2.2基本不等式
【知识点1】运用基本不等式比较大小 1
【知识点2】运用“1”的代换构造基本不等式 2
【知识点3】运用基本不等式求最值 2
【知识点4】运用基本不等式解决实际问题 3
【题型1】基本不等式在生活中的综合应用 4
【题型2】直接求最值(和为定值) 8
【题型3】配凑法求最值(和为定值) 10
【题型4】消元法求最值 12
【题型5】直接用常数代换法求最值 14
【题型6】基本不等式成立的条件 16
【题型7】基本不等式在生活中的简单应用 18
【题型8】用基本不等式比较代数式大小 20
【题型9】基本不等式综合问题 22
【题型10】基本不等式的正确应用 25
【题型11】直接求最值综合问题 27
【题型12】常数代换法(变形)求最值 29
【题型13】常数代换法(配凑)求最值 31
【题型14】直接求最值(积为定值) 33
【题型15】配凑法求最值(综合提升) 35
【题型16】配凑法求最值(积为定值) 37
【题型17】简单用基本不等式比较大小 40
【题型18】基本不等式中的恒成立问题 43
【题型19】整体构造求最值 44
【知识点1】运用基本不等式比较大小
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．
运用均值不等式比较大小时，需要将待比较的数值代入不等式．例如，要比较两个数a和 b 的大小，可以使用 在具体题目中，通常会将两个数构造成可以应用均值不等式的形式，然后进行比较．例如，比较 和 2 的大小，可以利用均值不等式得出
均值不等式比较大小的命题方向主要包括代数式的大小比较、几何中的边长或面积的比较等．例如，比较两个代数式的大小，或比较两个三角形的面积大小．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行比较，并能正确代入和计算．
比较大小： _____2．（填“＞”“＜”“≥”或“≤”）
解：根据题意，=+≥2=2，当且仅当x=0时等号成立，
故答案为：≥．
【知识点2】运用“1”的代换构造基本不等式
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．
在一些复杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而构造均值不等式，简化问题．
运用“1”的代换构造均值不等式时，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而应用均值不等式．
已知实数x，y∈R+，且x+y=4，求的最小值．
解：∵x＞0，y＞0，x+y=4，
∴=，当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为：．
故答案为：．
【知识点3】运用基本不等式求最值
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．
在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式 x+ 的最小值，可以利用均值不等式 从而得出最小值为 2，并且在 x=1 时取到最小值．需要注意的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证．
均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．
已知正数a，b满足a+b=1，则的最大值是_____．
解：因为正数a，b满足a+b=1，
所以a+1+b+1=3，
则=，
当且仅当a=b=时取等号．
故答案为：．
【知识点4】运用基本不等式解决实际问题
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．
均值不等式在解决实际问题中有广泛应用．例如，在优化设计、资源分配等问题中，可以通过均值不等式求解最优解，从而解决实际问题．通过均值不等式，可以将实际问题转化为数学问题，从而进行分析和求解．
运用均值不等式解决实际问题的命题方向包括优化设计问题、资源分配问题等．例如，通过均值不等式求解最优资源分配方案，或设计最优几何图形．这类题型要求学生能够将实际问题转化为数学问题，并能灵活运用均值不等式进行求解和分析．
某单位准备建造一间地面面积为12平方米，背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/平方米，房屋侧面的造价为800元/平方米，屋顶造价为5800元，房屋背面的费用忽略不计．若墙高为3米，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少？
解：设房屋侧面的长度为x米，房屋总造价为y，
则y=2x×3×800+×3×1200+5800
=4800（x+）+5800（x＞0），
∵x+≥2=6，当且仅当x=，即x=3时取等号，
∴y的最小值为4800×6+5800=34600，
则当矩形小房地面的长度分别为3，4米时，总造价最低．最低总造价是34600元．
【题型1】基本不等式在生活中的综合应用
【典型例题】某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处 D.2千米处
【答案】A
【解析】设仓库与车站的距离为d千米，则y1＝，y2＝k2d，由题意知2＝，8＝10k2，∴k1＝20，k2＝0.8.∴y1＋y2＝＋0.8d≥2＝8，当且仅当＝0.8d，即d＝5时，等号成立．
【举一反三1】由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（ ）
A. 采用第一种方案划算
B. 采用第二种方案划算
C. 两种方案一样
D. 采用哪种方案无法确定
【答案】B
【解析】不妨设两次购买猪肉的价格分别为，，
第一种方案，均价为，
第二种方案，第一次购买的数量为斤，第二次购买数量斤，所以第二种方案的均价为，因为，当且仅当时，等号成立，所以第一种方案的均价；第二种方案的均价，即当且仅当时，等号成立；所以采用第二种方案划算.
故选：B.
【举一反三2】每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（ ）
A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定
【答案】A
【解析】设两次加油的油价分别为，（，且），
乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为，
则乙方案的平均油价为：，甲方案的平均油价为：，
因为，所以，即甲方案更经济．
故选：A.
【举一反三3】某运输公司计划租地建造自己的物流仓库，记仓库到车站距离为 （单位：km），经过调查可知，每月土地占用费（单位：万元） 与 成反比，每月货物运输费 （单位：万元） 与 成正比，若在距离车站3km处建仓库，则和分别为12万元和2万元，则这家公司把仓库建在距离车站__________km处时，两项费用之和最小.
【答案】8
【解析】∵每月土地占地费（单位：万元）与成反比，
∴可设，，
∵每月货物运输费（单位：万元）与成正比，
∴可设，，
又∵在距离车站处建仓库时，与分别为12万元和2万元，
即时，，
∴代入函数可得，，，
∴，，，
∴，
当且仅当时，即时，“”成立.
故答案为：8.
【举一反三4】经济订货批量模型是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系为T(x)＝＋，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费.某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6 000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元.
