浙江省全国名校协作体2026届高三上学期一模考试数学试卷（扫描版，含答案）

2025-2026 学年第一学期天域全国名校协作体联考
高三年级数学学科答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D B A B C C
答案 A
【详解】由集合并集运算得到 A ∪ B ( 1, 2]．故选：A.
答案 A
【详解】由题设 z 2 i (2 i)(1 i) 1 3i ，故选：A
1 i (1 i)(1 i) 2
答案 D
【详解】抛物线 y2 2 px 上的点到焦点的最短距离为 p ，故 p 4 故选：D
2
答案 B
【详解】
解析： O1 A O1B O1O2 O2 A O1O2 O2 B O1O2 O2 A O1O2 O2 A
O O 2 O A 2 3
1 2 2
,故选 B.
答案 A
答案 B
【详解】先任选一条棱，余下的 11 条棱与它异面的有 4 条棱，所以共有4×12 = 24 对异面直线.故选 B.
2
答案 C
【详解】 y sin 2x 周期为 ，所以在0 x 上由于三角函数图象的对称性得， x , x 关于 x 对称，同理
x ，x
关于 x 对称，所以 y
y ， y
2
y 3 ．又因为 x , x
, x ,x
1 4
成等差数列，所以 x
4
2x
，所
2 3 4
1 4 2 3 4
1 2 ,4 3 4
1 2 4
以 y sin(2(2x sin(4x cos(4x ) 2 sin2 (2x ) 1 2 y2 1 1 ，所以 y2
6 ，故选 C．
)) )
1 2 4 2 2
2 2 2 8 y
答案：C
【详解】：取 = 1, = 0,得到(0) = 2,
取 = 0,得() = ( ),故函数()为偶函数，故 B 正确；
取 = 1,得( + 1) + ( 1) + () = 0,构造 ( + 1) + ( 1) + () = 0，得( + 2) = ( 1),故函数()
为周期函数，周期为 3，故 A 正确；
由(0) = 2，(1) = 1，( + 1) + ( 1) + () = 0，得(2) = 1.(3) = 2.
所以∑2026 f(i) = 1，故 D 正确；
取 = 1 , = 1，得到： ( 1 ) 2 = 1,取 = 1, = 1,得( 3 ) = 2( 1 ) ≠ 0,故 C 错误,选 C.
2 2 2
二多选题
2 2 2
答案 BCD
答案 ABD
选项 A，B 可以通过定义直接选出 A,B 正确；
选项 C 分析： OA = 2,得到点 A(1, 3)，得 2 = 2, 1 = 2 3,
AF1F2
=
2 1 = 2 3;故 C 错误；
选项 D：因为 AF1F2为直角三角形，所以内切圆半径 r = 2 + 1 12
=
1,故 D 正确.
答案 ACD
【详解】由sin C sin A sin B 与正弦定理可得 c a b
，即c2 a2 bc b2 ， c2 b2 bc a2
c b
c a
c b
c a
cos A ，故 A .选项 A 正确
3 3
a b b
A B C ，所以由正弦定理
a
sin A
b
sin B
，可得
sin A C ，即a
2 ①.
sin π C
2 3
又因为

，即2a

3 cos C 1 sin C 2 3 ，即2a sin C π 2
②，将①代入②可得
3a cos C a sin C 2 3
2 2
3

b
2 2 sin C π 2 3 ，解得b 2 .选项 B 错误
π
3
sin

C

ΔABC 周长取值范围为(3
3,6 2
3) ，故选项 C 正确
设VABC 外接圆半径为 R ，则OA OB OC R ，且2R
b
sin B
2 sin B
，即 R
1 ，
sin B
因为 AOC 2B, BOC 2 A 2π ，所以S
1 R2 sin AOC 1 1
sin 2B 1 ，
3 OAC
2 2 sin2 B
tan B
1 1 2 π
sin 2 B cos2 B
1
S OBC
2 sin 2
sin
B

