2.3二次函数与一元二次方程、不等式
【知识点1】解一元二次不等式 2
【知识点2】二次函数的单调性与单调区间 3
【知识点3】一元二次不等式恒成立问题 3
【知识点4】二次函数的图象及其对称性 4
【知识点5】二次函数的定义域 5
【知识点6】二次函数的最值 6
【知识点7】二次函数的值域 6
【知识点8】二次函数的应用 7
【知识点9】一元二次方程的根的分布与系数的关系 8
【知识点10】由一元二次不等式的解求参数 8
【知识点11】由二次函数的性质求解析式或参数 9
【题型1】一元二次不等式无解问题 11
【题型2】转化为在R上的恒成立问题 13
【题型3】一元二次不等式能成立问题 16
【题型4】二次函数与二次方程的初高中衔接 18
【题型5】二次函数与二次方程新定义题 24
【题型6】在R上的恒成立问题 27
【题型7】一元二次不等式的判断 29
【题型8】转化为不含参数的一元二次不等式的解集 31
【题型9】三个二次的关系 33
【题型10】三个二次的关系综合 36
【题型11】与集合、简易逻辑有关 40
【题型12】定区间上一元二次不等式恒成立问题 43
【题型13】含参数的一元二次不等式的解法(分类讨论) 45
【题型14】一元二次不等式在生活中的应用 49
【题型15】含参数的一元二次不等式的解集(集合逻辑) 51
【题型16】两个实数根 52
【题型17】不等式恒成立能成立综合问题 56
【题型18】可因式分解的一元二次不等式的解法 58
【题型19】综合问题 60
【题型20】综合问题 62
【题型21】二次函数与二次方程的实际应用 65
【题型22】两个相等的实数根 67
【题型23】新定义问题 68
【题型24】二次函数图象与二次函数的系数的判断 70
【题型25】分式不等式综合 73
【题型26】二次函数与二次方程根的问题(韦达定理) 75
【题型27】解不含参数的一元二次不等式 76
【题型28】分式不等式的解集 77
【知识点1】解一元二次不等式
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△=b2-4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x-x1）（x-x2）
当△=b2-4ac=0时，
一元二次方程ax2+bx+c=0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x-x1）2．
当△=b2-4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c=0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x-3）（x+2）＜0
所以，-2＜x＜3
故答案为：（-2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．
一元二次不等式ax2+bx+c＞0
-将不等式转化为 ax2+bx+c=0 形式，求出根．
-根据根的位置，将数轴分为多个区间．
-在各区间内选择测试点，确定不等式在每个区间内的取值情况．
-综合各区间的解，写出最终解集．
不等式x2-2x＞0的解集是（ ）
解：不等式x2-2x＞0整理可得x（x-2）＞0，可得x＞2或x＜0，
{x|x＜0或x＞2}
【知识点2】二次函数的单调性与单调区间
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
二次函数在顶点左右的区间上具有不同的单调性．对于 f（x）=ax2+bx+c，顶点为 处，左侧单调递减，右侧单调递增（当 a＞0 时）．
涉及二次函数单调区间的判断与证明题，结合实际应用问题解答．
判断函数y=x2-2x，x∈[-2，2]的单调性，并求出它的单调区间．
解：二次函数y=x2-2x，开口向上，对称轴x=1，
所以x∈[-2，1]时，函数单调递减；
x∈（1，2]时，函数单调递增．
即函数的单调递增区间为（1，2]，单调递减区间为[-2，1）．
【知识点3】一元二次不等式恒成立问题
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△=b2-4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x-x1）（x-x2）
当△=b2-4ac=0时，
一元二次方程ax2+bx+c=0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x-x1）2．
当△=b2-4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c=0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
-将不等式转化为 ax2+bx+c≥0 或 ax2+bx+c≤0 形式．
-分析抛物线的开口方向和顶点位置．
-结合不等式恒成立的条件，确定参数范围．
恒成立问题的题目多涉及参数范围的求解，重点考查不等式在整个定义域内成立的条件．
当1≤x≤3时，不等式x2-mx+4＞0恒成立，则实数m的取值范围为_____．
解：当1≤x≤3时，，
因此，当1≤x≤3时，不等式x2-mx+4＞0恒成立，即恒成立，
而当1≤x≤3时，，当且仅当，即x=2时取等号，于是得m＜4，
所以实数m的取值范围为m＜4．
故答案为：{m|m＜4}．
【知识点4】二次函数的图象及其对称性
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=-；最值为：f（-）；判别式△=b2-4ac，当△=0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②平移：当y=a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a（x-1+b）2+c；
-确定对称轴 ．
-确定顶点坐标 ．
-根据 a 的正负确定开口方向．
-绘制抛物线，标注对称轴与顶点．
考查二次函数图象的绘制及其对称性的判断与应用题．
如图为二次函数y=-x2+bx+c的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．方程bx2-cx-1=0的解集为
B．不等式bx2-cx-1≤0的解集为
C．不等式-x2+bx+c≥0解集为[1，4]
D．函数y=cx2-x+b的最大值为
解：由图可知，方程-x2+bx+c=0的解为x1=1，x2=4，
则b=5，-c=4，即b=5，c=-4，
对于A，方程bx2-cx-1=0即为5x2+4x-1=0，解得x=-1或，
所以方程bx2-cx-1=0的解集为，故A正确；
对于B，不等式bx2-cx-1≤0即为5x2+4x-1≤0，
由A选项知，不等式的解集为，故B错误；
对于C，不等式-x2+bx+c≥0即为-x2+5x-4≥0，解得1≤x≤4，
所以不等式-x2+bx+c≥0解集为[1，4]，故C正确；
对于D，y=cx2-x+b=-4x2-x+5，
当时，函数取得最大值，故D正确．
故选：ACD．
【知识点5】二次函数的定义域
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
二次函数的定义域是所有实数，即对于函数 f（x）=ax2+bx+c，其定义域为 ．
若函数y=x2-5x-1的定义域[0，m]，值域为，则m的最大值是_____．
解：∵y=f（x）=x2-5x-1的对称轴为，且f（0）=f（5）=-1，，
又∵函数的定义域为[0，m]，值域为，
∴，
∴m的最大值为5．
故答案为：5．
【知识点6】二次函数的最值
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
二次函数的最值出现在顶点处．对于 f（x）=ax2+bx+c，最值为 ，根据 a 的正负判断最值类型．
-计算顶点 x 坐标 ．
-计算顶点处的函数值 ．
-根据 a 的正负判断最值类型（最大值或最小值）．
主要考查二次函数最值的计算与应用题．
设a为实数，若函数y=-x2-2x+3在区间[a，2]上的最大值为，则a的值为_____．
解：函数y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，对称轴为x=-1，
当a≤-1时，则x=-1时，函数取得最大值为4，不满足题意；
当-1＜a≤2时，则x=a时，函数y=-x2-2x+3在区间[a，2]上的最大值为，
即-a2-2a+3=，解得a=-或a=-（舍），
综上，a的值为-．
故选：C．
【知识点7】二次函数的值域
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
-确定二次函数的开口方向（通过 a 的正负判断）．
-计算顶点 x 坐标，．
-计算顶点处的函数值 ．
-根据开口方向确定值域范围．
主要考查求二次函数的值域，涉及开口方向、顶点的计算及实际应用问题．函数f（x）=x2+x-2（x∈[0，2]）的值域是_____．
解：函数f（x）=x2+x-2的对称轴为，
故函数f（x）=x2+x-2在[0，2]上单调递增，
又f（0）=-2，f（2）=4，
所以函数f（x）=x2+x-2（x∈[0，2]）的值域是[-2，4]．
【知识点8】二次函数的应用
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
-分析实际问题，抽象出二次函数模型．
-确定二次函数的解析式，结合实际情况求解相关参数．
-运用二次函数性质求解实际问题，如最值、单调性等．
常见的应用题包括抛物线轨迹问题、工程优化设计问题等，考查学生将实际问题转化为数学模型并求解的能力．
2016年，某厂计划生产25吨至45吨的某种产品，已知生产该产品的总成本y（万元）与总产量x（吨）之间的关系可表示为．若该产品的出厂价为每吨6万元，求该厂2016年获得利润的最大值．
解：设利润为g（x），
则，
当x=40时，g（x）max=70万元；
【知识点9】一元二次方程的根的分布与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c=0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2-a（x1+x2）x+ax1 x2=0．即x2-（x1+x2）x+x1 x2=0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2=-，x1 x2=．
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2-3x+1=0两根的平方．
解：方程x2-3x+1=0中，
∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=9-4=5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2=3，x1x2=1，
∴（x1+x2）2=++2x1x2，即9=++2，
∴+=7，又=（x1x2）2=1，且所求方程二次项系数为1，
则所求方程为x2-7x+1=0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2与x1 x2可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
【知识点10】由一元二次不等式的解求参数
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△=b2-4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x-x1）（x-x2）
当△=b2-4ac=0时，
一元二次方程ax2+bx+c=0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x-x1）2．
当△=b2-4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c=0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x-3）（x+2）＜0
所以，-2＜x＜3
故答案为：（-2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．
一元二次不等式ax2+bx+c＞0，
-设定一元二次不等式的解，并根据解的形式建立不等式．
-求出根，结合数轴分析区间．
-通过区间分析，确定参数的取值范围．
设a，b，c为常数，若不等式ax2+bx+c＞0的解集是（-3，2），则不等式ax2-bx+c＜0的解集是（ ）
解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是（-3，2），
可得-3，2是方程ax2+bx+c=0的两根，且a＜0，
则，解得=1，=-6，
不等式ax2-bx+c＜0整理可得x2-x+＞0，
即x2-x-6＞0，
解得x＞3或x＜-2，
所以不等式ax2-bx+c＜0的解集为（3，+∞）∪（-∞，-2）．
【知识点11】由二次函数的性质求解析式或参数
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=-；最值为：f（-）；判别式△=b2-4ac，当△=0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y=ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=-，x1 x2=；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2=2py的焦点为（0，），准线方程为y=-，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y=a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a（x-1+b）2+c；
-根据题目提供的信息设定二次函数的一般形式 f（x）=ax2+bx+c．
-代入已知条件（顶点、对称轴、开口方向等），建立方程组．
-解方程组，求出 a，b，c 参数．
涉及二次函数解析式或参数的求解，常见题型包括已知顶点与某点，求解析式或参数．
已知二次函数f（x）=x2-2（a-1）x+4．
（1）若f（x）为偶函数，求f（x）在[-3，1]上的值域；
（2）当x∈[1，2]时，f（x）＞ax恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）根据题意，函数f（x）=x2-2（a-1）x+4，为二次函数，其对称轴为x=a-1．
若f（x）为偶函数，则a-1=0，解可得a=1，
则f（x）=x2+4，又由-3≤x≤1，则有4≤f（x）≤13，
即函数f（x）的值域为[4，13]．
（2）由题意知x∈[1，2]时，f（x）＞ax恒成立，即x2-（3a-2）x+4＞0；
方法一：所以恒成立，
因为x∈[1，2]，
所以，当且仅当，即x=2时等号成立．
所以3a-2＜4，解得a＜2，所以a的取值范围是（-∞，2）．
方法二：令g（x）=x2-（3a-2）x+4，
所以只需g（x）min＞0，对称轴为，
当，即时，g（x）min=g（1）=7-3a＞0，
解得，
故，
当，即时，，
解得，
故，
当，即a≥2，g（x）min=g（2）=12-6a＞0，
解得a＜2，舍去．
绦上所述，a的取值范围是（-∞，2）．
【题型1】一元二次不等式无解问题
【典型例题】已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是( )
A.{a|－4≤a≤4} B.{a|－4＜a＜4} C.{a|a≤－4或a≥4} D.{a|a＜－4或a＞4}
【答案】A
【解析】欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4.
