3.2函数的基本性质
【知识点1】定义法求解函数的单调性 1
【知识点2】函数的最值与函数图象的特征 3
【知识点3】函数的单调性与函数图象的特征 3
【知识点4】求函数的最值 4
【知识点5】由函数的最值求解函数或参数 5
【知识点6】求函数的单调区间 5
【知识点7】由函数的单调性求解函数或参数 6
【题型1】利用函数的奇偶性识别函数的图象 7
【题型2】奇（偶）图象的应用 9
【题型3】求函数值 10
【题型4】单调性定义的理解 11
【题型5】由解析式求函数的单调区间 12
【题型6】图象的对称性与单调性的综合问题 13
【题型7】一次、二次函数模型 13
【题型8】根据解析式求函数的最值 14
【题型9】新定义问题 14
【题型10】求参数值(范围) 15
【题型11】奇偶性的理解 16
【题型12】二次函数模型求最值 17
【题型13】奇偶性的其他应用 18
【题型14】求函数的单调区间或由单调性求参数的值 19
【题型15】抽象函数的单调性 19
【题型16】对函数最值的理解 21
【题型17】判断(证明)函数图象的对称性 22
【题型18】分式函数模型 22
【题型19】求复合函数的单调区间 23
【题型20】奇偶函数的图象的应用 24
【题型21】分段函数模型 25
【知识点1】定义法求解函数的单调性
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间．
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
① f（x）在[a，b]上是增函数；
f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0 f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0 f（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．
已知函数，且f（x）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断f（x）在区间上的单调性，并用定义法证明．
解：（1）因为f（x）是奇函数，即f（-x）=-f（x）．
所以有，得-x+m=-x-m．
解得m=0．
（2）函数f（x）在区间上单调递增．
证明：由于m=0，所以．
设，且x1＜x2，
则=．
由，得，
所以x1x2＞2，x1x2-2＞0．
又由x1＜x2，得x1-x2＜0，
于是，即f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）在区间上单调递增．
【知识点2】函数的最值与函数图象的特征
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
-分析函数图象，找出函数的顶点、极值点等特征点．
-确定函数的最值，并结合边界点进行验证．
-结合函数的解析式和图象，确定最值的准确性．
题目包括通过图象和解析式求解函数的最值，结合实际问题分析函数的最值及其应用．
函数y=f（x）在[-2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（ ）
解：由图象可知，此函数的最小值、最大值分别是-1、2．
【知识点3】函数的单调性与函数图象的特征
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间．
函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，图象可以直观展示这种单调性．
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
-通过图象观察函数在各区间的增减情况．
-分析函数在各单调区间的行为，并确定单调区间的边界点．
-总结函数在各区间的单调性，并结合解析式进行验证．
题目包括通过图象判断函数的单调性，结合图象和解析式分析函数的单调性，并解决与单调性相关的实际问题．根据下列函数y=f（x）的图像（包括端，点），分别指出这两个函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数的单调性．
解：（1）f（x）的增区间为：[-2，1]，[2，3]，减区间为：[-3，-2]，[1，2]；
（2）f（x）的增区间为：[-π，]，[，π]，减区间为：[-，]．
【知识点4】求函数的最值
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
-分析函数图象，找出函数的顶点、极值点等特征点．
-确定函数的最值，并结合边界点进行验证．
-结合函数的解析式和图象，确定最值的准确性．
-一次函数由于一次函数y=ax+b为单调函数，其最值在定义域的端点处取得．
-二次函数分析顶点处的值以及定义域的边界点，确定最大值或最小值．若a＞0，函数在顶点处取得最小值，若a＜0，函数在顶点处取得最大值．
题目包括通过图象和解析式求解函数的最值，结合实际问题分析函数的最值及其应用．
函数的最大值为_____．
解：∵x2+2≥2，
∴，
所以函数，x∈R的最大值为．
故答案为：．
【知识点5】由函数的最值求解函数或参数
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
-分析已知最值和函数的形式，设定函数的表达式．
-利用最值条件，代入求解函数的解析式或参数．
-验证求解结果的正确性．
题目包括通过最值反求函数或参数，考查学生对最值及函数关系的理解和应用能力．
已知函数在[0，1]上的最大值为3，则实数m的值为_____．
解：，
显然m≠2，
当m＞2时，函数f（x）在[0，1]上单调递减，则，解得m=3；
当m＜2时，函数f（x）在[0，1]上单调递增，则，解得m=4（舍）；
综上，m=3．
故答案为：3．
【知识点6】求函数的单调区间
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间．
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
① f（x）在[a，b]上是增函数；
f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0 f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0 f（x）在[a，b]上是减函数．
题目包括求解函数的单调区间，通过解析式和图象分析函数的单调区间，并解决与单调区间相关的实际问题．
已知函数f（x）=，则该函数的单调递增区间为_____．
解：函数f（x）=，可知x2-2x-3≥0，解得x≥3或x≤-1，
二次函数y=x2-2x-3≥0，在x≥3时，函数是增函数，
由复合函数的单调性可知，函数f（x）=的单调递增区间为[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．
【知识点7】由函数的单调性求解函数或参数
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间．
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）=0，求其根．
第三步：利用f′（x）=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
【题型1】利用函数的奇偶性识别函数的图象
【典型例题】(2023·湖南省衡阳县第四中学期中)函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想.在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】(2023·陕西省咸阳市实验中学月考)函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
【举一反三3】下列四个图象中，可表示函数f(x)＝x－的图象的是( )
A. B. C. D.
【题型2】奇（偶）图象的应用
【典型例题】我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（ ）
A.8096 B.4048 C.2024 D.1012
【举一反三1】如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A.－2 B.2 C.1 D.0
【举一反三2】设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．
【举一反三3】奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则f(2)与f(4)的大小关系为________．
【举一反三4】已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
【举一反三5】已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝
(1)在给定的坐标系中画出函数f(x)在R上的图象(不用列表)；
(2)直接写出当x<0时，f(x)的解析式；
(3)讨论直线y＝m(m∈R)与y＝f(x)的图象的交点个数．
【题型3】求函数值
【典型例题】已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】（2023·贵州省黔西南州金成实验学校月考）已知是定义在上的奇函数，满足且，则（ ）
A. 4 B. -4 C. 1 D. -1
【举一反三2】已知a，b，c，d∈R，函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，x∈[a，c]是奇函数，则f(1)的值( )
A.随a，b，c，d的取值而变化
B.只与a的取值有关
C.与a和c的取值都有关
D.为0
【举一反三3】（2023·贵州省黔西南州金成实验学校月考）已知是定义在上的奇函数，满足且，则（ ）
A. 4 B. -4 C. 1 D. -1
【举一反三4】已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【题型4】单调性定义的理解
【典型例题】函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是( )
A.[－4,4] B.[－4，－3]∪[1,4] C.[－3,1] D.[－3,4]
【举一反三1】下列说法正确的是( )
A. 定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，且x1
B. 定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1C. 若f(x)在区间I1上单调递增，在区间I2上也单调递增，那么f(x)在I1∪I2上也一定单调递增
D. 若f(x)在区间I上单调递增且f(x1)【举一反三2】设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【举一反三3】已知函数f(x)的定义域为(a，b)，且对定义域内任意实数x1，x2，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则f(x)在(a，b)上( )
A.单调递增
B.单调递减
C.先单调递减再单调递增
D.先单调递增再单调递减
【举一反三4】下列说法正确的是( )
A. 定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，且x1B. 定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1C. 若f(x)在区间I1上单调递增，在区间I2上也单调递增，那么f(x)在I1∪I2上也一定单调递增
D. 若f(x)在区间I上单调递增且f(x1)【题型5】由解析式求函数的单调区间
【典型例题】下列说法中，正确的有( )
A.函数y＝x2在R上是增函数
B.函数y＝－在定义域上是增函数
C.函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
D.函数y＝|x|的单调递减区间是(－∞，0]
【举一反三1】下列四个函数中，在区间上单调递增的函数是 （ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】函数f(x)＝|2x－1|的单调递减区间是________．
【举一反三3】求函数f(x)＝x＋(x>0)的单调区间．
【题型6】图象的对称性与单调性的综合问题
【典型例题】设函数f(x)＝－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D.∪
【举一反三1】已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（ ）
A. 0 B. 2 C. 2024 D. 2025
【举一反三2】（2023·江西省上饶市第二中学期中）已知定义在上的函数满足：是偶函数且在上单调递增，若，，则实数的取值范围为__________．
【举一反三3】（1）解不等式．
（2）函数的单调区间和对称中心．
【题型7】一次、二次函数模型
【典型例题】函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值为3，最小值为2，则m的取值范围是( )
A.(－∞，2] B.[0,2] C.[1,2] D.[1，＋∞)
【举一反三1】已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，－1) B.(－1,2] C.[－1,2] D.[2,5]
【举一反三2】（2023·湖北省荆州中学期中）已知函数在上的最大值为，则实数的值为_____.