3 4 sin 2 B

4
1

tan 2 B
，所以

S S
1
3 1
1 3 1
1 3 ，
O AC
O BC
tan B
4 tan 2 B
4 tan 2 B
tan B 4

由tan B

1
, 知，所以 x 0, 3 ，
3
tan B

2
则 S OAC S OBC
f x
x 2 x
4 4 4
x

；
3 12
ΔOAC 和 OBC 面积之差的取值范围为(
3 , 3 ] .故选项 D 正确
4 12
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
答案： 8
9
答案： 1024
【详解】(4x+ 1 -4)4=
x
4 (2x-1)8
x4
Tr+1=Cr (2x)8-r(-1)r=(-1)r28-rCr x8-r (r=0,1, ,8) 令 8-r=7，解得 r=1
8 8
(-1)128-1C1x7=-27×8x7=-1024x7
故答案为-1024
答案：7 15
4
解析：设半径为 r,要使半径最大，则使两个小球与容器的表面相切，且两个小球也相切，
2 2r ≥ 0
而O1O2可构成新的长方体的对角线，但要满足 2 2r ≥ 0,
3 2r ≥ 0
而 2r 2 = (2 2r)2 + (2 2r)2 + (3 2r)2,
得：8r2 28r + 17 = 0,
得：r = 7± 15,而 r ≤ 1,故 r = 7 15.
4 4
四、解答题
答案：（1）17；（2）0.004
解析：（1）根据题意，把男性样本记为 x1，x2，…x120，其平均数记为；把女性样本记为 y1，y2，…y90，其平均数记为，则 =14， =21， 2 分.
记总样本数据的平均数为，
则 z= 120 ×14+ 90
×21＝17，
210 210
总样本数据的平均数为 17. 5 分.
（2）根据题意，由（1）知μ＝17，σ2＝23，所以 X～N（17，23），所以 P（12.2≤X≤21.8）＝P（17﹣4.8≤X≤17+4.8）≈0.6827，
P（X＜12.2）≈ 1 ×（1﹣0.6827）＝0.15865， 8 分.
设抽取的 3 位参与者中，脂肪含量均小于 12.2%的人数为 Y，
易得 Y～B（3，0.15865）， 10 分.
故 P（X ＝3）= 3 ×（0.15865）3≈0.004，
故 3 位参与者的脂肪含量均小于 12.2%的概率为 0.004． 13 分.
答案：（1）F(x)在定义域 R 单调递增；(2)( ∞, 1 ]
2
解析：（1）F(x) = ex e x 2x，x ∈ R. 1 分
所以 F'(x) = ex + e x 2 ≥ 2 2 = 0, 4 分
所以 F(x)在定义域 R 单调递增； 5 分
（2）函数() = + 22 2 为偶函数，由对称性可将问题转化为 x ∈ [0, + ∞),使 G(x) ≥ 0 即可；而 G(0) = 0; 7 分
'() = 4,''() = + 4,'''() = ex e x，
因为 x ∈ [0, + ∞)，所以'''() = ex e x ≥ 0，故 G''(x)在 x ∈ [0, + ∞)上为增函数；
当 ≤ 1时，''() ≥ ''(0) = 2 4 ≥ 0,所以 G'(x)在 x ∈ [0, + ∞)上为增函数； 9 分
2
故 G'(x) ≥ G'(0) = 0，所以 G'(x)在 x ∈ [0, + ∞)上为增函数,
故 G(x) ≥ G(0) = 0，符合题意，故 ≤ 1； 12 分
2
当 > 1时，''(0) = 2 4 < 0,‘’(2) = 2 2 4 ≥ 0(前面已证），
2
故 t > 0,使 G''(t) = 0,所以 x ∈ (0, t)时，有 G'(x)为减函数，故 G'(x) < G'(0) = 0,
所以 x ∈ (0, t)时，有 G(x)为减函数，故 G(x) < G(0) = 0,与题设矛盾，故舍去;
综上所述的取值范围是( ∞, 1 ]. 15 分
2
答案：(1)答案见解析； (2)3 10
10
【详解】（1）如图，取 BC 的中点 O，连接 AO，DO，
在多面体 ABCDE 中， ΔABC ，△BCD ， ΔCDE 都是边长为 2 的等边三角形，则在等边三角形 DCE 中， EH CD ，
又因为 EH BC ,CD∩ BC = C.
所以 EH 平面 BCD ， 3 分
同理，得 AO 平面 BCD ， DO 平面 ABC ， 4 分
所以 OA，OB，OD 两两垂直，且 EH //OA ，而 EH OA ，故四边形 EHOA 为平行四边形， EA // OH
OH // BD AE // BD 5 分
以 O 为坐标原点，OA，OB，OD 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz．以 BC 中点 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，垂直于平面 ABC 的方向为 z 轴
A( 3,0,0) B(0,1,0) C(0,-1,0) D(0,0, 3) 7 分
( CDE 中，EH⊥平面 BCD，H 为 CD 中点，EH 沿 x 轴方向，长度 3)。
Q 在 AO 上，设 Q(t,0,0) DQ⊥平面 BCE，故 D Q →⊥ B C →且 D Q →⊥ B E→。
D Q →=(t,0,- 3)
B C →=(0,-2,0)
B E→= 3,- 3 , ，
2
D Q → B E→=t 3+0+(- 3) 3 =0，解得 t= 3 ，故 Q 3 ,0,0 9 分
2 2 2
设平面 BAE 的法向量n =(x , y ,z ): B A→=( 3,-1,0)， B E→= 3,- 3 , ，
1 1 1 1 2
3x1-y1=0
方程组：
3x - 3 y + 3 z =0 ，令x1=1，得y1= 3，z1=1，故n1=(1, 3,1)。 11 分
1 2 1 2 1
平面 BDQ 的法向量n =(x ,y ,z ): B D →=(0,-1, 3)， B Q →= 3 ,-1,0
2 2 2 2 2
方程组：
3 x -y =0 ，令z2=1，得y2= 3，x2=2，故n2=(2, 3,1)。 13 分
2 2 2
n1 n2=1×2+ 3× 3+1×1=2+3+1=6，
|n |= 12+( 3)2+12= 5，|n |= 22+( 3)2+12= 8=2 2， cos θ =
= 3 10
15 分
1 2 10
18．解析：（1）由题意知， CA a, b ， CB a, b ，
所以CA CB a2 b2 c2 4 ，即c 2 .
c 1
又e ，所以 a 4 ， b
2 .
a 2
x2 y2
所以椭圆的标准方程为
16
直线l : x my 3 .
x my 3
1 4 分
12