【举一反三1】已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A.{a|－4≤a≤4} B.{a|－4
4}
【答案】A
【解析】由题意得，因为不等式x2＋ax＋4<0无解，所以Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.
【举一反三2】若关于x的一元二次不等式x2－4x＋m<0无解，则m的取值范围为( )
A.{m|m<2} B.{m|m≥4} C.{m|m>16} D.{m|m≤8}
【答案】B
【解析】∵一元二次不等式x2－4x＋m<0无解，
∴Δ＝16－4m≤0，即m≥4，故选B.
【举一反三3】(2023·广东省深圳市期中)已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是( )
A.
B.
C.或
D.或
【答案】A
【解析】由不等式的解集为空集，
根据二次函数的性质，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A.
【举一反三4】若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】已知不等式的解集是，这意味着的图像恒在轴上方或者与轴相切，即在上恒成立.
对于一元二次方程（），
其判别式，在中，，，，
因为恒成立，
所以，即. 解得.
【举一反三5】若关于x的一元二次方程(a－2)x2－2ax＋a＋1＝0没有实数解，则ax＋3>0的解集为______________．
【答案】
【解析】由题意，可知a－2≠0，
且(－2a)2－4(a－2)(a＋1)＝4a＋8<0，
所以a<－2，所以解ax＋3>0，得x<－.
【举一反三6】(2023·河南省郑州市外国语学校期中)已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】当时，解得或，
当时，不等式为，解集不为空集，不合要求，舍去；
当时，不等式为，解集为空集，满足要求，
当时，要想不等式解集为空集，则，
解得；
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
【题型2】转化为在R上的恒成立问题
【典型例题】已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.{a|－1≤a≤4} B.{a|a≤－2或a≥5} C.{a|a≤－1或a≥4} D.{a|－2≤a≤5}
【答案】A
【解析】方法一 x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以要使x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.
方法二 不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立等价于不等式x2－2x＋5－a2＋3a≥0对任意实数x恒成立，所以关于x的方程x2－2x＋5－a2＋3a＝0的判别式Δ＝(－2)2－4×(5－a2＋3a)≤0，解得－1≤a≤4，故选A.
【举一反三1】已知P＝{m|－4A.P Q B.Q P C.P＝Q D.P∩Q＝
【答案】A
【解析】因为mx2－mx－1<0，对于一切x∈R成立，
当m＝0时，－1<0成立．
当m≠0时，其为一元二次不等式，则解得－4综上：－4【举一反三2】已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )
A.{a|－1≤a≤4} B.{a|－1【答案】A
【解析】由题意知，－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4.
【举一反三3】定义运算＝ad－bc，若不等式<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ______________________.
【答案】{a|－4【解析】原不等式为ax(x＋1)－1<0，即ax2＋ax－1<0，当a＝0时，不等式为－1<0，符合题意；
当a≠0时，有解得－4综上所述，a的取值范围是{a|－4【举一反三4】在R上定义运算“*”：x*y＝x(1－y).若不等式(x－a)*(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】由定义得(x－a)*(x＋a)＝(x－a)·[1－(x＋a)]＝x－a－(x2－a2)＝－x2＋x＋a2－a<1，
即不等式x2－x－a2＋a＋1>0在R上恒成立，
则Δ＝1－4×(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3<0，
解得－因此，实数a的取值范围是.
【举一反三5】设函数.
（1）若，求的解集．
（2）若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
（3）解关于的不等式：．
【答案】解：（1）由函数，
若，可得，
又由，即不等式，因为对应的一元二次方程，且函数对应的抛物线开口向下，所以不等式恒成立，即的解集为.
（2）由对一切实数x恒成立，等价于恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意．
当，开口向上，且与轴至多只有1个交点，即满足，即，解得，
所以的取值范围是．
（3）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为．
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为．
当时，不等式化为，
①当时；即时，不等式的解集为；
②当，时；时，不等式的解集为；
③当，时；时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
【题型3】一元二次不等式能成立问题
【典型例题】若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋A.{m|－1B.{m|m<0或m>3}
C.{m|－4D.{m|m<－1或m>4}
【答案】D
【解析】因为正实数x，y满足＋＝1，
所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当x＝2，y＝8时，x＋取得最小值4.
由x＋4，
解得m>4或m<－1.
【举一反三1】若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是( )
A.{m|m≤－2或m≥2} B.{m|－2≤m≤2} C.{m|m<－2或m>2} D.{m|－2【答案】A
【解析】因为关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，
所以判断式Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.
【举一反三2】若存在x∈R，使得≥2成立，则实数m的取值范围为( )
A.{m|m≤0} B.{m|m>0} C.{m|m≥－2} D.{m|m<－2}
【答案】C
【解析】∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，
∴m的取值范围为{m|m≥－2}.
【举一反三3】当10有解，则实数m的取值范围为________________．
【答案】{m|m>－5}
【解析】记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(10或2m＋8>0，解得m>－5.
【举一反三4】已知函数．
（1）若，解关于的不等式；
（2）若不等式在上有解，求实数取值范围．
【答案】解：（1）当时，解不等式，
因为0，所以开口向上，令0)。
①当时，解得，所以，所以解集为；
②当时，解得，所以，所以解集为；
③当时，解得，所以，所以解集为；
（2）已知在上有解，
即在上有解，
整理得，
左右两边同时除以x，即在上有解，
分离参数可以得，
令，则，
设，
当且仅当时取等号，所以。
【题型4】二次函数与二次方程的初高中衔接
【典型例题】如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④；正确结论的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】∵对称轴为直线，，
∴，②正确；
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，③错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
由题意可知时，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，④正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴，．
∵，
∴，
∴，①错误.
故选：B．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】①由抛物线可知：，
对称轴，
，
，故①正确；
②由对称轴可知：，
，
抛物线过点，
，
，故②正确；
③关于的对称点为，
时，，故③正确；
④抛物线与轴有两个交点，
，
即，
，故④正确；
故正确的有：①②③④．
故选：D．
【举一反三2】抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 抛物线的开口向下，
a<0，
抛物线的对称轴为
，
∵抛物线与y轴相交于正半轴，
故A错误，不符合题意；
抛物线的对称轴为
，
∴
故B错误，不符合题意；
由图象可知，当时，函数值小于0，即，
故C正确，符合题意；
抛物线与轴有两个交点，
故D错误，不符合题意；
故选：C.
【举一反三3】设、是方程的两个实数根，则 .
【答案】2023
【解析】∵、是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【举一反三4】如图（1），抛物线交轴于点，交轴于点.
（1）求和的值；
（2）已知点，是抛物线上的两个点，且，，求此抛物线的顶点到的距离；
（3）如图（2），连接，点是抛物线在线段上方部分上的一个动点，连接，交线段于点，设，求的取值范围.
【答案】解：（1）将，代入二次函数中得，，
解得：，∴此二次函数的解析式为.
（2）由（1）知此二次函数的解析式为，化成顶点式为，
∴此抛物线顶点的坐标为，对称轴为直线，
∵，∴点，关于对称轴为直线对称，
∵，∴，，
所以，∴，，
过点作于点，∴，
∴顶点到的距离16.
（3）过点作轴，交于点，
设点的坐标为，设直线的解析式，
依题意得，，解得：，
∴直线的解析式为，
∵轴，∴点的坐标为，
∴，
∵轴，∴，，∴，
∴，∴，
∴(当且仅当，即时，取“=”)，，
∴当时，有最大值，为，
∵，∵当，为，∴.
【举一反三5】分解下列因式：
(1)x2＋4x＋3；
(2)5x2－6x＋1；
(3)m2＋2mn－3n2；
(4)ax2＋(a－1)x－1(a≠0)．
【答案】解 (1)x2＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3)．
(2)5x2－6x＋1＝(x－1)(5x－1)．
(3)m2＋2mn－3n2＝(m＋3n)(m－n)．
(4)ax2＋(a－1)x－1＝(ax－1)(x＋1)(a≠0)．
【题型5】二次函数与二次方程新定义题
【典型例题】高斯是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设x∈R，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：已知函数.设函数的值域为集合，则中所有正整数元素个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数图象的对称轴为，
当时，，，
所以，
所以的值域，
故其值域中所有正整数元素为个数为，
故选：.
【举一反三1】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦——秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. B.8 C. D.
【答案】A
【解析】依题意可得，
所以
，
因为，即，所以，
所以当时，取得最大值.
故选：A
【举一反三2】高斯是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设x∈R，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：已知函数.设函数的值域为集合，则中所有正整数元素个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数图象的对称轴为，
当时，，，
所以，
所以的值域，
故其值域中所有正整数元素为个数为，
故选：.
【举一反三3】若规定＝ad－bc，则不等式0<<2的解集是( )
A.{x|－1B.{x|－C.{x|1D.{x|－【答案】D
【解析】因为＝ad－bc，
所以＝3－x2，
所以0<3－x2<2，即1解得1【举一反三4】对于实数x，y，定义一种运算 ：x y＝x－2y，若关于x的方程x(a x)＝2有两个相等的实数根，则实数a＝________.
【答案】4或－4
【解析】由新定义可知x(a x)＝x(a－2x)＝2，
即－2x2＋ax－2＝0，
又∵两实数根相等，
∴Δ＝a2－4×(－2)×(－2)＝0，
解得a＝±4.
【举一反三5】规定：a b＝(a＋b)b，如：2 3＝(2＋3)×3＝15，若2 x＝3，则x＝________.
