1.4充分条件与必要条件
【知识点1】充要条件的判断 1
【知识点2】必要不充分条件的应用 2
【知识点3】充分不必要条件的判断 3
【知识点4】充分条件的判断 4
【知识点5】必要条件的应用与性质定理 4
【知识点6】充要条件的应用 5
【知识点7】既不充分也不必要条件的判断 6
【知识点8】既不充分也不必要条件的应用 6
【知识点9】充分条件的应用与判定定理 7
【知识点10】必要条件的判断 7
【知识点11】充分不必要条件的应用 8
【知识点12】必要不充分条件的判断 9
【题型1】充分条件和必要条件的探求 9
【题型2】探求必要条件 12
【题型3】判断充分条件与必要条件 14
【题型4】既不充分也不必要条件 15
【题型5】必要条件的判断 16
【题型6】充分条件与必要条件关系的判断 17
【题型7】利用充分、必要条件求参数范围 19
【题型8】充分条件的判断 20
【题型9】探求充分条件 21
【题型10】利用充分条件和必要条件求参数(或取值范围) 22
【知识点1】充要条件的判断
充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件．即若P成立，则Q成立，若Q成立，则P也成立．用符号表示为P Q．充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的．
要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P Q和Q P．如果两者都成立，则P和Q互为充要条件．通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推理的正确性．
充要条件的命题方向包括几何图形的判定条件、函数的性质等．例如，矩形的对角线相等且互相平分是矩形的充要条件．
“方程x2-2x+m=0至多有一个实数解”的一个充要条件是（ ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m≥2
D．m≥0
解：“方程 x2-2x+m=0至多有一个实数解”的充要条件为“（-2）2-4m≤0”即“m≥1”．
故选：A．
【知识点2】必要不充分条件的应用
必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q P，但 P Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立．
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
设；q：a≤x≤a+1，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
B.
C.
D.
解：p：≤x≤1，q：a≤x≤a+1，
又∵p的必要不充分条件是q，
∴p q，反之则不能，
∴1≤a+1，a≤，
∴0≤a≤，
当a=0时，q：0≤x≤1，满足p的必要不充分条件是q，
当a=时，q：≤x≤，满足p的必要不充分条件是q，
∴0≤a≤．
故选：D．
【知识点3】充分不必要条件的判断
充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P Q，但 Q P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．
要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件．
充分不必要条件的命题方向包括几何图形的特殊性质、函数的特定性质等．
已知命题p：x2-4x+3＜0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x≤1
B．1＜x＜2
C．x≥3
D．2＜x＜3
解：由x2-4x+3＜0，解得1＜x＜3，
则1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要条件．
故选：BD．
【知识点4】充分条件的判断
充分条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立．在数学上，通常记作P Q．充分条件的概念在逻辑推理和数学证明中非常重要，常用于判断某些结论是否成立．例如，在三角形中，如果一个三角形是等边三角形，那么它必然是等腰三角形，这就是等边三角形是等腰三角形的充分条件．
要判断一个条件是否为充分条件，可以通过验证当条件P成立时，条件Q是否也必然成立．通常可以通过具体实例或逻辑推理来验证．例如，假设P成立，通过推理或计算验证Q是否成立．如果可以找到反例，即P成立但Q不成立，则P不是Q的充分条件．
在高考和其他数学考试中，常见的充分条件的命题方向包括几何图形的性质、函数的性质、数列的性质等．例如，三角形全等判定条件中的SAS、SSS等都是充分条件．函数的单调性和极值之间的关系也是常见的命题方向．
下列选项中，满足p是q的充分条件的是（ ）
A．p：x＞，q：x＞1
B．p：m=0，q：mn=0
C．p：x2≠0，q：x≠0
D．p：x＞y，q：x2＞y2
解：对于A，由可推出x＞1，所以是x＞1的充分条件，A正确，
对于B，由m=0可推出mn=0，所以m=0是mn=0的充分条件，B正确，
对于C，由x2≠0可推出x≠0，所以x2≠0是x≠0的充分条件，C正确，
对于D，当x=2，y=-2时，x＞y，但是x2=y2，所以x＞y不是x2＞y2的充分条件，D错误．
故选：ABC．
【知识点5】必要条件的应用与性质定理
必要条件的应用在数学中也非常广泛．通过必要条件，可以确定某些结论的必然性．性质定理是基于必要条件的理论工具，用于判断某些条件是否必然满足．
应用必要条件时，可以先寻找问题中的必要条件，然后利用这些条件判断问题的必然性．性质定理可以直接套用，简化解题过程．
必要条件的应用与性质定理的命题方向包括几何证明题、代数证明题等．例如，四边形性质判定、平行四边形判定等几何题中常见．
已知p：-4＜x-a＜4，q：2＜x＜3，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，6]
B．（-∞，-1]
C．[6，+∞）
D．（-∞，-1]∪[6，+∞）
解：由-4＜x-a＜4，得-4+a＜x＜4+a，
即p：-4+a＜x＜4+a，对应的集合A=（-4+a，4+a），
