2.1等式性质与不等式性质
【知识点1】不等关系与不等式 1
【知识点2】不等式比较大小 2
【知识点3】等式与不等式的性质 3
【题型1】不等式组表示生活中的问题 4
【题型2】作差法比较大小(分式型) 5
【题型3】作差法比较大小的实际应用 5
【题型4】作差法比较大小(配方法) 7
【题型5】不等式性质比较大小(特殊值法) 7
【题型6】已知不等式性质(双变量)求参数范围 8
【题型7】不等式性质的综合问题 9
【题型8】作差法比较大小(因式法) 9
【题型9】不等式性质的综合应用 10
【题型10】利用不等式性质(可乘性)判断大小 10
【题型11】用不等式表示数学问题 11
【题型12】用不等式表示生活问题 12
【题型13】不等式性质比较大小(综合问题) 13
【题型14】已知不等式性质(单变量范围)求取值范围 14
【题型15】不等式在生活中的应用 14
【题型16】不等式性质比较大小 16
【题型17】不等式性质比较大小(分析法) 16
【知识点1】不等关系与不等式
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a-b＞0就是不等式．
不等式定理
①对任意的a，b，有a＞b a-b＞0；a=b a-b=0；a＜b a-b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
例1：解不等式：sinx≥．
解：∵sinx≥，
∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b ．
证明：由ab＞0，知＞0．
又∵a＞b，∴a＞b，即；
若，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
【知识点2】不等式比较大小
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
方法一：作差法
典例1：若a＜0，b＜0，则p=与q=a+b的大小关系为（ ）
A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q
解：p-q=-a-b==（b2-a2）=，
∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
若a=b，则p-q=0，此时p=q，
若a≠b，则p-q＜0，此时p＜q，
综上p≤q，
故选：B
方法二：利用函数的单调性
典例2：三个数，，的大小顺序是（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
解：由指数函数的单调性可知，＞，
由幂函数的单调性可知，＞，
则＞＞，
故＜＜，
故选：B．
【知识点3】等式与不等式的性质
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b a-b＞0；
②a＜b a-b＜0；
③a=b a-b=0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c a＞c；
③可加性：a＞b a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0 an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0 （ n∈N，且n＞1）．
【题型1】不等式组表示生活中的问题
【典型例题】如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放语文书和英语书，已知每本英语书厚，每本语文书厚，语文书和英语书共84本恰好摆满该书架，则书架上英语书的本数为（ ）
A. 38 B. 39 C. 41 D. 42
【举一反三1】A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为______________．
【举一反三3】一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的；白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为________________．
【举一反三4】某班有48人，计划于元旦乘出租车前往某景区游玩，现需从A，B两种型号的出租车中选择一种，已知A型号的出租车比B型号的少5辆，若选择A型号出租车，每辆车乘坐4人，则出租车不够，每辆车乘坐5人，则有一辆车没有坐满但不空；若选择B型号出租车，每辆车乘坐3人，则出租车不够，每辆车乘坐4人，则出租车有剩余，设A型号的出租车有x辆，用不等式将题目中的不等关系表示出来．
【题型2】作差法比较大小(分式型)
【典型例题】若a，b，m都是正数，则不等式＞成立的条件是( )
A.a＞b B.b＞a C.a＞m D.m＞b
【举一反三1】设，，则（ ）．
A. B. C. D.
【举一反三2】若，则、、、中最小的是 .
【举一反三3】已知c>a>b>0，求证：>.
【举一反三4】已知a>b>0，比较aabb与abba的大小.
【题型3】作差法比较大小的实际应用
【典型例题】购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为( )
A.第一种方式购买物品的单价为
B.第二种方式购买物品的单价为
C.第一种方式购买物品所用单价更低
D.第二种方式购买物品所用单价更低
【举一反三1】某体育器材公司投资一项新产品，先投入本金元，得到的利润是元．收益率为，假设在该投资的基础上，此公司再追加投资元，得到的利润也增加了x元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则( )
A. B. C. D.
【举一反三2】同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸 妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸 妈妈谁更合算呢？( )
A.爸爸 B.妈妈 C.一样 D.不确定
【举一反三3】某次全程为的长跑比赛中，选手甲总共用时为，前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑：乙前一半路程以速度匀速跑，后一半路程以速度匀速跑：若，则 先到达终点(填“甲”或“乙”).
【举一反三4】矩形的一组邻边长为，，矩形的一组邻边长为，.按如图所示的方式重叠后两阴影部分的面积分别为、，则 (填“或”).
【举一反三5】 “高质量发展”已逐渐成为人们的共识.发展的同时更要重视生态环境的保护，2020年起，某政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭.一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大(不同周价格不同).假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为x，y(单位：元/kg)；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买4kg鸡蛋，乙每周购买12元钱鸡蛋．
(1)若x＝8，y＝12，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格；
(2)判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠(平均价格低视为实惠)，并说明理由．
【举一反三6】(1)已知克糖水中含有克糖，再添加克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
(2)东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元(两种糖价格不相等).东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.(物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量)
【题型4】作差法比较大小(配方法)
【典型例题】若m＝3x2－x＋1，n＝2x2＋x－1，则m与n的大小关系是( )
A.m>n B.m≥n C.m
【举一反三1】已知，，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】设，则（ ）
A.
B.
C.
D.P与Q的大小关系不确定
【举一反三3】已知，则 ．（用“>”或“<”填空）
【举一反三4】已知a＞0，求证：a＋≥2.