【答案】1或－3
【解析】依题意得：(2＋x)x＝3，
整理，得x2＋2x＝3，
所以(x＋1)2＝4，
所以x＋1＝±2，
所以x＝1或x＝－3.
【举一反三6】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则函数的值域是 .
【答案】
【解析】由题设且，故，
所以.
故答案为：.
【题型6】在R上的恒成立问题
【典型例题】设，不等式恒成立的一个充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，不等式恒成立.
当时，不等式恒成立，
则二次函数的图象开口向下且与轴无交点，所以.
解，即，解得.
综上，不等式恒成立的充要条件是.
充分条件对应的集合真包含于，对比各选项，只有符合.
【举一反三1】若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知恒成立，
当时，恒成立，
当时，开口向上，与轴无交点，即满足，即，求得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
【举一反三2】已知 x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围为________．
【答案】{a|－6≤a≤2}
【解析】原不等式可化为x2＋ax＋3－a≥0，
∵函数y＝x2＋ax＋3－a的图象开口向上，
∴Δ＝a2－4(3－a)＝a2＋4a－12≤0，
即(a－2)(a＋6)≤0，∴－6≤a≤2，
∴实数a的取值范围为{a|－6≤a≤2}．
【举一反三3】(2023·湖南省永州市第二中学月考)设不等式对一切都成立，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】时，不等式不满足对一切都成立，则，
不等式对一切都成立，
则有，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【举一反三4】已知关于的不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）因为解集为，
所以而且的两根为和，
所以，所以．
（2）因为恒成立，即恒成立，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
【举一反三5】已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
【答案】解 当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
当a≠0时，则解得0综上，0≤a≤1.
由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.
对应的两根分别为a，1－a，
∵0≤a≤1，
∴①当1－a>a，即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；
③当1－a综上，当0≤a<时，原不等式的解集为{x|a当a＝时，原不等式的解集为 ；
当【题型7】一元二次不等式的判断
【典型例题】下列不等式中是一元二次不等式的为( )
A.ax2＋2x＋1>0
B.x2－y>0
C.－x2－3x<0
D.>0
【答案】C
【解析】由一元二次不等式定义可知，C正确．
【举一反三1】给出下列不等式①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【答案】D
【解析】根据一元二次不等式的定义，只有①②满足．
【举一反三2】若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】由不等式的解集是，故，
且
即，.
故选：D.
【举一反三3】若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】由不等式的解集是，故，
且
即，.
故选：D.
【举一反三4】已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；②x2－y>0；③－x2－3x<0；④>0.其中一元二次不等式的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】只有－x2－3x<0是一元二次不等式，其它都不是.
【题型8】转化为不含参数的一元二次不等式的解集
【典型例题】已知集合U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，则 UA等于( )
A.(1,2) B.[1,2] C.(－2，－1) D.[－2，－1]
【答案】B
【解析】因为A＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，U＝R，
所以 UA＝[1,2]．
【举一反三1】下面四个不等式中解集为R的是( )
A.－x2＋x＋1≥0 B.x2－2x＋5>0 C.x2＋6x＋10>0 D.2x2－3x＋4<0
【答案】C
【解析】利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10>0中，Δ＝62－40<0，
∴不等式x2＋6x＋10>0的解集为R，其他可类似判断．
【举一反三2】不等式组的解集为( )
A.{x|－4≤x≤－3} B.{x|－4≤x≤－2} C.{x|－3≤x≤－2} D.
【答案】A
【解析】
－4≤x≤－3.故所求不等式组的解集为{x|－4≤x≤－3}.
【举一反三3】用函数的观点解关于x的不等式，可得解集为______.
【答案】
【解析】设函数，其定义域为.
根据幂函数的单调性以及一次函数的性质，的导数（当且仅当时取等号），所以在上是增函数；中斜率，所以在上是增函数.
两个增函数相加所得的函数还是增函数，所以是上的增函数.
计算，那么不等式，即.
因为是增函数，所以，其解集为.
【举一反三4】若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B＝________.
【答案】{1,2}
【解析】∵(2x＋1)(x－3)<0，∴－又x∈N*且x≤5，∴x＝1,2.
【举一反三5】（1）若不等式的解集是，求的值；
（2）已知不等式的解集为，求不等式的解集.
【答案】解 （1）的解集是，则是对应方程的两个根，故且，解得，
当时，不等式为，满足题意，
故；
（2）若不等式的解集为，则，3是对应方程的两个根，且a<0，
则，即，
则不等式等价为，
即，
即，
解得，
即不等式的解集为.
【举一反三6】当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0 大于0 小于 0
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】解 (1)使的值等于0的x的取值集合是
使的值大于0的x的取值集合是或
使的值小于0的x的取值集合是
(2)使的值等于0的x的取值集合是{-5,5};
使的值大于0的x的取值集合是{x|-5使的值小于0的x的取值集合是{x|x<-5,或x>5}.
(3)因为对于方程x +6x+10=0,Δ=36-40<0，所以使的值等于0的x的取值集合为 ；使的值小于0的x的取值集合为 ；使 的值大于0的x的取值集合为R.
(4)使的值等于0的x的取值集合为{2}；
使的值小于0的x的取值集合为{x|x≠2};
使的值大于0的x的取值集合为 .
【题型9】三个二次的关系
【典型例题】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( )
A.{x|x<－1或x>2} B.{x|x≤－1或x≥2} C.{x|－1【答案】D
【解析】由根与系数的关系得解得又∵a<0，∴x2－x－2≤0，∴－1≤x≤2. 即所求不等式的解集为{x|－1≤x≤2}.
【举一反三1】已知关于x的不等式a>x＋6的解集为{x|bA.4 B.5 C.7 D.9
【答案】D
【解析】由a>x＋6得x－a＋6<0，
由不等式a>x＋6的解集为{x|b得
解得故a＋b＝9.
【举一反三2】不等式≤0的解集为{x|－1≤x<2或x≥3}，则b＋c等于( )
A.－5 B.－2 C.1 D.3
【答案】B
【解析】由不等式≤0的解集为{x|－1≤x<2或x≥3}，易得a＝2，b＝1，c＝－3或a＝2，b＝－3，c＝1，故b＋c＝－2.
【举一反三3】（2023·江苏省扬州市高邮市月考）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为___________________.
【答案】
【解析】因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两个根，由韦达定理可知，
所以代入不等式可得，
解得的取值范围为.
故答案为：.
【举一反三4】已知一元二次不等式的解集为，则的解集为______.
【答案】
【解析】因为一元二次不等式的解集为，
所以，是方程的两根，
由韦达定理得，，得到，
代入，得到，因为，所以的解集为.
【举一反三5】已知二次函数的图象与轴交于两点.
（1）当时，求关于的方程的解；
（2）若，求的值；
（3）若，求的取值范围.
【答案】解：（1）当即解方程
解得或，
所以方程得解为1或-5；
因为两点为二次函数的图象与轴的交点，
所以为不等的两个根，
根据韦达定理可知，
所以
解得；
因为有两个不等根，
所以，即
所以，
由（2）可知，
所以
，
由，则，所以，故，
即的取值范围.
【举一反三6】已知关于x的不等式的解集为.
（1）求的值.
（2）若正实数满足，求的最小值.
【答案】解：（1）因为不等式的解集为
所以方程的两根为-1和n，
代入方程可得，解得.
（2）由（1）得正实数满足，
所以，
当且仅当，且，即时等号成立，
所以的最小值为.
【题型10】三个二次的关系综合
【典型例题】（2023·江苏省徐州市徐州高级中学期中）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】关于的不等式的解集是，
和是方程的两个实数根，且，
则，解得，
所以不等式等价于（），即，
解得：，
所以不等式的解集是.
故选：B.
【举一反三1】(2023·江苏省无锡市辅仁高级中学期中)若不等式和不等式的解集相同，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由解得：，
所以-2和是的两个根，
所以，解得：a=－4，b=－9，
所以.
故选：B.
【举一反三2】（2023·湖南省长沙市德城学校期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为的解集为，
所以方程的两根分别为和1，且，
则变形可得
故函数的图象开口向下，
且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.
故选：A.
【举一反三3】若不等式的解集是，则_________.
【答案】
【解析】因为不等式的解集是，
所以和是的两根且，
由韦达定理得，解得.
则.
故答案为：.
【举一反三4】已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|2【答案】－ 8
【解析】∵不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|2∴2，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a>0，
∴2＋3＝－，2×3＝，
因此b＝－5a，c＝6a，则＝－.
所以b＋c＋＝a＋＝a＋2＋－2≥2－2＝8.
当且仅当a＋2＝，
即a＝3时取等号，
故b＋c＋的最小值为8.
【举一反三5】已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3(1)求二次函数的解析式；
(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．
【答案】解 (1)因为y>0的解集为{x|－3所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，且a<0，
所以
解得所以y＝－3x2－3x＋18.
(2)因为a＝－3<0，
所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，
要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，
即52－4×(－3)c＋12c≤0，
所以c≤－.
所以当c的取值范围为时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R.
【举一反三6】已知方程，且，是方程的两个不同的实数根．
（1）若，求的值；
（2）若，且，求取值范围．
【答案】解：因为，是方程的两个不同的实数根，
所以，解得或.
又由韦达定理得：，.
（1）当时，；，所以．
（2）因为，
整理得：，即，解得．
结合或，解得：．
【题型11】与集合、简易逻辑有关
【典型例题】已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知集合，
可得.
可得，
所以选A.
【举一反三1】若集合，，则的真子集有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】对于不等式，可将其变形为，因式分解得，解得，又因为，
所以，
对于不等式，可等价于，解得或，
所以或，
所以，
因为中有4个元素，所以有个真子集.
故选：B.
【举一反三2】已知，，则“关于的不等式有解”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当不等式有解时：
若，函数图象开口向上，不等式一定有解，
此时取值不确定；
若，不等式有解则需.
所以“不等式有解”不能推出“”.
当时：
若，函数图象与轴有两个交点且开口向上，
不等式有解；
若，函数图象与轴有两个交点且开口向下，
不等式也有解.所以“”能推出“不等式有解”.
综上，“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件，
答案选B.
【举一反三3】若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是______.
【答案】-1
【解析】命题“，”为真命题，
则在上有解，
只需,
，故当时，取得最小值，
，
所以，故实数可取的最小整数值为-1.
【举一反三4】设集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）当时，.
解不等式，得或，所以 .
则 .
所以 .
（2）由可得 .
若，则，解得 .
若，则或，得或 .
综上，实数的取值范围是 .
