人教版高中数学必修一第三章《 3.1.2 用二分法求方程的近似解》教学设计

用二分法求方程的近似解
教材分析：
“用二分法求方程的近似解”是高中数学新课程人教社A版《数学》必修1第三章3.1函数与方程的第2节课，是学生在学习了《方程的根与函数的零点》后，利用函数与方程关系来解决具体问题的一节课。
本课的主要内容是用“二分法”是求一些具体方程的近似解。它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法； “二分法”还是一种程序化的方法，在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想。学习本课内容时，要让学生在学会用二分法求具体方程近似解的同时，进一步巩固数形结合的数学思想，感受无限逼近与算法的数学思想，为今后学习算法埋下伏笔。
二、学情分析
学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备。但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。
具体来讲，预计会出现如下困难：
1、学生对确定方程近似解所在的初始区间存在障碍，其原因是学生对函数f(x)= 2x+x-2的图象无法顺利得到。教材中利用计算器或计算机得到对应值表或图像，从而确定这个函数在区间（0，1）上有零点。在教学中教师也可引导学生要充分运用已学的函数零点存在定理，可利用试值法去找两个值a,b并使f(a)·f(b)<0，则在[a,b]上至少存在一个零点；或将方程化为2x=2-x，再利用函数y=2x与y=2-x的图象交点来估计方程根所在的区间。
2、精确度概念不易被学生理解，学生对精确度要求下，如何确定方程的近似解会遇到思维障碍。其原因是以往学习中遇到问题的答案一般都是惟一确定的，而此时的答案可取区间[a,b](|a-b|< ε）内的任意值。教材为方便统一取区间端点作为零点近似值。
3、计算量大、操作过程长，可建立表格，利用计算器完成计算。
三、教学目标：
知识与技能：1、进一步理解函数与方程之间的联系，并能熟练地将方程问题转化为函数问题，会用数形结合的思想来处理问题。
2、了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求出符合精度要求的方程的近似解。
过程与方法：通过实例理解二分法的概念及本质，了解二分法是一种程序化的方法，体会无限逼近与叠代的数学思想，培养学生能够探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度 。
情感态度价值观：1、在让学生自主探求方程近似解的过程中，鼔励学生勇于探索，不怕计算，培养学生的计算能力和持之以恒的精神；
2、教学中可鼓励学生发现一些生活中能用“二分法”处理的例子，帮助学生进一步理解“二分法”的本质，进而培养学生的应用意识；
四、教学重点：
通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
五、教学难点：利用二分法求给定精确度的方程的近似解
六、教学流程；
七、教学过程设计
环节
教学内容设计
师生活动
设计意图
引入
问题1：一元一次方程与一元二次方程我们会求解，类似于这样的方程你还会解吗？
教师引导学生从函数角度理解方程的解，寻求新的求解思路
提出问题，引发学生的思考
创设情境
问题：从城市A到郊区B的一条长为10km的供电线路的某一处发生了故障，如何查出故障所在？
（1）学生分组讨论解决问题的方案；（2）请学生代表向大家汇报本组的解决方案。（3）学生自主思考，可能会提出多种想法．教师可通过画图或计算机演示解决方案。
从学生身边及感兴趣的问题入手，让学生初步感受二分法的思想，并激发学生的学习兴趣．
组织探究
问题2：你能确定函数的零点所在的大致区间吗？问题3：你能把函数的零点限制在更小的区间内吗？填表：区间中点值中点的函数近似值问题4：区间在逐步缩小，什么时候停止呢？
引导学生类比实际问题的处理方法，通过合作、讨论的方式探求函数零点的处理方法，填写表格在此解释精确度的含义从而引出二分法的概念。
以实际背景作为抽象概念的出发点，通过类比、抽象、概括等方法得出二分法的概念与步骤。
归纳与总结
（1）二分法定义：对于在区间[a,b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．（2）给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1．确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε；2．求区间(a,b)的中点c；3．计算f(c)：1 若f(c)=，则c1就是函数的零点；2 若f(a)·f(c)<0，则令b=c（此时零点x0∈(a,c)）；3 若f(c)
·f(b)<，则令a=c（此时零点x0∈(a,c)）；4．判断是否达到精度ε；即若|a-b|< ε，则得到零点值a（或b）；否则重复步骤2~4．
引导学生总结出给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
从特殊到一般是我们认识世界的重要方法，也是学生学习知识的的重要途径，这样设计既符合学生的认知规律，又能培养学生的归纳与概括能力
巩固练习
练习：1、下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（
）

2、用二分法求图象是连续不断的函数在∈(1,2)内零点近似值的过程中得到,,,则函数的零点落在区间（
）.(A)（1,1.25） 　(B)（1.25,1.5）
(C)（1.5,2）　
(D)
不能确定3．借助计算器或计算机，用二分法求方程在区间（2，3）内的近似解（精确度0.1）.
学生回答
1、让学生进一步理解和掌握二分法的思想及解题的步骤。2、明确二分法求函数近似零点的条件达到巩固的目的
小结与作业
方程的解与函数零点的关系用二分法求方程的近似解的一般步骤课后作业：p92习题A组2，3，B组1
由方程求解引入新课
提出实际问题，引出二分法概念
以函数为例，探究归纳用二分法求函数零点近似值的一般步骤
利用计算器解方程的近似解
练习巩固
小结
y
O
x
A