【举一反三5】已知等式
(1)若x、y均为正整数，求x、y的值；
(2)设，，、分别是等式中的x取（）时y所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由.
【题型5】不等式性质比较大小(特殊值法)
【典型例题】已知，则下列不等式一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】若a，b，c，d∈R，则下列说法正确的是（ ）
A.若，，则
B.若，则
C.若，，则
D.若，则
【举一反三2】下列命题中的真命题是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【举一反三3】已知R，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【题型6】已知不等式性质(双变量)求参数范围
【典型例题】若存在，使不等式成立，则实数a的（ ）
A.最大值是－2 B.最小值是6 C.最小值是－2 D.最大值是6
【举一反三1】若不等式，，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】若－10＜a＜b＜8，则a＋b的取值范围是________，|a|＋b的取值范围是________．
【举一反三4】（2023·云南省曲靖市第一中学月考）已知，则的取值集合是__________.
【举一反三5】已知－2＜a≤3，1≤b＜2，求下列代数式的取值范围：
(1)a＋b；
(2)2a－3b.
【题型7】不等式性质的综合问题
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【举一反三1】下列命题中，正确的是( )
A.若a>b，c>d，则ac>bd
B.若ac>bc，则aC.若a>b，c>d，则a－c>b－d
D.若<，则a【举一反三2】已知有理数a，b满足，则的值为（ ）
A. B. C. 或0 D. 或0
【举一反三3】某高校在2023年9月初共有m名在校学生，其中有n(m>n)名大一新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例____________(选填“变大”“变小”或“不变”)，其理论论据用数学形式表达为 ________________________________.
【举一反三4】已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．
【题型8】作差法比较大小(因式法)
【典型例题】“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【举一反三1】已知a>b>c>0，m=b-ca，n=a-cb，则（ ）
A.m≥n B.m>n C.m≤n D.m【举一反三2】已知，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【举一反三3】已知：，则大小关系是 ．
【举一反三4】已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．
【举一反三5】（1）若，试比较和的大小；
（2）若，求证：.
【题型9】不等式性质的综合应用
【典型例题】如果，，那么下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知条件甲：a>0，条件乙：a>b且>，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【举一反三2】已知，则的取值范围是______．
【举一反三3】判断下列各命题的真假，并说明理由.
(1)若a(2)若ac3b；
(3)若a>b，且k∈N*，则ak>bk；
(4)若a>b，b>c，则a－b>b－c.
【题型10】利用不等式性质(可乘性)判断大小
【典型例题】（2023·甘肃省庆阳市第一中学期中）若，，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】（2023·四川省宜宾市兴文第二中期中）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【举一反三2】已知a＋b<0，且a>0，则( )
A.a2<－ab【举一反三3】（2023·江西省上饶市广丰中学月考）根据条件：a，b，c满足，且，有如下推理：① ② ③ ④其中正确的是（ ）
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【举一反三4】已知a，b是实数，且a＞b，则－a －b（填“＞”或“＜”）．
【举一反三5】若，那么 .(用“>或<或=”填空)
【举一反三6】已知a，b是实数，且a＞b，则－a －b（填“＞”或“＜”）．
【题型11】用不等式表示数学问题
【典型例题】下列能表示“a不比b小”的不等关系的是( )
A.a－b＞0 B.a－b＜0 C.a－b≥0 D.a－b≤0
【举一反三1】设，定义运算“”和“”如下：，若正数m，n，p，q满足，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】设，定义运算“”和“”如下：，若正数m，n，p，q满足，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三3】下列能表示“a不比b小”的不等关系的是( )
A.a－b＞0 B.a－b＜0 C.a－b≥0 D.a－b≤0
【举一反三4】某次数学智力测验，共有20道试题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得0分．某同学有一题未答，设这个学生至少答对x道题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系________(不用化简)．
【举一反三5】(2023·甘肃省白银市第四中学月考)用描述法表示如图中阴影部分点(含边界)的集合：________．
【举一反三6】某次数学智力测验，共有20道试题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得0分．某同学有一题未答，设这个学生至少答对x道题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系________(不用化简)．
【举一反三7】(2023·甘肃省白银市第四中学月考)用描述法表示如图中阴影部分点(含边界)的集合：________．
【题型12】用不等式表示生活问题
【典型例题】铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为( )
A.a＋b＋c>130 B.a＋b＋c<130 C.a＋b＋c≥130 D.a＋b＋c≤130
【举一反三1】某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为( )
A.v≤120 km/h且d≥10 m
B.v≤120 km/h或d≥10 m
C.v≤120 km/h
D.d≥10 m
【举一反三2】某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足 .
【举一反三3】用不等式或不等式组表示下面的不等关系：
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m;
(2)a与b的和是非负实数；
(3)如图，在一个面积小于350 m 的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位:m)的4倍.
【题型13】不等式性质比较大小(综合问题)
【典型例题】如果，则正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【举一反三1】若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是 ．
【举一反三3】已知，证明：若，则或.
【举一反三4】(1)设，，比较，的大小；
(2)若，根据性质“如果，，那么”，证明：.
【题型14】已知不等式性质(单变量范围)求取值范围
【典型例题】若1A.{ a－|b||－3B.{ a－|b||－3C.{ a－|b||－3D.{ a－|b||1【举一反三1】若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A.－2<α－β<0 B.－2<α－β<－1 C.－1<α－β<0 D.－1<α－β<1
【举一反三2】若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A.－2<α－β<0 B.－2<α－β<－1 C.－1<α－β<0 D.－1<α－β<1
【举一反三3】若1A.{ a－|b||－3B.{ a－|b||－3C.{ a－|b||－3D.{ a－|b||1【举一反三4】若3≤x≤5，－2≤y≤－1，则x－y的取值范围是________，xy的取值范围是______．
【举一反三5】已知12【举一反三6】已知，，设，则的取值范围是______.