(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；
(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？
【答案】解 (1)由题意，A＝6 000，B＝120，C＝2 500.
则T(x)＝＋＝60x＋，
T(300)＝60×300＋＝68 000(元).
(2)T(x)＝60x＋≥2＝60 000.
当且仅当60x＝，即x＝500时，Tmin＝60 000.
故每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60 000元.
【举一反三5】(2023·江苏省无锡市辅仁高级中学期中)如图，长方形表示一张(单位：分米)的工艺木板，其四周有边框(图中阴影部分)，中间为薄板.木板上一瑕疵(记为点P)到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料，其中M，N分别在上.设的长分别为m分米，n分米.
(1)求值；
(2)为使剩下木板的面积最大，试确定m，n的值；
(3)求剩下木板的外边框长度(的长度之和)的最大值及取得最大值时m，n的值.
【答案】解：(1)过点分别作的垂线，垂足分别为，
则，所以，则，
整理可得.
(2)要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小，
因为，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，剩下木板的面积最大.
(3)要使剩下木板的外边框长度最大，则锯掉的边框长度最小，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，
此时.
【题型2】直接求最值(和为定值)
【典型例题】若正实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )
A.1 B.2 C.2 D.4
【答案】A
【解析】∵≤，∴ab≤2＝1，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
【举一反三1】(2023·甘肃省白银市第四中学月考)已知正数满足，则的最大值( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为正数满足，
所以有，当且仅当时取等号.
故选：B.
【举一反三2】若，且，则（ ）
A. 有最小值为 B. 有最大值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为
【答案】D
【解析】已知，，根据均值不等式（当且仅当时取等号）.因为，所以，两边同时平方可得，进而解得，即有最大值为.
【举一反三3】设0
A. B.b C.2ab D.a2＋b2
【答案】B
【解析】∵0∴ab<2＝，
∴2ab<.
∵>>0，
∴>，∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，
∴b>a2＋b2，综上，2ab<【举一反三4】若一个三角形的三边长分别为，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式.已知的周长为，则的面积的最大值为___________.
【答案】
【解析】因为的周长为，所以，
，
所以
当且仅当，即时取等号，
所以的面积的最大值为.
【举一反三5】已知，且，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】.
即.
两边同时平方得，即.
当且仅当，结合，可得，时等号成立.
【举一反三6】已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________．
【答案】50
【解析】由m2＋n2≥2mn，得mn≤＝50.当且仅当m＝n＝±5时等号成立．
【题型3】配凑法求最值(和为定值)
【典型例题】已知正数，满足，则的最小值为（）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】已知，则.
则，
所以.
当且仅当，结合，可得，时取等号.故选B
【举一反三1】若0＜2x＜3，则(3－2x)x的最大值为( )
A. B. C.2 D.
【答案】D
【解析】∵0＜2x＜3，∴3－2x＞0，x＞0，∴(3－2x)x＝(3－2x)·2x≤2＝，当且仅当3－2x＝2x，即x＝时取等号，∴(3－2x)x的最大值为.
【举一反三2】已知0【答案】
【解析】∵00，则y＝x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤2＝，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立．
所以y的最大值为.
【举一反三3】若a>0，b>0，且a2＋＝1，求a的最大值．
【答案】解 ∵a>0，b>0，a2＋＝1，
∴a＝＝
＝≤
＝＝，
当且仅当a2＝，
即a＝，b＝时等号成立，
∴a的最大值为.
【举一反三4】(2023·江苏省连云港市第一中学模拟)已知，求：
(1)的最大值；
(2)的最大值．
【答案】解：(1)，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
(2)，
∴，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
【题型4】消元法求最值
【典型例题】已知（，），则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C.
【举一反三1】设a，b，c为实数，不等式解集是或，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式解集是或，根据一元二次不等式的解法可知，大于0取两根之外，则开口方向向上，即，且1和3为方程的两根，所以根据韦达定理得，即，，
所以，因为，所以当且仅当时等号成立，所以当且仅当时取等号，故选：C.
【举一反三2】对任意正数x，不等式ax≤x2＋1恒成立，则实数a的最大值为( )
A.1 B. C.2 D.
【答案】C
【解析】由ax≤x2＋1，x>0，得a≤x＋，
又x>0，故x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立.
所以a≤2，即a的最大值是2.
【举一反三3】若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值是________．
【答案】27
【解析】因为ab－4a－b＋1＝0，所以b＝＝4＋.
又因为a>1，所以b>0.
所以(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋＋9＝6(a－1)＋＋15.
因为a>1，所以a－1>0，
所以6(a－1)＋＋15≥2＋15＝27.
当且仅当6(a－1)＝(a>1)，即a＝2时取等号．
【举一反三4】已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值.
【答案】解 由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝，
因为x>0，y>0，所以0所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4.
当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立.
所以x＋2y的最小值为4.
【举一反三5】已知实数x，y满足xy＋3x＝3，且0【答案】解 ∵实数x，y满足xy＋3x＝3，
∴x＝，∴0<<，解得y>3.
则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，
当且仅当y＝4，x＝时，等号成立.
故＋的最小值为8.
【题型5】直接用常数代换法求最值
【典型例题】（2023·云南省曲靖市第一中学期中）已知，，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】由，可得，
又由，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即的最大值为.
故选：C.
【举一反三1】若，，则下列能成为“的最小值为16”的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，故设，，则，.因为，，所以，
，
，当且仅当，等号成立，即取到最小值16．
因为的最小值为16，故.
若，显然的最小值为16．选项A符合.
正确答案为A
【举一反三2】若m>0，n>0，m＋n＝1，且＋(t>0)的最小值为9，则t＝________.
【答案】4
【解析】因为m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)
＝t＋1＋＋≥t＋1＋2＝(＋1)2，
所以最小值为(＋1)2＝9，
当且仅当tn2＝m2时取等号，
所以＝2，即t＝4.
