三角函数讲义（无答案）-2026届高三艺考生数学一轮复习

目录
1.任意角 2
2.弧度制 3
3.三角函数的概念 6
4.同角三角函数之间的基本关系 8
5.诱导公式 9
6.正、余弦函数的图像与性质 13
7.两角和差公式 17
8.二倍角公式 19
9.降幂公式；辅助角公式 21
1.任意角
一、任意角
1.角的概念：
2.角的分类：
①正角： ②负角： ③零角：
3.角的相等：
4.角的运算：
二、象限角与轴线角
1.象限角：
2.轴线角：
三、终边相同的角（如何表示）
四、各象限角的集合与轴线角的集合
1.轴线角集合： 2.象限角集合：
【练习——角的概念】
1.50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是　　　　.
2.已知下列各角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，判断它们分别是第几象限角.
（1）-300° （2）225° （3）-400° （4）-1320°
3.下列选项中叙述正确的是（ ）
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.锐角一定是第一象限的角
C.小于90°的角一定是锐角 D.终边相同的角一定相等
4.(多选)下列四个命题是真命题的有（ ）
A.-75°角是第四象限角 B.225°角是第三象限角 C.575°角是第二象限角 D.-315°角是第一象限角
5.终边相同的角的判断：
（1）与﹣240°角终边相同的角是（　　）
A．60° B．150° C．240° D．480°
（2）下列各组角中，终边相同的是（　　）
A．43°和313° B．37°和787° C．65°和﹣655° D．124°和﹣576°
6．与﹣468°角的终边相同的角的集合是 .
2.弧度制
定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad（可省略不写）.
角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝
弧长公式 l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
【练习——角度与弧度互化】
1.把下列各角用弧度制写出．
15°， 75°， 45°， 60°， 90°， 225°， 360°，
﹣45°， ﹣90°， ﹣120°， ﹣150°， ﹣180°， ﹣270°．
2.把下列各角用角度制写出.
， ， ．
3.把-化成角度是（ ）
A.-960° B.-480° C.-120° D.-60°
4.下列角α位于第三象限的是（ ）
A.α=3 B.α= C.α=-210° D.α=-3
5.角α=4，则角α终边所在的象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.下列各角中,终边相同的角是（ ）
A.和240° B.- 和314° C.- 和 D.3和3°
7.(多选)下列给出的各角中,与-终边相同的角有（ ）
A. B. C.- D.-
【练习——扇形弧长、面积】
1.若扇形的弧长为2cm，半径为1cm，则其圆心角的大小为 .
2.圆心角弧度数和半径均为2的扇形的弧长为 .
3.半径为2，圆心角为的扇形的面积等于 .
4.若扇形的圆心角为1 rad,半径为2,则该扇形的面积为（ ）
A. B.1 C.2 D.4
5.在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为（ ）
A. B. C.9π D.10π
6.一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形的半径为（ ）
A.4 B.1 C. D.2
7.一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知扇形的圆心角为，弧长为π，则该扇形的面积为　　　　.
9.设扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角是 rad．
10.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 .
3.三角函数的概念
1.设α是一个任意角，P(x，y)是α终边上的任一点，对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).
2.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
3.各个象限三角函数值符号：
【练习——求角的三角函数值】
1．已知角α的终边经过点，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
2．已知角α终边上一点M的坐标为，则sinα等于（　　）
A． B． C． D．
3．已知角θ的始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则tanθ的值为（　　）
A． B．1 C． D．
4．在α的终边上取一点为P（3，﹣4），则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知角α的终边过点，则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
6．已知角α的终边经过点P（﹣3，2），则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
【练习——判断符号】
7．点A（tan5，cos4）在平面直角坐标系中位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．点A（cos2，tan2）在平面直角坐标系中位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．若α＝﹣5，则（　　）
A．sinα＞0，cosα＞0 B．sinα＞0，cosα＜0
C．sinα＜0，cosα＞0 D．sinα＜0，cosα＜0
10．点A（sin2024°，cos2024°）在直角坐标系内位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（多选）11．若cosθ tanθ＜0，则角θ的终边可能落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．已知P（sinθ，tanθ）是第四象限的点，则角θ的终边位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．下列三角函数值为正数的是（　　）
A．tan300° B．sin240° C．cos2 D．
（多选）14．给出下列各三角函数值，其中符号为负的是（　　）
A．cosπ B．cos（﹣220°）
C．sin（﹣100°） D．﹣tan（﹣10）
4.同角三角函数之间的基本关系
公式：
【练习】
1．设，若，则cosα＝　 　 ．
2．已知，且α是第三象限的角，则tanα＝　 　 ．
3．若，且α为第四象限角，则tanα的值为 　 　 ．
