人教A版必修一第一章《1.2.1函数的概念》获奖教学设计

丰台区高中数学教学设计评比
课
题：“函数的概念”教学设计
《函数的概念》教学设计
一、 教材分析
　　（一）地位与作用
　　函数是中学数学中最重要的基本概念之一,函数的学习大致可分为三个阶段:第一阶段在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数,凡比例函数,一次函数,二次函数等;本章学习的函数的概念、基本性质与后续将要学习的基本初等函数（i）和（iI）是函数学习的第二阶段，是对函数概念的再认识阶段；第三阶段在选修系列得导数及其应用的学习，使函数学习的进一步深化和提高。因此函数及其表述这一节在高中数学中，起着承上启下的作用，函数的思想贯穿高中数学的始终，学好这章不仅在知识方面，更重要的是在函数的思想、方法方面，将会让学生在今后的学习、工作和生活中受益无穷。
　　本小节介绍了函数概念，及表示方法.我将本小节分为两课时，第一课时完成函数概念的教学，第二课时完成函数图象的教学。这里我主要谈谈函数概念的教学。
　　函数的概念部分用三个实际例子设计数学情境，让学生探寻变量和变量的对应关系，结合初中学习的函数理论，在集合论的基础上，促使学生建构出函数的概念，体验结合旧知识，探索新知识，研究新问题的快乐。
　　 二、学情分析
　（1）学生从知识上已经掌握了一次函数、二次函数的图象和基本性质以及集合等内容，但对知识的理解和方法的掌握一些细节上不完备，反应在解题中就是思维不缜密，书写不规范，过程不完整；
（2）能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强；
（3）情感上多数学生有积极的学习态度，能主动参与研究，少数学生的学习主动性还需要通过营造一定的学习氛围来加以带动。
三、目标和目标解析
（1）通过丰富实例，建立函数概念的背景，使学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三个要素．
（2）会判断两个函数是否为同一函数，会求一些简单函数的定义域和值域．
（3）通过从实例中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力．
教学的重点是，在研究已有函数实例（学生举出的例子）的过程中，感受在两个数集A，B之间所存在的对应关系f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念．然后再进一步理解它．
四、教学问题诊断分析
（1）对函数概念中的“每一个”、“唯一确定”等关键词关注不够，领会不深．教学中，可以通过反例让学生加以认识．比如
有一位学生的考试情况是这样的

集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{90，93，98，92}，f：每次考试成绩．
就不能表示一个函数．因为对于集合A中的元素“4”，在集合B中就没有元素与它对应．
（2）忽视“数集”二字，把一般的映射关系理解为函数．比如
高一（2）班的同学组成集合A，教室里的座椅组成集合B，每一位同学都有唯一的一个座椅，班上还有空椅子．这能否算作一个函数的例子，为什么？
（3）对为什么集合B不是函数的值域不理解．让学生感受到，有时，为了研究方便或者确定一个函数的值域暂时有困难，使得C＝{f（x）|x∈A}B更加合理．
（4）当函数关系具有解析式表示时，f（x）当然可以用x的解析式表示出来．学生会因此而误以为对应关系f都可以用解析式表示．
可以通过所举实例的类型，引导学生，明确表示对应关系f并非解析表达式不可．但这不是本节课的重点，应该放在下一节课“函数的表示”中解决．只要注意所列举的例子不光是有解析式的即可．
（5）本课的难点是：对抽象符号y＝
f（x）的理解．
可以通过具体函数让学生理解抽象的f（x）．比如函数 f（x）＝x2，A＝x|－2≤x＜2．
f(－1)＝1，f(1.5)＝2.25，f(－2)＝4，f（2）无定义．f（x）＝x2，x∈A．
最终，让学生明白，f（x）是集合B中的一个数，是与集合A中的x对应的那个数．当x取具体数字时，f（x）也是一个具体的数．
五、教学基本流程

