格的人数有4人,则两项都及格的人数为 .
【举一反三3】已知集合，集合，求.
【举一反三4】已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤10},A∩( UB)={1,3,5,7},试求集合B.
【题型8】已知并集推断问题
【典型例题】已知集合A＝{1,2}，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2}，则集合B等于( )
A.{0,1} B.{0,2} C.{1,2} D.{1}
【举一反三1】已知集合，，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则实数a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
【举一反三3】满足{0,1}∪A={0,1,2}的所有集合A的个数为 .
【举一反三4】已知集合，且，则实数的所有取值组成的集合为____.
【举一反三5】设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-4x+a=0,a∈R},若A∪B=A,求实数a的取值范围.
【题型9】根据并集和交集混合运算推断问题
【典型例题】已知a∈R，集合M＝{1，a2}，N＝{a，－1}，若M∪N有三个元素，则M∩N等于( )
A.{0,1} B.{0，－1} C.{0} D.{1}
【举一反三1】已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r等于( )
A.12 B.6 C.－14 D.－12
【举一反三2】某班有48名学生，有32名学生参加了学校的体育类兴趣小组，有25名学生参加了学校的音乐类兴趣小组，有3名学生这两类兴趣小组都没参加，那么这两类兴趣小组都参加的学生有________人.
【举一反三3】已知集合A＝{4，a2＋4a＋2}，B＝{－2,7,2－a}．
(1)若A∩B＝{7}，求A∪B；
(2)若A B，求A∩B.
【举一反三4】已知A＝{x|x>a}，B＝{x|－2【题型10】新定义题
【典型例题】用card(A)来表示有限集合A中元素的个数，已知全集U＝A∪B，D＝( UA)∪( UB)，card(U)＝m，card(D)＝n，若A∩B非空，则card(A∩B)等于( )
A.mn B.m＋n C.n－m D.m－n
【举一反三1】对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(m，n)|m※n＝8}中的元素个数是( )
A.10 B.9 C.8 D.7
【举一反三2】定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A. 12 B. 14 C. 15 D. 16
【举一反三3】给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1S且x－1S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个.
【举一反三4】设全集U＝{1，2，3}，集合A，B(A≠B)都是U的子集，若A∩B＝{1}，则称A，B为“理想配集”，记作(A，B)，(A，B)和(B，A)是相同的“理想配集”，则这样的“理想配集”(A，B)有________种.
【举一反三5】已知集合中都至少有个元素，且，满足：
①，且，总有；
②，且，总有．
（1）若集合，直接写出所有满足条件的集合；
（2）已知，
（ⅰ）若，且，求证：．
（ⅱ）求证：．
【举一反三6】我们知道，如果集合AU，那么U的子集A的补集为 UA＝{x|x∈U，且xA}.类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且xB}叫做A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}.据此，回答以下问题：
(1)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及 UA；
(2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；
(3)如果A－B＝，那么A与B之间具有怎样的关系？
【题型11】Venn图
【典型例题】设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为( )
A.{x|－2≤x<1} B.{x|－2≤x<3} C.{x|x≤2或x>3} D.{x|－2≤x≤2}
【举一反三1】 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】高一（1）班共有学生50人，班级设置了数学和物理两个理科兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有30人，参加物理兴趣小组的有26人，同时参加两个兴趣小组的有15人，则两个兴趣小组都没有参加的学生有____人．
【举一反三3】设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为________.
【举一反三4】某校向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是这50名学生的，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的多1人．你能说出对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人吗？
【题型12】新定义题
【典型例题】若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则真子集个数为（ ）
A.3 B.4 C.7 D.8
【举一反三1】已知集合，集合，则集合不可能为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】有限集合S中元素个数记作 ，设 都为有限集合，给出下列命题∶
①;
②;
③;
④;
其中真命题的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减2后，就变为B的一个子集，则集合C＝________.
【举一反三4】已知集合，.
（1）求；
（2）若，为集合，定义集合运算，求.
【举一反三5】数学上把在平面直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称之为格点或整点.设集合为第一象限连同边界上的格点集，即，已知集合.
