(共31张PPT)
第二章 方程(组)与不等式(组)
第7讲 一次方程(组)及其应用(5年4考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 等式的性质
知识点二 一元一次方程及其解法
定义 只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程
方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值
解法步骤 (1)去分母:方程两边都乘各分母的最小公倍数;
(2)去括号:一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号;
(3)移项:把含有未知数的项都移到方程的同一边,其他项都移到方程的另一边,移项时一定要 ;
(4)合并同类项:把方程化成ax=-b(a≠0)的形式;
(5)系数化为1:方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解为
变号
知识点三 二元一次方程(组)及其解法
二元一次 方程 含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 ,像这样的方程叫做二元一次方程
二元一次方程组 有 个未知数,含有未知数的项的次数都是 ,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组
方程组的解 二元一次方程组的两个方程的
解法 基本思想是 ,转化为一元一次方程,方法有代入消元法和
1
两
1
公共解
消元
加减消元法
知识点四 一次方程(组)的应用(常考点)
数字 问题 设个位数字为c,十位数字为b,百位数字为a,则这个三位数是
购买 问题 (1)总价=单价×数量;
(2)甲单价×甲数量+乙单价×乙数量+…=总价;
(3)甲数量+乙数量+…=总数量
打折 销售 问题 (1)利润= - =利润率× ;
(2)利润率= ×100%;
(3)总利润=单件利润×
100a+10b+c
售价
进价
进价(成本)
销售量
行程 问题 (1)速度× =路程;
(2)顺水速度= + ;
逆水速度= -
配套 问题 一个A和一个B配套:A的数量=B的数量;
m个A和n个B配套:数量比为A∶B=m∶n,
即A的数量的n倍=B的数量的m倍
变化率 问题 (1)原来的量×(1+增长率)=增长后的量;
(2)原来的量×(1-减少率)=减少后的量
阶梯收 费问题 总费用=阶段a单价×阶段a数量+阶段b单价×阶段b数量+…
时间
静水速度
水流速度
静水速度
水流速度
解:去分母,得3(x+2)-2(2x-3)=6.
去括号,得3x+6-4x+6=6.
移项,得3x-4x=6-6-6.
合并同类项,得-x=-6.
系数化为1,得x=6.
易错警示
(1)去分母时,不要漏乘分母为1的项,分子为多项式时要添括号;
(2)去括号时,要注意符号;
(3)移项要变号(可通俗的记为“过桥变号”).
C
2.解方程:
(1)2x+8=3(x-1);
解:(1)去括号,得2x+8=3x-3.
移项,得2x-3x=-3-8.
合并同类项,得-x=-11.
系数化为1,得x=11.
3.拓展提升 已知关于x的方程2x+ax-3=0.
(1)若方程的解为x=1,则a= ;
(2)若方程无解,则a= ;
(3)若方程的解为正数,则a的取值范围为 ;
(4)若方程的解为整数,则a的值为 .
1
把方程化成m·x=n(n≠0)的形式,令m=0
-2
a>-2
-5,-3,-1或1
考点2 二元一次方程(组)的解法
即时训练
考点3 一次方程(组)的实际应用
例2 为迎接校园文化节,学校准备采购一批演出服装和道具.已知购买
2套演出服装和3件道具共需480元,购买3套演出服装和2件道具共需
520元.
(1)每套演出服装和每件道具的价格分别是多少元
(2)若学校计划购买演出服装和道具共40件(套),其中演出服装的数量是道具数量的3倍,则购买服装和道具各多少件(套)
(3)在(2)的条件下,由于采购数量较多,商家给出如下优惠:服装每满10套赠送1套,道具打八折.完成采购后,学校实际花费多少钱
解:(2)设购买道具m件,则购买演出服装3m套.
由题意,得m+3m=40,解得m=10.∴3m=3×10=30.
答:购买演出服装30套,道具10件.
(3)由题意,得(30-2)×120+80×0.8×10=4 000(元).
答:学校实际花费4 000元.
即时训练
5.某商场购进一批“国潮”年货礼盒,每盒进价为200元,按标价的8折销售.若打8折后仍能获利20%,则这批“国潮”年货礼盒每盒的标价为( )
A.220元 B.260元
C.300元 D.320元
C
D
7.某车间有90名工人生产螺杆与螺母,平均每人每天生产50个螺杆或80个螺母,要使每天生产的螺杆和螺母按1∶2配套,如果安排m人生产螺杆,
那么根据题意可列方程为 .
