21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习（含解析） 2025--2026学年人教版九年级数学上册
文档属性
| 名称 | 21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习（含解析） 2025--2026学年人教版九年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 160.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-13 23:15:40 | ||
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文档简介
21.3实际问题与一元二次方程
一、单选题
1．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x﹣1）＝28 B．x（x﹣1）＝56
C．2x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
2．近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2022年我国新能源汽车销售量约为650万辆，2024年约为1150万辆，假设我国新能源汽车销售增长率保持不变，预计我国新能源汽车销售量突破2000万辆的年份是（ ）
A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年
3．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（ ）
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人
4．某商场今年10月份的营业额为440万元，12月份的营业额达到633.6万元．设10月份到12月份营业额的月平均增长率为x，则可列方程（ ）
A．440x2＝633.6
B．440+440x+440x2＝633.6
C．440（1+x）2＝633.6
D．440+440（1+x）+440（1+x）2＝633.6
5．如图，△ABC中，∠C＝90 ，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（ ）秒后四边形APQB是△ABC面积的．
A．2 B．4.5 C．8 D．7
6．若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（ ）
A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或
7．有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为．设切去的正方形的边长为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达36亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．4+4x+4x2＝36 B．4 （1+x）2＝36
C．（1+x）2＝36 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝36
二、填空题
9．某学习小组同学在元旦互相赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡m（常数）张，求这个小组共有同学x个．根据题中的条件，列出关于x的方程为： ．
10．有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 人．
11．“双11”购物节，某电商平台的一款智能电饭煲经过了两次降价，售价由原来的500元降到405元，设平均每次降价的百分率为x，那么可列方程为 ．
12．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是 个．
13．如图是由三个边长分别为6、10、x的正方形组成的图形，若线段AB将它们分成面积相等的两部分，则x的值是 ．
三、解答题
14．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价4元，则该商场每天可盈利多少元？
（2）若该商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？
15．老旧小区改造是对建成年代较早、失养失修失管、配套设备等不完善的小区进行综合改造，以提升居民生活质量．如图是县城某小区的一块闲置空地，长32m，宽20m的矩形，现在空地上修如图的三条宽度相等的小路，剩余部分种植花草，使得种花草的面积为570m2，求小路的宽．
16．如图，某小区计划用18m的铁栅栏，再借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD（CD＞2）边上开了一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为96m2的车棚？
17．如图，OA＝OB＝60cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一小虫M由点A以3cm/s的速度向B爬行，同时另一小虫N由点O以1cm/s的速度沿OC爬行，小虫爬行的时间为t s．
（1）ON＝ cm，OM＝ cm（用含有t的代数式表示）．
（2）几秒时，两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等于150cm2？
（3）若△OMN为等腰三角形，请直接写出t值．
参考答案
1．B
2．B
3．C
4．C
5．A
【分析】由于四边形APQB是一个不规则的图形，不容易表示它的面积，观察图形，可知S四边形APQB=S△ABC-S△PCQ，因此当四边形APQB是△ABC面积的时，△PCQ是△ABC面积的，即S△PCQ=S△ABC．
【详解】解：∵△ABC中，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理，得BC＝＝6．
设t秒后四边形APQB是△ABC面积的，
则t秒后，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣t，PC＝AC﹣AP＝8﹣2t．
根据题意，知S△PCQ＝S△ABC，
∴CQ×PC＝×AC×BC，
即（6﹣t）（8﹣2t）＝××8×6，
解得t＝2或t＝8（舍去）．
故选：A．
【点睛】本题是一道综合性较强的题目，把求三角形的面积和一元二次方程结合起来，锻炼了学生对所学知识的运用能力．
6．D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设较小的连续奇数为，则较大的为，再列式，解方程得到两个解，对应两组连续奇数．
【详解】解：设较小的连续奇数为，则较大的为，
根据题意得：，
展开得：，
∴，
∴
解得：或，
∴当时，较大的奇数为，即和，
当时，较大的奇数为，即和．
故选：D．
7．D
【分析】根据题意求得底面的长为，宽为，即可求解．
【详解】设切去的正方形的边长为，则底面的长为，宽为，则
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
8．D
【分析】根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约4（1+x）亿元、第三天票房约4（1+x）2亿元，根据三天后累计票房收入达36亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵第一天票房约4亿元，且以后每天票房的增长率为x，
∴第二天票房约4（1+x）亿元，第三天票房约4（1+x）2亿元．
依题意得：4+4（1+x）+4（1+x）2=36．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9． x（x﹣1）＝m．
10．有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 343 人．
【解答】解：设一个人可以传染x个人，则第2轮感染x（1+x）人，
由题意得：1+x+x（1+x）＝49，
整理得：x2+2x﹣48＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣8（舍），
∴经过三轮后患了感冒的人数为：49+49×6＝343（人），
故答案为：343．
11．“双11”购物节，某电商平台的一款智能电饭煲经过了两次降价，售价由原来的500元降到405元，设平均每次降价的百分率为x，那么可列方程为 500（1﹣x）2＝405 ．
【解答】解：500（1﹣x）2＝405，
故答案为：500（1﹣x）2＝405．
12．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是 8 个．
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
则1+x+x2＝73，
解得：x1＝8，x2＝﹣9（舍去），
∴每个支干长出8个小分支．
故答案为：8．
13．4或6
【分析】延长AE，BG交于点C，延长AN，BH交于点D，可得四边形ADBC是矩形，依据△ABD与△ABC面积相等，线段AB将三个正方形分成面积相等的两部分，即可得到四边形CEFG与四边形DHMN的面积相等，进而得到x的值．
【详解】如图所示，延长AE，BG交于点C，延长AN，BH交于点D，则四边形ADBC是矩形，
∴△ABD与△ABC面积相等，
又∵线段AB将三个正方形分成面积相等的两部分，
∴四边形CEFG与四边形DHMN的面积相等，
∴6×（10﹣6）＝x（10﹣x），
解得x＝4或6，
故此题答案为：4或6．
【关键点拨】此题考查一元二次方程的实际应用，矩形的性质，正方形的性质，题中的辅助线的引入是难点.