【题型12】定区间上一元二次不等式恒成立问题
【典型例题】对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件是( )
A.a<－3 B.a<－4 C.a<0 D.a>0
【答案】C
【解析】因为x2－2x＋a<0，
所以a<－x2＋2x，
又因为－1≤x≤2，
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≥－3，
所以a<－3，
又因为求“对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件”．
所以C正确．
【举一反三1】若不等式的解集为，则的范围是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】当时，原不等式变为，此时不等式恒成立，符合题意；
当时，由不等式在上恒成立，
可得，解得，即.
综上可得的范围是.
故选：A.
【举一反三2】若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，对于都有成立，因函数图像开口向上
∴，
所以故：，
即实数的取值范围是.
故选：B.
【举一反三3】已知不等式(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3>0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】{m|1≤m<19}
【解析】①当m2＋4m－5＝0时，m＝－5或m＝1.
若m＝－5，则不等式化为24x＋3>0，对任意实数x不可能恒大于0.
若m＝1，则3>0恒成立．
②当m2＋4m－5≠0时，根据题意应有
∴∴1综上可知，{m|1≤m<19}．
【举一反三4】若10恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】{m|m<4}
【解析】x2－mx＋4>0，且1【举一反三5】已知关于的不等式．
（1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立；
（2）若不等式对于恒成立，求的取值范围；
（3）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）原不等式等价于.
当时，不等式为，解得，不满足对任意恒成立.
当时，要使恒成立，则二次函数需开口向下且与轴无交点，即.
解，，即，，此不等式无解，所以.
综上，不存在实数，使不等式对恒成立.
（2）因为，所以，，不等式可化为.
令（），则，.
所以.
设，，对求导得，所以在单调递增.
，当时，，所以，，则，即的取值范围是.
（3）设，当时，恒成立，则.
即，化简为.
解，，得.
解，即，，得或.
取交集得，所以实数的取值范围是.
【题型13】含参数的一元二次不等式的解法(分类讨论)
【典型例题】设，则“”是“，不等式恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对于，不等式恒成立，分情况讨论：
当时，不等式变为，恒成立.
当时，二次函数，需满足，
解得，即，解得.
综上，的取值范围是.
因为能推出，反之不成立.
所以“”是“，不等式恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
【举一反三1】(2023·河南省郑州市外国语学校期中)已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的值可能为( )
A.－5 B. C. D.4
【答案】AB
【解析】或，
，时，不等式无实数解；
，此不等式解为，不等式组只有一个整数解，则，
即，∴；
时，此不等式的解为，不等式组只有一个整数解，则，，∴；
综上，的取值范围是，四个选项中AB满足.
故选：AB．
【举一反三2】设，则“”是“，不等式恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对于，不等式恒成立，分情况讨论：
当时，不等式变为，恒成立.
当时，二次函数，需满足，
解得，即，解得.
综上，的取值范围是.
因为能推出，反之不成立.
所以“”是“，不等式恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
【举一反三3】(2023·河南省郑州市外国语学校期中)已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的值可能为( )
A.－5 B. C. D.4
【答案】AB
【解析】或，
，时，不等式无实数解；
，此不等式解为，不等式组只有一个整数解，则，
即，∴；
时，此不等式的解为，不等式组只有一个整数解，则，，∴；
综上，的取值范围是，四个选项中AB满足.
故选：AB．
【举一反三4】已知不等式的解集为或.
（1）求的值；
（2）解不等式.
【答案】解：（1）由不等式的解集为或，
可以得到，由方程的根为，
即方程的根为，
所以，所以.
依据（1）知，带入不等式，
得到，
即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【举一反三5】求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
【答案】解 ∵12x2－ax>a2，
∴12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0，得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，
原不等式的解集为；
②当a＝0时，不等式为x2>0，解集为{x|x≠0}；
③当a<0时，－>，
原不等式的解集为.
综上所述，当a>0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；
当a<0时，不等式的解集为.
【题型14】一元二次不等式在生活中的应用
【典型例题】若产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
【答案】C
【解析】由条件知y－25x＝(3 000＋20x－0.1x2)－25x＝－0.1x2－5x＋3 000.
若生产者不亏本，则需－0.1x2－5x＋3 000≤0，
即x2＋50x－30 000≥0.
∴(x＋200)(x－150)≥0.
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
∴最低产量为150台．
【举一反三1】某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是( )
A.{t|1≤t≤3} B.{t|3≤t≤5} C.{t|2≤t≤4} D.{t|4≤t≤6}
【答案】B
【解析】设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，
则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5，即所求t的取值范围为{t|3≤t≤5}．
【举一反三2】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( )
A.{x|10≤x<16} B.{x|12≤x<18} C.{x|15【答案】C
【解析】设这批台灯的销售单价为x元，
则[30－(x－15)×2]x>400，
即x2－30x＋200<0，∴10又∵x>15，∴15【举一反三3】在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.则这次事故的主要责任方为________.
【答案】乙车
【解析】由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，
s乙＝0.05x＋0.005x2>10.
分别求解，得x甲<－40或x甲>30，
x乙<－50或x乙>40.
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
【举一反三4】某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
【答案】解 (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有
即解得0所以投入成本增加的比例x应在的范围内，才能使本年度的年利润比上年度有所增加．
【题型15】含参数的一元二次不等式的解集(集合逻辑)
【典型例题】已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由韦达定理，，.
由，得，化简：，即，解得或.
又因方程有两不等根，，
即，解得或.
综上，取交集得或，选B.
【举一反三1】若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A.
B. 或
C.
D. 或
【答案】D
【解析】因为的解集为，
所以方程的两根为，.
所以，即，解得，.
则不等式化为，解得或.
故选：D.
【举一反三2】若关于x的不等式ax>b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a>0的解集为________．
【答案】
【解析】由已知ax>b的解集为，可知a<0，且＝，将不等式ax2＋bx－a>0两边同除以a，得x2＋x－<0，即x2＋x－<0，解得－10的解集为.
【举一反三3】已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】解 (1),
当时，，
则.
(2)由，可得，
当，即时，，
因为，所以或，
解得或，
因为，所以符合题意；
当，即时，，
满足，则符合题意；
当，即时，，
因为，所以或，
解得或，
因为，所以符合题意.
综上，的取值范围是.
【题型16】两个实数根
【典型例题】方程根的情况是( )
A.两根一正一负
B.两根都是负数
C.两根都是正数
D.没有实数根
【答案】A
【解析】，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
设方程的两根分别为，
∴，
∴一正一负，
故选：A．
【举一反三1】关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是( )
A.{m|m>} B.{m|m>且m≠2} C.{m|－【答案】D
【解析】由题意得
即
解得【举一反三2】关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
【答案】A
【解析】一元二次方程的判别式，
故方程有两个不等的实数根.
故选：A.
【举一反三3】关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是
【答案】
【解析】由题意可知：，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【举一反三4】已知x1，x2是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，且，x1，x2都是整数，求的值．
【答案】(1)解 ∵x1，，x2是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴，
解得：；
(2)解 ∵，由(1)得，
∴，
∴整数的值有，，，
当时，方程为，
解得：，(都是整数，此情况符合题意)；
当时，方程为，
解得：(不是整数，此情况不符合题意)；
当时，方程为，
解得：(不是整数，此情况不符合题意)；
综上所述，的值为．
【举一反三5】已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．
【答案】(1)证明 ，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
(2)解 ∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
【题型17】不等式恒成立能成立综合问题
【典型例题】设a是实数，要使得对任意x<1或x>5，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则a的取值范围是( )
A.{a|a≤5} B.{a|1【答案】D
【解析】令y＝x2－2(a－2)x＋a.
(1)若y＝x2－2(a－2)x＋a与x轴没有交点．这时y恒大于0，满足要求，由判别式Δ＝4(a－2)2－4a<0，解得1(2)若y＝x2－2(a－2)x＋a与x轴有交点，这时，由函数图象可知，当x＝1时，1－2(a－2)＋a≥0，a≤5；
当x＝5时，25－10(a－2)＋a≥0，a≤5；
当x＝＝a－2时，(a－2)2－2(a－2)2＋a≤0，a≤1或a≥4；
又1≤a－2≤5，即3≤a≤7，所以4≤a≤5.
综上可知，a的取值范围是{a|1【举一反三1】若对任意实数x>1，不等式(x－1)(ax＋1)≤0恒成立，则a的取值范围为( )
A.{a|－1≤a≤1} B.{a|a≤1} C.{a|a≥－1} D.{a|a≤－1}
【答案】D
【解析】对任意实数x>1，不等式(x－1)(ax＋1)≤0恒成立，
由x－1>0即ax＋1≤0恒成立，ax＋1≤0 a≤－，由x<1则－1<－<0得a≤－1，故答案为D.
【举一反三2】若存在1≤a≤3，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围为________.
【答案】
【解析】令y＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)·a－2x－2，是关于a的函数，
当1≤a≤3时，函数的图象是一条线段.
根据函数的图象，得(x2＋x)－2x－2>0或(x2＋x)·3－2x－2>0，
则x2－x－2>0，①
或3x2＋x－2>0，②
解①可得x<－1或x>2，
解②可得x<－1或x>.
则实数x的取值范围为.
【举一反三3】存在使不等式成立，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】由题意，令，存在使成立，即得
.
【举一反三4】（2023·安徽省滁州市期中联考）已知不等式，其中，．
（1）若，解上述关于的不等式；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．
【答案】解：（1）若，则不等式变形为，
即，
解得，故不等式的解集为．
（2）不等式对恒成立，
当时，，即，；
当时，恒成立，
∵，
当且仅当，即时，等号成立，∴；
当时，恒成立，
∵，
当且仅当，即时，等号成立，∴，
综上，的取值范围为．
【举一反三5】(2023·江苏省连云港市第一中学模拟)已知命题，
命题，若命题都是真命题，求实数的取值范围．
【答案】解：①命题是真命题，
则当时，
，解得，不满足条件；
当时，要使得，必有
，解得，
命题是真命题时；
②命题是真命题，
则有，即，
解得：或；
综上①②，命题都是真命题时，．
【题型18】可因式分解的一元二次不等式的解法
【典型例题】若00的解集是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】∵0∵二次函数y＝(x－a)的图象开口向上，且两零点分别是x1＝a，x2＝，
∴(x－a)>0的解集为.