等量关系:螺杆数量的2倍=螺母的数量
2×50m=80×(90-m)
8.2025年亚洲冬季运动会于2月7日至2月14日在哈尔滨举行,某超市调查发现:吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受青少年喜爱.该超市购进了一批吉祥物“滨滨”和“妮妮”进行销售,账目记录显示,某天卖出20个“滨滨”和30个“妮妮”,销售额为2 700元,另一天以同样的价格卖出15个“滨滨”和20个“妮妮”,销售额为1 800元,这个记录是否有误 如果有误,请说明理由.
五年真题
命题点 一次方程(组)的解法及实际应用(5年4考)
1.(2023云南T21,7分)蓝天白云下,青山绿水间,支一顶帐篷,邀亲朋好
友,听蝉鸣,闻清风,话家常,好不惬意.某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神,需要购买A,B两种型号的帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶,则需5 200元;若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶,则需2 800元.
(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格;
对应的数学符号为“≤”
规定的自变量取值范围内,函数值最小
两年模拟
2.(2024楚雄二模)云南蒙自石榴是全国特色水果之一,是全国农产品地理标志.它的果实呈浅红色,丰厚鲜美,甜酸娇嫩,口感宜人,有清热解毒、良性收敛肌肤等功效,深受群众喜爱,成为人们日常生活中不可缺少的美食.小红到水果批发市场购买石榴,店里标注石榴每千克20元,经过她与老板的议价,老板同意按原价打九折卖给小红.称完质量后,老板告诉小红:“你比上一位顾客多买了5千克,打折后你比他按原价购买还少花10元.”则小红购买石榴的质量是( )
A.45千克 B.50千克 C.55千克 D.60千克
C
3.(2024昭阳模拟)某水稻生产基地计划租用A型和B型无人机各一台,完成对6 000亩水稻喷洒营养液的工作.已知租用A型无人机2天、B型无人机3天,一共可完成1 750亩水稻的喷洒工作;租用A型无人机3天、B型无人机2天,一共可完成2 000亩水稻的喷洒工作.分别求出两种无人机每天的工作面积.(1亩合666.7平方米)
新题型·新考法
4.数学文化 中国古代数学著作《张邱建算经》中有一个问题:“今有甲、乙怀钱,各不知其数.甲得乙十钱,多乙余钱五倍.乙得甲十钱,适等.问甲、乙怀钱各几何 ”问题大意:甲、乙两人各有钱币若干枚.若乙给甲10枚钱,则甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍,即甲的钱币数是乙钱币数的
6倍;若甲给乙10枚钱,则两人的钱币数相等.问甲、乙原来各有多少枚钱币 请用二元一次方程组解答上述问题.(共34张PPT)
第9讲 一元二次方程及其应用(5年6考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 一元二次方程的概念及其解法
1.一元二次方程
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.它的一般形式是 (a,b,c为常数,a≠0).
ax2+bx+c=0
2.一元二次方程的解法
一次项系数一半的平方
口诀助记
一元二次方程的解法选择
方程没有一次项,直接开方最理想.
如果缺少常数项,因式分解没商量.
b,c相等都为零,等根是零不要忘.
b,c同时不为零,因式分解或配方,
也可直接套公式,因题而异择良方.
知识点二 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
b2-4ac
无
知识点三 一元二次方程的常见应用类型
1.增长率问题:设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为 .
2.利润问题:单件利润=售价-成本;
总利润=单件利润×销量=总收入-总成本.
3.面积问题:对于规则图形,可直接套用面积公式列方程求解;对于不规则图形,可通过割补使其变为规则图形,再根据面积间的和、差关系
求解.
a(1+x)2
4.循环球赛问题
单循环:x个队的单循环赛场数= ;
双循环:x个队的双循环赛场数=x(x-1).
考点1 一元二次方程的解法
例1 解方程:x2-5x-6=0.
解:x2-5x-6=0.
(x-6)(x+1)=0.
∴x-6=0或x+1=0.
∴x1=6,x2=-1.