【举一反三3】设二次函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为0，求a的值．
【题型8】根据解析式求函数的最值
【典型例题】定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x2－x，则当x∈(－1,0]时，f(x)的最小值为( )
A.－ B.－ C.0 D.
【举一反三1】已知函数，则函数的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【举一反三2】函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上的最大值为________．
【举一反三3】已知函数分别为定义在上的偶函数和奇函数，且满足．
（1）求的解析式；
（2）设函数，求在上的最小值，并求对应的的值．
【举一反三4】画出函数y＝－x(|x－2|－2)，x∈[－1,5]的图象，并根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值．
【题型9】新定义问题
【典型例题】如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增，而函数y＝在区间D上单调递减，那么称函数y＝f(x)是区间D上的“缓增函数”，区间D称为“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间D上的“缓增函数”，则“缓增区间”为( )
A.[1，＋∞) B.[0，] C.[0,1] D.[1，]
【举一反三1】定义运算：x*y＝例如：3*4＝9，4*3＝12，则函数f(x)＝x*(2－x)的单调递增区间为( )
A.(0，1) B.(1，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－∞，0)
【举一反三2】在R中定义一种运算“*”，使其具有下列性质：
①对任意a，b∈R，a*b＝b*a；
②对任意a∈R，a*0＝a；
③对任意a，b，c∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－2c.
则函数f(x)＝x*的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数a满足不等式，则a的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三4】定义运算：x*y＝例如：3*4＝9，4*3＝12，则函数f(x)＝x*(2－x)的单调递增区间为( )
A.(0，1) B.(1，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－∞，0)
【题型10】求参数值(范围)
【典型例题】已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若f(a)＝－2，则实数a等于( )
A.－1 B.1 C.－2 D.2
【举一反三1】设函数，则“”是“是偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【举一反三2】已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
【举一反三3】已知，若函数是定义在上的奇函数，则 .
【举一反三4】已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x－x2.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式．
(2)是否存在正数a，b，使得当x∈[a，b]时，g(x)＝f(x)，且g(x)的值域为？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
【题型11】奇偶性的理解
【典型例题】若定义在R上的函数f(x)不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是( )
A. x∈R，f(x)＋f(－x)≠0 B. x∈R，f(x)＝f(－x) C. x∈R，f(x)＋f(－x)≠0 D. x∈R，f(x)＝f(－x)
【举一反三1】若定义在[－2,2]上的函数f(x)满足＝1，则f(x)的图象的对称轴是( )
A.x轴 B.y轴 C.直线y＝x D.不能确定
【举一反三2】“，为偶函数”的否定是（ ）
A. ，为奇函数
B. ，不是偶函数
C. ，为奇函数
D. ，不是偶函数
【举一反三3】f(x)是定义在R上的奇函数，且f(5)＝－2，则下列各点在函数f(x)图象上的是( )
A. (－5，－2) B. (5,2) C. (－5，2) D. (5，－2)
【题型12】二次函数模型求最值
【典型例题】用长度为24 m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长度为( )
A.3 m B.4 m C. m D. m
【举一反三1】某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是( )
A.2 500万元 B.2 000万元 C.2 400万元 D.2 200万元
【举一反三2】某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元
【举一反三3】某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润(单位：万元)分别为y1＝5x－x2，y2＝3x，其中x为销售量(单位：吨)，若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为________万元.
【举一反三4】某公司生产的A种产品，它的成本是2元/件，售价是3元/件，月销售量为10(万件)．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每月投入的广告费是x(万元)时，产品的月销售量将是原销售量的t倍，且t是x的二次函数，它们的关系如下表：
(1)求t关于x的函数关系式；
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出月利润S(万元)和广告费x(万元)的函数关系式；
(3)如果投入的月广告费x在区间[1,2]内，问广告费为多少万元时，公司可获得的最大月利润为多少万元？
【举一反三5】为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）；
（3）使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）；
②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备．
试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．
【题型13】奇偶性的其他应用
【典型例题】下列说法正确的是( )
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0
C.奇函数y＝f(x)的图象一定过原点
D.图象过原点的奇函数必是单调函数
【举一反三1】（2023·江西省上饶市广丰中学月考）已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A.6 B. C. D.
【举一反三2】已知函数y＝f(x＋1)为偶函数，则下列关系一定成立的是( )
A.f(x)＝f(－x)
B.f(x＋1)＝f(－x＋1)
C.f(x＋1)＝f(－x－1)
D.f(－x＋1)＝f(x)
【举一反三3】设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
【举一反三4】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若f(－3)＝0，则<0的解集为________.
【举一反三5】已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2.
(1)求函数f(x)和g(x)；
(2)判断f(x)＋g(x)的奇偶性；
(3)求函数f(x)＋g(x)在(0,2)上的最小值．
【题型14】求函数的单调区间或由单调性求参数的值
【典型例题】已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(2)＝2，f(1)＝1，则函数f(x)的解析式为________；若函数h(x)＝f(x)－mx在[1,3]上是单调函数，则实数m的取值范围是________________．
【举一反三1】若函数f(x)＝ax|2x＋a|在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围为________________．
【举一反三2】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)若函数f(x)在[－4,6]上具有单调性，求实数a的取值范围;
(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．
【举一反三3】求函数f(x)＝的单调区间．
【题型15】抽象函数的单调性
【典型例题】函数y＝f(x)的定义域为R，f(0)≠0.当x>0时，f(x)>1；对任意的a，b∈R，f(a＋b)＝f(a)f(b)．下列结论：①f(0)＝1；②对任意x∈R，有f(x)>0；③f(x)是R上的减函数，正确的有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【举一反三1】(2023·北京市第一六一中学期中)已知函数可表示为：
则下列结论正确的是( )
A.
B.的值域是
C.的值域是
D.在区间上单调递增
【举一反三2】设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【举一反三3】已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】函数对任意的实数m，n，有，当时，有．
（1）求证：．
（2）求证：在上为增函数．
（3）若，解不等式．
【举一反三5】设函数y=f(x) 的定义域为D,区间 I D,记 证明：
(1)函数y=f(x)在区间Ⅰ上单调递增的充要条件是：都有
(2)函数y=f(x)在区间I上单调递减的充要条件是：都有
【题型16】对函数最值的理解
【典型例题】设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值．其中正确说法的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三1】若函数f(x)＝在区间[1,1 000]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A.与a无关，但与b有关
B.与a无关，且与b无关
C.与a有关，但与b无关
D.与a有关，且与b有关
【举一反三2】已知函数，“，”是“最大值为2024”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【举一反三3】设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值．其中正确说法的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三4】若函数f(x)＝在区间[1,1 000]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A.与a无关，但与b有关
B.与a无关，且与b无关
C.与a有关，但与b无关
D.与a有关，且与b有关
【题型17】判断(证明)函数图象的对称性
【典型例题】若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】 “定义在上的函数为奇函数”的充要条件为“的图像关于坐标原点对称”，该结论可以推广为“为奇函数”的充要条件为“的图像关于对称”，则函数.的对称中心为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】f(x)＝x3＋的图象关于( )
A.原点对称
B.y轴对称
C.直线y＝x对称
D.直线y＝－x对称
【举一反三3】函数的部分图象如图所示.则不等式的解集是______；图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______.