结合q：2＜x＜3，得q对应的集合B=（2，3），
若p是q的必要条件，可知（2，3） （-4+a，4+a），
∴，解得-1≤a≤6．
故选：A．
【知识点6】充要条件的应用
充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
已知集合P={x|-2≤x≤10}，S={x|1-m≤x≤1+m}，是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：若x∈P是x∈S的充要条件，
则P=S，即，得，此时方程组无解．
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
【知识点7】既不充分也不必要条件的判断
既不充分也不必要条件是指条件P和条件Q之间没有任何充分或必要的关系．即P成立与否对Q成立与否没有影响．
用符号表示为P Q且Q P．这种条件在数学中表示两个条件之间是独立的，没有任何相互关系．
例如，直线平行和直线垂直的关系．
要判断两个条件是否既不充分也不必要，可以分别验证P Q和Q P．找到P成立但Q不成立，以及Q成立但P不成立的反例．
通过举反例，可以证明两个条件之间的独立性．逻辑推理和具体实例是验证这种条件的有效方法．
既不充分也不必要条件的命题方向包括几何图形的独立性质、代数条件等．
例如，两个不相交的直线的平行和垂直关系在几何题中常见．
【知识点8】既不充分也不必要条件的应用
既不充分也不必要条件是指条件P和条件Q之间没有任何充分或必要的关系．即P成立与否对Q成立与否没有影响．
用符号表示为P Q且Q P．这种条件在数学中表示两个条件之间是独立的，没有任何相互关系．
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
已知非空集合A={x|a-3＜x＜2a}，B={x|x2-2x-8＞0}．
若“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．解：由题意得A≠ ，∴a-3＜2a，即a＞-3，
由x∈A是x∈B的既不充分也不必要条件，
则，∴-1＜a＜7，
∴a的取值范围为（-1，7）．
【知识点9】充分条件的应用与判定定理
充分条件的应用在数学中非常广泛．通过充分条件，可以简化问题的解决过程．判定定理是基于充分条件的理论工具，用于证明某些结论的成立．例如，三角形全等的判定定理（如SAS、SSS等）就是典型的充分条件应用．
应用充分条件时，可以先寻找问题中的充分条件，然后利用这些条件简化解题过程．充分条件的判定定理可以直接套用，省去复杂的推理过程．例如，在三角形全等问题中，直接应用SAS判定定理，可以迅速得到结论．对于复杂问题，可以将其分解为多个充分条件，逐一验证．
充分条件的应用与判定定理的命题方向包括几何证明题、代数证明题等．
已知x≥2a-1是x≥3的充分条件，则实数a的取值范围是 _____．
解：由题意得：x≥2a-1 x≥3，故2a-1≥3，解得：a≥2，
故实数a的取值范围是{a|a≥2}．
故答案为：{a|a≥2}．
【知识点10】必要条件的判断
必要条件是指如果条件Q成立，那么条件P必然成立．用符号表示为Q P．必要条件是判断一个结论是否必须具备的条件．例如，如果一个数是偶数，那么它必然能被2整除，能被2整除是偶数的必要条件．在解决数学问题时，确定必要条件可以帮助我们缩小可能的解答范围．
要判断一个条件是否为必要条件，可以通过假设条件Q成立，然后验证条件P是否也必然成立．可以使用反证法，即假设P不成立，看看Q是否也不成立．如果Q不成立，那么P是Q的必要条件．此外，可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．
必要条件的命题方向通常包括数列的收敛性判定、几何图形的判定等．例如，判断一个四边形是否是平行四边形，可以利用对角线互相平分这个必要条件．
若关于x的方程x2+（m-1）x+1=0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）
A．-1＜m＜3
B．-2＜m＜4
C．m＜4
D．-1≤m＜2
解：因为方程x2+（m-1）x+1=0至多有一个实数根，
所以方程x2+（m-1）x+1=0的判别式Δ≤0，
即：（m-1）2-4≤0，解得-1≤m≤3，
利用必要条件的定义，结合选项可知，-1≤m≤3成立的必要条件可以是选项B和选项C．
故选：BC．
【知识点11】充分不必要条件的应用
充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P Q，但 Q P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
集合A={x|x2+（a+2）x+2a＜0}，B={x|x2+2x-3＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|-1≤a≤3}
B．{a|-1≤a＜2或2＜a≤3}
C．{a|2＜a≤3}
D．{a|a≥2}
解：因为A={x|x2+（a+2）x+2a＜0}={x|（x+2）（x+a）＜0}，B={x|x2+2x-3＜0}={x|-3＜x＜1}，
若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A B且A≠ ，
当-a＜-2时，A={x|-a＜x＜-2}，B={x|-3＜x＜1}，则-a≥-3，解得2＜a≤3，
当-a＞-2时，A={x|-2＜x＜-a}，B={x|-3＜x＜1}，则-a≤1，解得-1≤a＜2，
所以-1≤a＜2或2＜a≤3．
故选：B．
【知识点12】必要不充分条件的判断
必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q P，但 P Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立．
要判断一个条件是否为必要不充分条件，可以先验证Q P，然后找反例验证P成立但Q不成立．举反例是关键步骤，找到一个P成立但Q不成立的例子即可证明P不是Q的充分条件．例如，通过几何图形性质验证某些必要不充分条件．
必要不充分条件的命题方向包括几何图形的判定条件、代数性质等．
已知x∈R，设p：x2-x＜0，则p的一个必要不充分条件是（ ）
A．-1＜x＜0
B.