【举一反三3】若，，，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】因为，，，
所以
所以的最小值为3.
【举一反三4】(2023·湖南省衡阳县第四中学期中)已知实数a＞0，b＞0，a＋2b＝2.
(1)求的最小值；
(2)求a2＋4b2＋5ab的最大值.
【答案】解：(1)，
∵，∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值为.
(2)∵，
又，∴，故，
当且仅当，即时，等号成立，
故取得最大值.
【题型6】基本不等式成立的条件
【典型例题】不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是( )
A.a＝4 B.a＝ C.a＝－ D.a＝±
【答案】D
【解析】此不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±.
【举一反三1】给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2.
其中正确的推导为( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【答案】B
【解析】①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．
②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的．
③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．
【举一反三2】不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A.a＝±1 B.a＝1 C.a＝－1 D.a＝0
【答案】B
【解析】当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，
即a＝1时，等号成立．
【举一反三3】下列不等式中正确的是( )
A.当x＞0时，＋≥2
B.当x≥2时，x＋的最小值为2
C.≥
D.a2＋b2≥4ab
【答案】A
【解析】对于选项A，符合基本不等式的三个条件“一正，二定，三相等”；
对于选项B，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝±1，均不满足x≥2；
对于C，当a＞0，b＞0时，≤，当且仅当a＝b时取等号，故C错误；
对于D，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，故D错误．故选A．
【举一反三4】不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为( )
A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y
【答案】B
【解析】基本不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以x－2y>0，则x>2y.
【举一反三5】已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝________时取得最小值．
【答案】2 ±1
【解析】根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0即a＝b＝±1时等号成立．
【举一反三6】给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有________(填序号).
【答案】①③④
【解析】当，均为正数时，＋≥2，
故只需a，b同号即可，∴①③④均可以.
【举一反三7】不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是________．
【答案】x＝5
【解析】由基本不等式，知等号成立的条件为＝x－2(x>2)，即x＝5(x＝－1舍去)．
【举一反三8】已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝________时取得最小值．
【答案】2 ±1
【解析】根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0即a＝b＝±1时等号成立．
【题型7】基本不等式在生活中的简单应用
【典型例题】设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是( )
A.(38－3) m3 B.16 m3 C.4 m3 D.14 m3
【答案】B
【解析】设车厢的长为b m，高为a m．
由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝，
∴V＝a··2＝2·.
设a＋1＝t，
则V＝2≤2＝16，
当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时，容积最大，故选B.
【举一反三1】要设计一个矩形，其对角线长为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )
A.50 B.25 C.50 D.100
【答案】A
【解析】设矩形的边长分别为a，b(a>0，b>0)，则a2＋b2＝102＝100，
则矩形的面积S＝ab≤＝50，
当且仅当a＝b＝5时取等号．
【举一反三2】若矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________．
【答案】32
【解析】由题意得ab＝64，
所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋≥2＝32，
当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32.
【举一反三3】用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大 最大面积是多少
【答案】解 设矩形的长为x m，宽为y m，菜园的面积为则x+2y=30(0当且仅当x=2y,即时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大面积是
【举一反三4】(2023·广东省惠州市惠州中学月考)某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用 生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？
【答案】解：(1)设成本费用为，仓储费用为元，则，，
当时，，，可得，，
故.
(2)平均费用，
当且仅当，即时，等号成立，
故当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元.
【题型8】用基本不等式比较代数式大小
【典型例题】(2023·江苏省连云港市第一中学模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有如下图形：是半圆O的直径，点D在半圆周上，于点C，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为( )
A.
B.
C.(，)
D.(，)
【答案】A
【解析】易得，又，又，
故，故，化简得.
故选：A.
【举一反三1】若0A. B.a2＋b2 C.2ab D.a
【答案】B
【解析】a2＋b2＝(a＋b)2－2ab>(a＋b)2－2·2＝.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，∴a2＋b2>2ab.
∵0∴a2＋b2最大.
【举一反三2】若0A. B.a2＋b2 C.2ab D.a
【答案】B
【解析】a2＋b2＝(a＋b)2－2ab>(a＋b)2－2·2＝.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，∴a2＋b2>2ab.
∵0∴a2＋b2最大.
【举一反三3】已知0A.a2＋b2 B.2 C.2ab D.a＋b
【答案】D
【解析】因为0所以a2＋b2又a2＋b2>2ab(因为a≠b)，
所以2ab又因为a＋b>2(因为a≠b)，
故a＋b最大.
【举一反三4】已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
【答案】≤
【解析】∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴≤＝.当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立．
【举一反三5】设a，b为非零实数，给出下列不等式：
①≥ab；②≥2；
③≥；④＋≥2.
其中恒成立的是________．(填序号)
【答案】①②
【解析】由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；
＝＝≥＝＝2，可知②正确；
当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，
右边为＝－，可知③不正确；
当a＝1，b＝－1时，不等式的左边为可知＋＝－2，④不正确．
【举一反三6】当a，b∈R时，下列不等关系成立的是______.
①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
【答案】③
【解析】根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确.
【题型9】基本不等式综合问题
【典型例题】“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：当时，根据均值不等式得，充分性成立.
必要性：若，移项得，
通分得到，即 .
因为恒成立，要使成立，
则，必要性成立.
所以“”是“”的充要条件，答案选C.
【举一反三1】若a>0，b>0，则“a＋b<4”是“ab<4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵a>0，b>0，且a＋b<4，∴ab≤2<4.
反之，若a＝4，b＝，满足ab＝1<4，但a＋b>4.
∴“a＋b<4”是“ab<4”的充分不必要条件，故选A.