【举一反三1】设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是( )
A.{x|x<－n或x>m}
B.{x|－nC.{x|x<－m或x>n}
D.{x|－m【答案】B
【解析】因为方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n， m＋n>0，所以m>－n，又函数y＝(m－x)(n＋x)的二次系数小于0，故图象开口方向向下，得不等式的解集是{x|－n【举一反三2】若00的解集是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】∵(t－x)＝0的根为t， 且01，
∴>t，
∴(t－x)>0 (x－t)<0 t【举一反三3】若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)<0的解集为________________．
【答案】
【解析】因为a<0，所以原不等式等价于(x＋1)·>0，方程(x＋1)＝0的两根为－1，－，显然－>0>－1，所以原不等式的解集为.
【举一反三4】若0【答案】
【解析】∵01>m，
∴原不等式的解集为.
【举一反三5】已知，解不等式：．
【答案】解 原不等式为．
①若时，即时，则原不等式的解集为；
②若时，即时，则原不等式的解集为；
③若时，即时，则原不等式的解集为．
综上可得，当时，原不等式的解集为；
当时，则原不等式的解集为；当时，则原不等式的解集为．
【题型19】综合问题
【典型例题】关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，解得．
故选B．
【举一反三1】若关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根， 则k的取值范围是( )
A.k> B.k<且k≠0 C.k≤且k≠0 D.k<
【答案】C
【解析】∵关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根，
∴k≠0且Δ＝(－1)2－4k≥0，解得k≤且k≠0.
【举一反三2】如果关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值是 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵
∴，
∴，解得：．
故答案为：．
【举一反三3】若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为 ．
【答案】
【解析】将代入中，可得，
解得：，
故答案为：．
【举一反三4】关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
【答案】(1)解 ∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，
解得：；
(2)解 ∵，
∴
；
【题型20】综合问题
【典型例题】若关于的不等式的解集为，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由解集，知，且，，即，.
将，代入，得.
因，两边同除以，不等号变向，得.
因式分解，解得或.
故选：B.
【举一反三1】若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知a<0，
由根与系数的关系知＝－2＋1，－＝－2，
得a＝－1，c＝－2.
所以y＝ax2＋x－c＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，
当y＝－(x＋1)(x－2)＝0时，x1＝－1，x2＝2，
故图象开口向下，且与x轴交点为(－1,0)，(2,0)．
【举一反三2】设x满足不等式组则点P(x＋2，x－2)位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【解析】原不等式组可变形为∴原不等式组的解集为{x|x<－6}，∴x＋2<0且x－2<0，
∴点P(x＋2，x－2)位于第三象限．
【举一反三3】已知a，b，c是△ABC的三边长，关于x的方程x2＋x＋c－a＝0的解集中只有一个元素，方程3cx＋2b＝2a的根为x＝0，则△ABC的形状为________；若a，b为关于x2＋mx－3m＝0的两个实数根，则实数m的值等于________．
【答案】等边三角形 －12
【解析】∵关于x的方程x2＋x＋c－a＝0的解集中只有一个元素，∴Δ＝b－2(c－a)＝0，
即a＋b＝2c，∵方程3cx＋2b＝2a的根为x＝0，∴a＝b，∴a＝b＝c，故三角形为等边三角形．
∵a，b为关于x2＋mx－3m＝0的两个实数根，
∴方程x2＋mx－3m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝m2－4×(－3m)＝0，
即m2＋12m＝0，解得m＝－12(m＝0舍去)；故答案为：等边三角形；－12.
【举一反三4】（2023·湖南省长沙市长郡中学期中）已知二次函数.
（1）若“”为真命题，求实数的取值范围；
（2）是否存在小于4的整数，使得关于的不等式的解集恰好为？若存在，求出所有可能的的取值集合；若不存在，说明理由.
【答案】解：（1）“”为真命题，即恒成立，
∴，
∴，
解得：，
故实数的取值范围.
（2）由题意得，
即，
由，可得： 或（舍）
经检验：，成立，
故的取值集合为.
【举一反三5】已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求、；
（2）当时，
①若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；
②若、，求的最小值.
【答案】解：（1）因为不等式的解集为，所以，是方程的两根.
两根之和，两根之积 .
由，解得；由，得 .
（2）当时，，即，则 ， .
①因为不等式解集为，
则 .
解不等式，得 ，所以实数的取值范围是 .
②已知，由，则
.
则，所以 .
当且仅当且，，，即，时等号成立 .
所以的最小值为 .
【题型21】二次函数与二次方程的实际应用
【典型例题】某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本(单位：元/100kg)与上市时间(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系.，，，.利用你选取的函数，求得西红柿种植成本最低时的上市天数是( )
A.120 B.100 C.110 D.118
【答案】A
【解析】因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，所以函数不单调，
所以选取，且开口向上，
将表格中的三组数据分别代入，
得解得
即，对称轴，开口向上，
在对称轴处即120天时函数取最小值.
西红柿种植成本最低时的上市天数是120天.
故选：A.
【举一反三1】把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设铁丝的一段长度为，(其中)，则另一段铁丝长为，
两个正方形的面积之和为，
根据题意，可得，
当且仅当时，取得最小值，最小值为.
故选：D.
【举一反三2】已知某种商品在第天的销售价格为元，销售量为件，则在这15天中，第 天该商品日销售额最多，为 元.
【答案】
【解析】设第天的日销售额为元，则，
，
∴当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：13，833.
【举一反三3】生产某机器的总成本(万元)与产量(台)之间的函数关系式是，若每台机器售价为30万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为 台.
【答案】50
【解析】设生产台，获得利润(万元)，
则，
所以当时，获得的利润最大.
故答案为：50.
【举一反三4】为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与大棚投入万元分别满足，.设甲大棚的投入为万元，每年两个大棚的总收入为(投入与收入的单位均为万元).
(1)求的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收入最大？并求最大年总收入.
【答案】解 (1)因为甲大棚的投入为8万元，所以乙大棚的投入为12万元，
所以，，
所以；
(2)，
令，所以，
所以，
当时，取得最大值，此时，
所以甲大棚投入15万元，乙大棚投入5万元，最大年收入为56万元.
【题型22】两个相等的实数根
【典型例题】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】D
【解析】根据题意得，
解得，
故选：D．
【举一反三1】下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A．，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B．，解得：，故本选项符合题意；
C．，，解得，故本选项不符合题意；
D．，，解得，故本选项不符合题意．
故选：B．
【举一反三2】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A.1 B. C. D.
【答案】C
【解析】整理方程得，
∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故选：C．
【举一反三3】已知集合，，，若C恰有1个真子集，则实数（ ）
A. 2 B. 6 C. 或6 D. 2或6
【答案】C
【解析】由恰有1个真子集可确定中只有一个元素，
即与有且仅有唯一解，
联立消y可得，函数有唯一解即
即，解得或.
故选：C.
【题型23】新定义问题
【典型例题】对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范围是( )
A. B.{x|2≤x≤8} C.{x|2≤x<8} D.{x|2≤x≤7}
【答案】C
【解析】由4[x]2－36[x]＋45<0，即(2[x]－15)(2[x]－3)<0得<[x]<，
又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x<8.
【举一反三1】 x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，十八世纪，函数y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，若[x2－2x＋4]＝3，则实数x的取值范围为( )
A.(0，2) B.[0，1)∪(1，2) C.(0，1)∪(1，2] D.[0，2]
【答案】A
【解析】∵x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3，
又[x2－2x＋4]＝3.
∴0≤(x－1)2<1，解得0【举一反三2】(2023·江苏省连云港市第一中学模拟)对任意，记且，并称为集合的对称差．已知集合，集合，则______________．
【答案】
【解析】因为，
所以所以，
所以
所以，
且.
故答案为：.
【举一反三3】配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成(a、b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题
（1）已知29是“完美数”，请将它写成(a、b是正整数)的形式__________；
（2）若可配方成(m、n正整数)，则__________；
探究问题
（3）已知(x、y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【答案】解：（1）.
（2），
∴，，
∴.
（3）
，
∵S是“完美数”，，也是整数，
∴，解得，
【题型24】二次函数图象与二次函数的系数的判断
【典型例题】如果一元二次函数的对称轴是，则当时，（ ）
A.10 B.－10 C.－1 D.19
【答案】C
【解析】对称轴为，解得，则，
所以当时，.
故选：C.
【举一反三1】二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到轴距离为4，，则a的值为（ ）
A.4 B.2 C. D.
【答案】D
【解析】如图，二次函数的图象开口向上，由于，则点在x轴下方，
过作轴于，设点，
则，由，得，
于是，即有，
整理得，显然是方程的两个实根，
则，从而，即，
由点在二次函数的图象上，得，因此，解得，
所以a的值为.
故选：D.
【举一反三2】在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题可先由一次函数y＝ax＋c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2＋c的图象相比较看是否一致，反之也可．A.由一次函数的图象可知，a>0，c>0，由二次函数的图象可知开口向下，a<0，两者相矛盾；B.由一次函数的图象可知，a<0，c>0，由二次函数的图象可知开口向下，a<0，两者相吻合；C.由一次函数的图象可知，a<0，c<0，由二次函数的图象可知图像开口向上，a>0，两者相矛盾；D.由一次函数的图象可知，a<0，c>0，由二次函数的图象可知图像开口向上，a>0，两者相矛盾．故选B.
【举一反三3】如果一元二次函数的对称轴是，则当时，（ ）
A.10 B.－10 C.－1 D.19
【答案】C
【解析】对称轴为，解得，则，
所以当时，.
故选：C.
【举一反三4】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程的两个根；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】解 (1)观察图象知，二次函数的图象与轴交于，，
所以方程的两个根是，．
(2)若方程有两个不相等的实数根，则二次函数的图象与直线有两个不同的交点，
观察图象知，二次函数图象的顶点纵坐标为2，于是，
所以的取值范围是．
【举一反三5】已知二次函数.
(1)写出二次函数图像的开口方向、对称轴方程；
(2)判断函数y有最大值还是最小值，并求出这个最大（小）值；
(3)设二次函数图像与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的方程.
【答案】解 (1)由题意知二次函数的二次项系数为
故其图象的开口方向向上，对称轴方程为；
(2)由于二次函数的二次项系数为，
故该函数有最小值，当时，最小值为；
(3)对于，令，则，即；
令，则，解得或，即或，
当Q为时，，
故直线PQ的方程为，即；
当Q为时，，
故直线PQ的方程为，即；
【题型25】分式不等式综合
【典型例题】若a>0，b>0，则不等式－b<A.{x|－B.{x|－C.{x|x<－或x>}
D.{x|x<－或x>}
【答案】D
【解析】－b<或x<－.
【举一反三1】下列选项中，使不等式x<A.{x|x<－1} B.{x|－11}
【答案】A
【解析】由题意知，原不等式等价于<0，
即<0，
从而<0，解得x<－1，选A.