(1)分别求和；
(2)求.
【题型13】由集合间的运算求参数的值或范围
【典型例题】设集合U={-1,1,2,3},M={x|x2+px+q=0,p,q∈R},若 UM={-1,1},则实数p+q的值为( )
A.-1 B.-5 C.5 D.1
【举一反三1】已知集合A＝{x|x<－3或x>1}，B＝{x|x≤－4或x>a}，若A∩( RB)中恰好含有2个整数，则实数a的取值范围是( )
A.{a|3【举一反三2】已知全集U＝R，A＝{x|1≤x＜b}， UA＝{x|x＜1，或x≥2}，则实数b＝________．
【举一反三3】（2023·广东省江门市鹏权中学期中）设集合，．
（1）若时，求；
（2）若，求m的取值范围．1.3集合的基本运算
【知识点1】Venn图表示交集 1
【知识点2】集合交并补混合关系的应用 2
【知识点3】全集及其运算 2
【知识点4】Venn图表示补集 3
【知识点5】集合的交并补混合运算 3
【知识点6】Venn图表示交并补混合运算 4
【知识点7】集合并集关系的应用 4
【知识点8】集合交集关系的应用 5
【知识点9】集合补集关系的应用 5
【知识点10】Venn图表示并集 5
【知识点11】求集合的补集 6
【知识点12】求集合的交集 6
【知识点13】求集合的并集 7
【题型1】已知交集推断问题 8
【题型2】集合交、并集运算中的含参问题 9
【题型3】全集、补集的概念及运算 11
【题型4】根据全集、补集推断问题 11
【题型5】交、并、补混合运算 13
【题型6】并集交集的混合运算 15
【题型7】根据交、并、补混合运算推断问题 16
【题型8】已知并集推断问题 17
【题型9】根据并集和交集混合运算推断问题 18
【题型10】新定义题 20
【题型11】Venn图 24
【题型12】新定义题 26
【题型13】由集合间的运算求参数的值或范围 28
【知识点1】Venn图表示交集
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
图形语言：
在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．
已知集合A={0，1，2，3，4，5，6}，集合B={-1，0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
解：图中阴影部分为A∩B，
则A∩B={0，1，2，3}．
【知识点2】集合交并补混合关系的应用
集合交换律 A∩B=B∩A，A∪B=B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C=A∩（B∩C），（A∪B）∪C=A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 U（A∩B）= UA∪ UB， U（A∪B）= UA∩ UB．
集合吸收律 A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A．
集合求补律 A∪ UA=U，A∩ UA= ．
直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
已知集合A={x|x≤a}，B={x|1＜x＜2}，且A∩（ RB）=A，则实数a的取值范围是（ ）
解：因为B={x|1＜x＜2}，所以 RB={x|x≤1或x≥2}，
由A={x|x≤a}，且A RB，
得a≤1．
【知识点3】全集及其运算
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限的．例如{1，2}；R；Q等等．
注意审题，可以借助数轴韦恩图解答．
本考点属于理解，常出现的类型有直接求出全集，利用全集求解子集的个数，集合在参数的范围等问题，难度属于容易题．
【知识点4】Venn图表示补集
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．
一般情况涉及Venn图的交集、并集、补集的简单运算，也可以与信息迁移，应用性开放问题．也可以联系实际命题．
【知识点5】集合的交并补混合运算
集合交换律 A∩B=B∩A，A∪B=B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C=A∩（B∩C），（A∪B）∪C=A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 U（A∩B）= UA∪ UB， U（A∪B）= UA∩ UB．
集合吸收律 A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A．
集合求补律 A∪ UA=U，A∩ UA= ．
直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
设全集U=R，A={x|0≤x＜8}，B={x|1＜x＜5}，求：
（Ⅰ） U（A∩B）；
（Ⅱ）（ UA）∪（ UB）；
（Ⅲ）A∩（ UB）．
解：（Ⅰ）∵全集U=R，A={x|0≤x＜8}，B={x|1＜x＜5}，
∴A∩B={x|1＜x＜5}，
∵全集U=R，∴ U（A∩B）={x|x≤1或x≥5}；
（Ⅱ）（ UA）∪（ UB）= U（A∩B）={x|x≤1或x≥5}；
（Ⅲ）∵全集U=R，B={x|1＜x＜5}，
∴ UB={x|x≤1或x≥5}，
∵A={x|0≤x＜8}，
∴A∩（ UB）={x|0≤x≤1或5≤x＜8}．
【知识点6】Venn图表示交并补混合运算