C.
D.0＜x＜1
解：因为x2-x＜0，
所以0＜x＜1，
所以p的一个必要不充分条件是．
故选：B．
【题型1】充分条件和必要条件的探求
【典型例题】下面四个条件中，使“a>b”成立的充分不必要条件是( )
A.a≥b＋1 B.a>b－1 C.a2>b2 D.|a|>|b|
【答案】A
【解析】由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1 a>b；
反之，如a＝4，b＝3.5，
则4>3.5 4≥3.5＋1，
故a>b a≥b＋1，故A正确；
a>b－1 a>b，如a＝3，b＝3.5，
∴a>b－1不是a>b的充分条件，故B错误；
a2>b2 a>b，如a＝－3，b＝－2，
∴a2>b2不是a>b的充分条件，故C错误；
|a|>|b| a>b，如a＝－4，b＝－3，
∴|a|>|b|不是a>b的充分条件，故D错误．
【举一反三1】不等式“a>b>0”成立的一个充分不必要条件是( )
A.a2>b2>0 B.a3>b3>0 C.>>1 D.>>1
【答案】C
【解析】设p为不等式q：a>b>0成立的一个充分不必要条件，
则p q，q p.
对于选项A，a2>b2>0 |a|>|b|>0 a>b>0或a
对于选项B，a3>b3>0 a>b>0，∴a3>b3>0是a>b>0成立的充要条件，B错误．
对于选项C，>>1 1>a>b>0.但由a>b>0 >>1，例如3>2>0,1>>，C正确．
对于选项D，>>1 1>b>a>0；>>1 a>b>0，不满足条件，D错误．
【举一反三2】（2023·广东省广州市广东实验中学期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵不等式，，解得，
故不等式的解集为：，
则其一个充分不必要条件可以是．
故选：．
【举一反三3】关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________．
【答案】a<0
【解析】由题意知|x|>a恒成立，
∵|x|≥0，∴a<0.
【举一反三4】方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件是________，它的一个充分不必要条件可以是________.
【答案】a≤1 a＝1(答案不唯一)
【解析】方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件是Δ＝(－2)2－4a≥0a≤1.
当a＝1时，方程有实根x＝1.
又方程x2－2x＋a＝0有实根，不一定是a＝1，
故“a＝1”是方程x2－2x＋a＝0有实根的一个充分不必要条件.
【举一反三5】分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
【答案】解 “两个三角形全等”的充要条件：
(1)两个三角形三边对应相等.
(2)两个三角形的两边及夹角对应相等.
“两个三角形相似”的充要条件：
(1)两个三角形三边对应成比例.
(2)两个三角形三角对应相等.
【举一反三6】设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c.我们知道,如果△ABC为直角三角形,那么 (勾股定理).反过来，如果那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是
请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明.
【答案】解 (1)若△ABC 是锐角三角形，则>c .
证明：必要性：当△ABC是锐角三角形时，如图①，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，则有BD=a-x，根据勾股定理，得
整理得
充分性:在△ABC中， 不是直角.
假设∠C为钝角，如图②，过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D.
设CD=y，则
根据勾股定理，得
与矛盾，
∴∠C 为锐角，即△ABC为锐角三角形.
∴△ABC 为锐角三角形的一个充要条件是
(2)若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有
证明：必要性：当△ABC是钝角三角形时，如图②，
根据勾股定理，得即
充分性:在△ABC 中，不是直角.
假设∠C为锐角，如图①，显然 与矛盾，
∴∠C为钝角，即△ABC为钝角三角形.
∴△ABC为钝角三角形的一个充要条件是
【题型2】探求必要条件
【典型例题】已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为“”是“”的必要条件，所以，
当时满足题意，即，所以；
当时，或，
解得：或；
综上可得，实数a的取值范围是.
故答案为：.
【举一反三1】“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为________；一个必要条件可以为________．
【答案】a>3(答案不唯一) a>－1(答案不唯一)
【解析】因为一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根，
所以解得a≥2.
故一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个充分条件可以为a>3；
一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个必要条件可以为a>－1.
【举一反三2】已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为“”是“”的必要条件，所以，
当时满足题意，即，所以；
当时，或，
解得：或；
综上可得，实数a的取值范围是.
故答案为：.
【举一反三3】设集合A＝{1,2}，
(1)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件；
(2)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件．
【答案】(1){1,2,3}(答案不唯一)
(2){1}(答案不唯一)
【题型3】判断充分条件与必要条件
【典型例题】对任意角和，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：当时，或，所以不具备充分性；
必要性：当时，所以具有必要性，所以为必要不充分条件.
所以选择B.