【题型15】不等式在生活中的应用
【典型例题】李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是( )
A.3x－6≥40 B.3x＋6≥40 C.3x－6≤40 D.3x＋4≤40
【举一反三1】将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段绳子的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为( )
A.
B.
C.2x－5≥1或5－2x≥1
D.
【举一反三2】在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知克糖水中含有克糖()，再添加克糖()(假设全部溶解)，可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式
A. B. C. D.
【举一反三3】甲 乙两人连续两天在同一个水果店购买了同一品种的砂糖橘，两天的价格不同，两人购买的方式不同，每人每天购买1次，甲每次总是买5斤，乙每次总是买20元的，设甲两次购买的平均价格为x元斤，乙两次购买的平均价格为y元斤，则下列关系式一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三4】有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，则宿舍间数为________．
【举一反三5】有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，则宿舍间数为________．
【举一反三6】 某校学生积极参加社团活动，高一年级共有名学生，其中参加合唱社团的学生有名，参加科技社团的学生有名（并非每个学生必须参加某个社团）.在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有_______名学生，最少有__________名学生.
【题型16】不等式性质比较大小
【典型例题】已知、、，则“”是“”的（ ）条件
A.充要
B.充分非必要
C.必要非充分
D.既非充分也非必要
【举一反三1】已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A.a>> B.>>a C.>a> D.>>a
【举一反三2】给出四个条件：①； ②；③； ④．其中能成为的充分条件的有（ ）
A.① B.② C.③ D.④
【举一反三3】对于任意实数，，，，命题 ①若 ，，则 ；②若 ，则；③若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤若 ，，则．其中真命题的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三4】用不等号“>”或“<”填空:
(1)如果a>b,c(2)如果a>b>0,c(3)如果a>b>0,那么____；
(4)如果a>b>c>0,那么___.
【举一反三5】设m＝－，n＝－，p＝－，则m，n，p的大小顺序为________．
【举一反三6】设m＝－，n＝－，p＝－，则m，n，p的大小顺序为________．
【举一反三7】已知，且，则 （填“>”或“<”）.
【题型17】不等式性质比较大小(分析法)
【典型例题】设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a
【举一反三1】若a＝1，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a
【举一反三2】下列说法中正确的是（）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【举一反三3】设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a
【举一反三4】已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小．
【举一反三5】（1）已知，求证；
（2）利用（1）的结论，证明：（且）.2.1等式性质与不等式性质
【知识点1】不等关系与不等式 1
【知识点2】不等式比较大小 2
【知识点3】等式与不等式的性质 3
【题型1】不等式组表示生活中的问题 4
【题型2】作差法比较大小(分式型) 6
【题型3】作差法比较大小的实际应用 8
【题型4】作差法比较大小(配方法) 11
【题型5】不等式性质比较大小(特殊值法) 13
【题型6】已知不等式性质(双变量)求参数范围 15
【题型7】不等式性质的综合问题 17
【题型8】作差法比较大小(因式法) 19
【题型9】不等式性质的综合应用 21
【题型10】利用不等式性质(可乘性)判断大小 22
【题型11】用不等式表示数学问题 24
【题型12】用不等式表示生活问题 27
【题型13】不等式性质比较大小(综合问题) 28
【题型14】已知不等式性质(单变量范围)求取值范围 30
【题型15】不等式在生活中的应用 32
【题型16】不等式性质比较大小 34
【题型17】不等式性质比较大小(分析法) 36
【知识点1】不等关系与不等式
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a-b＞0就是不等式．
不等式定理
①对任意的a，b，有a＞b a-b＞0；a=b a-b=0；a＜b a-b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
例1：解不等式：sinx≥．
解：∵sinx≥，
∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b ．
证明：由ab＞0，知＞0．
又∵a＞b，∴a＞b，即；
若，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
【知识点2】不等式比较大小
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
方法一：作差法
典例1：若a＜0，b＜0，则p=与q=a+b的大小关系为（ ）
A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q
解：p-q=-a-b==（b2-a2）=，
∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
若a=b，则p-q=0，此时p=q，
若a≠b，则p-q＜0，此时p＜q，
综上p≤q，
故选：B
方法二：利用函数的单调性
典例2：三个数，，的大小顺序是（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
解：由指数函数的单调性可知，＞，
由幂函数的单调性可知，＞，
则＞＞，
故＜＜，
故选：B．
【知识点3】等式与不等式的性质
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b a-b＞0；
②a＜b a-b＜0；
③a=b a-b=0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c a＞c；
③可加性：a＞b a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0 an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0 （ n∈N，且n＞1）．
【题型1】不等式组表示生活中的问题
【典型例题】如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放语文书和英语书，已知每本英语书厚，每本语文书厚，语文书和英语书共84本恰好摆满该书架，则书架上英语书的本数为（ ）
A. 38 B. 39 C. 41 D. 42
【答案】D
【解析】设书架上有本英语书，本语文书，
所以，解之得，所以选择D.
【举一反三1】A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】为简便起见，复用表示四个同学的年龄，则
则：①，②,③.
①+②得,①+③得，②+③得,由于,,故由③得,,
由①得，∵,∴，∴,∴,
综上.