六、教学过程设计

阶段1：实例引入及概念的形成：通过观察、分析实例背景，引导学生从给出函数的不同表示方法（解析式，曲线或表格）逐一分析、概括出函数概念的一般特征，并概括出运用集合与对应语言描述的函数定义，这样的学习过程符合人们从特殊到一般的认知规律，结合比较形象的“数字处理系统”，让学生看得见、摸得着，把抽象的函数概念形象化突破“对应”这个难点。
问题1
同学们在初中已经学习过“函数”，请你举几个函数的具体例子．
设计意图：通过具体例子，让学生回顾初中学习过的函数概念，把握内涵．
【师】：在数学发展的过程中，函数的含义也在不断地发展变化着，科学家当初引入函数概念就是用来描述变量直接的依赖关系的。例如同学举得例子小球的自由落体运动是用关系式来描述位移随着时间的变化规律的。但有一定的局限性，如：（）是函数吗？与是同一函数吗？用初中的知识很难解释清楚。
下面我们举例对函数关系作进一步的分析，以便引入更为确切的语言来表达函数的概念。
设计意图：形成认知冲突，激发学生学习兴趣。
【师】：中考结束后，大家急切想知道自己的成绩，你是怎样知道自己的总分的？

通过电话或者是网络查询，输入一个准考证号得到一个总分，这是不是一个函数？在这一过程中，我们不像初中函数那样关注成绩与准考证号这两个变量的依赖关系，研究一个变量随另一个变量变化而变化的规律性；而是注重两个量之间的对应关系.高中数学的函数就是从对应的角度定义函数的.通过这一实例使学生对抽象的概念消除了畏难情绪，为后继学习做好心理的准备.（
“变量说”到“对应说”的提升——实现函数概念的第一次认识）
问题2：中考成绩查询系统实质上就是一个数字处理系统，因此函数可以看作是一个数字处理系统，结合这个例子和预习情况你认为函数这样一个数字处理系统应包含哪几部分？
结论1：两个数据库和一个处理器.
问题3：数据库有什么要求？处理器在处理过程中遵循的规则是什么？
结论2：前面一个非空数集，后面一个是由前面一个产生的.处理器在处理过程中遵循的规则（对应法则）是“任意”——“唯一”.这样降低了知识门槛，使学生觉得函数概念并不难，既便于理解，又帮助记忆，将函数看做数字处理系统，为下面讲解函数符号表示做好铺垫.使学生明白：函数不过是一个数据处理器的数学化.（函数是一个数字处理系统——实现函数概念的第二次认识）
问题4：幻灯片投影三个实例，是否是函数？对应法则是怎样给出的？请说给我们大家听听．大家也思考一下，我们所举的是函数的例子吗？为什么？

设计意图：让举例的同学分别解释他们所举例子的含义，为什么用这个例子来说明函数．挖掘背后的思维过程，暴露学生对函数本质的理解状况．

函数是初中已有过的内容，引导学生用初中的定义解释所列举的例子，可以了解学生对函数概念的掌握情况．突出“两个变量x，y”，对于变量x的“每一个”确定的值，另一个变量y有“唯一”确定的值与x对应，“y是x的函数”．
【师】你是怎样检验任意给定实数，都有唯一确定的与它对应的？
要求学生指出对应关系f是什么？x取哪些数？即取值范围，感受数集A的存在，y值的构成情况，为引入两个集合做准备．你是怎样检验任意给定实数，都有唯一确定的与它对应的？
结论3：（1）的对应法则是图像，（2）的对应法则是数表，（3）的对应法则是解析式；其中图像借助“画”，数表借助“查”，解析式借助“算”，为将来讲解函数的表示方法做好铺垫.
交流讨论：分析课前自己找到的生活实例，判断是否是函数？（通过学生对自己和小组成员所找函数实例的辨析，让学生自省自悟，体会成功的愉悦，加深对函数概念的理解）.
实例1
图1的兰色曲线记录的是2009年2月20日自上午9：30至下午3：00上海证券交易所的股票指数的情况．股票指数是时间的函数吗？


　　　　　　　　　　　　　　　　　图1
实例2
（教材17页）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中恩格尔系数随时间的变化而变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．