集合交换律 A∩B=B∩A，A∪B=B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C=A∩（B∩C），（A∪B）∪C=A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 U（A∩B）= UA∪ UB， U（A∪B）= UA∩ UB．
集合吸收律 A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A．
集合求补律 A∪ UA=U，A∩ UA= ．
Venn图表示N∩（ UM）为：．
直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
如图，全集U=R，M={x|x2-6x-16＞0}，N={x|x=k+2，k∈M}，则阴影部分表示的集合是（ ）
解：由题意得M={x|x＜-2或x＞8}，所以N={x|x＜0或x＞10}，所以M∪N={x|x＜0或x＞8}，
故阴影部分表示的集合是 R（M∪N）=[0，8]．
【知识点7】集合并集关系的应用
两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关系求出变量的取值等问题．
求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等．
集合中的参数取值范围问题，一般难度比较大，几乎与高中数学的所以知识相联系，特别是与函数问题结合的题目，涉及恒成立，函数的导数等知识命题，值得重视．
【知识点8】集合交集关系的应用
两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关系求出变量的取值等问题．
求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等．
集合中的参数取值范围问题，一般难度比较大，几乎与高中数学的所以知识相联系，特别是与函数问题结合的题目，涉及恒成立，函数的导数等知识命题，值得重视．
【知识点9】集合补集关系的应用
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．
设全集U={2，4，a2}，集合A={4，a+2}， UA={a}，则实数a的值为（ ）
解：∵集合A={4，a+2}，
∴a+2≠4，∴a≠2，
∵全集U={2，4，a2}， UA={a}，
∴，解得a=0，经验证a=0满足条件，
综上，实数a的值为0．
【知识点10】Venn图表示并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B={x|x∈A或x∈B}．
图形语言：．
绘制集合圆圈：在Venn图中绘制两个（或多个）集合的圆圈．标记并集区域：将所有属于任意集合的区域标记出来，形成并集区域．颜色或阴影：使用颜色或阴影标记并集部分，直观表示并集．
根据所给的韦恩图，求A∪B（ ）
解：由图可得：A∪B={1，3，5，6，7，8}．
【知识点11】求集合的补集
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x A}．
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
已知集合，则 RA=（ ）
解：根据题意可得A={x|x≤1}，
∴ RA={x|x＞1}．
【知识点12】求集合的交集
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B=B∩A．②A∩ = ．③A∩A=A．④A∩B A，A∩B B．
解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
已知集合A={x∈Z|x+1≥0}，B={x|x2-x-6＜0}，则A∩B=（ ）
解：因为A={x∈Z|x+1≥0}={x∈Z|x≥-1}，B={x|x2-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，
所以A∩B={-1，0，1，2}．
故选：D．
【知识点13】求集合的并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B={x|x∈A或x∈B}．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算性质：
①A∪B=B∪A．②A∪ =A．③A∪A=A．④A∪B A，A∪B B．
定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集．
已知集合，B={x∈Z|x2＜3}，则A∪B=（ ）
解：依题意，，，
所以A∪B={-1，0，1，2}．
【题型1】已知交集推断问题
【典型例题】已知集合A＝{0，1，2}，B＝，若A∩B＝B，则实数x的值为( )
A. B.0 C.1 D.2
【答案】A
【解析】由题意，集合A＝{0，1，2}，B＝，因为A∩B＝B，所以＝2，可得x＝.故选A．
【举一反三1】已知集合，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，，所以
解得
故选：C.
【举一反三2】设集合A＝{5，a＋1}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＝________，A∪B＝________.