故选：D.
【举一反三2】一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为______________．
【答案】8(x＋19)>2 200 >9
【解析】由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)>2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km，原来行驶8天的路程就要用9天多，即>9.
【举一反三3】一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的；白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为________________．
【答案】(x，y，z∈N*)
【解析】由题意可得 (x，y，z∈N*)．
【举一反三4】某班有48人，计划于元旦乘出租车前往某景区游玩，现需从A，B两种型号的出租车中选择一种，已知A型号的出租车比B型号的少5辆，若选择A型号出租车，每辆车乘坐4人，则出租车不够，每辆车乘坐5人，则有一辆车没有坐满但不空；若选择B型号出租车，每辆车乘坐3人，则出租车不够，每辆车乘坐4人，则出租车有剩余，设A型号的出租车有x辆，用不等式将题目中的不等关系表示出来．
【答案】解 由已知得，A型号的出租车有x辆，则B型号出租车有(x＋5)辆，
则
【题型2】作差法比较大小(分式型)
【典型例题】若a，b，m都是正数，则不等式＞成立的条件是( )
A.a＞b B.b＞a C.a＞m D.m＞b
【答案】B
【解析】＞ －＞0 －＝＞0，
因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需b－a＞0，即b＞a.
【举一反三1】设，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
，
则
.
故，当且仅当时，取等号，
故选：D.
【举一反三2】若，则、、、中最小的是 .
【答案】
【解析】因为，所以，，，
因为，，所以，，
即，
故答案为：.
【举一反三3】已知c>a>b>0，求证：>.
【答案】证明 方法一 因为c>a>b>0，
所以0所以(c－a)(c－b)>0，
所以0<·(c－a)<·(c－b)，
即0<<，
即>>0，
又因为a>b>0，所以>.
方法二 因为a>b>0，所以<，
因为c>0，所以<，
所以－1<－1，即<，
因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0.
所以>.
方法三 －＝
＝＝，
因为c>a>b>0，
所以a－b>0，c－a>0，c－b>0，
所以>.
【举一反三4】已知a>b>0，比较aabb与abba的大小.
【答案】解 ∵＝＝a－b，
又a>b>0，故>1，a－b>0，
∴a－b>1，即>1，
又abba>0，∴aabb>abba，
∴aabb与abba的大小关系为aabb>abba.
【题型3】作差法比较大小的实际应用
【典型例题】购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为( )
A.第一种方式购买物品的单价为
B.第二种方式购买物品的单价为
C.第一种方式购买物品所用单价更低
D.第二种方式购买物品所用单价更低
【答案】D
【解析】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为，
则平均价格为，故A不正确；
第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为，
第一次能购得该物品的数量为，第二次能购得该物品的数量为，
则平均价格为，B错误；
因为，
所以，C错误，D正确.
故选：D.
【举一反三1】某体育器材公司投资一项新产品，先投入本金元，得到的利润是元．收益率为，假设在该投资的基础上，此公司再追加投资元，得到的利润也增加了x元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，公司再追加投资元后的的总收益率是，而，
则由得，即，
所以有.
故选：D.
【举一反三2】同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸 妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸 妈妈谁更合算呢？( )
A.爸爸 B.妈妈 C.一样 D.不确定
【答案】A
【解析】由题意，妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油
设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升
则，且
∴，
所以爸爸的加油方式更合算，
故选：A.
【举一反三3】某次全程为的长跑比赛中，选手甲总共用时为，前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑：乙前一半路程以速度匀速跑，后一半路程以速度匀速跑：若，则 先到达终点(填“甲”或“乙”).
【答案】甲
【解析】由题意可知对于选手甲，，则，，
设选手乙总共用时，则对于选手乙，，则，
，
即，即甲先到达终点，
故答案为：甲.
【举一反三4】矩形的一组邻边长为，，矩形的一组邻边长为，.按如图所示的方式重叠后两阴影部分的面积分别为、，则 (填“或”).
【答案】
【解析】设空白处面积为，，，
因为，
所以.
故答案为：.
【举一反三5】 “高质量发展”已逐渐成为人们的共识.发展的同时更要重视生态环境的保护，2020年起，某政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭.一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大(不同周价格不同).假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为x，y(单位：元/kg)；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买4kg鸡蛋，乙每周购买12元钱鸡蛋．
(1)若x＝8，y＝12，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格；
(2)判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠(平均价格低视为实惠)，并说明理由．
【答案】解 (1)甲两周购买鸡蛋的平均价格为元;
乙两周购买鸡蛋的平均价格为元.
(2)甲两周购买鸡蛋的平均价格为
乙两周购买鸡蛋的平均价格为
因为
所以,
即，所以乙的购买方式更实惠.
【举一反三6】(1)已知克糖水中含有克糖，再添加克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
(2)东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元(两种糖价格不相等).东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.(物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量)
【答案】解 (1)克糖水中含有克糖，则糖在糖水中所占的比例为，
再添加克糖(假设全部溶解)，则糖在糖水中所占的比例，
糖水变甜了，说明加糖后，糖在糖水中所占的比例变大了，即有，证明如下：
，则；
(2)对于东东而言，他买到的糖的平均价格为(元/千克)，
对于华华而言，设华华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克，
故华华买到的糖的平均价格为(元/千克)，
，即东东买到的糖的平均价格较高.
【题型4】作差法比较大小(配方法)
【典型例题】若m＝3x2－x＋1，n＝2x2＋x－1，则m与n的大小关系是( )
A.m>n B.m≥n C.m【答案】A
【解析】m－n＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，因此m>n.