【举一反三4】函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于________对称.
【举一反三5】证明函数f(x)＝的图象关于点(－1,1)对称．
【题型18】分式函数模型
【典型例题】若函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为5，则k的值为( )
A.10 B.10或20 C.20 D.无法确定
【举一反三1】已知函数f(x)＝，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为，则实数m的值为( )
A. B. C.3 D.或3
【举一反三2】已知y＝(k≠0)在[3,8]上的最大值为1，则k的值为( )
A.1 B.－6 C.1或－6 D.6
【举一反三3】已知函数f(x)＝x＋(a>0)，当x∈[1,3]时，函数f(x)的值域为A，若A [8,16]，则a的值是________．
【举一反三4】函数的最小值是，则当时，a的值为________，当时，a的值为______
【举一反三5】已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在区间上取得的最大值为5，求实数a的值．
【题型19】求复合函数的单调区间
【典型例题】函数f(x)＝的一个单调递增区间是( )
A. B.[－1,4] C. D.
【举一反三1】函数y＝的单调递增区间是( )
A.(－∞，－3] B. C.(－∞，1) D.[－1，＋∞)
【举一反三2】函数f(x)＝1＋( )
A.在(－1，＋∞)上单调递增
B.在(1，＋∞)上单调递增
C.在(－1，＋∞)上单调递减
D.在(1，＋∞)上单调递减
【举一反三3】(2023·广东省深圳市期中)函数的单调递减区间是______________．
【举一反三4】函数的单调递减区间为_____________．
【举一反三5】求f(x)＝的单调递增区间．
【题型20】奇偶函数的图象的应用
【典型例题】函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则y＝f(x)·g(x)的部分图象可能是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则y＝f(x)·g(x)的部分图象可能是( )
A. B. C. D.
【题型21】分段函数模型
【典型例题】（2023·江西省上饶市广丰中学月考）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】（2023·河南省济源市高级中学月考）已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】（2023·河南省济源市高级中学月考）已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】（2023·江西省上饶市广丰中学月考）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】(2023·湖南省部分校联考期中)，对于，，都有成立，则的取值范围是__________.
【举一反三5】（2023·云南省曲靖市第一中学期中）设.
（1）当时，的最小值是______；
（2）若是的最小值，则a的取值范围是______.
【举一反三6】已知f(x)＝若f(0)是y＝f(x)的最小值，则a的取值范围是________．
【举一反三7】(2023·湖南省部分校联考期中)，对于，，都有成立，则的取值范围是__________.3.2函数的基本性质
【知识点1】定义法求解函数的单调性 1
【知识点2】函数的最值与函数图象的特征 3
【知识点3】函数的单调性与函数图象的特征 3
【知识点4】求函数的最值 4
【知识点5】由函数的最值求解函数或参数 5
【知识点6】求函数的单调区间 5
【知识点7】由函数的单调性求解函数或参数 6
【题型1】利用函数的奇偶性识别函数的图象 7
【题型2】奇（偶）图象的应用 10
【题型3】求函数值 13
【题型4】单调性定义的理解 14
【题型5】由解析式求函数的单调区间 16
【题型6】图象的对称性与单调性的综合问题 18
【题型7】一次、二次函数模型 21
【题型8】根据解析式求函数的最值 23
【题型9】新定义问题 24
【题型10】求参数值(范围) 27
【题型11】奇偶性的理解 29
【题型12】二次函数模型求最值 30
【题型13】奇偶性的其他应用 33
【题型14】求函数的单调区间或由单调性求参数的值 36
【题型15】抽象函数的单调性 37
【题型16】对函数最值的理解 41
【题型17】判断(证明)函数图象的对称性 43
【题型18】分式函数模型 46
【题型19】求复合函数的单调区间 48
【题型20】奇偶函数的图象的应用 50
【题型21】分段函数模型 52
【知识点1】定义法求解函数的单调性
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间．
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
① f（x）在[a，b]上是增函数；
f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0 f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0 f（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．
已知函数，且f（x）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断f（x）在区间上的单调性，并用定义法证明．
解：（1）因为f（x）是奇函数，即f（-x）=-f（x）．
所以有，得-x+m=-x-m．
解得m=0．
（2）函数f（x）在区间上单调递增．
证明：由于m=0，所以．
设，且x1＜x2，
则=．
由，得，
所以x1x2＞2，x1x2-2＞0．
又由x1＜x2，得x1-x2＜0，
于是，即f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）在区间上单调递增．
【知识点2】函数的最值与函数图象的特征
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
-分析函数图象，找出函数的顶点、极值点等特征点．
-确定函数的最值，并结合边界点进行验证．
-结合函数的解析式和图象，确定最值的准确性．
题目包括通过图象和解析式求解函数的最值，结合实际问题分析函数的最值及其应用．
函数y=f（x）在[-2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（ ）
解：由图象可知，此函数的最小值、最大值分别是-1、2．
【知识点3】函数的单调性与函数图象的特征
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间．
函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，图象可以直观展示这种单调性．
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
-通过图象观察函数在各区间的增减情况．
-分析函数在各单调区间的行为，并确定单调区间的边界点．
-总结函数在各区间的单调性，并结合解析式进行验证．
题目包括通过图象判断函数的单调性，结合图象和解析式分析函数的单调性，并解决与单调性相关的实际问题．根据下列函数y=f（x）的图像（包括端，点），分别指出这两个函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数的单调性．
解：（1）f（x）的增区间为：[-2，1]，[2，3]，减区间为：[-3，-2]，[1，2]；
（2）f（x）的增区间为：[-π，]，[，π]，减区间为：[-，]．
【知识点4】求函数的最值
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
-分析函数图象，找出函数的顶点、极值点等特征点．
-确定函数的最值，并结合边界点进行验证．
-结合函数的解析式和图象，确定最值的准确性．
-一次函数由于一次函数y=ax+b为单调函数，其最值在定义域的端点处取得．
-二次函数分析顶点处的值以及定义域的边界点，确定最大值或最小值．若a＞0，函数在顶点处取得最小值，若a＜0，函数在顶点处取得最大值．
题目包括通过图象和解析式求解函数的最值，结合实际问题分析函数的最值及其应用．
函数的最大值为_____．
解：∵x2+2≥2，
∴，
所以函数，x∈R的最大值为．
故答案为：．
【知识点5】由函数的最值求解函数或参数
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
-分析已知最值和函数的形式，设定函数的表达式．
-利用最值条件，代入求解函数的解析式或参数．
-验证求解结果的正确性．
题目包括通过最值反求函数或参数，考查学生对最值及函数关系的理解和应用能力．
已知函数在[0，1]上的最大值为3，则实数m的值为_____．
解：，
显然m≠2，
当m＞2时，函数f（x）在[0，1]上单调递减，则，解得m=3；
当m＜2时，函数f（x）在[0，1]上单调递增，则，解得m=4（舍）；
综上，m=3．
故答案为：3．
【知识点6】求函数的单调区间
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间．
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
① f（x）在[a，b]上是增函数；
f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0 f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0 f（x）在[a，b]上是减函数．
题目包括求解函数的单调区间，通过解析式和图象分析函数的单调区间，并解决与单调区间相关的实际问题．
已知函数f（x）=，则该函数的单调递增区间为_____．
解：函数f（x）=，可知x2-2x-3≥0，解得x≥3或x≤-1，
二次函数y=x2-2x-3≥0，在x≥3时，函数是增函数，
由复合函数的单调性可知，函数f（x）=的单调递增区间为[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．
【知识点7】由函数的单调性求解函数或参数
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间．
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）=0，求其根．
第三步：利用f′（x）=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
【题型1】利用函数的奇偶性识别函数的图象
【典型例题】(2023·湖南省衡阳县第四中学期中)函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为定义域为R，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D；
又时，，排除选项C，故选项A正确.