【举一反三2】使分式与的值相等的x的值为_____．
【答案】9
【解析】根据题意得：，
去分母得：，解得，
∴原方程解为，
所以，使分式与的值相等的x的值为9．
【举一反三3】若实数a，b满足a＋b<0，则不等式<0的解集为________________．
【答案】{x|x>－a或x【解析】原不等式等价于(x＋a)(b－x)<0 (x－b)(x＋a)>0.
对应方程的两根分别为x1＝b，x2＝－a，
因为a＋b<0，所以b<－a.
所以原不等式的解集为{x|x>－a或x【举一反三4】(2023·江西省宜春市上高二中月考)设关于x的函数，其中a，b都是实数.
(1)若的解集为，求出a、b的值；
(2)若，求不等式的解集.
【答案】解：(1)的解集为，
则的开口向上，是对应方程的两根，
则，即；
(2)若，则，
，
当时，，则的解集为
当时，若，即时，的解集为；
当时，，的解集为；
综上：当时，解集为；
时，解集为，时，解集为.
【题型26】二次函数与二次方程根的问题(韦达定理)
【典型例题】若2x2＋1与4x2－2x－5互为相反数，则x的值为( )
A.－1或 B.1或－ C.1或－ D.－1或
【答案】C
【解析】由题意得，2x2＋1＋4x2－2x－5＝0，即3x2－x－2＝0，(x－1) (3x＋2)＝0，解得x1＝1，x2＝.
【举一反三1】设是方程的两根，那么的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为方程的判别式为，
所以，
因此，
故选：C.
【举一反三2】关于的一元二次方程：有实数根，若其中一个根为，则另一个根为( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为为关于的一元二次方程的根，
显然，且，不妨令，则，
此时，方程可化为，经检验符合题意，
即方程另一个根为.
故选：D.
【举一反三3】若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2022的值为________．
【答案】2 025
【解析】由题意可知：2m2－3m－1＝0，
∴2m2－3m＝1，
∴原式＝3(2m2－3m)＋2 022＝2 025.
【举一反三4】若是方程的两个实数根，则 .
【答案】2021
【解析】∵是方程的两个实数根，
∴，，
则原式．
故答案为：2021.
【举一反三5】已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0①有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程①的两个实数根分别为x1，x2.当k＝1时，求＋的值．
【答案】解 (1)∵方程①有两个不相等的实数根，
∴判别式Δ＝(2k＋1)2－4×1×k2>0，
解得k>－.
∴k的取值范围是{k|k>－}.
(2)当k＝1时，方程①为x2＋3x＋1＝0，
∴由根与系数的关系可得
∴＋＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×1＝9－2＝7.
【题型27】解不含参数的一元二次不等式
【典型例题】不等式的解集为( )
A.R B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，
得，解得，
所以不等式的解集为，
故选：C.
【举一反三1】已知集合，则A的子集个数为( )
A.4 B.7 C.8 D.16
【答案】C
【解析】由题意得，，
则A的子集个数为，
故选：C．
【举一反三2】已知集合，，则 ．
【答案】
【解析】，
故，
故答案为：.
【举一反三3】不等式(x－1)2＜x＋5的解集为________．
【答案】{x|－1＜x＜4}
【解析】原不等式可化为x2－3x－4＜0，即(x＋1)(x－4)＜0，故其解集为{x|－1＜x＜4}．
【举一反三4】解不等式组：.
【答案】解 由可得，解得，
由可得，解得或，
故不等式组的解为.
【题型28】分式不等式的解集
【典型例题】不等式<1的解集是( )
A.{x|x>1}
B.{x|-1C.
D.
【答案】C
【举一反三1】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由韦达定理可得，解得，，
不等式，则解集为.
故选：D.
【举一反三2】不等式>0的解集为________.
【答案】{x|x>－5且x≠2}
【解析】>0
所以原不等式的解集为{x|x>－5且x≠2}.
【举一反三3】已知集合，.
（1）当时，求.
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围.条件①：；条件②：“”是“”的充分条件.
（注：如果选择条件①和条件②分别解答，那么按第一个解答计分）
【答案】解：（1）对于集合，由，移项通分得到，即，化简为，等价于，其解集为.
当时，对于集合，，则，解得.
所以.
，则.
（2）选条件①：对于集合，，则，解得.
.
因为，所以，解得，的取值范围是.
选条件②：因为“”是“”的充分条件，所以.
集合，所以，解得，的取值范围是.
【举一反三4】设集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）当时，解不等式，
等价于且.
解得，所以.
解不等式，即，
解得或，
所以.
则
（2）解不等式得.
解不等式，等价于且.
当时，，满足；
当时，，空集是任何集合的子集，满足；
当时，，若，则，矛盾，不满足.
综上，实数的取值范围是.2.3二次函数与一元二次方程、不等式
【知识点1】解一元二次不等式 2
【知识点2】二次函数的单调性与单调区间 3
【知识点3】一元二次不等式恒成立问题 3
【知识点4】二次函数的图象及其对称性 4
【知识点5】二次函数的定义域 5
【知识点6】二次函数的最值 6
【知识点7】二次函数的值域 6
【知识点8】二次函数的应用 7
【知识点9】一元二次方程的根的分布与系数的关系 8
【知识点10】由一元二次不等式的解求参数 8
【知识点11】由二次函数的性质求解析式或参数 9
【题型1】一元二次不等式无解问题 11
【题型2】转化为在R上的恒成立问题 12
【题型3】一元二次不等式能成立问题 12
【题型4】二次函数与二次方程的初高中衔接 13
【题型5】二次函数与二次方程新定义题 14
【题型6】在R上的恒成立问题 16
【题型7】一元二次不等式的判断 16
【题型8】转化为不含参数的一元二次不等式的解集 17
【题型9】三个二次的关系 17
【题型10】三个二次的关系综合 18
【题型11】与集合、简易逻辑有关 20
【题型12】定区间上一元二次不等式恒成立问题 20
【题型13】含参数的一元二次不等式的解法(分类讨论) 21
【题型14】一元二次不等式在生活中的应用 22
【题型15】含参数的一元二次不等式的解集(集合逻辑) 23
【题型16】两个实数根 23
【题型17】不等式恒成立能成立综合问题 24
【题型18】可因式分解的一元二次不等式的解法 25
【题型19】综合问题 26
【题型20】综合问题 26
【题型21】二次函数与二次方程的实际应用 27
【题型22】两个相等的实数根 28
【题型23】新定义问题 28
【题型24】二次函数图象与二次函数的系数的判断 29
【题型25】分式不等式综合 30
【题型26】二次函数与二次方程根的问题(韦达定理) 31
【题型27】解不含参数的一元二次不等式 31
【题型28】分式不等式的解集 32
【知识点1】解一元二次不等式
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△=b2-4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x-x1）（x-x2）
当△=b2-4ac=0时，
一元二次方程ax2+bx+c=0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x-x1）2．
当△=b2-4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c=0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x-3）（x+2）＜0
所以，-2＜x＜3
故答案为：（-2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．
一元二次不等式ax2+bx+c＞0
-将不等式转化为 ax2+bx+c=0 形式，求出根．
-根据根的位置，将数轴分为多个区间．
-在各区间内选择测试点，确定不等式在每个区间内的取值情况．
-综合各区间的解，写出最终解集．
不等式x2-2x＞0的解集是（ ）
解：不等式x2-2x＞0整理可得x（x-2）＞0，可得x＞2或x＜0，
{x|x＜0或x＞2}
【知识点2】二次函数的单调性与单调区间
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
二次函数在顶点左右的区间上具有不同的单调性．对于 f（x）=ax2+bx+c，顶点为 处，左侧单调递减，右侧单调递增（当 a＞0 时）．
涉及二次函数单调区间的判断与证明题，结合实际应用问题解答．
判断函数y=x2-2x，x∈[-2，2]的单调性，并求出它的单调区间．
解：二次函数y=x2-2x，开口向上，对称轴x=1，
所以x∈[-2，1]时，函数单调递减；
x∈（1，2]时，函数单调递增．
即函数的单调递增区间为（1，2]，单调递减区间为[-2，1）．
【知识点3】一元二次不等式恒成立问题
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△=b2-4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x-x1）（x-x2）
当△=b2-4ac=0时，
一元二次方程ax2+bx+c=0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x-x1）2．
当△=b2-4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c=0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
-将不等式转化为 ax2+bx+c≥0 或 ax2+bx+c≤0 形式．
-分析抛物线的开口方向和顶点位置．
-结合不等式恒成立的条件，确定参数范围．
恒成立问题的题目多涉及参数范围的求解，重点考查不等式在整个定义域内成立的条件．
当1≤x≤3时，不等式x2-mx+4＞0恒成立，则实数m的取值范围为_____．
解：当1≤x≤3时，，
因此，当1≤x≤3时，不等式x2-mx+4＞0恒成立，即恒成立，
而当1≤x≤3时，，当且仅当，即x=2时取等号，于是得m＜4，
所以实数m的取值范围为m＜4．
故答案为：{m|m＜4}．
【知识点4】二次函数的图象及其对称性
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=-；最值为：f（-）；判别式△=b2-4ac，当△=0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②平移：当y=a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a（x-1+b）2+c；
-确定对称轴 ．
-确定顶点坐标 ．
-根据 a 的正负确定开口方向．
-绘制抛物线，标注对称轴与顶点．
考查二次函数图象的绘制及其对称性的判断与应用题．
如图为二次函数y=-x2+bx+c的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．方程bx2-cx-1=0的解集为
B．不等式bx2-cx-1≤0的解集为
C．不等式-x2+bx+c≥0解集为[1，4]
D．函数y=cx2-x+b的最大值为
解：由图可知，方程-x2+bx+c=0的解为x1=1，x2=4，
则b=5，-c=4，即b=5，c=-4，
对于A，方程bx2-cx-1=0即为5x2+4x-1=0，解得x=-1或，
所以方程bx2-cx-1=0的解集为，故A正确；
对于B，不等式bx2-cx-1≤0即为5x2+4x-1≤0，
由A选项知，不等式的解集为，故B错误；
对于C，不等式-x2+bx+c≥0即为-x2+5x-4≥0，解得1≤x≤4，
所以不等式-x2+bx+c≥0解集为[1，4]，故C正确；
对于D，y=cx2-x+b=-4x2-x+5，
当时，函数取得最大值，故D正确．
故选：ACD．
【知识点5】二次函数的定义域
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
二次函数的定义域是所有实数，即对于函数 f（x）=ax2+bx+c，其定义域为 ．
若函数y=x2-5x-1的定义域[0，m]，值域为，则m的最大值是_____．
解：∵y=f（x）=x2-5x-1的对称轴为，且f（0）=f（5）=-1，，
又∵函数的定义域为[0，m]，值域为，
∴，
∴m的最大值为5．
故答案为：5．
【知识点6】二次函数的最值
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
二次函数的最值出现在顶点处．对于 f（x）=ax2+bx+c，最值为 ，根据 a 的正负判断最值类型．
-计算顶点 x 坐标 ．
-计算顶点处的函数值 ．
-根据 a 的正负判断最值类型（最大值或最小值）．
主要考查二次函数最值的计算与应用题．
设a为实数，若函数y=-x2-2x+3在区间[a，2]上的最大值为，则a的值为_____．
解：函数y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，对称轴为x=-1，
当a≤-1时，则x=-1时，函数取得最大值为4，不满足题意；
当-1＜a≤2时，则x=a时，函数y=-x2-2x+3在区间[a，2]上的最大值为，
即-a2-2a+3=，解得a=-或a=-（舍），
综上，a的值为-．
故选：C．
【知识点7】二次函数的值域
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
-确定二次函数的开口方向（通过 a 的正负判断）．
-计算顶点 x 坐标，．
-计算顶点处的函数值 ．
-根据开口方向确定值域范围．
主要考查求二次函数的值域，涉及开口方向、顶点的计算及实际应用问题．函数f（x）=x2+x-2（x∈[0，2]）的值域是_____．
解：函数f（x）=x2+x-2的对称轴为，
故函数f（x）=x2+x-2在[0，2]上单调递增，
又f（0）=-2，f（2）=4，
所以函数f（x）=x2+x-2（x∈[0，2]）的值域是[-2，4]．
【知识点8】二次函数的应用
