3.3幂函数
【知识点1】求解幂函数的奇偶性 2
【知识点2】幂函数的特征及辨识 2
【知识点3】求幂函数的值域 3
【知识点4】求幂函数及幂函数型复合函数的单调性 4
【知识点5】幂函数型复合函数的定义域 5
【知识点6】求幂函数的解析式 5
【知识点7】求幂函数的定义域 6
【知识点8】由幂函数的单调性求解参数 6
【知识点9】幂函数的奇偶性与函数图象的对称性 7
【知识点10】求幂函数及幂函数型复合函数的最值 8
【知识点11】幂函数型复合函数的值域 8
【知识点12】由幂函数的最值求解参数 9
【知识点13】由幂函数的解析式求解参数 10
【知识点14】幂函数图象特征与幂指数的关系 10
【知识点15】幂函数及幂函数型复合函数图象过定点 11
【题型1】根据幂函数的定义求参数问题 12
【题型2】利用奇偶性与单调性求参数的值 12
【题型3】与幂函数有关的解不等式 13
【题型4】与幂函数有关的图象 13
【题型5】求幂函数的自变量或函数值 14
【题型6】幂函数的判断 15
【题型7】求幂函数的解析式或求函数值 15
【题型8】直接利用幂函数单调性解决问题 16
【题型9】转换为幂函数的单调性问题 17
【题型10】与幂函数有关的定义域、值域问题 19
【题型11】幂函数的奇偶性 19
【题型12】判断或证明幂函数的单调区间 20
【题型13】利用单调性与对称性解不等式 20
【题型14】函数性质的综合判断 21
【题型15】图象过定点问题 22
【题型16】幂函数的图象 23
【知识点1】求解幂函数的奇偶性
幂函数的奇偶性反映了函数的对称性，幂函数的奇偶性与指数a有关．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y=x； （2）y=x2； （3）y=x3； （4）y=； （5）y=x-1
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，+∞）时，增
x∈（-∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减
x∈（-∞，0）时，减
公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）
-
-若f（-x）=f（x），则幂函数为偶函数，幂指数n为偶数．
-若f（-x）=-f（x），则幂函数为奇函数，幂指数n为奇数．
-分析函数的解析式，确定其奇偶性．
题目通常涉及求解幂函数的奇偶性，结合解析式和图象分析．
已知幂函数是偶函数，则m=_____．
解：因为为幂函数，
所以，
解得或m=-2．
当m=-2时，f（x）=x-2是偶函数；
当时，既不是奇函数也不是偶函数．
综上知，m=-2．
故答案为：-2．
【知识点2】幂函数的特征及辨识
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
-分析幂函数的形式和特征，辨识幂函数的性质．
-根据特征确定幂函数的形式，验证幂函数的性质．
题目包括辨识幂函数的形式，分析幂函数的特征及应用题．
下列函数中的幂函数有_____．
①y=x0；
②y=（x+1）3；
③y=2x；④y=x-1；
⑤y=x4+1．
解：根据幂函数定义可知①④为幂函数；
②y=（x+1）3是幂函数y=x3向左平移了1个单位长度，故不为幂函数；
③y=2x中x前系数不是1，故不为幂函数；
⑤y=x4+1是幂函数y=x4向上平移1个单位长度，故不是幂函数．
故答案为：①④．
【知识点3】求幂函数的值域
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
幂函数的值域是指函数输出值的范围，幂函数的值域与指数a有关．
-当n为正整数时，值域为全体实数y∈（-∞，+∞）．
-当n为负整数时，值域为正实数y∈（0，+∞）．
-当n为正分数时，若分母为偶数，值域为非负实数y∈[0，+∞）；若分母为奇数，值域为全体实数．
题目通常涉及求解幂函数的值域，结合具体函数形式分析其值域，应用值域解实际问题．
幂函数y=x-2在（-∞，0）上的单调性是_____函数，其值域为_____．
解：画出函数y=x-2的图像，如图所示：
，
结合图像：幂函数y=x-2在（-∞，0）上单调递增，值域是（0，+∞）．
故答案为：增，（0，+∞）．
【知识点4】求幂函数及幂函数型复合函数的单调性
幂函数及其复合函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，是分析函数性质的重要内容．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y=x； （2）y=x2； （3）y=x3； （4）y=； （5）y=x-1
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，+∞）时，增
x∈（-∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减
x∈（-∞，0）时，减
公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）
-
-分析幂函数的解析式，确定其单调性：当a＞0时，幂函数单调递增；当a＜0时，幂函数单调递减．
-对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层幂函数的单调性，确定复合函数的整体单调性．
-验证单调性的准确性．
题目通常涉及分析幂函数及其复合函数的单调性，结合解析式和实际问题确定函数的单调区间及性质．
【知识点5】幂函数型复合函数的定义域
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
幂函数的定义域是指自变量x取值的范围，对于幂函数y=xa，定义域与指数a的取值有关．
幂函数型复合函数的定义域是指自变量取值的范围，涉及复合函数的内外层函数．
-当a为正整数时，定义域为全体实数，即x∈（-∞，+∞）．
-当a为负整数时，定义域为x≠0的全体实数，即x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
-当a为分数时，若分母为偶数，则定义域为x≥0；若分母为奇数，则定义域为x∈（-∞，+∞）．
-分析内层函数的定义域，确保内层函数有意义．
-分析外层幂函数的定义域，确保整个复合函数有意义．
-结合内外层函数的定义域，确定复合函数的定义域．
题目通常涉及求解幂函数型复合函数的定义域，结合复合函数的内外层分析其定义域，应用复合函数解实际问题．
幂函数f（x）图象过点，则y=f（x）+f（2-|x|）的定义域为_____．
解：设幂函数为f（x）=xa，则，故，，
则f（x）的定义域为（0，+∞），
故y=f（x）+f（2-|x|）满足，解得0＜x＜2．
【知识点6】求幂函数的解析式
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
-根据已知条件设定幂函数的形式，代入已知条件，求解指数a．
-写出幂函数的解析式，验证解析式的正确性．
题目包括辨识幂函数的形式，分析幂函数的特征及应用题．
若幂函数y=f（x）的图像过点，则函数y=f（x）的解析式为_____．
解：幂函数y=f（x）=xα的图像过点，
∴（）α=2，
解得α=-2，
则函数y=f（x）的解析式为f（x）=x-2．
故答案为：f（x）=x-2．
【知识点7】求幂函数的定义域
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
幂函数的定义域是指自变量x取值的范围，对于幂函数y=xa，定义域与指数a的取值有关．
-当a为正整数时，定义域为全体实数，即x∈（-∞，+∞）．
-当a为负整数时，定义域为x≠0的全体实数，即x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
-当a为分数时，若分母为偶数，则定义域为x≥0；若分母为奇数，则定义域为x∈（-∞，+∞）．
常见题型包括直接求解幂函数的定义域，结合具体题目条件分析定义域．
若幂函数f（x）图象经过点P（2，），则其定义域为_____．
解：设f（x）=xα，
幂函数f（x）图象经过点P（2，），
则，解得，
故f（x）=，x＞0，
故函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
【知识点8】由幂函数的单调性求解参数
通过已知幂函数的单调性，反向求解函数的参数值，要求学生理解单调性与参数的关系．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y=x； （2）y=x2； （3）y=x3； （4）y=； （5）y=x-1
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，+∞）时，增
x∈（-∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减
x∈（-∞，0）时，减
公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）
-
-分析已知单调性条件，设定幂函数的形式．
-利用单调性条件，求解幂函数的参数．
-验证求解结果的正确性．
题目通常包括通过单调性反求幂函数的参数，结合解析式和实际问题分析单调性及其应用．
【知识点9】幂函数的奇偶性与函数图象的对称性
幂函数的奇偶性与图象的对称性密切相关，反映了函数在坐标系中的对称特点．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y=x； （2）y=x2； （3）y=x3； （4）y=； （5）y=x-1
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，+∞）时，增
x∈（-∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减
x∈（-∞，0）时，减
公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）
-
-偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称．
-分析幂函数的解析式，确定其奇偶性和图象的对称性．
-利用对称性分析函数图象的形态和性质．
题目通常涉及幂函数的奇偶性与图象对称性的关系，结合图象分析函数的奇偶性及其应用．
已知幂函数f（x）=（m2-m-1）xm的图象关于y轴对称，则m的值为_____．
解：∵幂函数f（x）=（m2-m-1）xm的图象关于y轴对称，
∴m为偶数，且m2-m-1=1，
求得m=2，
故答案为：2．
【知识点10】求幂函数及幂函数型复合函数的最值
幂函数及其复合函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y=x； （2）y=x2； （3）y=x3； （4）y=； （5）y=x-1
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，+∞）时，增
x∈（-∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减
x∈（-∞，0）时，减
