广东省四校2026届高三上学期10月教学质量检测数学试题（含答案）

2025－2026学年四校普通高中教学质量检测（01）
高三数学2025年10月
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、试室、座位号和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（　　）
A. B. C. D.
2. “成立”是“成立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知）
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
7. 已知函数若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知，则（　　）
A. 最小值为1 B. 最小值为2
C. D. 最小值为4
10. 已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）.
A.
B. 若不等式的解集为，则
C. 若不等式的解集为，则
D. 若不等式的解集为，且，则
11. 已知对任意，，，且，则（ ）
A. B.
C. 的图象关于直线对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则______．
13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
14. 设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是 ________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 设全集，集合，集合．
（1）求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（3）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．
16. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.
（1）求智能客服回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差.
17. 如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面，圆周上的一点，，且点不与两点重合.
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知抛物线的焦点在直线上，是上的三个点.
（1）求的方程；
（2）已知，且直线经过点，，求直线的方程；
（3）已知在轴的两侧，过点分别作抛物线的切线，且与交于点，直线与和分别交于点，求面积的最小值.
19. 已知．
（1）若时，求在上的最大值和最小值；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）设，证明：．
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.A
5.C
6.D
7.D
8.B
9.BD
10.ABD
11.BCD
12.
13.
14.
15.（1）因为，所以或.
（2）由“”是“”的充分不必要条件，得是的真子集，
又，，
因此或，
解得:.
所以实数的取值范围为.
（3）命题“，则”是真命题，则有,
当时，，解得，符合题意，因此
当时，而，
则，无解，
综上所述，实数的取值范围.
16.（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”，
依题意，，，
因此，
所以智能客服的回答被采纳的概率为.
（2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期望；.
17.（1）因为是底面圆上的一条直径，所以，
又因为底面，由，
所以底面，又平面，所以，
又，平面，
所以平面，因为平面，所以平面平面；
（2）因为平面，平面，
所以，所以为二面角的平面角，
所以，又，所以为等边三角形，
以为原点，分别以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
由，所以，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
所以，令，得，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.（1）由题可知，所以，解得，
所以的方程为；
（2）设，由题可知，
依题意知直线的斜率必存在，设直线的方程为.
由整理得，
则，，
，，
因为，所以，
所以，，
解得，所以直线的方程为；
（3）
设，
因为在轴的两侧，所以直线的斜率一定存在，
不妨设，直线的方程为，
由整理得，
则，，
由得.
设切线的斜率分别为，
又，所以，则，，
所以方程为，即，
同理可得的方程为.
由解得即.
令，可得，，
.
点到直线的距离为，
故的面积为，（当时，等号成立）
令，记，则，
令，则，所以在上单调递增；
令，则，在上单调递减，
所以，
故面积的最小值为.
19.（1）因为，
当时，令，
因为函数定义域为，所以；
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以为的一个极大值点，也为最大值点，
所以
而，
又因为，
又因为，
所以，
所以；
（2）若时，因为，不满足题目要求，
若时，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以为的一个极大值点，也为最大值点，
所以即可，
令，
因为单调递减，且，
所以；
（3）证明：由（2）知，当时，恒成立，
即，等号成立当且仅当时取得．
所以.
令，代入化简即得，
又因为时，．
即得，
累加即得