【举一反三2】已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三个值中，大于的个数的最大值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin α，cos β，sin β，cos γ，sin γ，cos α均为正数．由基本不等式可知sin αcos β≤，sin βcos γ≤，sin γcos α≤.三式相加可得sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α≤，当且仅当sin α＝cos β，sin β＝cos γ，sin γ＝cos α，即α＝β＝γ＝时取等号，因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α<，所以这三个值不会都大于.若取α＝，β＝，γ＝，则sin cos ＝×＝<，sin cos ＝×＝>＝，sin cos ＝×＝>，所以这三个值中大于的个数的最大值为2.
【举一反三3】“x>0，y>0”是“＋≥2”的___________________．
(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)
【答案】充分不必要条件
【解析】由基本不等式知，当x>0，y>0时，＋≥2成立；反之，取x＝y＝－1，则＋＝2，但x<0，y<0，所以“x>0，y>0”是“＋≥2”的充分不必要条件．
【举一反三4】（2023·四川省成都市第四十九中学期中）已知实数，均为正实数．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值．
【答案】解：（1）因为实数，均为正实数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为9.
（2）由题意得，解得或（舍去），
则，当且仅当时等号成立，
则的最小值为25.
【举一反三5】已知x>0，y>0.
(1)试比较＋与＋的大小；
(2)当x＋y＝1时，证明：＋≥4，并指出取等号的条件；
(3)判断“x＋y＋＋＝4”是“(x＋y)＝4”的什么条件？并说明理由．
【答案】(1)解 ＋－＝＋
＝(y－x)＝
＝≥0，即＋≥＋.
(2)证明 因为x＋y＝1，
所以＋＝(x＋y)＝＋＋＋＝＋
≥2＋2··＝4，
当且仅当x＝y＝时，＋≥4中等号成立．
(3)解 充分不必要条件，理由如下：因为x＋y＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立，
故由x＋y＋＋＝4，可得x＝y＝1；
又(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时，等号成立．
故由(x＋y)＝4，可得x＝y，
故“x＋y＋＋＝4”是“(x＋y)＝4”的充分不必要条件．
【题型10】基本不等式的正确应用
【典型例题】下列不等式中正确的是( )
A.a＋≥4 B.a2＋b2≥4ab C.≥ D.x2＋≥2
【答案】D
【解析】若a<0，则－a>0，>0，故－a＋()≥2＝4，即a＋≤4，故A错；
若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错；
若a＝4，b＝16，则<，故C错；
由基本不等式可知D项正确．
【举一反三1】下列不等式一定成立且等号能取到的是( )
A.3x＋≥
B.3x2＋≥
C.3(x2＋1)＋≥
D.3(x2－1)＋≥
【答案】B
【解析】A中，x可能是负数，不成立；
B中，当且仅当3x2＝，即x4＝时，等号成立；
C中，当3(x2＋1)＝时，(x2＋1)2＝，等号不成立；
D中，x2－1也可能是负数，不成立．
【举一反三2】下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x>1，则x＋≥2＝2；
②若x<0，则x＋＝－
≤－2＝－4；
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
【答案】②
【解析】①中忽视了基本不等式等号成立的条件，即当a与b同号时，有＋≥2＝2．
当x＝，即x＝1时，等号成立，
因为x>1，所以x＋>2；
③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件，即当a与b同号时，有＋≥2＝2．
【举一反三3】当x<0时，求x＋的最大值．
【答案】解 原多项式可变为x＋＝－，
因为x<0，则－x>0，
故有－x＋≥2＝4，
所以－≤－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立．
故原式的最大值为－4.
【题型11】直接求最值综合问题
【典型例题】若实数x，y满足x＋y＝8，则x2＋y2的最小值是( )
A.8 B.32 C.16 D.4
【答案】B
【解析】∵x＋y＝8，≤，
∴x2＋y2≥2＝2＝32，
当且仅当x＝y＝4时，等号成立．
【举一反三1】已知，则下列各式中最小值是2的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时，，此时，A不是；
，当且仅当，即时取“=”，但，B不是；
当时，，C不是；
令，则，当且仅当，即时取“=”，D是.
故选：D.
【举一反三2】函数的最小值为______．
【答案】
【解析】对于，根据均值不等式（，当且仅当时取等号）.
在中，，，则.
当且仅当，即时取等号.
所以函数的最小值是.
【举一反三3】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________．
【答案】12
【解析】因为，，故，
所以
，
当且仅当，又，所以时取 “=”．此时满足三角形的三边关系，符合题意.
【举一反三4】(1)已知x>1,求的最小值；
(2)求的最大值.
【答案】解 (1)∵x>1,∴x-1>0,
当且仅当即舍去)时，等号成立，此时取最小值3.
当且仅当x=10-x,即x=5时,等号成立,
∴x(10-x)的最大值为 25,
的最大值为5.
【举一反三5】已知a，b都是正数，求证：≤≤≤.
【答案】证明 ∵＋≥2，
∴≤，即≤.
又∵2＝≤＝，
∴≤.
又由基本不等式得≥，
故≤≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立 ．
【题型12】常数代换法(变形)求最值
【典型例题】已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 9 B. 8 C. 6 D. 5
【答案】A
【解析】因为，，且，所以，
所以.
因为，所以，即.
当且仅当，即，时取等号.所以的最小值为9，对应选项A.
正确答案为A
【举一反三1】（2023·山东省淄博市第六中学月考）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. B.4 C. D.5
【答案】C
【解析】由，得，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
【举一反三2】已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
【答案】2＋
【解析】根据题意，因为3a＋b＝2ab，所以＋＝1，
则a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝2＋，
当且仅当b＝a时等号成立，
则a＋b的最小值为2＋.
【举一反三3】若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为________．
【答案】3
【解析】由a＋b＝0，a＞0，得b＝－a，－＝＞0，所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号．
【举一反三4】已知、均为正实数，.
（1）若，求的最小值：
（2）若，求的最小值.