城镇居民的恩格尔系数（%）是时间（年）的函数吗？

教师也可以参与举例（实例3，备用），以说明函数概念中的x的取值范围构成一个集合，对应关系、以及y的取值构成的集合．

实例3
（教科书第18页）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是


h＝130t－5t2．（
）
炮弹距地面高度h是时间t的函数吗？为什么？
教师利用函数图象（图2）解释：
随着点P位置的改变，点P的横坐标x与纵坐标y都在变化，但无论点P在哪个位置，点P的横坐标x总对应唯一的纵坐标y．由此，使学生体会到，函数中的函数值y的变化总是依赖于自变量x的变化，而且由x的值唯一确定．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2
炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26}，炮弹距地面的高度的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}，从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（
），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应．
问题5：通过以上学习谈一谈对“任意实数”和“唯一确定”的理解.
强化：这两点是函数的核心部分.
讲解：对应法则的给出形式多样，我们用“”表示，记作，实现了图、表、数的高度抽象概括.由以上分析可知，函数就是一个数字处理系统，就是它的处理器.
问题6：举例说明你在初中学过的函数的分别是什么？
这样让学生将一个抽象的对应法则变为可以看得见的具体法则，并且有的可以用解析式表示有的不能用解析式表示，从而明确数学引进抽象符号的必要性.（对这一数字处理器的认识——实现函数概念的第三次认识）
问题7
前面我们学习了“集合”，你能用“集合”以及对应的语言刻画函数概念吗？
（小组讨论，可以用自己的语言叙述，）
设计意图：引导学生把初中学习过的函数概念与高一刚学习的过的集合知识联系起来，用集合的观点解释过去的概念，获得对函数概念的新认识．
获得新的函数定义方式：
设A，B是两个非空数集．如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称对应 f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作
y＝f（x），x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|
x∈A}叫做函数的值域．若C＝{f（x）|
x∈A}，则CB．
师生共同就每一个例子，找出集合A，B分别是什么，对应关系f指什么？突出“三要素”．
问题8
在这个定义中，你认为哪些是关键词？怎样理解这个概念呢？
设计意图：促使学生抓住概念中的关键词，多方面理解概念，抓住本质．同时，指出函数的要素为定义域、对应关系、值域．由于对于一个函数，当定义域确定、对应关系确定后，值域也随之确定，因此，两个函数相等的条件是定义域以及对应关系相同．
阶段2：函数符号的理解
问题9：将实例3的函数解析式写成的形式，
有何区别？
设计意图：从具体实例概括出函数的内涵，并通过和的比较，消除错误的认识
阶段3．相关概念的思辨（函数的定义域，值域，对应关系）
例1（活页练习）
⑴
判断下列对应是否为函数：
①
②
③判断下列图像是否为函数图像？
⑵求函数的定义域；
[3]下列函数中哪个与函数是同一个函数？
⑴；⑵；⑶
设计意图：考察函数的三要素

例2.（1）已知函数，求，，，；
设计意图：考察函数的对应关系
此题从特殊的2到再到最后到，使学生明确数字处理器既可以处理一个具体的数，也可以处理字母和代数式.
例3.求函数，在处的函数值和值域.
设计意图：求函数值域的方法
学生独立完成，教师适当点拨，简单总结求值域的方法.（针对初中一次函数、二次函数、反比例函数总结）
小练习：
（1）填写下列表格：

（2）能否说f（x）＝x2－4x是实数集R到实数集R的函数？
⑶已知函数，求
3、课堂小结（师生共同完成）：
（1）函数的有关概念.
（2）确定一个函数的两个要素.
（3）如何检验两个变量之间是否具有函数关系.
5.布置作业：
（1）教材第22页练习1，2，3题，教材第28页习题1--6题.
（2）预习作业：什么叫映射？映射与函数有什么关系？
（3）提高作业：①教材第29页练习B第1，2，3题；
②若，求函数的解析式，并求的定义域和值域.
分层布置作业，强化因材施教.
教学设计特色说明：
1.重视学生的亲身体验．借助学生印象深刻的生活经历，将新知识与学生的已有知识和生活经验联系起来．注意挖掘数学知识的现实背景，再现数学知识的抽象过程；问题情景的设置形成逐层深入环环相扣的问题链，以问题解决为线索，引导学生主动讨论、积极探索.
2.体现学生学习方式的变革，倡导自主学习、合作学习、探究学习的学习方式；体现“以人为本”思想，强调课堂教学的有效性，不仅强调在实践中完成学生自身知识的建构，并要求在完成学习任务的同时有所感悟、有所创造.
3.引导学生从实际背景、定义、图像多方面理解函数的本质，在教学中通过具体函数来理解函数的一般概念，强调对函数本质的理解，避免出现技巧训练。
4.在课件制作方面，并没有过多展示题目，而是设计了比较形象的“数字处理系统”，让学生看得见、摸得着，把抽象的函数概念形象化，效果很好.