【举一反三1】 “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当，则成立；反之，当，时，显然不一定成立，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【举一反三2】是的_______条件.
【答案】充分不必要
【解析】当 时,则 所以 是 的充分条件，
又，所以方程 有两个根，故是的充分不必要条件.
【举一反三3】下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝.
【答案】解 (1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0，
a2＋b2＝0a＋b＝0，
∴p是q的必要条件但不是充分条件.
(2)∵x＝1或x＝2x－1＝，
x－1＝x＝1或x＝2，
∴p是q的充分条件，也是必要条件.
【题型4】既不充分也不必要条件
【典型例题】“x，y为无理数”是“xy为无理数”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】充分性：取符合“x，y为无理数”，但是不符合“xy为无理数”，
故充分性不满足；
必要性：当“xy为无理数”时，可以取，但是不符合“x，y为无理数”，
故必要性不满足.
故“x，y为无理数”是“xy为无理数”的既不充分也不必要条件.
故选：D．
【举一反三1】“函数y＝x2－2x＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】函数y＝x2－2x＋a的图象在x轴的上方，
则Δ＝4－4a<0，解得a>1，
由集合的包含关系可知{a|a>1} {a|0≤a≤1}，{a|0≤a≤1} {a|a>1}，故选D.
【举一反三2】已知，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】满足，但无意义，不成立，不充分，
反之，满足，但无意义，即不成立，因此不必要，
从而应为既不充分也不必要条件，
故选：D．
【举一反三3】已知p：2x＋3＝x2，q：x＝x2，则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由2x＋3＝x2，得x＝－1或x＝3，
由x＝x2，得x＝3或x＝0，
故p是q的既不充分也不必要条件．
【题型5】必要条件的判断
【典型例题】“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既充分也必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“四边形的对角线互相垂直”无法推出“四边形是菱形”，反之，“四边形是菱形”可以推出“四边形的对角线互相垂直”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件．故选B.
【举一反三1】关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要条件是( )
A.m< B.m< C.m<- D.m<-
【答案】A
【举一反三2】下列选项中，p是q的必要条件的是( )
A.p：a＝1，q：|a|＝1
B.p：－1＜a＜1，q：a＜1
C.p：a＜b，q：a＜b＋1
D.p：a＞b，q：a＞b＋1
【答案】D
【解析】要满足p是q的必要条件，即q p，只有q：a＞b＋1 p：a＞b符合题意，故选D.
【举一反三3】下列哪些命题中q不是p的必要条件( )
A.p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等
B.p：A B，q：A∩B＝A
C.p：a>b，q：ac>bc
D.p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B
【答案】C
【解析】A．因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件；
B．因为p q，所以q是p的必要条件；
C．因为c=0时，ac=bc，所以p q，所以q不是p的必要条件；
D．因为对顶角相等，即p q，所以q是p的必要条件．
【题型6】充分条件与必要条件关系的判断
【典型例题】(2023·吉林省长春市第八中学期中)“”是“”的条件( )
A.充分而不必要
B.必要而不充分
C.充分必要
D.既不充分也不必要
【答案】B
【解析】当成立时有成立，反之不正确，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
【举一反三1】设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当时，满足,所以是的不充分条件；
当时，满足,所以是的不必要条件.
故选：D.
【举一反三2】明—罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件．你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件．
【举一反三3】已知a，b，c是实数，判断下列命题的真假：
(1)“”是“”的充分条件是_____命题；
(2)“” 是“”的必要条件是_____命题；
(3)“a>b”是“”的充分条件是_____命题；
(4)“a>b”是“”的必要条件是_____命题.
【答案】(1)假 (2)假 (3)假 (4)真
【举一反三4】下列各题中，哪些p是q的充要条件
(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
(3)p:A∩B为空集,q:A与B之一为空集.
【答案】解 (1)p 是q的充要条件.(2)p不是 q 的充要条件.(3)p不是q的充要条件.
【举一反三5】举例说明:
(1)p是q的充分不必要条件；
(2) p是q的必要不充分条件；
(3) p是q的充要条件.
【答案】解 (1)p:0(2)p:0(3)p:x>1，q:x-1>0.
【题型7】利用充分、必要条件求参数范围
【典型例题】“关于x的方程mx2-2x+3=0有两个同号的实根”的一个充分条件是( )
A.m>0 B.m≤ C.-1【答案】D
【举一反三1】使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不等式成立的一个充分不必要条件是，
是的必要不充分条件，是的非充分非必要条件，
是的充分必要条件.
故选：A. 【难度】基础题
【举一反三2】已知集合P＝{x|－1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________.
【答案】{m|m≥3}
【解析】由题意，知PS，
又P＝{x|－1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
所以且两式等号不同时成立，
解之得m≥3.
【举一反三3】已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m【答案】{m|m>3}
【解析】因为p是q的充分条件，所以A B，如图，
则解得m>3.
【举一反三4】已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】解 p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．
q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以A B，
所以 －≤a＜0，
所以a的取值范围是－≤a＜0.