公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）
-
对于复合函数，首先分析内层函数的最值，再结合外层幂函数确定复合函数的最值．
题目通常涉及求解幂函数及其复合函数的最值，结合解析式和实际问题分析函数的最值及其应用．
【知识点11】幂函数型复合函数的值域
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
幂函数的值域是指函数输出值的范围，幂函数的值域与指数a有关．
幂函数型复合函数的值域是指函数输出值的范围，涉及复合函数的内外层函数．
-当n为正整数时，值域为全体实数y∈（-∞，+∞）．
-当n为负整数时，值域为正实数y∈（0，+∞）．
-当n为正分数时，若分母为偶数，值域为非负实数y∈[0，+∞）；若分母为奇数，值域为全体实数．
-确定内层函数的值域．
-将内层函数的值域代入外层幂函数，分析外层函数的值域．
-结合内外层函数的值域，确定复合函数的值域．
题目通常涉及求解幂函数型复合函数的值域，结合复合函数的内外层分析其值域，应用复合函数解实际问题．
已知幂函数在（0，+∞）上为增函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数g（x）=f（2x-3）-4x+5的值域．
解：（1）由幂函数的定义有m2-m-1=1，解得m=2或-1．
①当m=2时，，此时函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，符合题意；
②当m=-1时，f（x）=x-1，此时函数在f（x）在（0，+∞）上为减函数，不符合题意，
由上知m=2．
（2）由（1）可知，有，
令，有2x=t2+3，
有，
由t≥0，根据二次函数的图象和性质可知函数g（x）的值域为．
【知识点12】由幂函数的最值求解参数
通过已知幂函数的最值，反向求解函数的参数值，要求学生理解最值与参数的关系．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y=x； （2）y=x2； （3）y=x3； （4）y=； （5）y=x-1
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，+∞）时，增
x∈（-∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减
x∈（-∞，0）时，减
公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）
-
-分析已知最值条件，设定幂函数的形式．
-利用最值条件，求解幂函数的参数．
题目通常包括通过最值反求幂函数的参数，结合解析式和实际问题分析最值及其应用．
【知识点13】由幂函数的解析式求解参数
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
-分析幂函数的解析式，代入已知条件，求解参数值．
-验证求解结果的正确性，结合实际问题分析幂函数及其应用．
题目包括通过幂函数的解析式求解参数，结合实际问题分析幂函数及其应用．
若函数是幂函数且为奇函数，则m的值为_____．
解：∵函数是幂函数且为奇函数，
∴m2-6m+9=1，且m2-3m+1为奇数，
求得m=4或m=2，
故答案为：4或2．
【知识点14】幂函数图象特征与幂指数的关系
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
幂函数的图象特征与其幂指数a密切相关，不同幂指数的幂函数图象有不同的形态．
-当a为正整数时，图象在第一、三象限呈对称分布．
-当a为负整数时，图象在第二、四象限呈对称分布，且x越大，y越小．
-当a为正分数时，图象在第一象限，开口向右上方．
-当a为负分数时，图象在第一、二象限，开口向左下方．
题目通常涉及分析幂函数图象特征，结合幂指数确定图象形态，利用图象解决实际问题．
如图是幂函数y=xα的部分图象，已知α取，2，-2，-这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的α依次为_____．
解：∵在直线x=1右侧，指数越大，幂函数的图象越靠上，
∴曲线C1，C2，C3，C4相应的α依次为2，，-，-2．
【知识点15】幂函数及幂函数型复合函数图象过定点
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
幂函数及其复合函数图象过定点是指图象在特定点上通过，反映了函数特定参数的取值．
-确定幂函数的形式，代入定点的坐标，求解参数．
-对于复合函数，首先确定内层函数的形式，再代入定点坐标求解外层幂函数的参数．
-验证求解结果的正确性．
题目通常涉及求解幂函数及其复合函数图象过定点的参数值，结合具体问题分析函数的参数及应用．
已知函数f（x）=2+xa（a为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为_____．
解：因为y=xa的图象恒过（1，1），
所以f（x）=2+xa的图象恒过定点P（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【题型1】根据幂函数的定义求参数问题
【典型例题】已知函数f(x)＝(a2－a－1)为幂函数，则a等于( )
A.－1或2 B.－2或1 C.－1 D.1
【举一反三1】幂函数y＝kxα过点(2,4)，则k－α的值为( )
A.－1 B. C.1 D.
【举一反三2】(2023·广东省汕头市金山中学期中)若幂函数在上单调递减，则______.
【举一反三3】若幂函数y＝(2a2＋a)xa在(0，＋∞)上单调递减，则a＝________.
【举一反三4】已知y＝(m2＋2m－2) x2n 3是幂函数，求m，n的值．
【举一反三5】已知y＝＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值．
【题型2】利用奇偶性与单调性求参数的值
【典型例题】已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为( )
A.－3 B.2 C.－3或2 D.3
【举一反三2】已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为______.
【举一反三3】已知函数f(x)＝(m2－m－5)x5m－3是幂函数且是(0，＋∞)上的增函数，则m的值为________．
【举一反三4】已知幂函数f(x)＝(－2m2＋m＋2)xm＋1为偶函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围．
【举一反三5】（2023·甘肃省兰州市第五十五中学月考）已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围.
【题型3】与幂函数有关的解不等式
【典型例题】已知幂函数f(x)＝(a－1)xn的图象过点(2，8)，且f(b－2)
A.(0，1) B.(1，2) C.(－∞，1) D.(1，＋∞)
【举一反三1】若<，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】已知函数f(x)＝，且f(2)>f(3)，则实数k的取值范围是________．
【举一反三3】已知幂函数在区间上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
【题型4】与幂函数有关的图象
【典型例题】在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】函数y＝－的图象是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】已知幂函数f(x)＝xα中的α是方程4x2＋x－3＝0的一个解，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的图象是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
A. B. C. D.
【举一反三4】幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇美丽的曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【题型5】求幂函数的自变量或函数值
【典型例题】若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(3)等于( )
A. B. C.3 D.9
【举一反三1】已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A. B. C.2 D.
【举一反三2】幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(8)等于( )
A.8 B.6 C.4 D.2
【举一反三3】已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A. B. C.2 D.
【举一反三4】已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A. 9 B. 3 C. D.
【举一反三5】已知幂函数的图象过点，则____________.
【举一反三6】已知一粒米的质量是0.000021千克，0.000021用科学记数法表示为______.
【举一反三7】为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．
【题型6】幂函数的判断
【典型例题】在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三1】下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1).其中幂函数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】下列函数中是幂函数的是( )
A.y＝x4＋x2 B.y＝10x C.y＝ D.y＝x＋1
【举一反三3】下列函数中是幂函数的是( )
A.y＝3x B.y＝x2＋1 C.y＝(x＋1)4 D.y＝
【举一反三4】（2023·河北省期中）下列函数是幂函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【题型7】求幂函数的解析式或求函数值
【典型例题】已知幂函数，则（ ）
A. 8 B. 4 C. D.
【举一反三1】已知函数是幂函数.则（）
A. B.2 C. D.1
【举一反三2】若幂函数的图象经过点，则（ ）
A. B. C. D. 4
【举一反三3】已知幂函数经过点，则的值是 ．
【举一反三4】（2023·广东省广州市广东实验中学期中）若幂函数上为增函数，则实数______．
【举一反三5】在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量v(单位：cm /s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比.