故选：A.
【举一反三1】数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想.在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数定义域为.
由，可知为偶函数，排除A、C.
当时，.
当，，排除D.
故选：B.
【举一反三2】(2023·陕西省咸阳市实验中学月考)函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，
其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【举一反三3】下列四个图象中，可表示函数f(x)＝x－的图象的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－x＋＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，所以排除选项B，当x>0时，函数y＝x，y＝－都是单调递增函数，由复合函数的单调性原理得f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增，所以排除选项C，D.
【题型2】奇（偶）图象的应用
【典型例题】我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（ ）
A.8096 B.4048 C.2024 D.1012
【答案】B
【解析】已知的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.
对于，若其对称中心为，
则为奇函数.
将展开：.
因为奇函数中偶次项系数为，所以，解得.
把代入，可得，解得.
即的对称中心为，根据中心对称性质有.
设.
.
从到，间隔为，项数为项，
两两组合，共组余（可将与组合），每组和为.
所以.
故选：B.
【举一反三1】如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A.－2 B.2 C.1 D.0
【答案】A
【解析】由题图得f(1)＝，f(2)＝，又因为f(x)为奇函数，
所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.
【举一反三2】设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．
【答案】[－6，－3)∪(0,3)
【解析】由f(x)在[0,6]上的图象知，
满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．
又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，
所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．
综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．
【举一反三3】奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则f(2)与f(4)的大小关系为________．
【答案】f(2)>f(4)
【解析】因为奇函数的图象关于原点对称，所以f(2)＝－f(－2)，f(4)＝－f(－4)，由函数图象可知f(－2)－f(－4)，即f(2)>f(4).
【举一反三4】已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
【答案】解 (1)由f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，作出函数图象如图．
(2)据图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2【举一反三5】已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝
(1)在给定的坐标系中画出函数f(x)在R上的图象(不用列表)；
(2)直接写出当x<0时，f(x)的解析式；
(3)讨论直线y＝m(m∈R)与y＝f(x)的图象的交点个数．
【答案】解 (1)函数图象如图．
(2)f(x)＝
(3)设交点个数为g(m)，当m>5时，g(m)＝0；
当m＝5时，g(m)＝2；当1综上所述，g(m)＝
【题型3】求函数值
【典型例题】已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，因为，
所以，.
故选：C.
【举一反三1】（2023·贵州省黔西南州金成实验学校月考）已知是定义在上的奇函数，满足且，则（ ）
A. 4 B. -4 C. 1 D. -1
【答案】D
【解析】由，可知周期为4，又是定义在上的奇函数，
所以.
故选：D.
【举一反三2】已知a，b，c，d∈R，函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，x∈[a，c]是奇函数，则f(1)的值( )
A.随a，b，c，d的取值而变化
B.只与a的取值有关
C.与a和c的取值都有关
D.为0
【答案】D
【解析】∵f(x)是奇函数，∴b＝d＝0.又f(x)的定义域为[a，c]，∴a＝－c，即a＋c＝0，∴f(1)＝a＋c＝0.故选D.
【举一反三3】（2023·贵州省黔西南州金成实验学校月考）已知是定义在上的奇函数，满足且，则（ ）
A. 4 B. -4 C. 1 D. -1
【答案】D
【解析】由，可知周期为4，又是定义在上的奇函数，
所以.
故选：D.
【举一反三4】已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，因为，
所以，.
故选：C.
【题型4】单调性定义的理解
【典型例题】函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是( )
A.[－4,4] B.[－4，－3]∪[1,4] C.[－3,1] D.[－3,4]
【答案】C
【解析】由图象知f(x)的单调递增区间为[－3,1]．
【举一反三1】下列说法正确的是( )
A. 定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，且x1B. 定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1C. 若f(x)在区间I1上单调递增，在区间I2上也单调递增，那么f(x)在I1∪I2上也一定单调递增
D. 若f(x)在区间I上单调递增且f(x1)【答案】D
【解析】对于选项A，B，根据增函数的概念可知，应是：对于任意的x1，x2∈(a，b)，且x1对于选项C，若函数为y＝－，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，显然y＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，但整体不是增函数，故C错误；
对于选项D，根据单调函数的性质，f(x)在区间I上单调递增，即f(x)随x增大而增大，因此，由f(x1)【举一反三2】设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若在上是增函数，根据增函数定义，且，有，必要性成立.
设，.
且，有，但在上不是增函数，充分性不成立.
所以该条件是“在上是增函数”的必要不充分条件.
故选：B.
【举一反三3】已知函数f(x)的定义域为(a，b)，且对定义域内任意实数x1，x2，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则f(x)在(a，b)上( )
A.单调递增
B.单调递减
C.先单调递减再单调递增
D.先单调递增再单调递减
【答案】B
【解析】由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，得或即当x1f(x2)或当x1>x2时，f(x1)【举一反三4】下列说法正确的是( )
A. 定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，且x1B. 定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1C. 若f(x)在区间I1上单调递增，在区间I2上也单调递增，那么f(x)在I1∪I2上也一定单调递增
D. 若f(x)在区间I上单调递增且f(x1)【答案】D
【解析】对于选项A，B，根据增函数的概念可知，应是：对于任意的x1，x2∈(a，b)，且x1对于选项C，若函数为y＝－，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，显然y＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，但整体不是增函数，故C错误；
对于选项D，根据单调函数的性质，f(x)在区间I上单调递增，即f(x)随x增大而增大，因此，由f(x1)【题型5】由解析式求函数的单调区间
【典型例题】下列说法中，正确的有( )
A.函数y＝x2在R上是增函数
B.函数y＝－在定义域上是增函数
C.函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
D.函数y＝|x|的单调递减区间是(－∞，0]
【答案】D
【举一反三1】下列四个函数中，在区间上单调递增的函数是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A，由，可知在R上单调递减；故A错误；
对于B，由，可知在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
对于C，由，可知在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D，由，可知在各自象限内单调递减，故D错误，
故选：B.
【举一反三2】函数f(x)＝|2x－1|的单调递减区间是________．
【答案】
【解析】函数f(x)的图象如图所示，由图象易知函数的单调递减区间为.
【举一反三3】求函数f(x)＝x＋(x>0)的单调区间．
【答案】解 设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)－＝.
∵0∴x1－x2<0，x1x2>0.
由于x1x2－9的符号不能确定，因此需要对x1，x2的取值进行讨论．
当x1，x2∈(0,3]时，有x1x2－9<0，
∴>0，
即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在区间(0,3]上单调递减；
当x1，x2∈[3，＋∞)时，x1x2－9>0，
∴<0，
即f(x1)综上可知，函数f(x)＝x＋(x>0)的单调递减区间是(0,3]，单调递增区间是[3，＋∞)．
【题型6】图象的对称性与单调性的综合问题
【典型例题】设函数f(x)＝－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D.∪
【答案】A
【解析】易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数．
当x≥0时，f(x)＝－，
易知此时f(x)单调递增，
所以f(x)>f(2x－1) f(|x|)>f(|2x－1|)，
所以|x|>|2x－1|，解得【举一反三1】已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（ ）
A. 0 B. 2 C. 2024 D. 2025
【答案】B
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又因为，
用代换得到，
即，
再用代换得到，
所以函数是以4为周期的周期函数.
又因为，，，，
所以，
，
所以.
故选：B.
【举一反三2】（2023·江西省上饶市第二中学期中）已知定义在上的函数满足：是偶函数且在上单调递增，若，，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】因为是偶函数，
所以，所以的对称轴为，
又因为在上单调递增，所以在上单调递减，
所以自变量越靠近对称轴对应的函数值越小，反之亦然，
因为，恒成立，
所以，恒成立，即恒成立，
所以，恒成立，即恒成立，
所以，
又因为为增函数，为减函数，
所以，，
所以，即.
故答案为：.