【题型8】充分条件的判断
【典型例题】已知条件p:m>0,结论q:关于x的方程x2-x-m=0有实根,则( )
A.p是q的充分条件
B.p是q的必要条件
C.p不是q的充分条件
D.无法判断
【答案】A
【举一反三1】下列“若p，则q形式的命题中，p是q的充分条件的是( )
A.若两直线的斜率相等，则两直线平行
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【答案】A
【解析】A中p是q的充分条件，B，C，D中p是q的必要条件，
故选A.
【举一反三2】下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A.p：ab≠0，q：a≠0
B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C.p：x2>1，q：x>1
D.p：a>b，q：>
【答案】A
【解析】根据充分条件的概念逐一判断．
A项，∵ab≠0，∴ a≠0且b≠0，∴ p是q的充分条件；
B项，当a=-1，b=-2时，满足a2＋b2≥0，但不满足a≥0且b≥0, ∴ p不是q的充分条件；
C项，当x=-2时，满足x2>1，但不满足x>1，∴ p不是q的充分条件；
D项，当a=-1，b=-2时，满足a>b，但>无意义，∴ p不是q的充分条件.
【举一反三3】下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是( )
A.若＝，则x＝y B.若x2＝1，则x＝1 C.若x＝y，则＝ D.若x【答案】A
【解析】B项中，若x2＝1，则x＝1或x＝－1；C项中，当x＝y<0时，，无意义；D项中，当xy2，所以B，C，D中p不是q的充分条件．
【题型9】探求充分条件
【典型例题】已知集合A＝{x∈R|－1A.{m|m≥2} B.{m|m≤2} C.{m|m>2} D.{m|－2【答案】A
【解析】因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A B，所以3≤m＋1，即m≥2.
【举一反三1】下列选项中,可以作为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是( )
A.a≤0 B.a>0 C.a<-1 D.a<1
【答案】C
【举一反三2】设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是( )
A.x＋y＝2 B.x＋y>2 C.x2＋y2>2 D.xy>1
【答案】B
【解析】对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意；
对于选项B，若x≤1，y≤1时，有x＋y≤2，反之不成立，
所以x＋y>2是x，y中至少有一个数大于1成立的充分条件．
【举一反三3】用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 .
【答案】已知是偶数，则n是奇数
【解析】用反证法证明命题“设，已知是偶数，则是偶数”.
反证法的第一步是作出与原命题结论相反的假设，原命题结论是是偶数，那么假设就是已知是偶数时，是奇数.
【举一反三4】下列式子：①a＜0＜b；②b＜0＜a；③0＜b＜a.其中能使＜成立的充分条件有________．(只填序号)
【答案】①③
【解析】根据＜，可得＜0，故b－a与ab异号．对于①，由a＜0＜b，可得b－a＞0，ab＜0，故①能使＜成立；对于②，由b＜0＜a，可得b－a＜0，ab＜0，故②不能使＜成立；对于③，由0＜b＜a，可得b－a＜0，ab＞0，故③能使＜成立．故能使＜成立的充分条件有①③.
【举一反三5】设，．若p是q的充分条件，求m的最大值.
【答案】解 由，得．
因为是的充分条件，所以，
所以，所以的最大值为1．
【题型10】利用充分条件和必要条件求参数(或取值范围)
【典型例题】若“x≤－1或x≥1”是“xA.－2 B.－1 C.0 D.1
【答案】B
【解析】“x≤－1或x≥1”是“x所以实数a的最大值为－1.
【举一反三1】已知，则“”是“二次函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，解得或.
二次函数对称轴为，在上单调递增，则，即 .
或不能推出，而能推出或，
所以“”是“二次函数在上单调递增”的必要不充分条件.
【举一反三2】(2023·江苏省无锡市辅仁高级中学期中)设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】由已知可得，所以，.
故答案为：.
【举一反三3】已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
【答案】{a|a≤0}
【解析】α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}．
∵β：|x－1|<1，
∴0∴β可看作集合B＝{x|0又∵α是β的必要不充分条件，
∴BA，∴a≤0. 故实数a的取值范围是{a|a≤0}.
【举一反三4】（2023·江西省上饶市第二中学期中）已知命题实数x满足，命题q：实数x满足．
（1）若命题p为假命题，求实数x的取值范围；
（2）若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】解：（1）命题为假命题，则，解得，
所以实数x的取值范围为.