4．已知θ为第二象限角，，则tanθ＝　 　 ．
5．已知，且θ为第一象限角，则cosθ的值为 　 　 ．
6．已知α为钝角，，则cosα＝　 　 ．
7．已知tanα＝4，则 　 　 ．
8．已知tanθ＝3，则 　 　 ．
9．已知，则tanα＝　 　 ．
10．若tanθ＝2，则 　 　 ．
11．已知tanα＝2，则sinα cosα＝　 　 ．
12．已知sinα＝2cosα，则3sin2α+4sinαcosα＝　 　 ．
13．已知tanα＝2，则sin2α+2sinαcosα＝　 　 ．
14．已知tanα，则2sinαcosα﹣sin2α+1＝　 　 ．
5.诱导公式
1.特殊角的三角函数值：
角α的度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
角α的弧度数
sinα
cosα
tanα
2.公式梳理：（重点理解“奇变偶不变，符号看象限”如何操作）
【练习——求特殊角的函数值】
1．cos510°的值为（　　）
A． B． C． D．
2．cos（﹣300°）＝　 　 ．
3．sin390°＝ 　 　 ．
4．等于（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
5．（　　）
A． B． C． D．
6． 　 　 ．
7．　 　 ．
【练习——诱导公式运用求值】
8．若，则sin（﹣α）＝（　　）
A． B． C． D．1
9．已知，则（　　）
A． B． C． D．
10．已知，则cosα的值为（　　）
A． B． C． D．
11．已知，则（　　）
A． B． C． D．
12．化简（　　）
A．﹣tanα B．tanα C．﹣1 D．1
13．化简得（　　）
A．﹣cosα B．sinα C．﹣sinα D．cosα
14．已知tanα＝﹣2，则（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
15．已知，，则cos（π﹣α）＝（　　）
A． B． C． D．
16．已知tanα＝3，则　 　 ．
17．若tanα＝2，则　 　 ．
18．已知，则 　 　 ．
【练习——换元法求值】
19．已知，则　 　 ．
20．已知，则的值为 　 　 ．
21．若，则　 　 ．
22．已知，则 　 　 ．
23．已知，则 　 　 ．
6.正、余弦函数的图像与性质
一．正弦函数、余弦函数的图像与性质
①y=sinx
五点法作图：
x
sinx
总结：
1.定义域
2.值域
3.最小正周期
4.奇偶性
5.对称轴
6.对称中心
7.单调增区间
8.单调减区间
9.最大值
10.最小值
②y=cosx
x
sinx
总结：
1.定义域
2.值域
3.最小正周期
4.奇偶性
5.对称轴
6.对称中心
7.单调增区间
8.单调减区间
9.最大值
10.最小值
一．【周期性】
1．函数y＝2sin（2x+）的最小正周期是 .
2．若函数的最小正周期为2π，则ω＝ .
二．【对称性】
3．函数图象的一个对称中心为 .
4．函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣1图象的一个对称中心为 .
5．函数f（x）＝3cos（2x﹣）的一条对称轴方程为 .
6．函数f（x）＝cos（3x﹣φ）的图象关于直线对称，则φ的可能值为（　　）
A． B． C． D．
7．如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为　 　．
8．已知曲线y＝sin（ωx+）关于（﹣1，0）对称，则|ω|的最小值为　 　．
9．已知函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣＜φ＜）的图象关于直线x＝对称，则φ＝　 　．
三．【单调区间】
10．函数f（x）＝sin（4x﹣）的单调递减区间是 .
11．函数y＝sin（﹣2x）的单调减区间是 .
12．求函数y＝cos（2x﹣）的单调递增区间是　 　．
13．函数的单调递增区间为　 　．
四．【值域】
14．已知函数，，则f（x）的值域是　 　．
15．函数y＝2sin（﹣＜x＜）的值域　 　．
16．函数y＝2sin（2x﹣），x∈[，]的值域为　 　．
17．函数的值域为　 　．
7.两角和差公式
公式梳理：
sin(α±β)=
sin(α±β)=
cos(α±β)=
cos(α±β)=
tan(α±β)=
tan(α±β)=
【练习——给角求值】
1．cos 45°cos 15°+sin 45°sin 15°=　　　　. 2．coscos+cossin =　　　　.
3．sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°的值是　　　　. 4．sin60°cos30°﹣cos120°sin30°＝　　　　.
5．cos39°sin69°+sin141°cos111°＝　　　　. 6．sin40°cos20°﹣cos40°cos110°＝　　　　.
7．sin103°cos43°+cos77°sin43°＝　　　　. 8．　　　　.
9．的值是 　 　． 10．tan13°+tan32°+tan13°tan32°＝　　　　.
【练习——公式展开】
11．cos 的值为= 　　　　. 12．sin = 　　　　. 13．tan 105°= 　　　　.
14．若sin =，∈，则cos的值为 = 　　　　.
15．已知A,B为锐角，cos A=，cos B=，则cos(A+B)= (　　)
16．已知cosθ=,则sin的值为　　　，sin的值为　　　　.
17．已知点P(1,3)是角终边上的一点，则tan=　　　　.
18．已知角α的终边经过点，则= 　　　　.
19．已知，则= 　　　　.
8.二倍角公式
公式梳理：
sin2α=
cos2α=
tan2α=
【练习——给角求值】
1．已知，则sin2α＝ 　． 2．2sin75°cos75°＝ 　．
3．计算 　． 4．（sin15°+cos15°）2的值为 　．
5．cos2﹣cos2＝ 　． 6．cos245°﹣sin245°＝ 　．
7．已知，则cosα＝ 　． 8．若sin=，则cos 2＝ 　．
9．已知cos=，α∈，则sin2=　　　　.
【练习——换元法】
10．已知,则_______.
11．已知,则_______.
12．已知，则等于________.
13．若，则 .
14．已知，则 ．
15．若，则 ．
9.降幂公式；辅助角公式
【降幂公式】
【练习——降幂公式的运用】
1．sin15°（cos27.5°﹣0.5）＝ .
2．已知sin2α＝，则cos2（α+）＝ .
3．若sin（﹣α）＝，则2cos2（+）﹣1＝ .
【辅助角公式】
【练习——辅助角公式的运用】
1．已知函数．若函数g（x）＝4f（x）cosx，求函数g（x）的最小正周期及单调递增区间．
2．函数f（x）＝sin2x+sinxcosx﹣可以化简为　 　．
3．函数f（x）＝cos2x+sinxcosx+1的最小正周期是　　，求f（x）的单调递减区间是 　 　．
4．已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间上的最值．
5．函数在[0，π]上的最大值是 　 　．