【举一反三3】（1）解不等式．
（2）函数的单调区间和对称中心．
【答案】解：（1）由，可得.
所以或.
解得或.
所以不等式的解集为.
（2）对进行变形，.
设，且，
则.
因为，所以；，
所以，
则，即.
所以在上单调递增.
同理，设，且，
可得在上单调递增.
故函数的单调递增区间为和，无单调递减区间.
设，
的图象是由向左平移个单位得到.
是奇函数，对称中心为，
所以的对称中心为.
则函数的对称中心为.
【题型7】一次、二次函数模型
【典型例题】函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值为3，最小值为2，则m的取值范围是( )
A.(－∞，2] B.[0,2] C.[1,2] D.[1，＋∞)
【答案】C
【解析】作出函数f(x)的图象，如图所示，当x＝1时，y最小，最小值是2，当x＝2时，y＝3，
函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是[1,2]．故选C.
【举一反三1】已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，－1) B.(－1,2] C.[－1,2] D.[2,5]
【答案】C
【解析】二次函数f(x)＝－x2＋4x的图象是开口向下的抛物线．
最大值为4，且在x＝2时取得，而当x＝5或－1时，f(x)＝－5.
结合函数f(x)的图象可知m的取值范围是[－1,2]．
【举一反三2】（2023·湖北省荆州中学期中）已知函数在上的最大值为，则实数的值为_____.
【答案】
【解析】函数的对称轴为直线，因为，
当时，，得（舍去），
当时，，得，
综上，实数的值是.
故答案为：.
【举一反三3】设二次函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为0，求a的值．
【答案】解：∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴对称轴为直线x＝1.
∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，故应进行讨论，
当－2＜a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，
则当x＝a时，y取最小值，即ymin＝a2－2a，
∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2(舍去)．
当a＞1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，
则当x＝1时，y取最小值，即ymin＝－1，不合题意．
综上可知a＝0.
【题型8】根据解析式求函数的最值
【典型例题】定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x2－x，则当x∈(－1,0]时，f(x)的最小值为( )
A.－ B.－ C.0 D.
【答案】A
【解析】若x∈(－1,0]，则x＋1∈(0,1]．因为当x∈(0,1]时，f(x)＝x2－x，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－(x＋1)＝x2＋x.又f(x＋1)＝2f(x)，则f(x)＝x2＋x＝2－，所以当x＝－时，f(x)取得最小值－.
【举一反三1】已知函数，则函数的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】因为，则，即，当且仅当时等号成立.所以的最小值为2.对应选项B.
正确答案为B
【举一反三2】函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上的最大值为________．
【答案】－4
【解析】∵y＝在[2,4]上单调递减，y＝－3x在区间[2,4]上单调递减，∴函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝－3×2＝2－6＝－4.
【举一反三3】已知函数分别为定义在上的偶函数和奇函数，且满足．
（1）求的解析式；
（2）设函数，求在上的最小值，并求对应的的值．
【答案】解：（1）因为分别为定义在上的偶函数和奇函数，
所以
所以，
结合，
解得．
（2）由（1）可知，
令，当时，易知单调递增，故，
可得当时，取得最小值0，
此时，解得，即，
所以在上的最小值为0，此时．
【举一反三4】画出函数y＝－x(|x－2|－2)，x∈[－1,5]的图象，并根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值．
【答案】解 原函数化为y＝在平面直角坐标系内作出其图象，如图．
观察图象得，函数y＝－x(|x－2|－2)的单调递减区间是[－1,0]，[2,5]，单调递增区间是(0,2)，
当x＝2时，ymax＝4，当x＝5时，ymin＝－5，
所以原函数最大值为4，最小值为－5.
【题型9】新定义问题
【典型例题】如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增，而函数y＝在区间D上单调递减，那么称函数y＝f(x)是区间D上的“缓增函数”，区间D称为“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间D上的“缓增函数”，则“缓增区间”为( )
A.[1，＋∞) B.[0，] C.[0,1] D.[1，]
【答案】D
【解析】∵f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1，在[1，＋∞)上单调递增，且＝－1在(0，]和[－，0)上单调递减，且这两个区间的交集为[1，]，∴其“缓增区间”为[1，]．
【举一反三1】定义运算：x*y＝例如：3*4＝9，4*3＝12，则函数f(x)＝x*(2－x)的单调递增区间为( )
A.(0，1) B.(1，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－∞，0)
【答案】A
【解析】f(x)＝x*(2－x)＝当x＞1时，f(x)＝2x－x2在区间(1，＋∞)上单调递减，当x≤1时，f(x)＝x2的单调递增区间为(0，1)，故选A．
【举一反三2】在R中定义一种运算“*”，使其具有下列性质：
①对任意a，b∈R，a*b＝b*a；
②对任意a∈R，a*0＝a；
③对任意a，b，c∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－2c.
则函数f(x)＝x*的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在③中，令c＝0，
得a*b＝(a*b)*0＝0*(ab)＋(a*0)＋(b*0)－2×0＝ab＋a＋b，
则f(x)＝x*＝＋＝2－，
易知函数f(x)的单调递减区间为.
【举一反三3】意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数a满足不等式，则a的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意可知：的定义域为，
因为，所以函数为奇函数，
又因为，且在上为减函数，
由复合函数的单调性可知：在上为增函数，
因为，所以，
所以，解得：或，
所以实数的取值范围为，
故选：D.
【举一反三4】定义运算：x*y＝例如：3*4＝9，4*3＝12，则函数f(x)＝x*(2－x)的单调递增区间为( )
A.(0，1) B.(1，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－∞，0)
【答案】A
【解析】f(x)＝x*(2－x)＝当x＞1时，f(x)＝2x－x2在区间(1，＋∞)上单调递减，当x≤1时，f(x)＝x2的单调递增区间为(0，1)，故选A．
【题型10】求参数值(范围)
【典型例题】已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若f(a)＝－2，则实数a等于( )
A.－1 B.1 C.－2 D.2
【答案】A
【解析】x≥0时，f(x)＝x(x＋1)＝2－的最小值为0，
所以f(a)＝－2时，a<0，
因为f(x)为R上的奇函数，
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－x(－x＋1)＝x2－x＝－f(x)，
所以x<0时，f(x)＝－x2＋x，
则f(a)＝－a2＋a＝－2，所以a＝－1.
【举一反三1】设函数，则“”是“是偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则，因此，所以为偶函数，
“”是“是偶函数”的充分条件；
若为偶函数，则，
即对任意实数恒成立，
化简可得，因此，
“”是“是偶函数”的必要条件,
综上，“”是“是偶函数”的充要条件.
故选：C.
【举一反三2】已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
【答案】－1
【解析】∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，
∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.
∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.
∵g(x)＝f(x)＋2，
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
【举一反三3】已知，若函数是定义在上的奇函数，则 .
【答案】1
【解析】因为函数为奇函数，所以
根据定义域对称性，所以
检验成立，所以.
【举一反三4】已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x－x2.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式．
(2)是否存在正数a，b，使得当x∈[a，b]时，g(x)＝f(x)，且g(x)的值域为？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解 (1)当x<0时，－x>0，
于是f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(－2x－x2)＝2x＋x2，
即当x＜0时，f(x)＝2x＋x2．
(2)假设存在满足题意的a，b，则由题意知g(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，x∈[a，b]，a>0，
所以≤1，即a≥1，从而函数g(x)在[a，b]上单调递减，
于是
所以a，b是方程2x－x2＝的两个不相等的正实数根，
方程变形为x3－2x2＋1＝0，即(x－1)(x2－x－1)＝0，
方程的根为x＝1或x＝.
因为0【题型11】奇偶性的理解
【典型例题】若定义在R上的函数f(x)不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是( )
A. x∈R，f(x)＋f(－x)≠0 B. x∈R，f(x)＝f(－x) C. x∈R，f(x)＋f(－x)≠0 D. x∈R，f(x)＝f(－x)
【答案】C
【解析】若定义在R上的函数f(x)是奇函数，
则 x∈R，f(－x)＋f(x)＝0.