（2）由题意，命题或，
设其对应的集合为，则或，
命题或，
设其对应的集合为，则或，
因为命题是命题的必要不充分条件，
所以是的真子集，
所以（不同时取等号），解得，
所以实数的取值范围为.1.4充分条件与必要条件
【知识点1】充要条件的判断 1
【知识点2】必要不充分条件的应用 2
【知识点3】充分不必要条件的判断 3
【知识点4】充分条件的判断 3
【知识点5】必要条件的应用与性质定理 4
【知识点6】充要条件的应用 5
【知识点7】既不充分也不必要条件的判断 5
【知识点8】既不充分也不必要条件的应用 6
【知识点9】充分条件的应用与判定定理 7
【知识点10】必要条件的判断 7
【知识点11】充分不必要条件的应用 8
【知识点12】必要不充分条件的判断 9
【题型1】充分条件和必要条件的探求 9
【题型2】探求必要条件 10
【题型3】判断充分条件与必要条件 10
【题型4】既不充分也不必要条件 11
【题型5】必要条件的判断 12
【题型6】充分条件与必要条件关系的判断 12
【题型7】利用充分、必要条件求参数范围 13
【题型8】充分条件的判断 14
【题型9】探求充分条件 14
【题型10】利用充分条件和必要条件求参数(或取值范围) 15
【知识点1】充要条件的判断
充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件．即若P成立，则Q成立，若Q成立，则P也成立．用符号表示为P Q．充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的．
要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P Q和Q P．如果两者都成立，则P和Q互为充要条件．通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推理的正确性．
充要条件的命题方向包括几何图形的判定条件、函数的性质等．例如，矩形的对角线相等且互相平分是矩形的充要条件．
“方程x2-2x+m=0至多有一个实数解”的一个充要条件是（ ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m≥2
D．m≥0
解：“方程 x2-2x+m=0至多有一个实数解”的充要条件为“（-2）2-4m≤0”即“m≥1”．
故选：A．
【知识点2】必要不充分条件的应用
必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q P，但 P Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立．
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
设；q：a≤x≤a+1，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
B.
C.
D.
解：p：≤x≤1，q：a≤x≤a+1，
又∵p的必要不充分条件是q，
∴p q，反之则不能，
∴1≤a+1，a≤，
∴0≤a≤，
当a=0时，q：0≤x≤1，满足p的必要不充分条件是q，
当a=时，q：≤x≤，满足p的必要不充分条件是q，
∴0≤a≤．
故选：D．
【知识点3】充分不必要条件的判断
充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P Q，但 Q P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．
要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件．
充分不必要条件的命题方向包括几何图形的特殊性质、函数的特定性质等．
已知命题p：x2-4x+3＜0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x≤1
B．1＜x＜2
C．x≥3
D．2＜x＜3
解：由x2-4x+3＜0，解得1＜x＜3，
则1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要条件．
故选：BD．
【知识点4】充分条件的判断
充分条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立．在数学上，通常记作P Q．充分条件的概念在逻辑推理和数学证明中非常重要，常用于判断某些结论是否成立．例如，在三角形中，如果一个三角形是等边三角形，那么它必然是等腰三角形，这就是等边三角形是等腰三角形的充分条件．
要判断一个条件是否为充分条件，可以通过验证当条件P成立时，条件Q是否也必然成立．通常可以通过具体实例或逻辑推理来验证．例如，假设P成立，通过推理或计算验证Q是否成立．如果可以找到反例，即P成立但Q不成立，则P不是Q的充分条件．
在高考和其他数学考试中，常见的充分条件的命题方向包括几何图形的性质、函数的性质、数列的性质等．例如，三角形全等判定条件中的SAS、SSS等都是充分条件．函数的单调性和极值之间的关系也是常见的命题方向．
下列选项中，满足p是q的充分条件的是（ ）
A．p：x＞，q：x＞1
B．p：m=0，q：mn=0
C．p：x2≠0，q：x≠0
D．p：x＞y，q：x2＞y2
解：对于A，由可推出x＞1，所以是x＞1的充分条件，A正确，
对于B，由m=0可推出mn=0，所以m=0是mn=0的充分条件，B正确，
对于C，由x2≠0可推出x≠0，所以x2≠0是x≠0的充分条件，C正确，
对于D，当x=2，y=-2时，x＞y，但是x2=y2，所以x＞y不是x2＞y2的充分条件，D错误．
故选：ABC．
【知识点5】必要条件的应用与性质定理
必要条件的应用在数学中也非常广泛．通过必要条件，可以确定某些结论的必然性．性质定理是基于必要条件的理论工具，用于判断某些条件是否必然满足．
应用必要条件时，可以先寻找问题中的必要条件，然后利用这些条件判断问题的必然性．性质定理可以直接套用，简化解题过程．
必要条件的应用与性质定理的命题方向包括几何证明题、代数证明题等．例如，四边形性质判定、平行四边形判定等几何题中常见．
已知p：-4＜x-a＜4，q：2＜x＜3，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，6]
B．（-∞，-1]
C．[6，+∞）
D．（-∞，-1]∪[6，+∞）
解：由-4＜x-a＜4，得-4+a＜x＜4+a，