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
-分析实际问题，抽象出二次函数模型．
-确定二次函数的解析式，结合实际情况求解相关参数．
-运用二次函数性质求解实际问题，如最值、单调性等．
常见的应用题包括抛物线轨迹问题、工程优化设计问题等，考查学生将实际问题转化为数学模型并求解的能力．
2016年，某厂计划生产25吨至45吨的某种产品，已知生产该产品的总成本y（万元）与总产量x（吨）之间的关系可表示为．若该产品的出厂价为每吨6万元，求该厂2016年获得利润的最大值．
解：设利润为g（x），
则，
当x=40时，g（x）max=70万元；
【知识点9】一元二次方程的根的分布与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c=0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2-a（x1+x2）x+ax1 x2=0．即x2-（x1+x2）x+x1 x2=0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2=-，x1 x2=．
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2-3x+1=0两根的平方．
解：方程x2-3x+1=0中，
∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=9-4=5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2=3，x1x2=1，
∴（x1+x2）2=++2x1x2，即9=++2，
∴+=7，又=（x1x2）2=1，且所求方程二次项系数为1，
则所求方程为x2-7x+1=0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2与x1 x2可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
【知识点10】由一元二次不等式的解求参数
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△=b2-4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x-x1）（x-x2）
当△=b2-4ac=0时，
一元二次方程ax2+bx+c=0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x-x1）2．
当△=b2-4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c=0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x-3）（x+2）＜0
所以，-2＜x＜3
故答案为：（-2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．
一元二次不等式ax2+bx+c＞0，
-设定一元二次不等式的解，并根据解的形式建立不等式．
-求出根，结合数轴分析区间．
-通过区间分析，确定参数的取值范围．
设a，b，c为常数，若不等式ax2+bx+c＞0的解集是（-3，2），则不等式ax2-bx+c＜0的解集是（ ）
解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是（-3，2），
可得-3，2是方程ax2+bx+c=0的两根，且a＜0，
则，解得=1，=-6，
不等式ax2-bx+c＜0整理可得x2-x+＞0，
即x2-x-6＞0，
解得x＞3或x＜-2，
所以不等式ax2-bx+c＜0的解集为（3，+∞）∪（-∞，-2）．
【知识点11】由二次函数的性质求解析式或参数
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=-；最值为：f（-）；判别式△=b2-4ac，当△=0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y=ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=-，x1 x2=；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2=2py的焦点为（0，），准线方程为y=-，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y=a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a（x-1+b）2+c；
-根据题目提供的信息设定二次函数的一般形式 f（x）=ax2+bx+c．
-代入已知条件（顶点、对称轴、开口方向等），建立方程组．
-解方程组，求出 a，b，c 参数．
涉及二次函数解析式或参数的求解，常见题型包括已知顶点与某点，求解析式或参数．
已知二次函数f（x）=x2-2（a-1）x+4．
（1）若f（x）为偶函数，求f（x）在[-3，1]上的值域；
（2）当x∈[1，2]时，f（x）＞ax恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）根据题意，函数f（x）=x2-2（a-1）x+4，为二次函数，其对称轴为x=a-1．
若f（x）为偶函数，则a-1=0，解可得a=1，
则f（x）=x2+4，又由-3≤x≤1，则有4≤f（x）≤13，
即函数f（x）的值域为[4，13]．
（2）由题意知x∈[1，2]时，f（x）＞ax恒成立，即x2-（3a-2）x+4＞0；
方法一：所以恒成立，
因为x∈[1，2]，
所以，当且仅当，即x=2时等号成立．
所以3a-2＜4，解得a＜2，所以a的取值范围是（-∞，2）．
方法二：令g（x）=x2-（3a-2）x+4，
所以只需g（x）min＞0，对称轴为，
当，即时，g（x）min=g（1）=7-3a＞0，
解得，
故，
当，即时，，
解得，
故，
当，即a≥2，g（x）min=g（2）=12-6a＞0，
解得a＜2，舍去．
绦上所述，a的取值范围是（-∞，2）．
【题型1】一元二次不等式无解问题
【典型例题】已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是( )
A.{a|－4≤a≤4} B.{a|－4＜a＜4} C.{a|a≤－4或a≥4} D.{a|a＜－4或a＞4}
【举一反三1】已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A.{a|－4≤a≤4} B.{a|－44}
【举一反三2】若关于x的一元二次不等式x2－4x＋m<0无解，则m的取值范围为( )
A.{m|m<2} B.{m|m≥4} C.{m|m>16} D.{m|m≤8}
【举一反三3】(2023·广东省深圳市期中)已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是( )
A.
B.
C.或
D.或
【举一反三4】若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____________．
【举一反三5】若关于x的一元二次方程(a－2)x2－2ax＋a＋1＝0没有实数解，则ax＋3>0的解集为______________．
【举一反三6】(2023·河南省郑州市外国语学校期中)已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________．
【题型2】转化为在R上的恒成立问题
【典型例题】已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.{a|－1≤a≤4} B.{a|a≤－2或a≥5} C.{a|a≤－1或a≥4} D.{a|－2≤a≤5}
【举一反三1】已知P＝{m|－4A.P Q B.Q P C.P＝Q D.P∩Q＝
【举一反三2】已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )
A.{a|－1≤a≤4} B.{a|－1【举一反三3】定义运算＝ad－bc，若不等式<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ______________________.
【举一反三4】在R上定义运算“*”：x*y＝x(1－y).若不等式(x－a)*(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________.
【举一反三5】设函数.
（1）若，求的解集．
（2）若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
（3）解关于的不等式：．
【题型3】一元二次不等式能成立问题
【典型例题】若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋A.{m|－1B.{m|m<0或m>3}
C.{m|－4D.{m|m<－1或m>4}
【举一反三1】若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是( )
A.{m|m≤－2或m≥2} B.{m|－2≤m≤2} C.{m|m<－2或m>2} D.{m|－2【举一反三2】若存在x∈R，使得≥2成立，则实数m的取值范围为( )
A.{m|m≤0} B.{m|m>0} C.{m|m≥－2} D.{m|m<－2}
【举一反三3】当10有解，则实数m的取值范围为________________．
【举一反三4】已知函数．
（1）若，解关于的不等式；
（2）若不等式在上有解，求实数取值范围．
【题型4】二次函数与二次方程的初高中衔接
【典型例题】如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④；正确结论的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】设、是方程的两个实数根，则 .
【举一反三4】如图（1），抛物线交轴于点，交轴于点.
（1）求和的值；
（2）已知点，是抛物线上的两个点，且，，求此抛物线的顶点到的距离；
（3）如图（2），连接，点是抛物线在线段上方部分上的一个动点，连接，交线段于点，设，求的取值范围.
【举一反三5】分解下列因式：
(1)x2＋4x＋3；
(2)5x2－6x＋1；
(3)m2＋2mn－3n2；
(4)ax2＋(a－1)x－1(a≠0)．
【题型5】二次函数与二次方程新定义题
【典型例题】高斯是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设x∈R，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：已知函数.设函数的值域为集合，则中所有正整数元素个数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦——秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. B.8 C. D.
【举一反三2】高斯是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设x∈R，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：已知函数.设函数的值域为集合，则中所有正整数元素个数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】若规定＝ad－bc，则不等式0<<2的解集是( )
A.{x|－1B.{x|－C.{x|1D.{x|－【举一反三4】对于实数x，y，定义一种运算 ：x y＝x－2y，若关于x的方程x(a x)＝2有两个相等的实数根，则实数a＝________.
【举一反三5】规定：a b＝(a＋b)b，如：2 3＝(2＋3)×3＝15，若2 x＝3，则x＝________.
【举一反三6】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则函数的值域是 .
【题型6】在R上的恒成立问题
【典型例题】设，不等式恒成立的一个充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知 x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围为________．
【举一反三3】(2023·湖南省永州市第二中学月考)设不等式对一切都成立，则的取值范围是___________.
【举一反三4】已知关于的不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【举一反三5】已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
【题型7】一元二次不等式的判断
【典型例题】下列不等式中是一元二次不等式的为( )
A.ax2＋2x＋1>0
B.x2－y>0
C.－x2－3x<0
D.>0
【举一反三1】给出下列不等式①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【举一反三2】若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【举一反三3】若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【举一反三4】已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；②x2－y>0；③－x2－3x<0；④>0.其中一元二次不等式的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【题型8】转化为不含参数的一元二次不等式的解集
【典型例题】已知集合U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，则 UA等于( )
A.(1,2) B.[1,2] C.(－2，－1) D.[－2，－1]
【举一反三1】下面四个不等式中解集为R的是( )
A.－x2＋x＋1≥0 B.x2－2x＋5>0 C.x2＋6x＋10>0 D.2x2－3x＋4<0
【举一反三2】不等式组的解集为( )
A.{x|－4≤x≤－3} B.{x|－4≤x≤－2} C.{x|－3≤x≤－2} D.
【举一反三3】用函数的观点解关于x的不等式，可得解集为______.