若定义在R上的函数f(x)不是奇函数，
则 x∈R，f(x)＋f(－x)≠0.
【举一反三1】若定义在[－2,2]上的函数f(x)满足＝1，则f(x)的图象的对称轴是( )
A.x轴 B.y轴 C.直线y＝x D.不能确定
【答案】B
【解析】∵＝1 f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，
∴其图象的对称轴为y轴．
【举一反三2】“，为偶函数”的否定是（ ）
A. ，为奇函数
B. ，不是偶函数
C. ，为奇函数
D. ，不是偶函数
【答案】B
【解析】根据特称命题的否定规则：特称命题“，为偶函数” .
其否定是全称命题，将存在量词“”改为全称量词“” ，并否定结论.
所以否定为“，不是偶函数”.
故答案选B.
【举一反三3】f(x)是定义在R上的奇函数，且f(5)＝－2，则下列各点在函数f(x)图象上的是( )
A. (－5，－2) B. (5,2) C. (－5，2) D. (5，－2)
【答案】C
【解析】点(5,－2)关于原点的对称点为(－5，2)．
【题型12】二次函数模型求最值
【典型例题】用长度为24 m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长度为( )
A.3 m B.4 m C. m D. m
【答案】A
【解析】设隔墙的长度为x m，场地面积为S m2，则S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18(0【举一反三1】某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是( )
A.2 500万元 B.2 000万元 C.2 400万元 D.2 200万元
【答案】A
【解析】总利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500，故当Q＝300时，总利润最大，最大值为2 500万元，故选A.
【举一反三2】某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元
【答案】C
【解析】设公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆，x∈N且0≤x≤15，公司获利为
L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30
＝－2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
【举一反三3】某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润(单位：万元)分别为y1＝5x－x2，y2＝3x，其中x为销售量(单位：吨)，若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为________万元.
【答案】34
【解析】设在甲地销售农产品x吨，
则在乙地销售农产品(10－x)吨，
由题意可得利润y＝5x－x2＋3(10－x)＝－x2＋2x＋30＝－(x－4)2＋34，
所以当x＝4时，获得最大利润y＝34万元.
【举一反三4】某公司生产的A种产品，它的成本是2元/件，售价是3元/件，月销售量为10(万件)．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每月投入的广告费是x(万元)时，产品的月销售量将是原销售量的t倍，且t是x的二次函数，它们的关系如下表：
(1)求t关于x的函数关系式；
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出月利润S(万元)和广告费x(万元)的函数关系式；
(3)如果投入的月广告费x在区间[1,2]内，问广告费为多少万元时，公司可获得的最大月利润为多少万元？
【答案】解 (1)设二次函数的解析式为t＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由关系表得解得
∴所求函数的解析式为t＝－0.1x2＋0.6x＋1.
(2)根据题意得S＝10t·(3－2)－x，
∴S＝－x2＋5x＋10(x≥0)，
S＝－x2＋5x＋10＝－2＋ (x≥0)．
(3)∵1≤x≤2，S随x的增大而增大，
∴当x＝2时，S取得最大值为16.
故当月广告费为2万元时，公司可获得最大的月利润为16万元．
【举一反三5】为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）；
（3）使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）；
②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备．
试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．
【答案】解：(1)根据已知条件可知.
(2)令，解得，
又因为，所以，
所以从第3年该设备开始盈利.
(3)若按照方案①计算，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即时取到等号，
所以到2030年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元；
若按照方案②计算，，
则当时，，
所以到2033年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元．
由此可见，两种方案企业获利总额相同，但方案①所需时间较短，故方案①比较合理．
【题型13】奇偶性的其他应用
【典型例题】下列说法正确的是( )
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0
C.奇函数y＝f(x)的图象一定过原点
D.图象过原点的奇函数必是单调函数
【答案】B
【解析】A项，若偶函数的定义域不包含0，则图象与y轴不相交；C项，若奇函数的定义域不包含0，则图象不过原点；D项，奇函数不一定是单调函数．故选B.
【举一反三1】（2023·江西省上饶市广丰中学月考）已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A.6 B. C. D.
【答案】D
【解析】因为的定义域为，
且，
所以是定义在上的奇函数，
又与为上的增函数，则为上的增函数，
且为上增函数，所以在上单调递增，
由可得，，
所以，即，又，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
即的最小值为.
故选：D.
【举一反三2】已知函数y＝f(x＋1)为偶函数，则下列关系一定成立的是( )
A.f(x)＝f(－x)
B.f(x＋1)＝f(－x＋1)
C.f(x＋1)＝f(－x－1)
D.f(－x＋1)＝f(x)
【答案】B
【解析】因为函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，故选B.
【举一反三3】设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
【答案】2
【解析】显然函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，
则g(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
所以M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min
＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
【举一反三4】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若f(－3)＝0，则<0的解集为________.
【答案】{x|－33}
【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减.
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，解得－3故所求解集为{x|－33}.
【举一反三5】已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2.
(1)求函数f(x)和g(x)；
(2)判断f(x)＋g(x)的奇偶性；
(3)求函数f(x)＋g(x)在(0,2)上的最小值．
【答案】解 (1)由题意设f(x)＝k1x，g(x)＝(k1，k2≠0)，
则1＝f(1)＝k1,2＝g(1)＝k2，
∴f(x)＝x，g(x)＝.
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)＝x＋，
则其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又h(－x)＝－x＋＝－＝－h(x)，
∴f(x)＋g(x)为奇函数．
(3)∵当x∈(0,2)时，f(x)＋g(x)＝x＋≥2＝2，
当且仅当x＝>0，即x＝∈(0,2)时等号成立，故f(x)＋g(x)在(0,2)上的最小值为2.
【题型14】求函数的单调区间或由单调性求参数的值
【典型例题】已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(2)＝2，f(1)＝1，则函数f(x)的解析式为________；若函数h(x)＝f(x)－mx在[1,3]上是单调函数，则实数m的取值范围是________________．
【答案】f(x)＝x2－2x＋2 (－∞，0]∪[4，＋∞)
【解析】由题意可设f(x)＝a(x－1)2＋1，因为f(0)＝2，所以a·(0－1)2＋1＝2，解得a＝1，即f(x)＝(x－1)2＋1＝x2－2x＋2.
因为h(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2在[1,3]上是单调函数，所以≤1或≥3，解得m≤0或m≥4，即m的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞).
【举一反三1】若函数f(x)＝ax|2x＋a|在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围为________________．
【答案】(0，＋∞)∪{－4}
【解析】当a＝0时，f(x)＝0为常函数，不符合题意；当a>0时，由于x∈[1,2]，故2x＋a>0，函数f(x)＝ax·(2x＋a)＝2ax2＋a2x的图象开口向上，且对称轴方程为x＝－<0，故函数f(x)在[1,2]上单调递增，符合题意；当a<0时，令2x＋a＝0，解得x＝－>0，此时f(x)＝故函数f(x)在，上单调递减，在上单调递增，所以[1,2]是的子集，故解得a＝－4.故a的取值范围是(0，＋∞)∪{－4}．
【举一反三2】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)若函数f(x)在[－4,6]上具有单调性，求实数a的取值范围;
(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．
【答案】解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，x∈[－4,6]，
则函数f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
∴f(x)min＝f(2)＝－1，
f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35，即最大值为35，最小值为－1.
(2)f(x)＝x2＋2ax＋3＝(x＋a)2＋3－a2，
∴要使f(x)在[－4,6]上单调，只需－a≤－4或－a≥6，
解得a≥4或a≤－6.
∴实数a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
(3)由|x|∈[－4,6]，得x∈[－6,6]．
当a＝－1时，
f(|x|)＝x2－2|x|＋3
＝
＝
画出f(|x|)的图象(图略)，由图象知f(|x|)的单调递减区间为[－6，－1)，(0,1)，单调递增区间为[－1,0]，[1,6]．
【举一反三3】求函数f(x)＝的单调区间．
【答案】解 当x－1≥0且x－1≠1，即x≥1且x≠2时，f(x)＝－x；
当x－1<0且x－1≠－1，即x<1且x≠0时，f(x)＝x－2.