(1)写出气体流量v关于管道半径r的函数解析式；
(2) 若气体在半径为3cm的管道中，流量为400cm /s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量v的表达式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量(精确到1 cm /s).
【举一反三6】（2023·江苏省扬州市高邮市月考）已知幂函数的图象不过原点.
（1）求函数解析式；
（2）若是定义在上的偶函数，当时，，求的解析式.
【题型8】直接利用幂函数单调性解决问题
【典型例题】已知幂函数f(x)＝x4－m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于( )
A.1 B.2 C.1或3 D.3
【举一反三1】已知函数f(x)＝，若0A.f(a)B.<C.f(a)D.【举一反三2】已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
【举一反三3】利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
【举一反三4】比较下列各组中两个值的大小：
(1)与；
(2)0.61.3与0.71.3；
(3)与；
(4)0.18－0.3与0.15－0.3.
【题型9】转换为幂函数的单调性问题
【典型例题】设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.c>a>b C.ac>a
【举一反三1】若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】幂函数过点，，是其图象上任意两点．则下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三3】幂函数过点，，是其图象上任意两点．则下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三4】已知幂函数的定义域为，记，，，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三5】比较下列各组数的大小：
(1)和；
(2)和；
(3)和.
【举一反三6】比较下列各组数的大小：
(1)，；
(2)，.
【题型10】与幂函数有关的定义域、值域问题
【典型例题】若f(x)＝x－，则函数f(4x－3)的定义域为( )
A.R B. C. D.
【举一反三1】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数f(x)的值域为( )
A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，0)∪(0，＋∞) D.(－∞，＋∞)
【举一反三2】已知函数f(x)＝xn的图象经过点，则f(x)在区间上的最小值是( )
A.4 B. C.2 D.
【举一反三3】若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________．
【举一反三4】若幂函数f(x)的图象经过点，求f(x)的定义域和值域．
【题型11】幂函数的奇偶性
【典型例题】下列函数既是奇函数又在区间上递增的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列幂函数为偶函数的是( )
A.y=x-1 B.y= C.y=x D.y=x-2
【举一反三2】幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)( )
A.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
C.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D.既不是奇函数，也不是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增
【举一反三3】若幂函数是偶函数，则（ ）
A.-2 B.3 C.1 D.1或3
【举一反三4】若幂函数是偶函数，则（ ）
A. -2 B. 3 C. 1 D. 1或3
【举一反三5】（2023·上海市宜川中学期中）已知集合，且图象关于y轴对称，则集合中的元素个数为______．
【举一反三6】若幂函数为偶函数，则________.
【举一反三7】已知幂函数是定义在上的奇函数，则_______.
【题型12】判断或证明幂函数的单调区间
【典型例题】下列结论正确的是( )
A.幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)
B.幂函数的图象可以出现在第四象限
C.当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα在定义域上是增函数
D.当幂指数α=-7时,幂函数y=xα在定义域上是减函数
【举一反三1】若幂函数的图象过点(2,8)，则它的单调递增区间是( )
A.(0，＋∞) B.[0，＋∞) C.(－∞，0) D.(－∞，＋∞)
【举一反三2】已知正整数p使得函数f(x)=xp-2在区间(0,+∞)内单调递减,则函数f(x)的单调递减区间是 .
【举一反三3】有下列函数：①y＝；②y＝；③y＝；④y＝.其中是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的是________．(填序号)
【举一反三4】证明幂函数f(x)＝是增函数．
【题型13】利用单调性与对称性解不等式
【典型例题】幂函数过点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】（2023·河南省济源市高级中学月考）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的x取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】若<，则实数m的取值范围是________．
【举一反三4】已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的图象关于原点对称，且在R上函数值随x的增大而增大．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的实数a的取值范围．
【举一反三5】已知函数f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x3.
(1)求x<0时f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式f(x＋1)≥8f(x)．
【题型14】函数性质的综合判断
【典型例题】函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，ab<0，则f(a)＋f(b)的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
【举一反三1】(2023·广东省深圳市期中)已知幂函数的图像过点，则下列结论正确的是( )
A.的定义域为
B.在其定义域内为减函数
C.是偶函数
D.是奇函数
【举一反三2】（2023·江苏省盐城市清源高级中学期中）若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（ ）
A.在上为增函数
B. 方程的实根为
C.的值域为
D.为偶函数
【举一反三3】写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：______.
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；
②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；
③f′(x)是奇函数．
【举一反三4】已知幂函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(f())＝8.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)若函数g(x)＝－ax(a∈R)在[1,2]上的最小值为－，求实数a的值．
【题型15】图象过定点问题
【典型例题】已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 25 B. 5 C. D.
【举一反三1】已知幂函数的图象过点，则（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【举一反三2】函数f(x)＝xa＋b，不论a为何值，f(x)的图象均过点(m，0)，则实数b的值为( )
A.－1 B.1 C.2 D.3
【举一反三3】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(，2)，则f(9)＝________．
【举一反三4】已知幂函数的图象过点，则____________.
【举一反三5】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
【举一反三6】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，函数g(x)＝(x－2)f(x)，求函数g(x)的最大值与最小值．
【题型16】幂函数的图象
【典型例题】如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A.nm>0 D.m>n>0
【举一反三1】甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点
【举一反三2】（2023·重庆市永川区永川中学联考）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三3】如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y＝的图象可能是( )
A.① B.② C.③ D.④
【举一反三4】幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp的图象如图所示，则m，n，p从小到大的关系是________.
【举一反三5】如图，已知函数的图象经过点，则的最小值为_______．
【举一反三6】对任意的，幂函数的图象一定不经过第______象限.