【答案】1 {1，2，5}
【解析】因为A∩B＝{2}，所以a＋1＝2，
即a＝1，同时b＝2，
因此A＝{5，2}，B＝{1，2}，
故A∪B＝{1，2，5}.
【举一反三3】（2023·广东省深圳市人大附中深圳学校期中）已知集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】解：（1）由，得或，
所以{或}，
所以{或}.
（2）因为，
当时，得；
当时，要满足题意，则需，解得，
综上，故实数m的取值范围为．
【举一反三4】(2023·江苏省连云港市第一中学模拟)设集合，，或．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
【答案】解：(1)因为，所以，
当时，由，得，解得；
②当，即时，成立；
综上，实数m的取值范围是．
(2)因为中只有一个整数，所以，且，解得，
所以实数m的取值范围是．
【题型2】集合交、并集运算中的含参问题
【典型例题】设集合，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,所以则,解得.
当满足题意；
当,不满足集合元素互异性，舍去；
故.
故选：A.
【举一反三1】设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA.{a|a<2} B.{a|a>－2} C.{a|a>－1} D.{a|－1【答案】C
【解析】在数轴上表示出集合A，B即可知选C.
【举一反三2】已知集合，，若，则实数m的取值范围为_________．
【答案】
【解析】，，．
【举一反三3】(2023·江苏省连云港市第一中学模拟)已知为实数，，
.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】解：(1)，
由，得，
，，
，
.
(2)，，
由(1)知，，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述：实数a的取值范围是.
【题型3】全集、补集的概念及运算
【典型例题】（2023·河南省部分重点中学联考）设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为集合 ，，所以．
故选：C．
【举一反三1】已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，则 UA＝( )
A.{1，3} B.{1，3，6} C.{2，3，6} D.{2，3，5}
【答案】B
【解析】因为集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，所以 UA＝{1，3，6}．故选B.
【举一反三2】已知全集U，集合A＝{1，3，5，7，9}， UA＝{2，4，6，8}， UB＝{1，4，6，8，9}，则集合B＝________．
【答案】{2，3，5，7}
【解析】借助Venn图，如图所示，∴U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．∵ UB＝{1，4，6，8，9}，∴B＝{2，3，5，7}．
【举一反三3】设U＝{x|x是小于7的自然数}，A＝{2,3,4}，B＝{1,5,6}，求 UA， UB.
【答案】解 根据题意可知，U＝{0,1,2,3,4,5,6}，所以 UA＝{0,1,5,6}， UB＝{0,2,3,4}．
【题型4】根据全集、补集推断问题
【典型例题】已知全集U＝{3，a2－3a－2,2}，集合A＝{3，|a－1|}， UA＝{－2}，则实数a等于( )
A.0 B.3 C.1 D.2
【答案】B
【解析】因为A∪( UA)＝U，
所以{3，－2，|a－1|}＝{3，a2－3a－2,2}，
从而
解得a＝3.故选B.
【举一反三1】已知全集U={1,3,5},且 UA={3},则集合A的真子集的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】A
【举一反三2】正确表示图中阴影部分的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图的阴影部分表示的外部，C正确.
故选：C.
【举一反三3】已知全集U＝R，A＝{x|1≤x【答案】2
【解析】因为 UA＝{x|x<1或x≥2}，
所以A＝{x|1≤x<2}．所以b＝2.
【举一反三4】已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}， UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.
【答案】{2,3,5,7}
【解析】方法一 (定义法)：因为A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又 UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．
方法二 (Venn图法)：满足题意的Venn图，如图所示．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
【举一反三5】已知集合．
（1）当时，求；
（2）若是的子集，求的取值范围．
【答案】解：（1）当时，
由，解得或，所以或；
可得，故．
（2）由于是的子集，当时，则，解得，
满足是的子集；
当时，则满足，解得．
综上所述，，即的取值范围为．
【举一反三6】已知全集S={1,3,x3+3x2+2x},集合A={1,|2x-1|},若 SA={0},则这样的实数x是否存在 若存在,求出x;若不存在,请说明理由.
【答案】解 ∵ SA={0},∴0∈S,0 A,即x3+3x2+2x=0.