所以函数f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图所示，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(0,1)；单调递减区间为[1,2)，(2，＋∞)．
【题型15】抽象函数的单调性
【典型例题】函数y＝f(x)的定义域为R，f(0)≠0.当x>0时，f(x)>1；对任意的a，b∈R，f(a＋b)＝f(a)f(b)．下列结论：①f(0)＝1；②对任意x∈R，有f(x)>0；③f(x)是R上的减函数，正确的有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】令a＝b＝0，则f(0)＝f(0)f(0)，又因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，故①正确．
当x>0时，f(x)>1，当x＝0时，f(0)＝1，即当x≥0时，f(x)≥1>0；当x<0时，－x>0，则f(－x)>0，由题意得f(x－x)＝f(x)f(－x)，则f(x)＝＝>0，故②成立．
对任意的x1，x2∈R，不妨设x1>x2，故存在正数z，使得x1＝x2＋z，则f(x1)－f(x2)＝f(x2＋z)－f(x2)＝f(x2)f(z)－f(x2)＝f(x2)(f(z)－1)．
因为当x>0时，f(x)>1，所以f(z)－1>0.
因为对任意的x∈R，有f(x)>0，所以f(x2)>0，故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)是R上的增函数，故③错误，故选C.
【举一反三1】(2023·北京市第一六一中学期中)已知函数可表示为：
则下列结论正确的是( )
A.
B.的值域是
C.的值域是
D.在区间上单调递增
【答案】B
【解析】A：，所以该选项错误；
B：由表得的值域是，所以该选项正确；
C：由表得的值域是，不是，所以该选项错误；
D：在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误.
故选：B．
【举一反三2】设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若函数在上是增函数，
根据增函数定义，对于且，都有，必要性成立.
取函数，区间.
对于且，都有，
但函数在上不是单调递增的，充分性不成立.
所以“且，都有”是“在上是增函数”的必要不充分条件.
【举一反三3】已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】已知是上的偶函数，在上单调递增，
则在上单调递减 .
是上的奇函数，在上单调递增，
所以在上单调递增，且.
由此可得，.
因为在上单调递增，且，
所以，A选项错误.
由于，在上单调递增，
所以，B选项错误.
因为，在上单调递减，
所以，C选项正确.
与的正负不确定，
所以无法确定与的大小关系，D选项错误.
综上，答案选C.
【举一反三4】函数对任意的实数m，n，有，当时，有．
（1）求证：．
（2）求证：在上为增函数．
（3）若，解不等式．
【答案】（1）证明：用赋值法证明.
令m=n=0,有f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0),则f(0)=0.
（2）证明：在(－∞,＋∞)上任取x1,x2,且x10,
由f(m+n)=f(m)+f(n)有f(m+n)－f(m)=f(n),
则f(x2)－f(x1)=f(x2－x1)
而x>0时,f(x)>0,则f(x2)－f(x1)=f(x2－x1)>0,从而f(x2)>f(x1)
所以f(x)在(－∞,＋∞)上为增函数.
（3）解：由f(1)=1,有f(1)+f(1)=f(2)=2,则原不等式可化为，
左边的函数值小于右边的函数值,由（2）知f(x)在(－∞,＋∞)上为增函数，则左边的自变量小于右边的自变量,故4x－2x<2，
即(2x－2)(2x+1)<0,又2x+1>0,则2x－2<0,解得x<1,
所以原不等式的解集为(－∞,1).
【举一反三5】设函数y=f(x) 的定义域为D,区间 I D,记 证明：
(1)函数y=f(x)在区间Ⅰ上单调递增的充要条件是：都有
(2)函数y=f(x)在区间I上单调递减的充要条件是：都有
【答案】证明 (1)充分性:
都有或
即时,或时,
由增函数的定义可知，在区间D上单调递增.
必要性：在D上单调递增，
∴当时,
∴当时,
综上，函数y=f(x)在区间D上单调递增的充要条件是：都有>0.
(2)同理可证.
【题型16】对函数最值的理解
【典型例题】设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值．其中正确说法的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】由函数最大值的概念知②③正确．
【举一反三1】若函数f(x)＝在区间[1,1 000]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A.与a无关，但与b有关
B.与a无关，且与b无关
C.与a有关，但与b无关
D.与a有关，且与b有关
【答案】A
【解析】f(x)＝＋＋a，
令t＝∈，则y＝2 023t2＋bt＋a的最大值是M，最小值是m，而a是影响图象的上下平移，此时最大和最小值同步变大或变小，故M－m与a无关，而b是影响图象的左右平移，故M－m与b有关，故选A.
【举一反三2】已知函数，“，”是“最大值为2024”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性判断：
仅由“”，不能确定函数能取到，
即不一定有最大值为，充分性不成立.
必要性判断：
若“最大值为”，那么对于任意的，必然有，必要性成立.
综上，“”是“最大值为”的必要不充分条件，
答案选B.
【举一反三3】设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值．其中正确说法的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】由函数最大值的概念知②③正确．
【举一反三4】若函数f(x)＝在区间[1,1 000]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A.与a无关，但与b有关
B.与a无关，且与b无关
C.与a有关，但与b无关
D.与a有关，且与b有关
【答案】A
【解析】f(x)＝＋＋a，
令t＝∈，则y＝2 023t2＋bt＋a的最大值是M，最小值是m，而a是影响图象的上下平移，此时最大和最小值同步变大或变小，故M－m与a无关，而b是影响图象的左右平移，故M－m与b有关，故选A.
【题型17】判断(证明)函数图象的对称性
【典型例题】若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数是奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，即有对称中心,
又因为函数的图象可以由的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，
所以函数图象的对称中心是.
故选：B.
【举一反三1】 “定义在上的函数为奇函数”的充要条件为“的图像关于坐标原点对称”，该结论可以推广为“为奇函数”的充要条件为“的图像关于对称”，则函数.的对称中心为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，由奇函数的定义可知，
，所以，
所以有，
整理得：，所以有
解得：，，所以的对称中心为.
故选：A.
【举一反三2】f(x)＝x3＋的图象关于( )
A.原点对称
B.y轴对称
C.直线y＝x对称
D.直线y＝－x对称
【答案】A
【解析】由于f(－x)＝(－x)3＋＝－＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，故其图象关于原点对称．
【举一反三3】函数的部分图象如图所示.则不等式的解集是______；图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______.
【答案】
【解析】由函数的图象知，不等式的解集是，
f(x)过(3,0),则27+9b=0,故b=－3,
从而f(x)=x3－3x2,
设f(x)的对称中心为(a,b),则f(x)+f(2a－x)=2b,
x3－3x2+(2a－x)3－3(2a－x)2=2b
即(6a－6)x2+8a3－12a2－2b=0恒成立,
则6a－6=0且8a2－12a2－2b=0,解得a=1,b=－2,
故f(x)的对称中心(1,－2).
【举一反三4】函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于________对称.
【答案】y轴
【解析】∵f(－x)＝(－x)2＋|－x|＝x2＋|x|＝f(x)，且x∈R，定义域关于原点对称，
∴y＝f(x)为偶函数，图象关于y轴对称.
【举一反三5】证明函数f(x)＝的图象关于点(－1,1)对称．
【答案】证明 函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
∵f(－1＋x)＋f(－1－x)＝＋
＝＋＝2，
即f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2×1，
∴f(x)的图象关于点(－1,1)对称．
【题型18】分式函数模型
【典型例题】若函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为5，则k的值为( )
A.10 B.10或20 C.20 D.无法确定
【答案】C
【解析】当k＝0时，不满足题意；
当k>0时，y＝f(x)＝在[2,4]上单调递减，
∴f(x)min＝f(4)＝＝5，∴k＝20满足条件；
k<0时，y＝f(x)＝在[2,4]上单调递增，
f(x)min＝f(2)＝＝5，
∴k＝10，
又∵k<0，
∴k＝10舍去.综上有k＝20.