【举一反三7】幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp的图象如图所示，则m，n，p从小到大的关系是________.3.3幂函数
【知识点1】求解幂函数的奇偶性 2
【知识点2】幂函数的特征及辨识 2
【知识点3】求幂函数的值域 3
【知识点4】求幂函数及幂函数型复合函数的单调性 4
【知识点5】幂函数型复合函数的定义域 5
【知识点6】求幂函数的解析式 5
【知识点7】求幂函数的定义域 6
【知识点8】由幂函数的单调性求解参数 6
【知识点9】幂函数的奇偶性与函数图象的对称性 7
【知识点10】求幂函数及幂函数型复合函数的最值 8
【知识点11】幂函数型复合函数的值域 8
【知识点12】由幂函数的最值求解参数 9
【知识点13】由幂函数的解析式求解参数 10
【知识点14】幂函数图象特征与幂指数的关系 10
【知识点15】幂函数及幂函数型复合函数图象过定点 11
【题型1】根据幂函数的定义求参数问题 12
【题型2】利用奇偶性与单调性求参数的值 13
【题型3】与幂函数有关的解不等式 15
【题型4】与幂函数有关的图象 17
【题型5】求幂函数的自变量或函数值 19
【题型6】幂函数的判断 21
【题型7】求幂函数的解析式或求函数值 22
【题型8】直接利用幂函数单调性解决问题 25
【题型9】转换为幂函数的单调性问题 26
【题型10】与幂函数有关的定义域、值域问题 30
【题型11】幂函数的奇偶性 31
【题型12】判断或证明幂函数的单调区间 35
【题型13】利用单调性与对称性解不等式 36
【题型14】函数性质的综合判断 39
【题型15】图象过定点问题 42
【题型16】幂函数的图象 44
【知识点1】求解幂函数的奇偶性
幂函数的奇偶性反映了函数的对称性，幂函数的奇偶性与指数a有关．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y=x； （2）y=x2； （3）y=x3； （4）y=； （5）y=x-1
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，+∞）时，增
x∈（-∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减
x∈（-∞，0）时，减
公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）
-
-若f（-x）=f（x），则幂函数为偶函数，幂指数n为偶数．
-若f（-x）=-f（x），则幂函数为奇函数，幂指数n为奇数．
-分析函数的解析式，确定其奇偶性．
题目通常涉及求解幂函数的奇偶性，结合解析式和图象分析．
已知幂函数是偶函数，则m=_____．
解：因为为幂函数，
所以，
解得或m=-2．
当m=-2时，f（x）=x-2是偶函数；
当时，既不是奇函数也不是偶函数．
综上知，m=-2．
故答案为：-2．
【知识点2】幂函数的特征及辨识
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
-分析幂函数的形式和特征，辨识幂函数的性质．
-根据特征确定幂函数的形式，验证幂函数的性质．
题目包括辨识幂函数的形式，分析幂函数的特征及应用题．
下列函数中的幂函数有_____．
①y=x0；
②y=（x+1）3；
③y=2x；④y=x-1；
⑤y=x4+1．
解：根据幂函数定义可知①④为幂函数；
②y=（x+1）3是幂函数y=x3向左平移了1个单位长度，故不为幂函数；
③y=2x中x前系数不是1，故不为幂函数；
⑤y=x4+1是幂函数y=x4向上平移1个单位长度，故不是幂函数．
故答案为：①④．
【知识点3】求幂函数的值域
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
幂函数的值域是指函数输出值的范围，幂函数的值域与指数a有关．
-当n为正整数时，值域为全体实数y∈（-∞，+∞）．
-当n为负整数时，值域为正实数y∈（0，+∞）．
-当n为正分数时，若分母为偶数，值域为非负实数y∈[0，+∞）；若分母为奇数，值域为全体实数．
题目通常涉及求解幂函数的值域，结合具体函数形式分析其值域，应用值域解实际问题．
幂函数y=x-2在（-∞，0）上的单调性是_____函数，其值域为_____．
解：画出函数y=x-2的图像，如图所示：
，
结合图像：幂函数y=x-2在（-∞，0）上单调递增，值域是（0，+∞）．
故答案为：增，（0，+∞）．
【知识点4】求幂函数及幂函数型复合函数的单调性
幂函数及其复合函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，是分析函数性质的重要内容．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y=x； （2）y=x2； （3）y=x3； （4）y=； （5）y=x-1
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，+∞）时，增
x∈（-∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减
x∈（-∞，0）时，减
公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）
-
-分析幂函数的解析式，确定其单调性：当a＞0时，幂函数单调递增；当a＜0时，幂函数单调递减．
-对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层幂函数的单调性，确定复合函数的整体单调性．
-验证单调性的准确性．
题目通常涉及分析幂函数及其复合函数的单调性，结合解析式和实际问题确定函数的单调区间及性质．
【知识点5】幂函数型复合函数的定义域
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
幂函数的定义域是指自变量x取值的范围，对于幂函数y=xa，定义域与指数a的取值有关．
幂函数型复合函数的定义域是指自变量取值的范围，涉及复合函数的内外层函数．
-当a为正整数时，定义域为全体实数，即x∈（-∞，+∞）．
-当a为负整数时，定义域为x≠0的全体实数，即x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
-当a为分数时，若分母为偶数，则定义域为x≥0；若分母为奇数，则定义域为x∈（-∞，+∞）．
-分析内层函数的定义域，确保内层函数有意义．
-分析外层幂函数的定义域，确保整个复合函数有意义．
-结合内外层函数的定义域，确定复合函数的定义域．
题目通常涉及求解幂函数型复合函数的定义域，结合复合函数的内外层分析其定义域，应用复合函数解实际问题．
幂函数f（x）图象过点，则y=f（x）+f（2-|x|）的定义域为_____．
解：设幂函数为f（x）=xa，则，故，，
则f（x）的定义域为（0，+∞），
故y=f（x）+f（2-|x|）满足，解得0＜x＜2．
【知识点6】求幂函数的解析式
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
-根据已知条件设定幂函数的形式，代入已知条件，求解指数a．
-写出幂函数的解析式，验证解析式的正确性．
题目包括辨识幂函数的形式，分析幂函数的特征及应用题．
若幂函数y=f（x）的图像过点，则函数y=f（x）的解析式为_____．
解：幂函数y=f（x）=xα的图像过点，
∴（）α=2，
解得α=-2，
则函数y=f（x）的解析式为f（x）=x-2．
故答案为：f（x）=x-2．
【知识点7】求幂函数的定义域
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
幂函数的定义域是指自变量x取值的范围，对于幂函数y=xa，定义域与指数a的取值有关．
-当a为正整数时，定义域为全体实数，即x∈（-∞，+∞）．
-当a为负整数时，定义域为x≠0的全体实数，即x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
-当a为分数时，若分母为偶数，则定义域为x≥0；若分母为奇数，则定义域为x∈（-∞，+∞）．
常见题型包括直接求解幂函数的定义域，结合具体题目条件分析定义域．
若幂函数f（x）图象经过点P（2，），则其定义域为_____．
解：设f（x）=xα，
幂函数f（x）图象经过点P（2，），
则，解得，
故f（x）=，x＞0，
故函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
【知识点8】由幂函数的单调性求解参数
通过已知幂函数的单调性，反向求解函数的参数值，要求学生理解单调性与参数的关系．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y=x； （2）y=x2； （3）y=x3； （4）y=； （5）y=x-1
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，+∞）时，增
x∈（-∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减
x∈（-∞，0）时，减
公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）
-
-分析已知单调性条件，设定幂函数的形式．
-利用单调性条件，求解幂函数的参数．
-验证求解结果的正确性．
题目通常包括通过单调性反求幂函数的参数，结合解析式和实际问题分析单调性及其应用．
【知识点9】幂函数的奇偶性与函数图象的对称性
幂函数的奇偶性与图象的对称性密切相关，反映了函数在坐标系中的对称特点．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y=x； （2）y=x2； （3）y=x3； （4）y=； （5）y=x-1
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，+∞）时，增
x∈（-∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减
x∈（-∞，0）时，减
公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）
-
-偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称．
-分析幂函数的解析式，确定其奇偶性和图象的对称性．
-利用对称性分析函数图象的形态和性质．
题目通常涉及幂函数的奇偶性与图象对称性的关系，结合图象分析函数的奇偶性及其应用．
已知幂函数f（x）=（m2-m-1）xm的图象关于y轴对称，则m的值为_____．
解：∵幂函数f（x）=（m2-m-1）xm的图象关于y轴对称，
∴m为偶数，且m2-m-1=1，
求得m=2，
故答案为：2．
【知识点10】求幂函数及幂函数型复合函数的最值
幂函数及其复合函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y=x； （2）y=x2； （3）y=x3； （4）y=； （5）y=x-1