∴x=0或x=-1或x=-2.
当x=0时,|2x-1|=1,不符合要求,舍去.
当x=-2时,|2x-1|=5,5 S,舍去.
当x=-1时,|2x-1|=3∈S,符合题意.
∴这样的实数x存在,即x=-1.
【题型5】交、并、补混合运算
【典型例题】集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩( RB)等于( )
A.{x|x>1} B.{x|x≥1} C.{x|1【答案】D
【解析】由B＝{x|x<1}可知 RB＝{x|x≥1}．∵A＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩( RB)＝{x|1≤x≤2}．
【举一反三1】已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题易得，故．
故选：A．
【举一反三2】设全集U＝R，集合A＝{x|0【答案】4
【解析】∵U＝R，A＝{x|0∴ UA＝{x|x≤0或x≥9}，
又∵B＝{x∈Z|－4∴( UA)∩B＝{x∈Z|－4【举一反三3】设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则= .
【答案】{1，3，5}
【解析】={1，3，5}.
【举一反三4】已知全集，集合.
（1）求；
（2）求.
【答案】解：（1）因为A∪B=｛x|x∈A或x∈B｝,而，
则A∪B.
（2）因为A∩B=｛x|x∈A,且x∈B｝,而,则A∩B={0},又全集，
若BU,则B={x|x∈U且x B｝有.
【举一反三5】已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},求A∩ UB，( UA)∩( UB).
【答案】解 U UB={2,4,6}，∵( UB)={2,4,5}∩{2,4,6}={2,4}，( UA)( UB)=∩{2,4,6}={6}.
【题型6】并集交集的混合运算
【典型例题】已知全集为R，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，由子集定义可得集合不是集合的子集，也可得集合不是集合的子集，故A,B选项错误；
对于C选项，因为，但，得，故C错误；
对于D选项，由，得，则，故D选项正确.
【举一反三1】设集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则(A∩B)∪C等于( )
A.{0} B.{0，1，3，5} C.{0，1，2，4} D.{0，2，3，4}
【答案】C
【解析】∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，
∴A∩B＝{1}，∴(A∩B)∪C＝{0，1，2，4}．
【举一反三2】已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|1≤x≤2}，则A∪B＝________.集合C＝{x|1【答案】{x|x>0} {x|1【解析】因为A＝{x|x>0}，B＝{x|1≤x≤2}，所以A∪B＝{x|x>0}．
因为C＝{x|1所以C∩D＝{x|1【举一反三3】设A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},求
【答案】解 8};A∪B={3，5，6，8}∪{4，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}.
【举一反三4】集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},求A∪B,A∩B.
【答案】解 B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3}，
{}{2}.
A∩B={x|2≤x<4}∩{x|x≥3}
【题型7】根据交、并、补混合运算推断问题
【典型例题】若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{1,4}，N＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )
A.M∪N B.M∩N C.( UM)∪( UN) D.( UM)∩( UN)
【答案】D
【解析】元素5,6既不是M的元素，也不是N的元素，所以{5,6}=( UM)∩( UN)．
【举一反三1】已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则( )
A.( UM) ( UN) B.M ( UN) C.( UM) ( UN) D.M ( UN)
【答案】C
【解析】∵M∩N＝N，∴N M，∴( UM) ( UN)．
【举一反三2】高一某班60名同学参加跳远和铅球测试,及格人数分别为40人和31人,这两项均不及格的人数有4人,则两项都及格的人数为 .
【答案】15
【举一反三3】已知集合，集合，求.
【答案】解：首先求解集合，对于不等式，根据分式不等式的求解方法，其等价于.
求解，可得或，
所以.
对于不等式，得到，所以.
所以.
所以.
【举一反三4】已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤10},A∩( UB)={1,3,5,7},试求集合B.
【答案】解 U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
∵A UB={1,3,5,7},∴{1,3,5,7}而集合B中不包含{1，3，5，7}，
∴
【题型8】已知并集推断问题
【典型例题】已知集合A＝{1,2}，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2}，则集合B等于( )
A.{0,1} B.{0,2} C.{1,2} D.{1}
【答案】A
【解析】∵集合A＝{1,2}，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2}，
∴1∈B,0∈B,2 B，则B＝{0,1}．
【举一反三1】已知集合，，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在数轴上标注集合，的范围，若需要，覆盖整个数轴，即，需要，故选C.