【答案】解：（1）因为，所以当时，①，、均为正实数时，①式两边同时除以，则.
所以，
当且仅当时，即当，时取等号，
所以的最小值为.
（2）当时，，可得，则，
所以，因为，，所以，进而得，
所以，，将代入所求式子得：
，
当且仅当时，即当，时取等号，
所以的最小值为.
【举一反三5】已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，求a＋b的最小值.
【答案】解 ∵a>0，b>0，且3a＋b＝2ab，
∴＋＝1，
则a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝2＋，
当且仅当＝时等号成立，
即a＝，b＝时取等号.
则a＋b的最小值为2＋.
【题型13】常数代换法(配凑)求最值
【典型例题】已知两个正数，满足，则的最小值为（ ）
A. B.2 C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，正数，满足，
则，
当且仅当时即取等号．
故的最小值为．
故选：C．
【举一反三1】(2023·江苏省连云港市第一中学模拟)若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由
，
仅当，即时等号成立，
要使不等式有解，
只需，
所以.
故选：B.
【举一反三2】（2023·江苏省盐城市清源高级中学期中）若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故选：C.
【举一反三3】已知，，且，则的最大值是_______．
【答案】
【解析】，，且，，
当且仅当，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，
所以，的最大值为.
故答案为：.
【举一反三4】(2023·河北省保定市期中)已知x>0，y>0，且2x+8y－xy=0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x+y的最小值.
【答案】解：(1)∵， ， ，
∴ ，当且仅当时取等号，
∴，∴，当且仅当时取等号，
故的最小值为64.
(2)∵，则，
又∵，，
∴，
当且仅当时取等号，
故的最小值为18.
【题型14】直接求最值(积为定值)
【典型例题】已知正数，满足，则的最大值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】展开得，由，式子化为.
因为正数，，故.
则，当时取等.
所以最大值为，选D.
【举一反三1】已知且，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. D. 8
【答案】D
【解析】且，则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，的最小值为8.
故选：D.
【举一反三2】如果两个正数，即，，我们把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即.该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具.根据上述结论，若，则的最小值为______.
【答案】
【解析】，时，，，
令，
，，，
，
的最小值为.
【举一反三3】已知，，且，则 ，的最小值为 ．
【答案】1,8
【解析】已知等式两边同除以ab有则1;
由a2+b2≥2ab有(a+b)2≥4ab,则≤,
则≥8,从而的最小值为8．
正确答案为1,8
【举一反三4】当x取什么值时，取得最小值 最小值是多少
【答案】解 当且仅当x=±1时,等号成立,故x=±1时,取得最小值，最小值是2.
【题型15】配凑法求最值(综合提升)
【典型例题】函数f(x)＝＋x(x<3)的最大值是( )
A.－4 B.1 C.5 D.－1
【答案】D
【解析】因为x<3，所以3－x>0，所以f(x)＝－＋3≤－2＋3＝－1.当且仅当＝3－x，即x＝1时等号成立，所以f(x)的最大值是－1.
【举一反三1】已知，则的最小值为（ ）
A. 25 B. 6 C. 10 D. 5
【答案】D
【解析】因，则.
.
由基本不等式，.
故，当且仅当（即）时取等.
故选：D.
【举一反三2】已知，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】将变形为
由均值不等式，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故选：A.
【举一反三3】已知，则的最大值为______，当且仅当______时，等号成立.
【答案】；
【解析】因为，所以，，则
，即，即，得，即.
当且仅当即时等号成立，
故的最大值为，此时.
正确答案为；
【举一反三4】(2023·甘肃省白银市第四中学月考)(1)已知，求函数的最小值；
(2)已知，求函数的最大值.
【答案】解：(1)时，，根据基本不等式，
可得：，
当，即时取得等号，
故时，取得最小值是4.
(2)，故，
根据基本不等式可得：，
当，即时取得等号，故时，
的最大值是.
【举一反三5】(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0【答案】解 (1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵00，
∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，上式等号成立，
故当x＝时，ymax＝.
【题型16】配凑法求最值(积为定值)
【典型例题】已知x>2，y>3，(x－2)(y－3)＝4，则x＋y的最小值是( )
A.7 B.9 C.5 D.11
【答案】B
【解析】令x－2＝m，y－3＝n，则由题意得m>0，n>0，mn＝4，所以x＋y＝(m＋2)＋(n＋3)＝5＋m＋n≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当m＝n＝2时取等号，所以x＋y的最小值为9，故选B.
【举一反三1】(2023·吉林省长春市第八中学期中)函数的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，
即，
由，所以，所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以函数的值域是.
故选：D.
【举一反三2】函数y＝2x＋(x＞1)的最小值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】因为x＞1，所以x－1＞0，所以y＝2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当2(x－1)＝，即x＝2时，等号成立，所以函数y＝2x＋(x＞1)的最小值是6，故选C.
【举一反三3】(2023·湖南省永州市第二中学月考)已知，则的最小值是____________.
【答案】
【解析】由，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
【举一反三4】已知，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为，所以，，
，
当且仅当，即，时等号成立.
故答案为：.
【举一反三5】（1）求函数的最小值；
（2）已知，，且，求的最大值.
【答案】解：（1），
因为，所以，由基本不等式可得：
，
当且仅当，可得，即时，等号成立，
故函数的最小值为10.
（2）.
因为，，所以，，由基本不等式可得：
，
当且仅当，可得，即，时，等号成立，
所以的最大值为.
【题型17】简单用基本不等式比较大小
【典型例题】设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s【答案】A
【解析】∵b2＋1≥2b(当且仅当b＝1时等号成立)，
∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s.
【举一反三1】 如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】方法一：由已知，利用基本不等式得出，
因为，则，，
所以，，所以.
方法二：取则，
所以.
故选：B.