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，+∞）时，增
x∈（-∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减
x∈（-∞，0）时，减
公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）
-
对于复合函数，首先分析内层函数的最值，再结合外层幂函数确定复合函数的最值．
题目通常涉及求解幂函数及其复合函数的最值，结合解析式和实际问题分析函数的最值及其应用．
【知识点11】幂函数型复合函数的值域
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
幂函数的值域是指函数输出值的范围，幂函数的值域与指数a有关．
幂函数型复合函数的值域是指函数输出值的范围，涉及复合函数的内外层函数．
-当n为正整数时，值域为全体实数y∈（-∞，+∞）．
-当n为负整数时，值域为正实数y∈（0，+∞）．
-当n为正分数时，若分母为偶数，值域为非负实数y∈[0，+∞）；若分母为奇数，值域为全体实数．
-确定内层函数的值域．
-将内层函数的值域代入外层幂函数，分析外层函数的值域．
-结合内外层函数的值域，确定复合函数的值域．
题目通常涉及求解幂函数型复合函数的值域，结合复合函数的内外层分析其值域，应用复合函数解实际问题．
已知幂函数在（0，+∞）上为增函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数g（x）=f（2x-3）-4x+5的值域．
解：（1）由幂函数的定义有m2-m-1=1，解得m=2或-1．
①当m=2时，，此时函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，符合题意；
②当m=-1时，f（x）=x-1，此时函数在f（x）在（0，+∞）上为减函数，不符合题意，
由上知m=2．
（2）由（1）可知，有，
令，有2x=t2+3，
有，
由t≥0，根据二次函数的图象和性质可知函数g（x）的值域为．
【知识点12】由幂函数的最值求解参数
通过已知幂函数的最值，反向求解函数的参数值，要求学生理解最值与参数的关系．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y=x； （2）y=x2； （3）y=x3； （4）y=； （5）y=x-1
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，+∞）时，增
x∈（-∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减
x∈（-∞，0）时，减
公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）
-
-分析已知最值条件，设定幂函数的形式．
-利用最值条件，求解幂函数的参数．
题目通常包括通过最值反求幂函数的参数，结合解析式和实际问题分析最值及其应用．
【知识点13】由幂函数的解析式求解参数
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
-分析幂函数的解析式，代入已知条件，求解参数值．
-验证求解结果的正确性，结合实际问题分析幂函数及其应用．
题目包括通过幂函数的解析式求解参数，结合实际问题分析幂函数及其应用．
若函数是幂函数且为奇函数，则m的值为_____．
解：∵函数是幂函数且为奇函数，
∴m2-6m+9=1，且m2-3m+1为奇数，
求得m=4或m=2，
故答案为：4或2．
【知识点14】幂函数图象特征与幂指数的关系
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
幂函数的图象特征与其幂指数a密切相关，不同幂指数的幂函数图象有不同的形态．
-当a为正整数时，图象在第一、三象限呈对称分布．
-当a为负整数时，图象在第二、四象限呈对称分布，且x越大，y越小．
-当a为正分数时，图象在第一象限，开口向右上方．
-当a为负分数时，图象在第一、二象限，开口向左下方．
题目通常涉及分析幂函数图象特征，结合幂指数确定图象形态，利用图象解决实际问题．
如图是幂函数y=xα的部分图象，已知α取，2，-2，-这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的α依次为_____．
解：∵在直线x=1右侧，指数越大，幂函数的图象越靠上，
∴曲线C1，C2，C3，C4相应的α依次为2，，-，-2．
【知识点15】幂函数及幂函数型复合函数图象过定点
幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a=1，2，3，，-1时的图像与性质．
幂函数及其复合函数图象过定点是指图象在特定点上通过，反映了函数特定参数的取值．
-确定幂函数的形式，代入定点的坐标，求解参数．
-对于复合函数，首先确定内层函数的形式，再代入定点坐标求解外层幂函数的参数．
-验证求解结果的正确性．
题目通常涉及求解幂函数及其复合函数图象过定点的参数值，结合具体问题分析函数的参数及应用．
已知函数f（x）=2+xa（a为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为_____．
解：因为y=xa的图象恒过（1，1），
所以f（x）=2+xa的图象恒过定点P（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【题型1】根据幂函数的定义求参数问题
【典型例题】已知函数f(x)＝(a2－a－1)为幂函数，则a等于( )
A.－1或2 B.－2或1 C.－1 D.1
【答案】C
【解析】因为f(x)＝(a2－a－1)为幂函数，所以a2－a－1＝1，所以a＝2或－1，又a－2≠0，所以a＝－1.
【举一反三1】幂函数y＝kxα过点(2,4)，则k－α的值为( )
A.－1 B. C.1 D.
【答案】A
【解析】由幂函数的定义得k＝1，所以y＝xα，因为幂函数经过点(2,4)，所以4＝2α，∴α＝2.所以k－α＝1－2＝－1.故答案为A.
【举一反三2】(2023·广东省汕头市金山中学期中)若幂函数在上单调递减，则______.
【答案】1
【解析】由于是幂函数，所以，解得或，
当时，，在上递减，符合题意；
当时，，在上递增，不符合题意，
所以的值为.
故答案为：.
【举一反三3】若幂函数y＝(2a2＋a)xa在(0，＋∞)上单调递减，则a＝________.
【答案】－1
【解析】2a2＋a＝1，解得a＝－1或a＝.
当a＝时，y＝，在(0，＋∞)上单调递增，与已知不符，舍去；
当a＝－1时，y＝x－1，在(0，＋∞)上单调递减，与已知相符，综上所述，a＝－1.
【举一反三4】已知y＝(m2＋2m－2) x2n 3是幂函数，求m，n的值．
【答案】解 由题意得
解得 或
所以m＝－3或1，n＝ .
【举一反三5】已知y＝＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值．
【答案】解：由题意得解得
所以m＝－3，n＝.
【题型2】利用奇偶性与单调性求参数的值
【典型例题】已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据幂函数定义，，解得或.
时，，是奇函数，舍去.
时，，是偶函数，所以.
则，其图象开口向上，对称轴为.
因为在上单调，所以或.
解得或，即的取值范围是.
故选：D.
【举一反三1】已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为( )
A.－3 B.2 C.－3或2 D.3
【答案】A
【解析】由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，
知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.
∵该函数在第一象限内是单调递减的，
∴m<0.故m＝－3.
【举一反三2】已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减.
根据偶函数性质，由可得.
因为在单调递减，即.
两边平方：，展开得.即，
解得或.
所以不等式的解集为.
【举一反三3】已知函数f(x)＝(m2－m－5)x5m－3是幂函数且是(0，＋∞)上的增函数，则m的值为________．
【答案】3
【解析】由题意得m2－m－5＝1，所以m＝－2或m＝3.
当m＝－2时，函数f(x)＝x－13＝，在(0，＋∞)上单调递减，所以舍去．当m＝3时，函数f(x)＝x12，在(0，＋∞)上单调递增，答合题意．
【举一反三4】已知幂函数f(x)＝(－2m2＋m＋2)xm＋1为偶函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围．
【答案】解 (1)由f(x)为幂函数知－2m2＋m＋2＝1，解得m＝1或m＝－.当m＝1时，f(x)＝x2，符合题意；当m＝－时，f(x)＝，不符合题意，舍去．∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x2.
(2)由(1)得f(x)＝x2，∴y＝x2－2(a－1)x＋1，即函数图象的对称轴为直线x＝a－1.∵y＝x2－2(a－1)x＋1在(2,3)上为单调函数，∴a－1≤2或a－1≥3，解得a≤3或a≥4，∴实数a的取值范围是(－∞，3]∪[4，＋∞)．
【举一反三5】（2023·甘肃省兰州市第五十五中学月考）已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）由题意，
解得：或3，
若是偶函数，则，
故.
（2），
的对称轴是，
若在上不是单调函数，
则，解得：，
所以实数的取值范围为.
【题型3】与幂函数有关的解不等式
【典型例题】已知幂函数f(x)＝(a－1)xn的图象过点(2，8)，且f(b－2)A.(0，1) B.(1，2) C.(－∞，1) D.(1，＋∞)
【答案】C
【解析】因为幂函数f(x)＝(a－1)xn的图象过点(2，8)，
所以8＝(a－1)2n，且a－1＝1.
所以a＝2，n＝3，所以f(x)＝x3.
所以函数f(x)在R上为增函数.
因为f(b－2)所以b－2<1－2b，解得b<1.
所以b的取值范围为(－∞，1).
【举一反三1】若<，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数y＝在定义域[0，＋∞)上单调递增，
所以解得【举一反三2】已知函数f(x)＝，且f(2)>f(3)，则实数k的取值范围是________．
【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【解析】因为f(x)＝，且f(2)>f(3)，所以其在(0，＋∞)上是单调递减，
所以根据幂函数的性质，有－k2＋k＋2<0，即k2－k－2>0，所以k<－1或k>2,所以实数k的取值范围是(﹣∞，﹣1).∪(2，＋∞).