即p：-4+a＜x＜4+a，对应的集合A=（-4+a，4+a），
结合q：2＜x＜3，得q对应的集合B=（2，3），
若p是q的必要条件，可知（2，3） （-4+a，4+a），
∴，解得-1≤a≤6．
故选：A．
【知识点6】充要条件的应用
充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
已知集合P={x|-2≤x≤10}，S={x|1-m≤x≤1+m}，是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：若x∈P是x∈S的充要条件，
则P=S，即，得，此时方程组无解．
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
【知识点7】既不充分也不必要条件的判断
既不充分也不必要条件是指条件P和条件Q之间没有任何充分或必要的关系．即P成立与否对Q成立与否没有影响．
用符号表示为P Q且Q P．这种条件在数学中表示两个条件之间是独立的，没有任何相互关系．
例如，直线平行和直线垂直的关系．
要判断两个条件是否既不充分也不必要，可以分别验证P Q和Q P．找到P成立但Q不成立，以及Q成立但P不成立的反例．
通过举反例，可以证明两个条件之间的独立性．逻辑推理和具体实例是验证这种条件的有效方法．
既不充分也不必要条件的命题方向包括几何图形的独立性质、代数条件等．
例如，两个不相交的直线的平行和垂直关系在几何题中常见．
【知识点8】既不充分也不必要条件的应用
既不充分也不必要条件是指条件P和条件Q之间没有任何充分或必要的关系．即P成立与否对Q成立与否没有影响．
用符号表示为P Q且Q P．这种条件在数学中表示两个条件之间是独立的，没有任何相互关系．
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
已知非空集合A={x|a-3＜x＜2a}，B={x|x2-2x-8＞0}．
若“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．解：由题意得A≠ ，∴a-3＜2a，即a＞-3，
由x∈A是x∈B的既不充分也不必要条件，
则，∴-1＜a＜7，
∴a的取值范围为（-1，7）．
【知识点9】充分条件的应用与判定定理
充分条件的应用在数学中非常广泛．通过充分条件，可以简化问题的解决过程．判定定理是基于充分条件的理论工具，用于证明某些结论的成立．例如，三角形全等的判定定理（如SAS、SSS等）就是典型的充分条件应用．
应用充分条件时，可以先寻找问题中的充分条件，然后利用这些条件简化解题过程．充分条件的判定定理可以直接套用，省去复杂的推理过程．例如，在三角形全等问题中，直接应用SAS判定定理，可以迅速得到结论．对于复杂问题，可以将其分解为多个充分条件，逐一验证．
充分条件的应用与判定定理的命题方向包括几何证明题、代数证明题等．
已知x≥2a-1是x≥3的充分条件，则实数a的取值范围是 _____．
解：由题意得：x≥2a-1 x≥3，故2a-1≥3，解得：a≥2，
故实数a的取值范围是{a|a≥2}．
故答案为：{a|a≥2}．
【知识点10】必要条件的判断
必要条件是指如果条件Q成立，那么条件P必然成立．用符号表示为Q P．必要条件是判断一个结论是否必须具备的条件．例如，如果一个数是偶数，那么它必然能被2整除，能被2整除是偶数的必要条件．在解决数学问题时，确定必要条件可以帮助我们缩小可能的解答范围．
要判断一个条件是否为必要条件，可以通过假设条件Q成立，然后验证条件P是否也必然成立．可以使用反证法，即假设P不成立，看看Q是否也不成立．如果Q不成立，那么P是Q的必要条件．此外，可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．
必要条件的命题方向通常包括数列的收敛性判定、几何图形的判定等．例如，判断一个四边形是否是平行四边形，可以利用对角线互相平分这个必要条件．
若关于x的方程x2+（m-1）x+1=0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）
A．-1＜m＜3
B．-2＜m＜4
C．m＜4
D．-1≤m＜2
解：因为方程x2+（m-1）x+1=0至多有一个实数根，
所以方程x2+（m-1）x+1=0的判别式Δ≤0，
即：（m-1）2-4≤0，解得-1≤m≤3，
利用必要条件的定义，结合选项可知，-1≤m≤3成立的必要条件可以是选项B和选项C．
故选：BC．
【知识点11】充分不必要条件的应用
充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P Q，但 Q P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
集合A={x|x2+（a+2）x+2a＜0}，B={x|x2+2x-3＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|-1≤a≤3}
B．{a|-1≤a＜2或2＜a≤3}
C．{a|2＜a≤3}
D．{a|a≥2}
解：因为A={x|x2+（a+2）x+2a＜0}={x|（x+2）（x+a）＜0}，B={x|x2+2x-3＜0}={x|-3＜x＜1}，
若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A B且A≠ ，
当-a＜-2时，A={x|-a＜x＜-2}，B={x|-3＜x＜1}，则-a≥-3，解得2＜a≤3，
当-a＞-2时，A={x|-2＜x＜-a}，B={x|-3＜x＜1}，则-a≤1，解得-1≤a＜2，
所以-1≤a＜2或2＜a≤3．
故选：B．
【知识点12】必要不充分条件的判断
必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q P，但 P Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立．
要判断一个条件是否为必要不充分条件，可以先验证Q P，然后找反例验证P成立但Q不成立．举反例是关键步骤，找到一个P成立但Q不成立的例子即可证明P不是Q的充分条件．例如，通过几何图形性质验证某些必要不充分条件．
必要不充分条件的命题方向包括几何图形的判定条件、代数性质等．
已知x∈R，设p：x2-x＜0，则p的一个必要不充分条件是（ ）
A．-1＜x＜0
B.
C.