【举一反三2】若a≥b>0，则下列不等式成立的是( )
A.a≥b≥≥ B.a≥≥b≥ C.≥a≥≥b D.a≥≥≥b
【答案】D
【解析】若a≥b>0，
由不等式性质可知a≥，≥b，
由基本不等式可得≥，当且仅当a＝b时取等号.
则a≥≥≥b.
【举一反三3】（2023·上海市宜川中学期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意，所以直接由基本不等式可得，
等号成立当且仅当，即，此时满足题意.
故选：A.
【举一反三4】设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s【答案】A
【解析】∵b2＋1≥2b(当且仅当b＝1时等号成立)，
∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s.
【举一反三5】已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________.
【答案】m>n
【解析】因为a>2，知a－2>0.
又m＝a＋＝(a－2)＋＋2
∴m≥2＋2＝4.
当且仅当a－2＝，即a＝3时取等号，
由于b≠0，得n＝2－b2<2<4.
因此m>n.
【举一反三6】表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是______．
【答案】2
【解析】设，则，，，
因，则得．又因，所以，
当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为2．
【举一反三7】若ab>0，且a≠b，则＋与2的大小关系是________．
【答案】＋>2
【解析】由题意，因为ab>0且a≠b，所以>0，>0，
由基本不等式可得＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，
又由a≠b，所以取不到等号，所以＋>2.
【举一反三8】已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________.
【答案】m>n
【解析】因为a>2，知a－2>0.
又m＝a＋＝(a－2)＋＋2
∴m≥2＋2＝4.
当且仅当a－2＝，即a＝3时取等号，
由于b≠0，得n＝2－b2<2<4.
因此m>n.
【题型18】基本不等式中的恒成立问题
【典型例题】（2023·云南省曲靖市第一中学月考）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 9
【答案】D
【解析】因为，
当且仅当且时取等号，
所以，整理得，解得，
故正实数的最小值为9.
故选：D.
【举一反三1】当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≤2} B.{a|a≥2} C.{a|a≥3} D.{a|a≤3}
【答案】D
【解析】∵当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，
即a≤x＋对一切实数x>1均成立，
由于x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时取等号，
故x＋的最小值等于3，
∴a≤3.
【举一反三2】（2023·河南省济源市高级中学月考）已知，，，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是______（用区间表示）.
【答案】
【解析】，，且，
，
当且仅当时取等号，
要使恒成立，，
所以，
故实数m的取值范围为.
故答案为：.
【举一反三3】对 x∈R，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．
【答案】解 若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则解得－4综上，m的取值范围为{m|－4【题型19】整体构造求最值
【典型例题】已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( )
A.2 B.2 C.4 D.5
【答案】C
【解析】∵a>0，b>0，∴＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
【举一反三1】已知a>0，b>0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】∵ab＝1，∴m＋n＝b＋＋a＋＝a＋b＋＝2(a＋b)≥4＝4.
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
【举一反三2】若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
【答案】
【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，
∴(x＋y)2＝xy＋1≤2＋1.
∴(x＋y)2≤1.∴x＋y≤，
当且仅当x＝y＝时等号成立．
【举一反三3】已知都是正实数，且.
（1）求证：；
（2）求的最小值.
【答案】（1）证明：已知，即.
因为，为正实数，
所以 .
又因为（是正实数），
要使，
则，
所以，得证.
（2）解：由（1）知，且 .
令，
因为，
所以，此时 .
则 .
根据均值不等式得 .
则，当且仅当，即时等号成立，此时 .
所以的最小值为.2.2基本不等式
【知识点1】运用基本不等式比较大小 1
【知识点2】运用“1”的代换构造基本不等式 2
【知识点3】运用基本不等式求最值 2
【知识点4】运用基本不等式解决实际问题 3
【题型1】基本不等式在生活中的综合应用 4
【题型2】直接求最值(和为定值) 5
【题型3】配凑法求最值(和为定值) 6
【题型4】消元法求最值 6
【题型5】直接用常数代换法求最值 7
【题型6】基本不等式成立的条件 7
【题型7】基本不等式在生活中的简单应用 8
【题型8】用基本不等式比较代数式大小 9
【题型9】基本不等式综合问题 10
【题型10】基本不等式的正确应用 11
【题型11】直接求最值综合问题 11
【题型12】常数代换法(变形)求最值 12
【题型13】常数代换法(配凑)求最值 12
【题型14】直接求最值(积为定值) 13
【题型15】配凑法求最值(综合提升) 14
【题型16】配凑法求最值(积为定值) 14
【题型17】简单用基本不等式比较大小 15
【题型18】基本不等式中的恒成立问题 16
【题型19】整体构造求最值 16
【知识点1】运用基本不等式比较大小
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．
运用均值不等式比较大小时，需要将待比较的数值代入不等式．例如，要比较两个数a和 b 的大小，可以使用 在具体题目中，通常会将两个数构造成可以应用均值不等式的形式，然后进行比较．例如，比较 和 2 的大小，可以利用均值不等式得出
均值不等式比较大小的命题方向主要包括代数式的大小比较、几何中的边长或面积的比较等．例如，比较两个代数式的大小，或比较两个三角形的面积大小．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行比较，并能正确代入和计算．
比较大小： _____2．（填“＞”“＜”“≥”或“≤”）
解：根据题意，=+≥2=2，当且仅当x=0时等号成立，
故答案为：≥．
【知识点2】运用“1”的代换构造基本不等式
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．
在一些复杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而构造均值不等式，简化问题．
运用“1”的代换构造均值不等式时，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而应用均值不等式．
已知实数x，y∈R+，且x+y=4，求的最小值．
解：∵x＞0，y＞0，x+y=4，
∴=，当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为：．
故答案为：．
【知识点3】运用基本不等式求最值
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．
在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式 x+ 的最小值，可以利用均值不等式 从而得出最小值为 2，并且在 x=1 时取到最小值．需要注意的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证．
均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．
已知正数a，b满足a+b=1，则的最大值是_____．
解：因为正数a，b满足a+b=1，
所以a+1+b+1=3，
则=，
当且仅当a=b=时取等号．
故答案为：．
【知识点4】运用基本不等式解决实际问题
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．
均值不等式在解决实际问题中有广泛应用．例如，在优化设计、资源分配等问题中，可以通过均值不等式求解最优解，从而解决实际问题．通过均值不等式，可以将实际问题转化为数学问题，从而进行分析和求解．
运用均值不等式解决实际问题的命题方向包括优化设计问题、资源分配问题等．例如，通过均值不等式求解最优资源分配方案，或设计最优几何图形．这类题型要求学生能够将实际问题转化为数学问题，并能灵活运用均值不等式进行求解和分析．