【举一反三3】已知幂函数在区间上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）因为是幂函数，
根据幂函数定义，系数 .
解，即，
因式分解得，
解得或 .
又因为幂函数在区间上单调递增，
而当时，幂函数在上单调递减，
当时，幂函数在上单调递增，
所以 .
则 .
（2）由（1）知，其在上单调递增 .
已知，根据单调性可知 .
将移项得，
因式分解为 .
则或，
解得，
而无解.
所以实数的取值范围是 .
【题型4】与幂函数有关的图象
【典型例题】在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误；
选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误；
选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－与y轴交点的纵坐标为正，D错误．
【举一反三1】函数y＝－的图象是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将函数y＝－的图象向右平移一个单位即可得到函数y＝－的图象，图象关于点(1,0)对称，当x＝0时，y＝1，故选C.
【举一反三2】已知幂函数f(x)＝xα中的α是方程4x2＋x－3＝0的一个解，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的图象是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解方程4x2＋x－3＝0得，x1＝，x2＝－1，又∵函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)＝，故选A.
【举一反三3】函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】y＝的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝－1的图象可看作由y＝的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝－1的图象关于x轴对称后即为选项B.
【举一反三4】幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇美丽的曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】已知，，且，
可得，.
设过，则；
过，则.
由，
可得.
所以答案为D选项.
【题型5】求幂函数的自变量或函数值
【典型例题】若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(3)等于( )
A. B. C.3 D.9
【答案】B
【解析】设幂函数y＝f(x)＝xα，其图象经过点(2，)，则2α＝，解得α＝，∴f(x)＝＝，∴f(3)＝.故选B.
【举一反三1】已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A. B. C.2 D.
【答案】A
【解析】因为是幂函数，所以幂函数系数，
即，解得或.
又因为函数图象与坐标轴无公共点，所以，故.
则，所以.
答案选A.
【举一反三2】幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(8)等于( )
A.8 B.6 C.4 D.2
【答案】C
【解析】设幂函数f(x)＝xα，
由题可知f(3)＝3α＝＝，
解得α＝，故f(x)＝，
则f(8)＝＝4.
【举一反三3】已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A. B. C.2 D.
【答案】A
【解析】因为是幂函数，所以幂函数系数，
即，解得或.
又因为函数图象与坐标轴无公共点，所以，故.
则，所以.
答案选A.
【举一反三4】已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A. 9 B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】设，则，所以，
则，所以
故选：A.
【举一反三5】已知幂函数的图象过点，则____________.
【答案】3
【解析】设幂函数，
因为图象过点，所以.
即，，
则，解得.
所以，
那么.
【举一反三6】已知一粒米的质量是0.000021千克，0.000021用科学记数法表示为______.
【答案】
【解析】0.000021千克千克.
【举一反三7】为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．
【答案】9
【解析】由题意可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．
由题意，得2＝4α，解得α＝，
则y＝，由＝3，得x＝9，即明文是9.
【题型6】幂函数的判断
【典型例题】在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】根据幂函数定义可知，y＝x－2是幂函数；y＝2x2系数为2，不是幂函数；，y＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1是二次函数，不是幂函数；y＝3x是一次函数，不是幂函数.
【举一反三1】下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1).其中幂函数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】②⑦底数不是自变量，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
【举一反三2】下列函数中是幂函数的是( )
A.y＝x4＋x2 B.y＝10x C.y＝ D.y＝x＋1
【答案】C
【解析】根据幂函数的定义知，y＝是幂函数，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．
【举一反三3】下列函数中是幂函数的是( )
A.y＝3x B.y＝x2＋1 C.y＝(x＋1)4 D.y＝
【答案】D
【举一反三4】（2023·河北省期中）下列函数是幂函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数.
故选：D.
【题型7】求幂函数的解析式或求函数值
【典型例题】已知幂函数，则（ ）
A. 8 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】由幂函数的定义知，幂函数系数为1，
所以，解得，所以，.
故选：A.
【举一反三1】已知函数是幂函数.则（）
A. B.2 C. D.1
【答案】C
【解析】所有函数都是严格形式定义,已知函数是幂函数，而幂函数是形如y＝xα的函数,故k+1=1,，所以，则.
正确答案为C.
【举一反三2】若幂函数的图象经过点，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】设幂函数，将点代入函数解析式，得，即，
所以，则.
故选：D.
【举一反三3】已知幂函数经过点，则的值是 ．
【答案】
【解析】由题意，根据幂函数的定义，可得系数
，即，所以，
因为幂函数的图象过点，将点代入函数，
得，则，即，得，解得，
将,，得.
正确答案为
【举一反三4】（2023·广东省广州市广东实验中学期中）若幂函数上为增函数，则实数______．
【答案】2
【解析】因为为幂函数且在上为增函数，
所以 ，故
故答案为：2.
【举一反三5】在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量v(单位：cm /s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比.
(1)写出气体流量v关于管道半径r的函数解析式；
(2) 若气体在半径为3cm的管道中，流量为400cm /s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量v的表达式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量(精确到1 cm /s).
【答案】解 (1)由题意得
(2)将r=3,v=400代入得
故流量速率v的表达式为
(3)当r=5时,
【举一反三6】（2023·江苏省扬州市高邮市月考）已知幂函数的图象不过原点.
（1）求函数解析式；
（2）若是定义在上的偶函数，当时，，求的解析式.
【答案】解：（1）由题意，解得：或，
故或，
又幂函数的图象不过原点，
故.
（2）当时，，
，则，，
又因为是偶函数，所以，
综上，.
【题型8】直接利用幂函数单调性解决问题
【典型例题】已知幂函数f(x)＝x4－m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于( )
A.1 B.2 C.1或3 D.3
【答案】C
【解析】因为f(x)＝x4－m在(0，＋∞)上单调递增，
所以4－m>0，即m<4.
又因为m∈N*，所以m＝1，2，3.
又因为f(x)＝x4－m是奇函数，
所以4－m是奇数，因此m＝1或m＝3.
【举一反三1】已知函数f(x)＝，若0A.f(a)B.<C.f(a)D.【答案】C
【解析】因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，
又0故f(a)【举一反三2】已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
【答案】(－∞，0)
【解析】因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为单调递减．故α<0.
【举一反三3】利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
【答案】解 (1)令
∵f(x)在R上单调递增,且-1.5<-1.4,
∴f(-1.5)(2)令
∵g(x)在(﹣∞,0)上单调递减,且﹣1.5<
【举一反三4】比较下列各组中两个值的大小：
(1)与；
(2)0.61.3与0.71.3；
(3)与；
(4)0.18－0.3与0.15－0.3.
【答案】解 (1)∵幂函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，且1.5<1.6，
∴<.
(2)∵幂函数y＝x1.3在(0，＋∞)上单调递增，且0.6<0.7，
∴0.61.3<0.71.3.
(3)∵幂函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递减，且3.5<5.3，
∴>.
(4)∵幂函数y＝x－0.3在(0，＋∞)上单调递减，且0.18>0.15，
∴0.18－0.3<0.15－0.3.
【题型9】转换为幂函数的单调性问题
【典型例题】设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.c>a>b C.ac>a
【答案】B
【举一反三1】若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】已知幂函数过点，则，解得，所以.
因为，即.
可得，化简为，
即，也就是 .
解不等式，可得或.
所以实数的取值范围是，
答案选C.
【举一反三2】幂函数过点，，是其图象上任意两点．则下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设幂函数.
因为幂函数过点，则，即，解得，所以，定义域为.
选项A：设，定义域为.
由于，在单调递增.
当时，，即，A 正确.
选项B：设，定义域为.
因为，在单调递减.