【举一反三1】已知，，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，当且仅当时取等号，
∴.
故选：D.
【举一反三2】设，则（ ）
A.
B.
C.
D.P与Q的大小关系不确定
【答案】A
【解析】因为
所以
故.
故选：A.
【举一反三3】已知，则 ．（用“>”或“<”填空）
【答案】>
【解析】因为,
又，，所以，所以，
故答案为：>.
【举一反三4】已知a＞0，求证：a＋≥2.
【答案】证明 因为a＞0，
所以a＋－2＝()2＋2－2＝2≥0，所以a＋≥2.
【举一反三5】已知等式
(1)若x、y均为正整数，求x、y的值；
(2)设，，、分别是等式中的x取（）时y所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由.
【答案】解 (1)由得：，即，
∵x，y为正整数，∴可知y只能为1或2，
∴当时，，当时，，即x，y的值为：或；
(2)，理由如下：
由题设条件可知，，
∵，∴，
设，，
∵，∴，即，
∵，，
即，，即，
由
∵，，即，
∴.
【题型5】不等式性质比较大小(特殊值法)
【典型例题】已知，则下列不等式一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，故D正确；
对于A：若，，满足，此时，故A错误；
对于B：若，，满足，此时，故B错误；
对于C：因为，所以，故C错误；
故选：D.
【举一反三1】若a，b，c，d∈R，则下列说法正确的是（ ）
A.若，，则
B.若，则
C.若，，则
D.若，则
【答案】D
【解析】对于A选项，由可得，因，故不能判断的值正负，故A项错误；
对于B选项，因时，，故B项错误；
对于C选项，取满足，，
但是有，故C项错误；
对于D选项，因a>b>0因，故，
由不等式的同向皆正可乘性可得：，移项得：，故D项正确.
故选：D.
【举一反三2】下列命题中的真命题是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【答案】D
【解析】对A：若，当时，，故A错误；
对B：若，，设，，，，
则，故B错误；
对C：若，当时，，故C错误；
对D：若，则得，故D正确.
故选：D.
【举一反三3】已知R，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A：当时，，A错误；
对于B：，，所以，B正确；
对于C：当时，满足，但，C错误；
对于D：当时，满足，，D错误.
故选：B.
【题型6】已知不等式性质(双变量)求参数范围
【典型例题】若存在，使不等式成立，则实数a的（ ）
A.最大值是－2 B.最小值是6 C.最小值是－2 D.最大值是6
【答案】A
【解析】因为存在，使不等式，
所以.
时，，所以，
由均值不等式知，当且仅当时取等号，
故，.
【举一反三1】若不等式，，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，又，
故选：B.
【举一反三2】已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为是的必要条件，所以，
等价于成立.
构造函数，即在恒成立，
所以，代入得，等价于，
又因为，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故选：D.
【举一反三3】若－10＜a＜b＜8，则a＋b的取值范围是________，|a|＋b的取值范围是________．
【答案】－20＜a＋b＜16 0＜|a|＋b＜18
【解析】(1)当a≥0时，0≤a＜8，0＜b＜8，故0＜a＋b＜16，而|a|＋b＝a＋b，所以0＜|a|＋b＜16；
(2)当a＜0时，－10＜a＜0，故0＜|a|＝－a＜10，
又－10＜b＜8，所以－20＜a＋b＜8，－10＜|a|＋b＜18，又a＜b，所以|a|＋b＞0，所以0＜|a|＋b＜18.
综上，a＋b的取值范围是－20＜a＋b＜16，|a|＋b的取值范围是0＜|a|＋b＜18.
【举一反三4】（2023·云南省曲靖市第一中学月考）已知，则的取值集合是__________.
【答案】
【解析】由，可得，
因为，
所以，故的取值集合是.
故答案为：.
【举一反三5】已知－2＜a≤3，1≤b＜2，求下列代数式的取值范围：
(1)a＋b；
(2)2a－3b.
【答案】解 (1)由－2＜a≤3，1≤b＜2，得－1＜a＋b＜5.
所以a＋b的取值范围是{a＋b|－1＜a＋b＜5}．
(2)由－2＜a≤3得－4＜2a≤6.①
由1≤b＜2得－6＜－3b≤－3.②
由①＋②得，－10＜2a－3b≤3.
所以2a－3b的取值范围是{2a－3b|－10＜2a－3b≤3}．
【题型7】不等式性质的综合问题
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】D
【解析】对于选项A.当时，则有，故A错误；
对于选项B.若，，，，则不成立，故B错误；
对于选项C.由，可得；又因为，两个不等式相加可得，即，故C错误；
对于选项D.因为，所以；又因为，则；
不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变，
所以，即，故D正确.
【举一反三1】下列命题中，正确的是( )
A.若a>b，c>d，则ac>bd
B.若ac>bc，则aC.若a>b，c>d，则a－c>b－d
D.若<，则a【答案】D
【解析】选项A中，当a>b>0，c>d>0时，ac>bd成立，但是当a，c均为负值时不成立，故A不正确；
选项B中，当c<0时，ac>bc可推出a0时，ac>bc可推出a>b，故B不正确；
选项C中，由a>b，c>d，可得a－d>b－c，故C不正确；
选项D中，若<成立，显然c≠0，所以c2>0，根据不等式的性质，不等式两边同乘一个正数，所得的不等式的不等号与原不等式的不等号同向，显然有a【举一反三2】已知有理数a，b满足，则的值为（ ）
A. B. C. 或0 D. 或0
【答案】C
【解析】因为，所以分为以下四种情况讨论
当，时，原式=；
当，时，原式；
当，时，原式；
当，时，原式．
故选：C．
【举一反三3】某高校在2023年9月初共有m名在校学生，其中有n(m>n)名大一新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例____________(选填“变大”“变小”或“不变”)，其理论论据用数学形式表达为 ________________________________.