【举一反三2】集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则实数a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
【答案】D
【解析】∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，∴A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又∵A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.
【举一反三3】满足{0,1}∪A={0,1,2}的所有集合A的个数为 .
【答案】4
【举一反三4】已知集合，且，则实数的所有取值组成的集合为____.
【答案】
【解析】由解得或，所以，
因为，所以，
又因为一元二次方程的判别式，
当即时，满足题意，
当即或，时不满足题意，时满足题意，
当时由可知无解，
综上，
故答案为：.
【举一反三5】设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-4x+a=0,a∈R},若A∪B=A,求实数a的取值范围.
【答案】解 由已知得A={1,2},
∵A∪B=A,∴B A,
∴集合B有两种情况:B= 和B≠ .
当B= 时,方程x2-4x+a=0无实根,
则Δ=16-4a<0,解得a>4.
当B≠ 时,若Δ=0,则有a=4,此时B={2} A满足条件;若Δ>0,则1,2是方程x2-4x+a=0的两根,但由根与系数的关系知矛盾,∴Δ>0不成立.
∴当B≠ 时,a=4.
综上可知,a的取值范围是{a|a≥4}.
【题型9】根据并集和交集混合运算推断问题
【典型例题】已知a∈R，集合M＝{1，a2}，N＝{a，－1}，若M∪N有三个元素，则M∩N等于( )
A.{0,1} B.{0，－1} C.{0} D.{1}
【答案】C
【解析】因为集合M＝{1，a2}，N＝{a，－1}，若M∪N有三个元素，则a2＝a且a≠±1，解得a＝0.此时M＝{1，0}，N＝{0，－1}，M∩N＝{0}，故选C.
【举一反三1】已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r等于( )
A.12 B.6 C.－14 D.－12
【答案】C
【解析】因为A∩B＝{－2}，
所以－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，
所以A＝{x|x2+x－2＝0}，解方程x2+x－2＝0得x=1或x=-2，
所以A＝{1，－2}，
因为A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，
所以B＝{－2,5}，即方程x2+qx＋r＝0的两根为-2,5，
再由根与系数的关系可得q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，
所以p＋q＋r＝-1+(－3)+ (－10)=－14.
【举一反三2】某班有48名学生，有32名学生参加了学校的体育类兴趣小组，有25名学生参加了学校的音乐类兴趣小组，有3名学生这两类兴趣小组都没参加，那么这两类兴趣小组都参加的学生有________人.
【答案】12
【解析】设这两类兴趣小组都参加的学生有a人，由题意作出韦恩图.
由韦恩图得：32－a＋25－a＋a＋3＝48，则a＝12.
【举一反三3】已知集合A＝{4，a2＋4a＋2}，B＝{－2,7,2－a}．
(1)若A∩B＝{7}，求A∪B；
(2)若A B，求A∩B.
【答案】解 (1)∵A∩B＝{7}，
∴7∈A，
∴a2＋4a＋2＝7，解得a＝－5或a＝1.
①若a＝－5，则2－a=2-(-5)＝7，B中元素不满足互异性；
②若a＝1，则2－a=1，即A＝{4,7}，B＝{－2,7,1}，满足题意，
∴A∪B＝{4,7}∪{－2,7,1}={－2,1,4,7}．
(2)∵A B，
∴2－a＝4，解得a＝－2，∴a2＋4a＋2=(-2)2+4×(-2)+2=-2，
∴A＝{4，－2}，B＝{－2,7,4}，
∴A∩B＝{－2,4}．
【举一反三4】已知A＝{x|x>a}，B＝{x|－2【答案】解 将集合A，B在数轴上表示，如图所示．当a<－2时，A∪B＝{x|x>a}，A∩B＝{x|－2当－2≤a<2时，A∪B＝{x|x>－2}，A∩B＝{x|a当a≥2时，A∪B＝{x|－2a}，A∩B＝ .