某单位准备建造一间地面面积为12平方米，背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/平方米，房屋侧面的造价为800元/平方米，屋顶造价为5800元，房屋背面的费用忽略不计．若墙高为3米，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少？
解：设房屋侧面的长度为x米，房屋总造价为y，
则y=2x×3×800+×3×1200+5800
=4800（x+）+5800（x＞0），
∵x+≥2=6，当且仅当x=，即x=3时取等号，
∴y的最小值为4800×6+5800=34600，
则当矩形小房地面的长度分别为3，4米时，总造价最低．最低总造价是34600元．
【题型1】基本不等式在生活中的综合应用
【典型例题】某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处 D.2千米处
【举一反三1】由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（ ）
A. 采用第一种方案划算
B. 采用第二种方案划算
C. 两种方案一样
D. 采用哪种方案无法确定
【举一反三2】每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（ ）
A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定
【举一反三3】某运输公司计划租地建造自己的物流仓库，记仓库到车站距离为 （单位：km），经过调查可知，每月土地占用费（单位：万元） 与 成反比，每月货物运输费 （单位：万元） 与 成正比，若在距离车站3km处建仓库，则和分别为12万元和2万元，则这家公司把仓库建在距离车站__________km处时，两项费用之和最小.
【举一反三4】经济订货批量模型是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系为T(x)＝＋，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费.某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6 000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元.
(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；
(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？
【举一反三5】(2023·江苏省无锡市辅仁高级中学期中)如图，长方形表示一张(单位：分米)的工艺木板，其四周有边框(图中阴影部分)，中间为薄板.木板上一瑕疵(记为点P)到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料，其中M，N分别在上.设的长分别为m分米，n分米.
(1)求值；
(2)为使剩下木板的面积最大，试确定m，n的值；
(3)求剩下木板的外边框长度(的长度之和)的最大值及取得最大值时m，n的值.
【题型2】直接求最值(和为定值)
【典型例题】若正实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )
A.1 B.2 C.2 D.4
【举一反三1】(2023·甘肃省白银市第四中学月考)已知正数满足，则的最大值( )
A. B. C. D.
【举一反三2】若，且，则（ ）
A. 有最小值为 B. 有最大值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为
【举一反三3】设0A. B.b C.2ab D.a2＋b2
【举一反三4】若一个三角形的三边长分别为，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式.已知的周长为，则的面积的最大值为___________.
【举一反三5】已知，且，则的最大值为__________.
【举一反三6】已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________．
【题型3】配凑法求最值(和为定值)
【典型例题】已知正数，满足，则的最小值为（）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】若0＜2x＜3，则(3－2x)x的最大值为( )
A. B. C.2 D.
【举一反三2】已知0【举一反三3】若a>0，b>0，且a2＋＝1，求a的最大值．
【举一反三4】(2023·江苏省连云港市第一中学模拟)已知，求：
(1)的最大值；
(2)的最大值．
【题型4】消元法求最值
【典型例题】已知（，），则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】设a，b，c为实数，不等式解集是或，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】对任意正数x，不等式ax≤x2＋1恒成立，则实数a的最大值为( )
A.1 B. C.2 D.
【举一反三3】若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值是________．
【举一反三4】已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值.
【举一反三5】已知实数x，y满足xy＋3x＝3，且0【题型5】直接用常数代换法求最值
【典型例题】（2023·云南省曲靖市第一中学期中）已知，，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【举一反三1】若，，则下列能成为“的最小值为16”的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】若m>0，n>0，m＋n＝1，且＋(t>0)的最小值为9，则t＝________.
【举一反三3】若，，，则的最小值为 .
【举一反三4】(2023·湖南省衡阳县第四中学期中)已知实数a＞0，b＞0，a＋2b＝2.
(1)求的最小值；
(2)求a2＋4b2＋5ab的最大值.
【题型6】基本不等式成立的条件
【典型例题】不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是( )
A.a＝4 B.a＝ C.a＝－ D.a＝±
【举一反三1】给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2.
其中正确的推导为( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【举一反三2】不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A.a＝±1 B.a＝1 C.a＝－1 D.a＝0
【举一反三3】下列不等式中正确的是( )
A.当x＞0时，＋≥2
B.当x≥2时，x＋的最小值为2
C.≥
D.a2＋b2≥4ab
【举一反三4】不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为( )
A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y
【举一反三5】已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝________时取得最小值．
【举一反三6】给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有________(填序号).
【举一反三7】不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是________．
【举一反三8】已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝________时取得最小值．
【题型7】基本不等式在生活中的简单应用
【典型例题】设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是( )
A.(38－3) m3 B.16 m3 C.4 m3 D.14 m3
【举一反三1】要设计一个矩形，其对角线长为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )
A.50 B.25 C.50 D.100
【举一反三2】若矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________．
【举一反三3】用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大 最大面积是多少
【举一反三4】(2023·广东省惠州市惠州中学月考)某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用 生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？
【题型8】用基本不等式比较代数式大小
【典型例题】(2023·江苏省连云港市第一中学模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有如下图形：是半圆O的直径，点D在半圆周上，于点C，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为( )
A.