14．解：（1）∵每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴若商场每件降价4元，商场平均每天可多售出2×4＝8（件），
∴每天共盈利（8+20）×（40﹣4）＝1008（元），
答：若每件衬衫降价4元，则商场平均每天可盈利1008元；
（2）设每件衬衫应降价x元，则商场平均每天可销售（20+2x）件，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
∵要扩大销售量，尽量减少库存，
∴x＝20．
答：每件衬衫应降价20元．
15．解：设小路的宽为x米，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
x2﹣36x+35＝0，
解得x1＝1，x2＝35（舍去），
答：小路的宽为1米．
16．解：设AB＝x米，则BC＝（18+2﹣x）米，
根据题意得：x（18+2﹣x）＝96，
整理得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x1＝8，x2＝12，
当x＝8时，18+2﹣x＝18+2﹣8＝12（米）；
当x＝12时，18+2﹣x＝18+2﹣12＝8（米）．
答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为96m2的车棚．
17．解：（1）ON＝t cm，OM．
故答案为：t，．
（2）由题意t×（60﹣3t）＝150，
解得t＝10；
或t×（3t﹣60）＝150，
解得t＝10﹣10舍去）或10+10，
综上所述，t＝10或10+10时，两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等于150cm2．
（3）由题意t＝60﹣3t或t＝3t﹣60，
解得t＝15或30．
故当t＝15或30时，△OMN为等腰三角形．
一、单选题
1．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x﹣1）＝28 B．x（x﹣1）＝56
C．2x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
2．近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2022年我国新能源汽车销售量约为650万辆，2024年约为1150万辆，假设我国新能源汽车销售增长率保持不变，预计我国新能源汽车销售量突破2000万辆的年份是（ ）
A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年
3．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（ ）
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人
4．某商场今年10月份的营业额为440万元，12月份的营业额达到633.6万元．设10月份到12月份营业额的月平均增长率为x，则可列方程（ ）
A．440x2＝633.6
B．440+440x+440x2＝633.6
C．440（1+x）2＝633.6
D．440+440（1+x）+440（1+x）2＝633.6
5．如图，△ABC中，∠C＝90 ，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（ ）秒后四边形APQB是△ABC面积的．
A．2 B．4.5 C．8 D．7
6．若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（ ）
A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或
7．有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为．设切去的正方形的边长为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达36亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．4+4x+4x2＝36 B．4 （1+x）2＝36
C．（1+x）2＝36 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝36
二、填空题
9．某学习小组同学在元旦互相赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡m（常数）张，求这个小组共有同学x个．根据题中的条件，列出关于x的方程为： ．
10．有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 人．
11．“双11”购物节，某电商平台的一款智能电饭煲经过了两次降价，售价由原来的500元降到405元，设平均每次降价的百分率为x，那么可列方程为 ．
12．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是 个．
13．如图是由三个边长分别为6、10、x的正方形组成的图形，若线段AB将它们分成面积相等的两部分，则x的值是 ．
三、解答题
14．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价4元，则该商场每天可盈利多少元？
（2）若该商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？
15．老旧小区改造是对建成年代较早、失养失修失管、配套设备等不完善的小区进行综合改造，以提升居民生活质量．如图是县城某小区的一块闲置空地，长32m，宽20m的矩形，现在空地上修如图的三条宽度相等的小路，剩余部分种植花草，使得种花草的面积为570m2，求小路的宽．
16．如图，某小区计划用18m的铁栅栏，再借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD（CD＞2）边上开了一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为96m2的车棚？
17．如图，OA＝OB＝60cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一小虫M由点A以3cm/s的速度向B爬行，同时另一小虫N由点O以1cm/s的速度沿OC爬行，小虫爬行的时间为t s．