【题型10】新定义题
【典型例题】用card(A)来表示有限集合A中元素的个数，已知全集U＝A∪B，D＝( UA)∪( UB)，card(U)＝m，card(D)＝n，若A∩B非空，则card(A∩B)等于( )
A.mn B.m＋n C.n－m D.m－n
【答案】D
【解析】由Venn图可知card(A∩B)＝card(A∪B)－card(D)＝card(U)－card(D)＝m－n.
【举一反三1】对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(m，n)|m※n＝8}中的元素个数是( )
A.10 B.9 C.8 D.7
【答案】B
【解析】①当m，n都为正偶数时，符合条件的(m，n)有(2，6)，(4，4)，(6，2)，共3个.
②当m，n都为正奇数时，符合条件的(m，n)有(1，7)，(3，5)，(5，3)，(7，1)，共4个.
③当m，n中一个为正偶数，一个为正奇数时，符合条件的(m，n)有(1，8)，(8，1)，共2个.
所以集合M的元素个数是3＋4＋2＝9.
【举一反三2】定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A. 12 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】B
【解析】注意到所以，则集合的非空真子集的个数为.
故选：B.
【举一反三3】给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1S且x－1S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个.
【答案】6
【解析】若集合不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，
故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.
【举一反三4】设全集U＝{1，2，3}，集合A，B(A≠B)都是U的子集，若A∩B＝{1}，则称A，B为“理想配集”，记作(A，B)，(A，B)和(B，A)是相同的“理想配集”，则这样的“理想配集”(A，B)有________种.
【答案】4
【解析】由A∩B＝{1}可知，1这个元素在集合A和B中，且A≠B，则集合A，B可能是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，所以讨论满足条件的集合A和B可能的情况.
因为(A，B)和(B，A)是相同的“理想配集”，
所以集合A，B的可能情况有：
①A＝{1}，B＝{1，2}；
②A＝{1}，B＝{1，3}；
③A＝{1}，B＝{1，2，3}；
④A＝{1，2}，B＝{1，3}.
所以这样的(A，B)有4种.
【举一反三5】已知集合中都至少有个元素，且，满足：
①，且，总有；
②，且，总有．
（1）若集合，直接写出所有满足条件的集合；
（2）已知，
（ⅰ）若，且，求证：．
（ⅱ）求证：．
【答案】解：（1）因为，又，且，总有，
所以，即，
设，由，且，总有，
可得，所以或或，
但，
所以满足条件的集合有，，，.
（2）（ⅰ）因为，
又因为，，
所以，
（ⅱ）因为集合中至少有个元素，
设，其中，互不相等的整数，
则，且，
所以中至少存在两个正整数，
不妨设，，，又，
所以，，，
所以，，
因为，，，，
所以，
同理，
因为，可推出，
所以对于大于等于的正整数，都属于，
因为，
由（ⅰ），，，，
所以任意的正整数都属于，所以.
【举一反三6】我们知道，如果集合AU，那么U的子集A的补集为 UA＝{x|x∈U，且xA}.类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且xB}叫做A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}.据此，回答以下问题：
(1)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及 UA；
(2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；
(3)如果A－B＝，那么A与B之间具有怎样的关系？
【答案】解 (1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男同学}，
UA＝{x|x是高一(1)班的男同学}.
(2)阴影部分如下图所示：
(3)由定义A－B＝{x|x∈A，且xB}，
∴A－B＝A∩( UB).
又A－B＝，
则A∩( UB)＝，故AB.
【题型11】Venn图
【典型例题】设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为( )
A.{x|－2≤x<1} B.{x|－2≤x<3} C.{x|x≤2或x>3} D.{x|－2≤x≤2}
【答案】A
【举一反三1】 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，则
由图知道阴影部分表示，即图中阴影部分表示的集合为.
故选：A.