【答案】变大 若m>n>0，b>0，则<
【解析】由题意补录了b名学生，新生人数增多，而原有学生人数不变，由此知，新生所占的比例必增大．
由于补录后新生人数变为n＋b，在校生人数增加为m＋b，
故所对应的不等式模型是<，
即若m>n>0，b>0，则<.
【举一反三4】已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．
【答案】解 ∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7【题型8】作差法比较大小(因式法)
【典型例题】“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
【举一反三1】已知a>b>c>0，m=b-ca，n=a-cb，则（ ）
A.m≥n B.m>n C.m≤n D.m【答案】D
【解析】作差可得：
，
因为a>b>c>0，
所以，
所以，所以.
故选：D.
【举一反三2】已知，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【答案】D
【解析】对于A中，当时，可得，所以A错误；
对于B中，由，可得，所以，所以B错误；
对于C中，由，
因为，所以，，，所以，
所以，所以C错误；
对于D中，由，
因为，所以，所以，所以D正确．
故选：D.
【举一反三3】已知：，则大小关系是 ．
【答案】
【解析】由，得，因此，
显然，则，
所以大小关系是.
故答案为：.
【举一反三4】已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．
【答案】解 x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，
当a>b时，a－b>0，即x－y>0，所以x>y；
当a＝b时，a－b＝0，即x－y＝0，所以x＝y；
当a【举一反三5】（1）若，试比较和的大小；
（2）若，求证：.
【答案】（1）解 作差得：；
所以当时，；
当时，；
当时，；
（2）证明 作商得：，
∵，∴，且，
∴，因此.
【题型9】不等式性质的综合应用
【典型例题】如果，，那么下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A、当，，则不成立，故A错误；
对于B，当，，则不成立，故B错误；
对于C，当，，则不成立，故C错误；
对于D，因为，，所以，故D正确.
故选：D.
【举一反三1】已知条件甲：a>0，条件乙：a>b且>，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为a>0不能推出a>b，所以充分性不成立；若a>b且>，即a>b且>0，可得b－a<0且ab<0，则a>0，b<0，即a>b且>，能推出a>0，所以必要性成立.所以可得甲是乙的必要不充分条件．
【举一反三2】已知，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】将两边同时乘2可得，将与同时相加可得，故的取值范围是.
【举一反三3】判断下列各命题的真假，并说明理由.
(1)若a(2)若ac3b；
(3)若a>b，且k∈N*，则ak>bk；
(4)若a>b，b>c，则a－b>b－c.
【答案】解 (1)∵a0，∴>不一定成立，∴推不出<，∴是假命题.
(2)当c>0时，c3>0，∴a(3)当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.
(4)当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝2【题型10】利用不等式性质(可乘性)判断大小
【典型例题】（2023·甘肃省庆阳市第一中学期中）若，，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】对于A，当时，，故A错误；
对于B，取，，∴，，∴，故B错误；
对于C，∵，∴，故C正确；
对于D，取，，则，故D错误.
故选：C.
【举一反三1】（2023·四川省宜宾市兴文第二中期中）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】对于A选项，若，则，故A错误；
对于B选项，取，，满足，但此时，
故B错误；
对于C选项，∵，在不等式同时乘以，得，
另一方面在不等式两边同时乘以b，得，∴，故C正确；
对于D选项，，则，所以，即，故D错误.
故选：C.
【举一反三2】已知a＋b<0，且a>0，则( )
A.a2<－ab【答案】A
【解析】由a＋b<0，且a>0，得0∴a2<－ab，且－ab<(－b)2＝b2，
因此a2<－ab【举一反三3】（2023·江西省上饶市广丰中学月考）根据条件：a，b，c满足，且，有如下推理：① ② ③ ④其中正确的是（ ）
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【答案】B
【解析】由，因为，所以，
对于b的值可正可负也可为0，
因为，而，所以，所以①错误；
因为，，从而，所以②错误；
因为，当时，，
当时，由，所以③正确；
因为，，④正确；
综上可知，③④正确.
故选：B．
【举一反三4】已知a，b是实数，且a＞b，则－a －b（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜
【解析】因为，所以，
故答案为：.
【举一反三5】若，那么 .(用“>或<或=”填空)
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，即，
因为，所以，即，
故答案为：.
【举一反三6】已知a，b是实数，且a＞b，则－a －b（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜
【解析】因为，所以，
故答案为：.
【题型11】用不等式表示数学问题
【典型例题】下列能表示“a不比b小”的不等关系的是( )
A.a－b＞0 B.a－b＜0 C.a－b≥0 D.a－b≤0
【答案】C
【举一反三1】设，定义运算“”和“”如下：，若正数m，n，p，q满足，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】对于AC，不妨取，则，排除AC；
对于B，取，则，可排除B；
对于D，假设且，则（矛盾），
故m，n至少有一个大于等于2，所以.
假设且，则（矛盾），
故p，q至少又一个小于等于2，故.
综上，D正确.
故选：D.
【举一反三2】设，定义运算“”和“”如下：，若正数m，n，p，q满足，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】对于AC，不妨取，则，排除AC；
对于B，取，则，可排除B；
对于D，假设且，则（矛盾），
故m，n至少有一个大于等于2，所以.