当时，，即，B 正确.
选项CD：，.
，.
因为（时等号不成立） .
所以，又，，则，C 正确，D错误.
【举一反三3】幂函数过点，，是其图象上任意两点．则下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设幂函数.
因为幂函数过点，则，即，解得，所以，定义域为.
选项A：设，定义域为.
由于，在单调递增.
当时，，即，A 正确.
选项B：设，定义域为.
因为，在单调递减.
当时，，即，B 正确.
选项CD：，.
，.
因为（时等号不成立） .
所以，又，，则，C 正确，D错误.
【举一反三4】已知幂函数的定义域为，记，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为是幂函数，，
解得或.
当时，，定义域为，不满足定义域为，舍去.
当时，，定义域为，符合题意.
图象是开口向上抛物线，对称轴为轴，
所以在单调递减，在单调递增.
已知，， .
是偶函数，则.
，所以.
因为， .
由在单调递增，可得，即.
综上，答案选D.
【举一反三5】比较下列各组数的大小：
(1)和；
(2)和；
(3)和.
【答案】解：(1)函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以＞.
(2)＝，＝，函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，而＞，
所以＞.
(3)＞＝1，0＜＜＝1，
所以＞.
【举一反三6】比较下列各组数的大小：
(1)，；
(2)，.
【答案】解：(1)由幂函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，得<.
(2)由幂函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，得>.
【题型10】与幂函数有关的定义域、值域问题
【典型例题】若f(x)＝x－，则函数f(4x－3)的定义域为( )
A.R B. C. D.
【答案】D
【解析】易知f(x)＝x－的定义域为(0，＋∞)，则4x－3∈(0，＋∞)，即x∈，故选D.
【举一反三1】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数f(x)的值域为( )
A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，0)∪(0，＋∞) D.(－∞，＋∞)
【答案】C
【解析】∵f(x)＝xα的图象过点，∴2α＝，∴α＝－1，∴f(x)＝x－1，∴其值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
【举一反三2】已知函数f(x)＝xn的图象经过点，则f(x)在区间上的最小值是( )
A.4 B. C.2 D.
【答案】B
【解析】由题意知＝3n，∴n＝－1，∴f(x)＝x－1，
易知f(x)＝x－1在上单调递减，
∴f(x)＝x－1在上的最小值是f(4)＝.
【举一反三3】若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________．
【答案】1
【解析】幂函数（为整数）的定义域为，所以，
将不等式变形为，则与异号，
因为二次函数图像开口向上，所以.
因为是整数，所以只能取，
经检验，当时，，定义域为，符合题意.
【举一反三4】若幂函数f(x)的图象经过点，求f(x)的定义域和值域．
【答案】解 设f(x)＝xα，因为f(x)的图象经过点，所以3α＝，解得α＝－，所以f(x)＝，所以其定义域为{x|x>0}，值域为{y|y>0}．
【题型11】幂函数的奇偶性
【典型例题】下列函数既是奇函数又在区间上递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选项A：，定义域为，，是奇函数，且在上随增大而减小，单调递减.
选项B：，定义域为，，是偶函数，在上随增大而减小，单调递减.
选项C：，定义域为，，是奇函数，在上随增大而增大，单调递增.
选项D：，定义域为，，是奇函数，在上随增大而减小，单调递减.
【举一反三1】下列幂函数为偶函数的是( )
A.y=x-1 B.y= C.y=x D.y=x-2
【答案】D
【举一反三2】幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)( )
A.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
C.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D.既不是奇函数，也不是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增
【答案】D
【解析】由题意设f(x)＝xn，因为函数f(x)的图象经过点(3，)，所以＝3n，解得n＝，即f(x)＝，其定义域为[0，＋∞)不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选D.
【举一反三3】若幂函数是偶函数，则（ ）
A.-2 B.3 C.1 D.1或3
【答案】C
【解析】因为是幂函数，所以根据幂函数的定义知：，，解得或.
当时，，，所以是偶函数，符合题意；
当时，，，所以是奇函数，不符合题意.
故选：C.
【举一反三4】若幂函数是偶函数，则（ ）
A. -2 B. 3 C. 1 D. 1或3
【答案】C
【解析】因为是幂函数，所以，即.
解得或.
当时，，，是偶函数，符合题意.
当时，，，是奇函数，不符合题意.
所以.
故选：C.
【举一反三5】（2023·上海市宜川中学期中）已知集合，且图象关于y轴对称，则集合中的元素个数为______．
【答案】3
【解析】因为图象关于y轴对称，所以为偶函数，
当时，，定义域为，，
所以为奇函数，故不符合题意；
当时，，定义域为，所以为非奇非偶函数，故不符合题意；
当时，，定义域为，
，所以为奇函数，故不符合题意；
当时，，定义域为，，
所以为偶函数，故符合题意；
当时，，定义域为，，
所以为偶函数，故符合题意；
当时，，定义域为，，所以为偶函数，故符合题意；
当时，，定义域为，，
所以为奇函数，故不符合题意；
综述：当或或时，符合题意，
所以集合B中的元素个数为3.
故答案为：3.
【举一反三6】若幂函数为偶函数，则________.
【答案】
【解析】因为函数为幂函数，所以根据幂函数的定义知：，解得或，时，函数是上的奇函数，不符合题意；时，函数为偶函数，符合题意，所以
【举一反三7】已知幂函数是定义在上的奇函数，则_______.
【答案】－1
【解析】所有函数都是严格的形式定义,形如y＝xα的函数为幂函数,因为函数是幂函数，则m2－m－1=1,故m=－1或m=2,
当m=－1时,f(x)=是奇函数,满足题意;
当m=2时,f(x)=x2为偶函数,不符合题意.
则m=－1.
正确答案为m=－1.
【题型12】判断或证明幂函数的单调区间
【典型例题】下列结论正确的是( )
A.幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)
B.幂函数的图象可以出现在第四象限
C.当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα在定义域上是增函数
D.当幂指数α=-7时,幂函数y=xα在定义域上是减函数
【答案】C
【举一反三1】若幂函数的图象过点(2,8)，则它的单调递增区间是( )
A.(0，＋∞) B.[0，＋∞) C.(－∞，0) D.(－∞，＋∞)
【答案】D
【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点(2,8)，∴2α＝8，解得α＝3，∴y＝x3，它的单调递增区间是(－∞，＋∞)．故选D.
【举一反三2】已知正整数p使得函数f(x)=xp-2在区间(0,+∞)内单调递减,则函数f(x)的单调递减区间是 .
【答案】(-∞,0),(0,+∞)
【举一反三3】有下列函数：①y＝；②y＝；③y＝；④y＝.其中是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的是________．(填序号)
【答案】④
【解析】①函数y＝为偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；
②函数y＝的定义域为[0，＋∞)，所以是非奇非偶函数，不符合题意；
③函数y＝是奇函数，不符合题意；
④函数y＝为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．
【举一反三4】证明幂函数f(x)＝是增函数．
【答案】证明 函数的定义域是[0，＋∞)．
任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
因为x1－x2<0，+>0，
所以f(x1)【题型13】利用单调性与对称性解不等式
【典型例题】幂函数过点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】幂函数过点，设，则，所以，
又因为，
所以在上单调递增，
因为，所以为偶函数，
所以不等式可转化为，
所以，两边平方后解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
【举一反三1】（2023·河南省济源市高级中学月考）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】幂函数在上单调递减，故，
解得．又，故m＝1或2，
当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；
当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1，
不等式化为，
函数在和上单调递减，
故或或，解得或．
故应选：D．
【举一反三2】已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的x取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对任意，，都有成立,可得在上单调递增，
又为偶函数，则不等式等价于，
所以，解得，
即满足题意的x取值范围为：
故选：C.