【举一反三4】若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B＝________.
【举一反三5】（1）若不等式的解集是，求的值；
（2）已知不等式的解集为，求不等式的解集.
【举一反三6】当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0 大于0 小于 0
(1)
(2)
(3)
(4)
【题型9】三个二次的关系
【典型例题】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( )
A.{x|x<－1或x>2} B.{x|x≤－1或x≥2} C.{x|－1【举一反三1】已知关于x的不等式a>x＋6的解集为{x|bA.4 B.5 C.7 D.9
【举一反三2】不等式≤0的解集为{x|－1≤x<2或x≥3}，则b＋c等于( )
A.－5 B.－2 C.1 D.3
【举一反三3】（2023·江苏省扬州市高邮市月考）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为___________________.
【举一反三4】已知一元二次不等式的解集为，则的解集为______.
【举一反三5】已知二次函数的图象与轴交于两点.
（1）当时，求关于的方程的解；
（2）若，求的值；
（3）若，求的取值范围.
【举一反三6】已知关于x的不等式的解集为.
（1）求的值.
（2）若正实数满足，求的最小值.
【题型10】三个二次的关系综合
【典型例题】（2023·江苏省徐州市徐州高级中学期中）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】(2023·江苏省无锡市辅仁高级中学期中)若不等式和不等式的解集相同，则的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】（2023·湖南省长沙市德城学校期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三3】若不等式的解集是，则_________.
【举一反三4】已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|2【举一反三5】已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3(1)求二次函数的解析式；
(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．
【举一反三6】已知方程，且，是方程的两个不同的实数根．
（1）若，求的值；
（2）若，且，求取值范围．
【题型11】与集合、简易逻辑有关
【典型例题】已知集合，则（）
A. B. C. D.
【举一反三1】若集合，，则的真子集有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【举一反三2】已知，，则“关于的不等式有解”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【举一反三3】若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是______.
【举一反三4】设集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【题型12】定区间上一元二次不等式恒成立问题
【典型例题】对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件是( )
A.a<－3 B.a<－4 C.a<0 D.a>0
【举一反三1】若不等式的解集为，则的范围是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【举一反三2】若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】已知不等式(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3>0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．
【举一反三4】若10恒成立，则实数m的取值范围是________．
【举一反三5】已知关于的不等式．
（1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立；
（2）若不等式对于恒成立，求的取值范围；
（3）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围．
【题型13】含参数的一元二次不等式的解法(分类讨论)
【典型例题】设，则“”是“，不等式恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【举一反三1】(2023·河南省郑州市外国语学校期中)已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的值可能为( )
A.－5 B. C. D.4
【举一反三2】设，则“”是“，不等式恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【举一反三3】(2023·河南省郑州市外国语学校期中)已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的值可能为( )
A.－5 B. C. D.4
【举一反三4】已知不等式的解集为或.
（1）求的值；
（2）解不等式.
【举一反三5】求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
【题型14】一元二次不等式在生活中的应用
【典型例题】若产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
【举一反三1】某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是( )
A.{t|1≤t≤3} B.{t|3≤t≤5} C.{t|2≤t≤4} D.{t|4≤t≤6}
【举一反三2】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( )
A.{x|10≤x<16} B.{x|12≤x<18} C.{x|15【举一反三3】在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.则这次事故的主要责任方为________.
【举一反三4】某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
【题型15】含参数的一元二次不等式的解集(集合逻辑)
【典型例题】已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A.
B. 或
C.
D. 或
【举一反三2】若关于x的不等式ax>b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a>0的解集为________．
【举一反三3】已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【题型16】两个实数根
【典型例题】方程根的情况是( )
A.两根一正一负
B.两根都是负数
C.两根都是正数
D.没有实数根
【举一反三1】关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是( )
A.{m|m>} B.{m|m>且m≠2} C.{m|－【举一反三2】关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
【举一反三3】关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是
【举一反三4】已知x1，x2是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，且，x1，x2都是整数，求的值．
【举一反三5】已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．
【题型17】不等式恒成立能成立综合问题
【典型例题】设a是实数，要使得对任意x<1或x>5，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则a的取值范围是( )
A.{a|a≤5} B.{a|1【举一反三1】若对任意实数x>1，不等式(x－1)(ax＋1)≤0恒成立，则a的取值范围为( )
A.{a|－1≤a≤1} B.{a|a≤1} C.{a|a≥－1} D.{a|a≤－1}
【举一反三2】若存在1≤a≤3，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围为________.
【举一反三3】存在使不等式成立，则的取值范围是_____.
【举一反三4】（2023·安徽省滁州市期中联考）已知不等式，其中，．
（1）若，解上述关于的不等式；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．
【举一反三5】(2023·江苏省连云港市第一中学模拟)已知命题，
命题，若命题都是真命题，求实数的取值范围．
【题型18】可因式分解的一元二次不等式的解法
【典型例题】若00的解集是( )
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是( )
A.{x|x<－n或x>m}
B.{x|－nC.{x|x<－m或x>n}
D.{x|－m【举一反三2】若00的解集是( )
A.
B.
C.
D.
【举一反三3】若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)<0的解集为________________．
【举一反三4】若0【举一反三5】已知，解不等式：．
【题型19】综合问题
【典型例题】关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】若关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根， 则k的取值范围是( )
A.k> B.k<且k≠0 C.k≤且k≠0 D.k<
【举一反三2】如果关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值是 ．
【举一反三3】若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为 ．
【举一反三4】关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
【题型20】综合问题
【典型例题】若关于的不等式的解集为，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2A. B. C. D.
【举一反三2】设x满足不等式组则点P(x＋2，x－2)位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【举一反三3】已知a，b，c是△ABC的三边长，关于x的方程x2＋x＋c－a＝0的解集中只有一个元素，方程3cx＋2b＝2a的根为x＝0，则△ABC的形状为________；若a，b为关于x2＋mx－3m＝0的两个实数根，则实数m的值等于________．
【举一反三4】（2023·湖南省长沙市长郡中学期中）已知二次函数.
（1）若“”为真命题，求实数的取值范围；
（2）是否存在小于4的整数，使得关于的不等式的解集恰好为？若存在，求出所有可能的的取值集合；若不存在，说明理由.
【举一反三5】已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求、；
（2）当时，
①若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；
②若、，求的最小值.
【题型21】二次函数与二次方程的实际应用
【典型例题】某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本(单位：元/100kg)与上市时间(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系.，，，.利用你选取的函数，求得西红柿种植成本最低时的上市天数是( )
A.120 B.100 C.110 D.118
【举一反三1】把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】已知某种商品在第天的销售价格为元，销售量为件，则在这15天中，第 天该商品日销售额最多，为 元.
【举一反三3】生产某机器的总成本(万元)与产量(台)之间的函数关系式是，若每台机器售价为30万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为 台.
【举一反三4】为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与大棚投入万元分别满足，.设甲大棚的投入为万元，每年两个大棚的总收入为(投入与收入的单位均为万元).
(1)求的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收入最大？并求最大年总收入.
【题型22】两个相等的实数根
【典型例题】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三1】下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A.1 B. C. D.
【举一反三3】已知集合，，，若C恰有1个真子集，则实数（ ）
A. 2 B. 6 C. 或6 D. 2或6
【题型23】新定义问题
【典型例题】对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范围是( )
A. B.{x|2≤x≤8} C.{x|2≤x<8} D.{x|2≤x≤7}
【举一反三1】 x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，十八世纪，函数y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，若[x2－2x＋4]＝3，则实数x的取值范围为( )
A.(0，2) B.[0，1)∪(1，2) C.(0，1)∪(1，2] D.[0，2]
【举一反三2】(2023·江苏省连云港市第一中学模拟)对任意，记且，并称为集合的对称差．已知集合，集合，则______________．
【举一反三3】配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成(a、b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题
（1）已知29是“完美数”，请将它写成(a、b是正整数)的形式__________；
（2）若可配方成(m、n正整数)，则__________；
探究问题
（3）已知(x、y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【题型24】二次函数图象与二次函数的系数的判断
【典型例题】如果一元二次函数的对称轴是，则当时，（ ）
A.10 B.－10 C.－1 D.19
【举一反三1】二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到轴距离为4，，则a的值为（ ）
A.4 B.2 C. D.
【举一反三2】在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象可能是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如果一元二次函数的对称轴是，则当时，（ ）
A.10 B.－10 C.－1 D.19
【举一反三4】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程的两个根；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【举一反三5】已知二次函数.
(1)写出二次函数图像的开口方向、对称轴方程；
(2)判断函数y有最大值还是最小值，并求出这个最大（小）值；
(3)设二次函数图像与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的方程.
【题型25】分式不等式综合
【典型例题】若a>0，b>0，则不等式－b<A.{x|－B.{x|－C.{x|x<－或x>}
D.{x|x<－或x>}
【举一反三1】下列选项中，使不等式x<A.{x|x<－1} B.{x|－11}
【举一反三2】使分式与的值相等的x的值为_____．
【举一反三3】若实数a，b满足a＋b<0，则不等式<0的解集为________________．
【举一反三4】(2023·江西省宜春市上高二中月考)设关于x的函数，其中a，b都是实数.
(1)若的解集为，求出a、b的值；
(2)若，求不等式的解集.
【题型26】二次函数与二次方程根的问题(韦达定理)
【典型例题】若2x2＋1与4x2－2x－5互为相反数，则x的值为( )
A.－1或 B.1或－ C.1或－ D.－1或
【举一反三1】设是方程的两根，那么的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】关于的一元二次方程：有实数根，若其中一个根为，则另一个根为( ).
A. B. C. D.
【举一反三3】若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2022的值为________．
【举一反三4】若是方程的两个实数根，则 .
【举一反三5】已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0①有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程①的两个实数根分别为x1，x2.当k＝1时，求＋的值．
【题型27】解不含参数的一元二次不等式
【典型例题】不等式的解集为( )
A.R B. C. D.
【举一反三1】已知集合，则A的子集个数为( )
A.4 B.7 C.8 D.16
【举一反三2】已知集合，，则 ．
【举一反三3】不等式(x－1)2＜x＋5的解集为________．
【举一反三4】解不等式组：.
【题型28】分式不等式的解集
【典型例题】不等式<1的解集是( )
A.{x|x>1}
B.{x|-1C.
D.
【举一反三1】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】不等式>0的解集为________.
【举一反三3】已知集合，.
（1）当时，求.
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围.条件①：；条件②：“”是“”的充分条件.
（注：如果选择条件①和条件②分别解答，那么按第一个解答计分）
【举一反三4】设集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．