假设且，则（矛盾），
故p，q至少又一个小于等于2，故.
综上，D正确.
故选：D.
【举一反三3】下列能表示“a不比b小”的不等关系的是( )
A.a－b＞0 B.a－b＜0 C.a－b≥0 D.a－b≤0
【答案】C
【举一反三4】某次数学智力测验，共有20道试题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得0分．某同学有一题未答，设这个学生至少答对x道题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系________(不用化简)．
【答案】5x－2(19－x)≥80，x∈N*
【解析】这个学生至少答对x道题，有一题未答，故答错(19－x) 道题，不等关系为5x－2(19－x)≥80，x∈N*.
【举一反三5】(2023·甘肃省白银市第四中学月考)用描述法表示如图中阴影部分点(含边界)的集合：________．
【答案】
【解析】依题意图中阴影部分的点(含边界)的集合为.
故答案为：.
【举一反三6】某次数学智力测验，共有20道试题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得0分．某同学有一题未答，设这个学生至少答对x道题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系________(不用化简)．
【答案】5x－2(19－x)≥80，x∈N*
【解析】这个学生至少答对x道题，有一题未答，故答错(19－x) 道题，不等关系为5x－2(19－x)≥80，x∈N*.
【举一反三7】(2023·甘肃省白银市第四中学月考)用描述法表示如图中阴影部分点(含边界)的集合：________．
【答案】
【解析】依题意图中阴影部分的点(含边界)的集合为.
故答案为：.
【题型12】用不等式表示生活问题
【典型例题】铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为( )
A.a＋b＋c>130 B.a＋b＋c<130 C.a＋b＋c≥130 D.a＋b＋c≤130
【答案】D
【解析】根据乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm可知，a＋b＋c≤130.
【举一反三1】某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为( )
A.v≤120 km/h且d≥10 m
B.v≤120 km/h或d≥10 m
C.v≤120 km/h
D.d≥10 m
【答案】A
【解析】v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m.二者需同时满足，故用“且”连接。
【举一反三2】某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足 .
【答案】
【解析】司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足.
【举一反三3】用不等式或不等式组表示下面的不等关系：
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m;
(2)a与b的和是非负实数；
(3)如图，在一个面积小于350 m 的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位:m)的4倍.
【答案】解 (1)0(2)a+b≥0.
【题型13】不等式性质比较大小(综合问题)
【典型例题】如果，则正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【答案】C
【解析】因为，所以
对于A，不妨令，则有，但，故A错误；
对于B，令，则虽有，但，故B错误；
对于C，因为，所以，
又，所以两式相加得，故C正确；
对于D，不妨令，则有，但，故D错误.
故选：C.
【举一反三1】若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，A错误.
由，得，则，B错误.
由，得，，C正确.
由，得，，D错误.
【举一反三2】已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是 ．
【答案】③
【解析】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误；
对于②，当时，满足，不满足，故②错误；
对于③，由，则，即，故③正确；
对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误.
故答案为：③.
【举一反三3】已知，证明：若，则或.
【答案】证明 假设且，则，与已知矛盾，
所以假设不成立，故或.
【举一反三4】(1)设，，比较，的大小；
(2)若，根据性质“如果，，那么”，证明：.
【答案】(1)解 ，
所以.
(2)证明 因为，，所以，
所以，即.
又因为，所以.
【题型14】已知不等式性质(单变量范围)求取值范围
【典型例题】若1A.{ a－|b||－3B.{ a－|b||－3C.{ a－|b||－3D.{ a－|b||1【答案】C
【解析】∵－4∴－4<－|b|≤0.
又∵1【举一反三1】若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A.－2<α－β<0 B.－2<α－β<－1 C.－1<α－β<0 D.－1<α－β<1
【答案】A
【解析】由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1.∴－2<α－β<2，又因为α<β.所以－2<α－β<0.故选A.
【举一反三2】若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A.－2<α－β<0 B.－2<α－β<－1 C.－1<α－β<0 D.－1<α－β<1
【答案】A
【解析】由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1.∴－2<α－β<2，又因为α<β.所以－2<α－β<0.故选A.
【举一反三3】若1A.{ a－|b||－3B.{ a－|b||－3C.{ a－|b||－3D.{ a－|b||1【答案】C
【解析】∵－4∴－4<－|b|≤0.
又∵1【举一反三4】若3≤x≤5，－2≤y≤－1，则x－y的取值范围是________，xy的取值范围是______．
【答案】{x－y|4≤x－y≤7} {xy|－10≤xy≤－3}
【解析】∵3≤x≤5，－2≤y≤－1，∴1≤－y≤2，∴4≤x－y≤7，∴3≤x(－y)≤10，∴－10≤xy≤－3.
【举一反三5】已知12【答案】
【解析】∵15【举一反三6】已知，，设，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】设
对照系数可得，
解得，，所以.
又，所以①.
又，所以②，
+②可得，故.
【题型15】不等式在生活中的应用
【典型例题】李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是( )
A.3x－6≥40 B.3x＋6≥40 C.3x－6≤40 D.3x＋4≤40
【答案】B
【解析】x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400，即3x＋6≥40.
【举一反三1】将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段绳子的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为( )
A.
B.
C.2x－5≥1或5－2x≥1
D.