由 x
2 y2
，得 3m2 4 y2 18my 21 0 ，
1
16 12
设 M x , y ， N x , y ，则 y y
18m
， y y 21 ，
1 1 2 2
1 2 3m2 4 1 2
3m2 4
所以 my y 7 y y
7 分
1 2 6 1 2
因为椭圆的左，右顶点分别为 A 2, 0 ， B 2, 0 ，所以k1
y1
x 4
， k2
y2
x 4 ，
7 y y
1 2
y 1 y 7 y
k1 y1 (x2 4)
my1 y2 y1 6 1 2
1 6 1
6 2 1
所以
k y (x
4)
my y
7 y 7 7 49
.………………10 分
7
2 2 1 1 2 2
y1 y2 7 y2 6
6 y1
6 y2
直线 MN 的方向向量为 e (m,1) ，所以由锐角三角形知，
PM PN 0 ① ， MP MN 0 ②， NP NM 0 ③，
由①得： (x 5)(x 5) y y 0 化简得(m2 1) y y 2m( y y ) 4 0 ，
1 2 1 2 1 2 1 2
进而化简得 m2
5
④； 12 分
27
由②③得， (MP e)(NP e) 0 ，化简得(m(x1 5) y1 )(m(x2 5) y2 ) 0 ，
进而化简得((m2 1) y 2m)((m2 1) y 2m) (m2 1)2 y y 2m(m2 1)( y y ) 4m2 0
1 2 1 2 1 2
进而化简得 27m4 10m2 21 0 ⑤， 15 分
m2 1 1
当 [, ] 时，同时满足④⑤，所以此时△ MNP 为锐角三角形 17 分
5 2
19．解：（1）由递推关系得，
a1 1, a2 1, a3 1, a4 0, a5 0, a6 1, a7 0, a8 1,a 9 1 ； 4 分
（2）由： a1 1, a2 1, a3 1, a4 0, a5 0, a6 1, a7 0, a8 1, a9 1, a10 1,
可知：数列 an 的周期T 7 ， 6 分
而数列的前 20 项中有 12 个数字 1，有 8 个数字 0，故选, 共有 20 × 20 = 400 种选法，
分成 3 种情况：
①当ai = aj时，有 20 种情况，每一种情况 + 2 = 1，故这类求和为 20，
②当ai = 1, aj = 0 时，有C2 = 190 种情况，每一种情况 + 2 = 3，故这类求和为 3 × 190 = 570，
③当ai = 0, aj = 1 时，有C2 = 190 种情况，每一种情况 + 2 = 3， 9 分
20 2
3 × 190 = 285， 10 分
2
综上可得 T = ∑1≤i,j≤20 + 2
= 20 + 570 + 285 = 875.
当n 7k 1 时， Sn
4 n 3 ；
7 7
当n 7k 2 时， Sn
当n 7k 3 时， S
4 n 6 ；
7 7
4 n 9 ；
n
当n 7k 4 时， Sn
7 7
4 n 5 ；
7 7
当n 7k 5 时， Sn当n 7k 6 时， Sn
当n 7k 7 时， Sn
4 n 1 ；
7 7
4 n 4 ；
7 7
4 n ； 14 分
7
由此推出， Sn
4 n 9 .每个周期内，数列的和为4 ，而100 被 4 整除，所以恰好25 个周期，故
7 7
Sn 100 的最大n 25 7 175 . 17 分