【举一反三2】高一（1）班共有学生50人，班级设置了数学和物理两个理科兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有30人，参加物理兴趣小组的有26人，同时参加两个兴趣小组的有15人，则两个兴趣小组都没有参加的学生有____人．
【答案】9
【解析】把（1）班的学生记为全集U，参加数学的学生分别组成集合A，参加物理兴趣小组的学生组成集合B，用Venn表示的关系如图所示，可得两个兴趣小组都没有参加有9人．
【举一反三3】设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为________.
【答案】{4，6}
【解析】全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，
由韦恩图可知阴影部分表示的集合为( UA)∩B，∵ UA＝{4，6，7，8}，∴( UA)∩B＝{4，6}.
【举一反三4】某校向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是这50名学生的，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的多1人．你能说出对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人吗？
【答案】解 已知赞成A的人数为50×＝30，赞成B的人数为30＋3＝33，记50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体为集合A，赞成B的学生全体为集合B.
设对A，B都赞成的学生人数为x，
则对A，B都不赞成的学生人数为＋1，
赞成A而不赞成B的人数为30－x，
赞成B而不赞成A的人数为33－x.用Venn图表示如图所示．
依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋＝50，解得x＝21.
故对A，B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人．
【题型12】新定义题
【典型例题】若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则真子集个数为（ ）
A.3 B.4 C.7 D.8
【答案】C
【解析】由题中定义可知，而，
所以，因此真子集个数为，
故选：C.
【举一反三1】已知集合，集合，则集合不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由集合，集合，
得，且，
故选：C.
【举一反三2】有限集合S中元素个数记作 ，设 都为有限集合，给出下列命题∶
①;
②;
③;
④;
其中真命题的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】对于①，，说明集合没有相同元素，
因此，反之也成立，故①正确；
对于②，，说明集合的元素都属于集合，故，②正确；
对于③，，只能说明集合的元素个数不多于集合中元素个数，
不能说明集合的元素都属于集合，故③错误；
对于④，，说明两集合元素相同，可得到，
反之，两集合元素个数相同，但不能说明两集合元素相同，
故由不能得到，④错误，
故选：B.
【举一反三3】已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减2后，就变为B的一个子集，则集合C＝________.
【答案】{4}或{7}或{4,7}
【解析】由题意知C {0,2,4,6,7}，C {3,4,5,7,10}，
∴C {4,7}．又∵C≠ ，∴C＝{4}或{7}或{4,7}．
【举一反三4】已知集合，.
（1）求；
（2）若，为集合，定义集合运算，求.
【答案】解：（1）因为，
，
所以.
（2）集合运算；
因为；；
由集合运算的新定义及不等式的性质，，故可得，
故.
【举一反三5】数学上把在平面直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称之为格点或整点.设集合为第一象限连同边界上的格点集，即，已知集合.
(1)分别求和；
(2)求.
【答案】解 （1），令，解得：，
令，解得：，
故，
，令，解得：，
令，解得：，
故，
（2）.
【题型13】由集合间的运算求参数的值或范围
【典型例题】设集合U={-1,1,2,3},M={x|x2+px+q=0,p,q∈R},若 UM={-1,1},则实数p+q的值为( )
A.-1 B.-5 C.5 D.1
【答案】D
【举一反三1】已知集合A＝{x|x<－3或x>1}，B＝{x|x≤－4或x>a}，若A∩( RB)中恰好含有2个整数，则实数a的取值范围是( )
A.{a|3【答案】B
【解析】根据题意，知a>－4，
则 RB＝{x|－4又∵A＝{x|x<－3或x>1}，A∩( RB)中恰好含有2个整数，
∴A∩( RB)＝{x|－4∴3≤a<4.故选B.
【举一反三2】已知全集U＝R，A＝{x|1≤x＜b}， UA＝{x|x＜1，或x≥2}，则实数b＝________．
【答案】2
【解析】因为 UA＝{x|x＜1，或x≥2}，所以A＝{x|1≤x＜2}．所以b＝2.
【举一反三3】（2023·广东省江门市鹏权中学期中）设集合，．
（1）若时，求；
（2）若，求m的取值范围．
【答案】解：（1），，
.
（2），，
①当是空集时，，解得，
②当不是空集时，则，，
综上所述：或.