3.1椭圆 练习题（含答案）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆练习题
一、选择题
1．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2．已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
3．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4．已知椭圆E：的上顶点为A，，分别为椭圆E的左、右焦点，若的面积为，且椭圆E的离心率为，则椭圆E的标准方程为( )
A. B. C. D.
5．过椭圆的一个焦点作x轴的垂线l，若l交C于A，B两点，则( )
A. B. C. D.
6．设椭圆,的离心率分别为,.若,则( )
A. B. C. D.
7．设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为( )
A.0 B.2 C.4 D.6
8．已知椭圆的左 右焦点分别为,(如图),过的直线交E于P,Q两点,且轴,,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．设椭圆的左右焦点为,,P是C上的动点,则下列结论正确的是( )
A.
B.离心率
C.面积的最大值为
D.以线段为直径的圆与直线相切
10．已知点，分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上的一点(异于左、右顶点)，若存在以为半径的圆内切于，则该椭圆的离心率可能为( )
A. B. C. D.
11．已知F为椭圆的左焦点,直线与椭圆C交于A、B两点,轴,垂足为E,BE与椭圆C的另一个交点为P,则( )
A.的最小值为2 B.的面积的最大值为
C.直线BE的斜率为 D.为直角
三、填空题
12．设椭圆的左右焦点为，，椭圆上点P满足，则的面积为_______.
13．已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是__________.
14．若，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点，若，轴，则椭圆E的方程为____________.
四、解答题
15．设椭圆过点,.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点且斜率为的直线l与椭圆C交于M,N两点,求线段中点P的坐标.
16．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为6,离心率为;
(2)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
17．已知椭圆,点,在上.
（1）求椭圆C的方程;
（2）过点作与x轴不垂直的直线,与椭圆C交于不同的两点A,B,点D与点A关于x轴对称,直线与x轴交于点Q,O为坐标原点、若的面积为2,求直线l的斜率.
18．已知椭圆,直线经过椭圆C的一个焦点和一个顶点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若A,B是椭圆C上的两个动点,且AB的中点到原点O的距离为1,求面积的最大值.
19．已知椭圆过点，.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线l与椭圆E交于B，C两点，的外心为Q，证明：直线l与直线的斜率之积为定值，并求出该定值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可得，
故选：C
2．答案：C
解析：由椭圆定义得：，
又因为，
所以解得：，
再由于，，结合勾股定理可得：
，
解得，所以椭圆E的离心率为，
故选：C.
3．答案：C
解析：由题意得，
解得.
故选：C
4．答案：C
解析：的面积为，离心率为.
又，，
解得，，
即椭圆E的标准方程为.
故选：C.
5．答案：D
解析：由题意，线段为椭圆C的通径，
所以.
故选：D
6．答案：A
解析：由,得,因此,而,所以.
故选:A
7．答案：C
解析：由题，
又，.
，即（t为参数），
P取上顶点时最大，
此时.
不会为直角，
只有当或是直角才符合题意，
所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4.
故选：C.
8．答案：D
解析：由,,
将代入椭圆方程知,解得：,即
过点Q作轴,则,又
,得,
所以点Q的坐标为,即
又点Q在椭圆上,,即
又,,,即
故选：D.
9．答案：AD
解析：由题意,椭圆,可得,,可得,
所以焦点为,,
根据椭圆的定义,所以A正确；
椭圆的离心率为,所以B错误；
其中面积的最大值为,所以C错误；
由原点到直线的距离,
所以以线段为直径的圆与直线相切,所以D正确.
故选：AD.
10．答案：CD
解析：由椭圆的性质可知，，存在以为半径的圆内切于，，，，，，.又，.结合选项可知，选CD.
11．答案：BCD
解析：设椭圆C的右焦点,由椭圆对称性知线段AB,互相平分于点O,
则四边形为平行四边形,如图,
则,有
,当且仅当,即时取“=”,A不正确；
设,,则,当且仅当,即时取“=”,
即,因,垂足为E,则,B正确；
因,有,由椭圆对称性可得,而,则直线BE的斜率,C正确；
设,由及得,,即,
直线PA,PB的斜率,,有,而,
于是得,有,所以为直角,D正确.
故选：BCD.
12．答案：12
解析：由椭圆定义可得，
则有，即，，
又，
由，故，
故.
故答案为：12.
13．答案：
解析：由题意，，，记右焦点为，中点为Q，因为O是的中点，所以，
，
又，所以，
故，
即直线的斜率为.
14．答案：
解析：由题意，长半轴长，作轴于点M，
则，所以，
所以，，故，
联立解得：，故，
又，所以，故，
所以，结合①可得，故，
代入椭圆方程得：，结合解得：，
所以椭圆E的方程为.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因椭圆过点,,
则有,解得,,
所以椭圆C的标准方程为：；
(2)依题意,直线l的方程为：,由消去y并整理得：,
显然,设,,则,
因此线段中点P的横坐标,其纵坐标,
所以线段中点P的坐标为.
16．答案：(1)或
(2)
解析：(1)由题意,椭圆的长轴长为6,离心率为,
可得,,可得,,则,
当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为;
当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为.
综上,椭圆的方程为或.
(2)由题意,设椭圆的标准方程为,
如图所示,F为椭圆的一个焦点,,分别为短轴的两个端点,且焦距为6,
则为一等腰直角三角形,所以,所以,
故所求椭圆的标准方程为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,则椭圆C的方程为,代入,可得.
故椭圆C的方程为
（2）第二问图见下
设直线l的方程为,.
由得.
由,得.
设,,则.
,.
直线的方程为,
令,得.
所以.
因为,
所以.经检验满足.
所以直线l的斜率为.
18．答案：（1）
（2）最大值为1
解析：（1）因为直线与x轴的交点为,与y轴的交点为,
所以,,,
故椭圆C的方程为.
（2）当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为,此时,
的面积为.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为,,,
联立方程组得,
则,.
因为,所以AB的中点为.
因为,
所以.
因为原点到直线AB的距离,
,
所以.
因为,
当且仅当时,等号成立,
由解得,,
也满足,所以.
综上所述,面积的最大值为1.
19．答案：(1)
(2)证明见详解，定值为
解析：（1）因为椭圆过点，，
则，解得，所以椭圆E的方程为.
（2）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线，，，
联立方程，消去y可得①，
则，解得或，
设的外接圆方程为，
因为外接圆过点，则，即，
可得外接圆方程为，
则其圆心为，直线的斜率，
联立方程，
消去y可得②，
因为，是方程①②的两根，
则，两式相比可得，
整理可得，即，
所以直线l与直线的斜率之积为定值，定值为.