B.
C.(，)
D.(，)
【举一反三1】若0A. B.a2＋b2 C.2ab D.a
【举一反三2】若0A. B.a2＋b2 C.2ab D.a
【举一反三3】已知0A.a2＋b2 B.2 C.2ab D.a＋b
【举一反三4】已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
【举一反三5】设a，b为非零实数，给出下列不等式：
①≥ab；②≥2；
③≥；④＋≥2.
其中恒成立的是________．(填序号)
【举一反三6】当a，b∈R时，下列不等关系成立的是______.
①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
【题型9】基本不等式综合问题
【典型例题】“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【举一反三1】若a>0，b>0，则“a＋b<4”是“ab<4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【举一反三2】已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三个值中，大于的个数的最大值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三3】“x>0，y>0”是“＋≥2”的___________________．
(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)
【举一反三4】（2023·四川省成都市第四十九中学期中）已知实数，均为正实数．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值．
【举一反三5】已知x>0，y>0.
(1)试比较＋与＋的大小；
(2)当x＋y＝1时，证明：＋≥4，并指出取等号的条件；
(3)判断“x＋y＋＋＝4”是“(x＋y)＝4”的什么条件？并说明理由．
【题型10】基本不等式的正确应用
【典型例题】下列不等式中正确的是( )
A.a＋≥4 B.a2＋b2≥4ab C.≥ D.x2＋≥2
【举一反三1】下列不等式一定成立且等号能取到的是( )
A.3x＋≥
B.3x2＋≥
C.3(x2＋1)＋≥
D.3(x2－1)＋≥
【举一反三2】下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x>1，则x＋≥2＝2；
②若x<0，则x＋＝－
≤－2＝－4；
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
【举一反三3】当x<0时，求x＋的最大值．
【题型11】直接求最值综合问题
【典型例题】若实数x，y满足x＋y＝8，则x2＋y2的最小值是( )
A.8 B.32 C.16 D.4
【举一反三1】已知，则下列各式中最小值是2的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】函数的最小值为______．
【举一反三3】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________．
【举一反三4】(1)已知x>1,求的最小值；
(2)求的最大值.
【举一反三5】已知a，b都是正数，求证：≤≤≤.
【题型12】常数代换法(变形)求最值
【典型例题】已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 9 B. 8 C. 6 D. 5
【举一反三1】（2023·山东省淄博市第六中学月考）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. B.4 C. D.5
【举一反三2】已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
【举一反三3】若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为________．
【举一反三4】已知、均为正实数，.
（1）若，求的最小值：
（2）若，求的最小值.
【举一反三5】已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，求a＋b的最小值.
【题型13】常数代换法(配凑)求最值
【典型例题】已知两个正数，满足，则的最小值为（ ）
A. B.2 C. D.
【举一反三1】(2023·江苏省连云港市第一中学模拟)若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】（2023·江苏省盐城市清源高级中学期中）若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】已知，，且，则的最大值是_______．
【举一反三4】(2023·河北省保定市期中)已知x>0，y>0，且2x+8y－xy=0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x+y的最小值.
【题型14】直接求最值(积为定值)
【典型例题】已知正数，满足，则的最大值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 1 D. 2
【举一反三1】已知且，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. D. 8
【举一反三2】如果两个正数，即，，我们把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即.该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具.根据上述结论，若，则的最小值为______.
【举一反三3】已知，，且，则 ，的最小值为 ．
【举一反三4】当x取什么值时，取得最小值 最小值是多少
【题型15】配凑法求最值(综合提升)
【典型例题】函数f(x)＝＋x(x<3)的最大值是( )
A.－4 B.1 C.5 D.－1
【举一反三1】已知，则的最小值为（ ）
A. 25 B. 6 C. 10 D. 5
【举一反三2】已知，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【举一反三3】已知，则的最大值为______，当且仅当______时，等号成立.
【举一反三4】(2023·甘肃省白银市第四中学月考)(1)已知，求函数的最小值；
(2)已知，求函数的最大值.
【举一反三5】(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0【题型16】配凑法求最值(积为定值)
【典型例题】已知x>2，y>3，(x－2)(y－3)＝4，则x＋y的最小值是( )
A.7 B.9 C.5 D.11
【举一反三1】(2023·吉林省长春市第八中学期中)函数的值域是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】函数y＝2x＋(x＞1)的最小值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【举一反三3】(2023·湖南省永州市第二中学月考)已知，则的最小值是____________.
【举一反三4】已知，则的最小值为__________．
【举一反三5】（1）求函数的最小值；
（2）已知，，且，求的最大值.
【题型17】简单用基本不等式比较大小
【典型例题】设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s【举一反三1】 如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】若a≥b>0，则下列不等式成立的是( )
A.a≥b≥≥ B.a≥≥b≥ C.≥a≥≥b D.a≥≥≥b
【举一反三3】（2023·上海市宜川中学期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三4】设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s【举一反三5】已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________.
【举一反三6】表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是______．
【举一反三7】若ab>0，且a≠b，则＋与2的大小关系是________．
【举一反三8】已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________.
【题型18】基本不等式中的恒成立问题
【典型例题】（2023·云南省曲靖市第一中学月考）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 9
【举一反三1】当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≤2} B.{a|a≥2} C.{a|a≥3} D.{a|a≤3}
【举一反三2】（2023·河南省济源市高级中学月考）已知，，，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是______（用区间表示）.
【举一反三3】对 x∈R，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．
【题型19】整体构造求最值
【典型例题】已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( )
A.2 B.2 C.4 D.5
【举一反三1】已知a>0，b>0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三2】若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
【举一反三3】已知都是正实数，且.
（1）求证：；
（2）求的最小值.