D.0＜x＜1
解：因为x2-x＜0，
所以0＜x＜1，
所以p的一个必要不充分条件是．
故选：B．
【题型1】充分条件和必要条件的探求
【典型例题】下面四个条件中，使“a>b”成立的充分不必要条件是( )
A.a≥b＋1 B.a>b－1 C.a2>b2 D.|a|>|b|
【举一反三1】不等式“a>b>0”成立的一个充分不必要条件是( )
A.a2>b2>0 B.a3>b3>0 C.>>1 D.>>1
【举一反三2】（2023·广东省广州市广东实验中学期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________．
【举一反三4】方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件是________，它的一个充分不必要条件可以是________.
【举一反三5】分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
【举一反三6】设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c.我们知道,如果△ABC为直角三角形,那么 (勾股定理).反过来，如果那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是
请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明.
【题型2】探求必要条件
【典型例题】已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______.
【举一反三1】“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为________；一个必要条件可以为________．
【举一反三2】已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______.
【举一反三3】设集合A＝{1,2}，
(1)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件；
(2)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件．
【题型3】判断充分条件与必要条件
【典型例题】对任意角和，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【举一反三1】 “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【举一反三2】是的_______条件.
【举一反三3】下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝.
【题型4】既不充分也不必要条件
【典型例题】“x，y为无理数”是“xy为无理数”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【举一反三1】“函数y＝x2－2x＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【举一反三2】已知，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【举一反三3】已知p：2x＋3＝x2，q：x＝x2，则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【题型5】必要条件的判断
【典型例题】“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既充分也必要条件
D.既不充分也不必要条件
【举一反三1】关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要条件是( )
A.m< B.m< C.m<- D.m<-
【举一反三2】下列选项中，p是q的必要条件的是( )
A.p：a＝1，q：|a|＝1
B.p：－1＜a＜1，q：a＜1
C.p：a＜b，q：a＜b＋1
D.p：a＞b，q：a＞b＋1
【举一反三3】下列哪些命题中q不是p的必要条件( )
A.p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等
B.p：A B，q：A∩B＝A
C.p：a>b，q：ac>bc
D.p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B
【题型6】充分条件与必要条件关系的判断
【典型例题】(2023·吉林省长春市第八中学期中)“”是“”的条件( )
A.充分而不必要
B.必要而不充分
C.充分必要
D.既不充分也不必要
【举一反三1】设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【举一反三2】明—罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件．你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【举一反三3】已知a，b，c是实数，判断下列命题的真假：
(1)“”是“”的充分条件是_____命题；
(2)“” 是“”的必要条件是_____命题；
(3)“a>b”是“”的充分条件是_____命题；
(4)“a>b”是“”的必要条件是_____命题.
【举一反三4】下列各题中，哪些p是q的充要条件
(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
(3)p:A∩B为空集,q:A与B之一为空集.
【举一反三5】举例说明:
(1)p是q的充分不必要条件；
(2) p是q的必要不充分条件；
(3) p是q的充要条件.
【题型7】利用充分、必要条件求参数范围
【典型例题】“关于x的方程mx2-2x+3=0有两个同号的实根”的一个充分条件是( )
A.m>0 B.m≤ C.-1【举一反三1】使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知集合P＝{x|－1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________.
【举一反三3】已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m【举一反三4】已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
【题型8】充分条件的判断
【典型例题】已知条件p:m>0,结论q:关于x的方程x2-x-m=0有实根,则( )
A.p是q的充分条件
B.p是q的必要条件
C.p不是q的充分条件
D.无法判断
【举一反三1】下列“若p，则q形式的命题中，p是q的充分条件的是( )
A.若两直线的斜率相等，则两直线平行
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【举一反三2】下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A.p：ab≠0，q：a≠0
B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C.p：x2>1，q：x>1
D.p：a>b，q：>
【举一反三3】下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是( )
A.若＝，则x＝y B.若x2＝1，则x＝1 C.若x＝y，则＝ D.若x【题型9】探求充分条件
【典型例题】已知集合A＝{x∈R|－1A.{m|m≥2} B.{m|m≤2} C.{m|m>2} D.{m|－2【举一反三1】下列选项中,可以作为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是( )
A.a≤0 B.a>0 C.a<-1 D.a<1
【举一反三2】设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是( )
A.x＋y＝2 B.x＋y>2 C.x2＋y2>2 D.xy>1
【举一反三3】用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 .
【举一反三4】下列式子：①a＜0＜b；②b＜0＜a；③0＜b＜a.其中能使＜成立的充分条件有________．(只填序号)
【举一反三5】设，．若p是q的充分条件，求m的最大值.
【题型10】利用充分条件和必要条件求参数(或取值范围)
【典型例题】若“x≤－1或x≥1”是“xA.－2 B.－1 C.0 D.1
【举一反三1】已知，则“”是“二次函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【举一反三2】(2023·江苏省无锡市辅仁高级中学期中)设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______.
【举一反三3】已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
【举一反三4】（2023·江西省上饶市第二中学期中）已知命题实数x满足，命题q：实数x满足．
（1）若命题p为假命题，求实数x的取值范围；
（2）若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．