（1）ON＝ cm，OM＝ cm（用含有t的代数式表示）．
（2）几秒时，两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等于150cm2？
（3）若△OMN为等腰三角形，请直接写出t值．
参考答案
1．B
2．B
3．C
4．C
5．A
【分析】由于四边形APQB是一个不规则的图形，不容易表示它的面积，观察图形，可知S四边形APQB=S△ABC-S△PCQ，因此当四边形APQB是△ABC面积的时，△PCQ是△ABC面积的，即S△PCQ=S△ABC．
【详解】解：∵△ABC中，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理，得BC＝＝6．
设t秒后四边形APQB是△ABC面积的，
则t秒后，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣t，PC＝AC﹣AP＝8﹣2t．
根据题意，知S△PCQ＝S△ABC，
∴CQ×PC＝×AC×BC，
即（6﹣t）（8﹣2t）＝××8×6，
解得t＝2或t＝8（舍去）．
故选：A．
【点睛】本题是一道综合性较强的题目，把求三角形的面积和一元二次方程结合起来，锻炼了学生对所学知识的运用能力．
6．D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设较小的连续奇数为，则较大的为，再列式，解方程得到两个解，对应两组连续奇数．
【详解】解：设较小的连续奇数为，则较大的为，
根据题意得：，
展开得：，
∴，
∴
解得：或，
∴当时，较大的奇数为，即和，
当时，较大的奇数为，即和．
故选：D．
7．D
【分析】根据题意求得底面的长为，宽为，即可求解．
【详解】设切去的正方形的边长为，则底面的长为，宽为，则
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
8．D
【分析】根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约4（1+x）亿元、第三天票房约4（1+x）2亿元，根据三天后累计票房收入达36亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵第一天票房约4亿元，且以后每天票房的增长率为x，
∴第二天票房约4（1+x）亿元，第三天票房约4（1+x）2亿元．
依题意得：4+4（1+x）+4（1+x）2=36．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9． x（x﹣1）＝m．
10．有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 343 人．
【解答】解：设一个人可以传染x个人，则第2轮感染x（1+x）人，
由题意得：1+x+x（1+x）＝49，
整理得：x2+2x﹣48＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣8（舍），
∴经过三轮后患了感冒的人数为：49+49×6＝343（人），
故答案为：343．
11．“双11”购物节，某电商平台的一款智能电饭煲经过了两次降价，售价由原来的500元降到405元，设平均每次降价的百分率为x，那么可列方程为 500（1﹣x）2＝405 ．
【解答】解：500（1﹣x）2＝405，
故答案为：500（1﹣x）2＝405．
12．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是 8 个．
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
则1+x+x2＝73，
解得：x1＝8，x2＝﹣9（舍去），
∴每个支干长出8个小分支．
故答案为：8．
13．4或6
【分析】延长AE，BG交于点C，延长AN，BH交于点D，可得四边形ADBC是矩形，依据△ABD与△ABC面积相等，线段AB将三个正方形分成面积相等的两部分，即可得到四边形CEFG与四边形DHMN的面积相等，进而得到x的值．
【详解】如图所示，延长AE，BG交于点C，延长AN，BH交于点D，则四边形ADBC是矩形，
∴△ABD与△ABC面积相等，
又∵线段AB将三个正方形分成面积相等的两部分，
∴四边形CEFG与四边形DHMN的面积相等，
∴6×（10﹣6）＝x（10﹣x），
解得x＝4或6，
故此题答案为：4或6．
【关键点拨】此题考查一元二次方程的实际应用，矩形的性质，正方形的性质，题中的辅助线的引入是难点.
14．解：（1）∵每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴若商场每件降价4元，商场平均每天可多售出2×4＝8（件），
∴每天共盈利（8+20）×（40﹣4）＝1008（元），
答：若每件衬衫降价4元，则商场平均每天可盈利1008元；
（2）设每件衬衫应降价x元，则商场平均每天可销售（20+2x）件，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
∵要扩大销售量，尽量减少库存，
∴x＝20．
答：每件衬衫应降价20元．
15．解：设小路的宽为x米，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
x2﹣36x+35＝0，
解得x1＝1，x2＝35（舍去），
答：小路的宽为1米．
16．解：设AB＝x米，则BC＝（18+2﹣x）米，
根据题意得：x（18+2﹣x）＝96，
整理得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x1＝8，x2＝12，
当x＝8时，18+2﹣x＝18+2﹣8＝12（米）；
当x＝12时，18+2﹣x＝18+2﹣12＝8（米）．
答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为96m2的车棚．
17．解：（1）ON＝t cm，OM．
故答案为：t，．
（2）由题意t×（60﹣3t）＝150，
解得t＝10；
或t×（3t﹣60）＝150，
解得t＝10﹣10舍去）或10+10，
综上所述，t＝10或10+10时，两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等于150cm2．
（3）由题意t＝60﹣3t或t＝3t﹣60，
解得t＝15或30．
故当t＝15或30时，△OMN为等腰三角形．
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