【举一反三3】若<，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】函数y＝在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以解得【举一反三4】已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的图象关于原点对称，且在R上函数值随x的增大而增大．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的实数a的取值范围．
【答案】解 (1)由题意可知，函数在R上单调递增．
∴9－3m>0，解得m<3，
又∵m∈N＋，∴m＝1,2，
又∵函数的图象关于原点对称，
∴9－3m为奇数，故m＝2，
∴f(x)＝x3.
(2)∵f(a＋1)＋f(3a－4)<0，
∴f(a＋1)<－f(3a－4)，
∵f(x)为奇函数，∴－f(3a－4)＝f(4－3a)
∴f(a＋1)又∵函数在R上单调递增
∴a＋1<4－3a，∴a<，∴实数a的取值范围为(－∞，).
【举一反三5】已知函数f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x3.
(1)求x<0时f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式f(x＋1)≥8f(x)．
【答案】解 (1)根据题意，设x<0，则－x>0，
则f(－x)＝(－x)3＝－x3，
又由f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)＝－x3，
故x<0时f(x)的解析式为f(x)＝－x3.
(2)根据题意，f(x)为偶函数，
则f(x＋1)≥8f(x) f(|x＋1|)≥8f(|x|)，
又由当x≥0时，f(x)＝x3在[0，＋∞)上单调递增，
则f(x＋1)≥8f(x) f(|x＋1|)≥f(|2x|) |x＋1|≥|2x|，即(x＋1)2≥(2x)2，
变形可得3x2－2x－1≤0，
解得－≤x≤1，即不等式的解集为.
【题型14】函数性质的综合判断
【典型例题】函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，ab<0，则f(a)＋f(b)的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
【答案】A
【解析】令m2－m－1＝1得m＝－1或m＝2.
由于对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数.
当m＝－1时，f(x)＝x－3，不合题意.
当m＝2时，f(x)＝x3满足题意.
所以f(a)＋f(b)＝a3＋b3.
因为a＋b>0，ab<0，所以f(a)＋f(b)＝a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>0.
【举一反三1】(2023·广东省深圳市期中)已知幂函数的图像过点，则下列结论正确的是( )
A.的定义域为
B.在其定义域内为减函数
C.是偶函数
D.是奇函数
【答案】B
【解析】设，代入点可得，所以，
所以，
对于A：函数的定义域为，所以A错误；
对于B：因为，所以在内单调递减，B正确；
对于C：因为的定义域为，所以不是偶函数，C错误；
对于D：因为的定义域为，所以不是奇函数，D错误；
故选：B．
【举一反三2】（2023·江苏省盐城市清源高级中学期中）若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（ ）
A.在上为增函数
B. 方程的实根为
C.的值域为
D.为偶函数
【答案】D
【解析】设，代入点可得，所以，
所以，因为，所以，
即函数的定义域为，
对于A：因为，所以在上为减函数，错误；
对于B：令，所以，解得，所以方程的实根为，错误；
对于C：因为，所以，所以，所以的值域为，
错误；
对于D：因为的定义域为关于原点对称，
且，所以为偶函数，正确.
故选：D.
【举一反三3】写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：______.
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；
②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；
③f′(x)是奇函数．
【答案】f(x)＝x4(答案不唯一，f(x)＝x2n(n∈N*)均满足)
【解析】取f(x)＝x4，则f(x1x2)＝(x1x2)4＝xx＝f(x1)f(x2)，满足①，
f′(x)＝4x3，x>0时有f′(x)>0，满足②，
f′(x)＝4x3的定义域为R，
又f′(－x)＝－4x3＝－f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③.
【举一反三4】已知幂函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(f())＝8.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)若函数g(x)＝－ax(a∈R)在[1,2]上的最小值为－，求实数a的值．
【答案】解 (1)设f(x)＝xα，则f()＝()α＝，f(f())＝()α＝.
∵f(f())＝8，∴＝23，∴＝3，即α＝±3.
当α＝3时，f(x)＝x3在(－∞，0)上单调递增，不满足题意，舍去；
当α＝－3时，f(x)＝x－3在(－∞，0)上单调递减，满足题意．
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x－3.
(2)函数f(x)为奇函数．理由如下：由(1)，知f(x)＝x－3，其定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，
∴函数f(x)＝x－3是奇函数．
(3)由(1)，得g(x)＝－ax＝x2－ax＝－，
∴函数g(x)的图象的对称轴为直线x＝.
①当1<<2，即2∵g(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴g(x)min＝＝－＝－，解得a＝±1，
不满足2②当≤1，即a≤2时，
∵g(x)在[1,2]上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝1－a＝－，即a＝，满足a≤2，
∴a＝；
③当≥2，即a≥4时，
∵g(x)在[1,2]上单调递减，
∴g(x)min＝g(2)＝4－2a＝－，即a＝，不满足a≥4.
综上所述，a＝.
【题型15】图象过定点问题
【典型例题】已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 25 B. 5 C. D.
【答案】D
【解析】设幂函数.
因为幂函数图象过点，所以.
由此可解得，则.
所以，
答案选D.
【举一反三1】已知幂函数的图象过点，则（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】设幂函数.
因为幂函数图象过点，
则.
由此可解得 .
那么，
所以.
答案选D.
【举一反三2】函数f(x)＝xa＋b，不论a为何值，f(x)的图象均过点(m，0)，则实数b的值为( )
A.－1 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【解析】∵幂函数y＝xa过定点(1，1)，∴f(x)＝xa＋b过定点(1，1＋b)，结合已知条件可知1＋b＝0，则b＝－1.
【举一反三3】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(，2)，则f(9)＝________．
【答案】81
【解析】因为幂函数f(x)＝xα的图象过点(，2)，所以f()＝()α＝2，
解得α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(9)＝92＝81.
【举一反三4】已知幂函数的图象过点，则____________.
【答案】3
【解析】设幂函数.
因为幂函数的图象过点，将点代入，可得.
由于，则，即，
所以，解得.
那么，所以.
【举一反三5】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
【答案】解 因为f(x)＝xα的图象过点P，
所以f(2)＝，即2α＝，解得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0).
【举一反三6】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，函数g(x)＝(x－2)f(x)，求函数g(x)的最大值与最小值．
【答案】解：因为f(x)的图象过点，所以＝2α，
所以α＝－1，所以f(x)＝x－1，
所以g(x)＝(x－2)·x－1＝＝1－.
又g(x)＝1－在上是增函数，
所以g(x)min＝g＝－3，g(x)max＝g(1)＝－1.
【题型16】幂函数的图象
【典型例题】如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A.nm>0 D.m>n>0
【答案】A
【解析】由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由幂函数图象的特点知n【举一反三1】甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点
【答案】D
【举一反三2】（2023·重庆市永川区永川中学联考）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，
所以，即，解得，即函数，也即，
则函数的定义域为，所以排除选项CD；
又，函数单调递减，故排除B.
故选：A.
【举一反三3】如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y＝的图象可能是( )
A.① B.② C.③ D.④
【答案】D
【解析】由于y＝是增函数，且增长得比较缓慢，因此只有④可能是该函数的图象，故选D.
【举一反三4】幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp的图象如图所示，则m，n，p从小到大的关系是________.
【答案】m【解析】由幂函数的图象知，n>1，0所以m【举一反三5】如图，已知函数的图象经过点，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】因为函数的图象经过点，
所以，即，
又由图像可知，且，
所以由基本不等式可得
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
【举一反三6】对任意的，幂函数的图象一定不经过第______象限.
【答案】四
【解析】对于幂函数，分情况讨论：
当时，若，则，因为任何负数的平方都大于，所以此时幂函数图象经过第二象限；若，则，负数的奇数次方为负数，所以此时幂函数图象经过第三象限.
当时，无论取何值（），的值都大于，所以幂函数图象经过第一象限.
综上，幂函数的图象一定不经过第四象限.
【举一反三7】幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp的图象如图所示，则m，n，p从小到大的关系是________.
【答案】m【解析】由幂函数的图象知，n>1，0所以m