【举一反三1】已知函数f(x)＝，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为，则实数m的值为( )
A. B. C.3 D.或3
【答案】C
【解析】函数f(x)＝＝＝2＋，x∈[0,1]．
当m＝2时，f(x)＝2，函数f(x)不具有单调性；
当m－2>0，即m>2时，f(x)在[0,1]上单调递减，在x＝1处取得最小值，则＝，解得m＝3；
当m－2<0，即m<2时，f(x)在[0,1]上单调递增，在x＝0处取得最小值，则由f(0)＝解得m＝，不成立．综上可得m＝3.
【举一反三2】已知y＝(k≠0)在[3,8]上的最大值为1，则k的值为( )
A.1 B.－6 C.1或－6 D.6
【答案】A
【解析】当k>0时，函数y＝在[3,8]上单调递减，
∵函数在[3,8]上的最大值为1，
∴＝1，∴k＝1；
当k<0时，函数y＝在[3,8]上单调递增，
∵函数在[3,8]上的最大值为1，
∴＝1，∴k＝6(舍去)．故选A.
【举一反三3】已知函数f(x)＝x＋(a>0)，当x∈[1,3]时，函数f(x)的值域为A，若A [8,16]，则a的值是________．
【答案】15
【解析】由题意，对于任意的x∈[1,3]，不等式8≤x＋≤16恒成立，也就是说，不等式x(8－x)≤a≤x(16－x)对于任意的x∈[1,3]恒成立．
故[x(8－x)]max≤a≤[x(16－x)]min.
当x∈[1,3]时，x(16－x)∈[15,39]，x(8－x)∈[7,15]，故15≤a≤15，所以a＝15.
【举一反三4】函数的最小值是，则当时，a的值为________，当时，a的值为______
【答案】
【解析】当时：.
当时：由均值不等式，当且仅当，即时等号成立.
此时.
当时：
，
当且仅当，即时等号成立.
此时.
综上，，
则（）或（）.
因为函数的最小值是，
当时，，解得；
当时，，解得.
【举一反三5】已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在区间上取得的最大值为5，求实数a的值．
【答案】(1)证明 设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝＝，∵0∴x1－x2<0，x1·x2>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)(2)解 由题意知，f(x)＝－在区间上单调递增，∴f(x)max＝f(4)＝5，
∴f(4)＝－＝5，解得a＝.
【题型19】求复合函数的单调区间
【典型例题】函数f(x)＝的一个单调递增区间是( )
A. B.[－1,4] C. D.
【答案】C
【解析】由4＋3x－x2≥0，得x2－3x－4≤0，即－1≤x≤4，令t＝－x2＋3x＋4＝－＋，所以该函数在上单调递增，而外层函数y＝为定义域内的增函数，∴函数f(x)＝的一个单调递增区间是.
【举一反三1】函数y＝的单调递增区间是( )
A.(－∞，－3] B. C.(－∞，1) D.[－1，＋∞)
【答案】B
【解析】由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在(－∞，＋∞)上单调递增，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是.
【举一反三2】函数f(x)＝1＋( )
A.在(－1，＋∞)上单调递增
B.在(1，＋∞)上单调递增
C.在(－1，＋∞)上单调递减
D.在(1，＋∞)上单调递减
【答案】D
【解析】函数f(x)＝1＋，其图象可以由基本的反比例函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，结合图象知，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
【举一反三3】(2023·广东省深圳市期中)函数的单调递减区间是______________．
【答案】
【解析】对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为，
因为内层函数在上为减函数，在上为增函数，且，
外层函数在上为减函数，
所以，函数的单调递减区间为.
故答案为：.
【举一反三4】函数的单调递减区间为_____________．
【答案】（或）
【解析】先求函数的定义域：
由，即，解得.
令，函数的图象开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减 .
又因为函数，底数，在上单调递减.
可得的单调递减区间为.
【举一反三5】求f(x)＝的单调递增区间．
【答案】解 由x2－2x－3≥0可知f(x)的定义域为{x|x≥3或x≤－1}，令t＝x2－2x－3，则原函数可化为g(t)＝(t≥0)．
因为t＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，g(t)＝在其定义域内为增函数，所以原函数在(－∞，－1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．
所以原函数的单调递增区间为(3，＋∞)．
【题型20】奇偶函数的图象的应用
【典型例题】函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则y＝f(x)·g(x)的部分图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图象可知y＝f(x)的图象关于y轴对称，是偶函数，y＝g(x)的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域为{x|x≠0}，
∴y＝f(x)·g(x)的定义域是{x|x≠0}，并且是奇函数，排除B.又x∈时，f(x)>0，g(x)<0，∴f(x)·g(x)<0，排除C，D.满足条件的只有A.故选A.
【举一反三1】已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于函数y＝f(x)·g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数图象在x＝0处是断开的，故可以排除C，D；
又由题图知y＝f(x)为偶函数，y＝g(x)为奇函数，所以y＝f(x)·g(x)为奇函数，可排除B.
【举一反三2】已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于函数y＝f(x)·g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数图象在x＝0处是断开的，故可以排除C，D；
又由题图知y＝f(x)为偶函数，y＝g(x)为奇函数，所以y＝f(x)·g(x)为奇函数，可排除B.
【举一反三3】函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则y＝f(x)·g(x)的部分图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图象可知y＝f(x)的图象关于y轴对称，是偶函数，y＝g(x)的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域为{x|x≠0}，
∴y＝f(x)·g(x)的定义域是{x|x≠0}，并且是奇函数，排除B.又x∈时，f(x)>0，g(x)<0，∴f(x)·g(x)<0，排除C，D.满足条件的只有A.故选A.
【题型21】分段函数模型
【典型例题】（2023·江西省上饶市广丰中学月考）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时，，
又函数存在最大值，
所以函数在时取到最大值，又时，，
当时，显然不合题意，当时， 为反比例函数，
所以，故.
故选：D
【举一反三1】（2023·河南省济源市高级中学月考）已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，，当且仅当时，等号成立，
即当时，函数的最小值为；
当时，，
要使得函数的最小值为，
则满足解得．
故选：A．
【举一反三2】（2023·河南省济源市高级中学月考）已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，，当且仅当时，等号成立，
即当时，函数的最小值为；
当时，，
要使得函数的最小值为，
则满足解得．
故选：A．
【举一反三3】（2023·江西省上饶市广丰中学月考）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时，，
又函数存在最大值，
所以函数在时取到最大值，又时，，
当时，显然不合题意，当时， 为反比例函数，
所以，故.
故选：D
【举一反三4】(2023·湖南省部分校联考期中)，对于，，都有成立，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为定义在上的函数满足对，，，都有，
所以函数是上的减函数，
则函数和均为减函数，且有，
即，解得，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【举一反三5】（2023·云南省曲靖市第一中学期中）设.
（1）当时，的最小值是______；
（2）若是的最小值，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】（1）当时，，
当时，由二次函数的性质可知；
当时，，当且仅当时等号成立，即最小值为2，
因为，所以的最小值为.
（2）①当时，当，由二次函数的性质可知：
，不满足是的最小值，故舍去；
②当时，当时，由二次函数的性质可知：，
由（1）知当时，的最小值为，若是的最小值，
则，解得.
故答案为： .
【举一反三6】已知f(x)＝若f(0)是y＝f(x)的最小值，则a的取值范围是________．
【答案】[0，1]
【解析】当a<0时，显然f(0)不是f(x)的最小值；当a≥0时，f(0)＝a2，
由题意得a2≤a，解不等式得0≤a≤1，
∴a的取值范围是[0，1].
【举一反三7】(2023·湖南省部分校联考期中)，对于，，都有成立，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为定义在上的函数满足对，，，都有，
所以函数是上的减函数，
则函数和均为减函数，且有，
即，解得，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