【答案】D
【解析】由题意知，若其中一段绳子的长度为xcm，则另一段绳子的长度为(5－x)m，
因为两段绳子的长度之差不小于1 m，
所以即
【举一反三2】在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知克糖水中含有克糖()，再添加克糖()(假设全部溶解)，可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：根据不等式中两个重要不等式判定得，，
糖水变甜说明加糖后分式的值变大了，只有符合.
故选：B.
【举一反三3】甲 乙两人连续两天在同一个水果店购买了同一品种的砂糖橘，两天的价格不同，两人购买的方式不同，每人每天购买1次，甲每次总是买5斤，乙每次总是买20元的，设甲两次购买的平均价格为x元斤，乙两次购买的平均价格为y元斤，则下列关系式一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设砂糖橘第一天的价格是元/斤，第二天价格是元/斤，，，
则，，
∵，∴，即，
∴，，A错；；B错；
在上不是单调函数，C错；
，∴，D正确．
故选：D．
【举一反三4】有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，则宿舍间数为________．
【答案】10，11或12
【解析】设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，解得＜x＜.∵x∈N*，∴x＝10，11或12.
【举一反三5】有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，则宿舍间数为________．
【答案】10，11或12
【解析】设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，解得＜x＜.∵x∈N*，∴x＝10，11或12.
【举一反三6】 某校学生积极参加社团活动，高一年级共有名学生，其中参加合唱社团的学生有名，参加科技社团的学生有名（并非每个学生必须参加某个社团）.在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有_______名学生，最少有__________名学生.
【答案】
【解析】画出韦恩图，设同时参加合唱社团和科技社团的学生人数为，则，
由题意可得，解得，故，
故同时参加合唱社团和科技社团的最多有个学生，最少有个学生.
【题型16】不等式性质比较大小
【典型例题】已知、、，则“”是“”的（ ）条件
A.充要
B.充分非必要
C.必要非充分
D.既非充分也非必要
【答案】C
【解析】因为、、，当时，则，即“”“”，
若，则，由不等式的基本性质可得，即“”“”，
因此，“”是“”的必要非充分条件.
故选：C.
【举一反三1】已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A.a>> B.>>a C.>a> D.>>a
【答案】D
【解析】由题意知>0，b2>1，∴0<<1，又a<0，
∴a<<0，
∴>>a.
【举一反三2】给出四个条件：①； ②；③； ④．其中能成为的充分条件的有（ ）
A.① B.② C.③ D.④
【答案】A
【解析】对于①，因为，所以，所以，
所以能成为的充分条件；
对于②，当时，由，得，
所以不能成为的充分条件；
对于③，当时，，
所以不能成为的充分条件；
对于④，当时，，
所以不能成为的充分条件.
故选：A.
【举一反三3】对于任意实数，，，，命题 ①若 ，，则 ；②若 ，则；③若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤若 ，，则．其中真命题的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】命题①若 ，，当时， ，故命题①为假命题；
命题②若 ，当时，则，故命题②为假命题；
命题③若 ，则，正确，故命题③为真命题；
命题④若 ，当时，，故命题④为假命题；
命题⑤若 ，，当，，，时，则，故命题⑤为假命题;
有1条真命题.
故选：A.
【举一反三4】用不等号“>”或“<”填空:
(1)如果a>b,c(2)如果a>b>0,c(3)如果a>b>0,那么____；
(4)如果a>b>c>0,那么___.
【答案】(1)> (2)< (3)< (4)<
【举一反三5】设m＝－，n＝－，p＝－，则m，n，p的大小顺序为________．
【答案】m>n>p
【解析】m＝＝＝，
n＝＝＝，
p＝＝＝，
∵0<＋<＋<＋，
∴>>>0，
∴m>n>p.
【举一反三6】设m＝－，n＝－，p＝－，则m，n，p的大小顺序为________．
【答案】m>n>p
【解析】m＝＝＝，
n＝＝＝，
p＝＝＝，
∵0<＋<＋<＋，
∴>>>0，
∴m>n>p.
【举一反三7】已知，且，则 （填“>”或“<”）.
【答案】<
【解析】由题意知，，则，
所以，即.
故答案为：<.
【题型17】不等式性质比较大小(分析法)
【典型例题】设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a
【答案】B
【解析】因为b＝－＝，c＝－＝.
＋>＋，
所以<，所以b因为(＋)＝2＋2>4，
所以<，即c综上可得a>c>b.
【举一反三1】若a＝1，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a
【答案】A
【解析】由b＝－＝，c＝－＝，而＋<＋，得>，所以b>c，又b<1，c<1，综上，a>b>c，故选A.
【举一反三2】下列说法中正确的是（）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【答案】B
【解析】A选项：当时，，A错误.
B选项：若，则，根据绝对值性质，，，所以，B正确.
C选项：当时，，不成立，C错误.
D选项：若，当时，，D错误.
综上，选B.
【举一反三3】设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a
【答案】B
【解析】因为b＝－＝，c＝－＝.
＋>＋，
所以<，所以b因为(＋)＝2＋2>4，
所以<，即c综上可得a>c>b.
【举一反三4】已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小．
【答案】解 因为－(1－x)＝＝，
当x＝0时，＝1－x；
当1＋x＜0，即x＜－1时，＜0，所以＜1－x；
当1＋x＞0且x≠0，即－1＜x＜0或x＞0时，＞0，所以＞1－x.
【举一反三5】（1）已知，求证；
（2）利用（1）的结论，证明：（且）.
【答案】证明 （1）因为，所以，
于是.
（2）即证（且），
由（1）式可知，，
故
（且），
（且），
即（且），原式得证.