即时训练
1.解方程:
(1)4(x+3)2=x(x+3);
解:(1)4(x+3)2=x(x+3),
4(x+3)2-x(x+3)=0,
(x+3)(3x+12)=0,
∴x+3=0或3x+12=0,
∴x1=-3,x2=-4.
(2)4x2-5x-6=0.
考点2 一元二次方程的判别式
例2 已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围为 ;
(2)若方程没有实数根,则m的取值范围为 ;
(3)若方程有两个相等的实数根,则m的值为 .
即时训练
2.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+3=0有实数根,则实数k的取值范围为 .
3.关于x的方程x2-mx+4=0有两个相等实根,则m= .
考点3 一元二次方程根与系数的关系(2022年版课标要求)
例3 已知m,n为一元二次方程x2+2x-2 026=0的两个实数根.
(1)m+n= ,mn= ;
k≤4且k≠1
±4
-2
-2 026
4 056
2 024
-2 026
重点必记
常见变形
(3)(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1;
即时训练
4.已知2是关于x的方程x2-3x+m=0的一个根,则方程的另一个根为( )
A.-5 B.1
C.2 D.-1
B
变形为含根与系数关系的式子
A
6.已知m,n是方程x2-5x-2 025=0的两个实数根,则m2-4m+n-2的值是( )
A.2 025 B.2 028
C.2 030 D.4 048
变形为m2-5m+m,整体代入、降次
B
7.如果一元二次方程x2-2x-5=0有两个实数根a,b,那么一次函数y=(ab-1)x+a+b的图象一定不经过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
关键点:一次项系数、
常数项的正负
C
考点4 一元二次方程的实际应用
例4 某电器商场从厂家购进了A,B两种型号的电烤箱,已知一台A型电烤箱的进价比一台B型电烤箱的进价多400元,用7 600元购进A型电烤箱和用6 000元购进B型电烤箱的台数相同.
(1)一台A型电烤箱和一台B型电烤箱的进价各为多少元
(2)在销售过程中,A型电烤箱因造型精致,噪音小,更受消费者的欢迎.该商场决定停止购进B型电烤箱,并对库存货品进行降价销售,力求尽快清空库存货品.经市场调查,当B型电烤箱的售价为2 400元时,每天可售出
4台,在此基础上,售价每降低50元,每天将多售出1台,如果每天该商场销售B型电烤箱的利润为5 600元,请问该商场将B型电烤箱的售价定为多
少元
即时训练
8.一旅游景点为吸引游客,发售了代表该景点的特色套装纪念品,每套纪念品进价30元,为合理定价,发售前进行了市场调查,售价为40元时,每天可卖800套,而售价每涨3元,日销售量就减少60套,若想每天获利12 000元,且售价不超过55元,则该纪念品的售价应为多少元
五年真题
命题点1 一元二次方程的解法(5年2考)
1.(2022云南T16,4分)方程2x2+1=3x的解为 .
命题点2 一元二次方程根的判别式(5年2考)
2.(2021云南T5,4分)若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数
根,则实数a的取值范围是( )
A.a<1 B.a≤1
C.a≤1且a≠0 D.a<1且a≠0
3.(2024云南T16,2分)若一元二次方程x2-2x+c=0无实数根,则实数c的取值范围为 .
D
c>1
命题点3 一元二次方程的实际应用(5年2考)
4.(2025云南T14,2分)某书店今年3月份盈利6 000元,5月份盈利6 200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意,下列方程正确的是
( )
A.6 000(1+x)2=6 200
B.6 000(1- x)2=6 200
C.6 000(1+2x)=6 200
D.6 000x2=6 200
A
5.(2024云南T9,2分)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意,下列方程正确的是( )
A.80(1-x2)=60 B.80(1-x)2=60
C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60
B
两年模拟
6.(2025昆明官渡区模拟改编)关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个相等的实数根,则( )
A.k>-1 B.k<1
C.k=-1 D.k<1且k≠0
C
7.(2025昆明盘龙区模拟)如图所示是某地下停车场的平面示意图,停车场的长为40米,宽为19米,停车场内车道的宽度都相等.停车位的占地面积为352平方米.设停车场内车道的宽度为x米,根据题意,下列方程正确的是( )
A.(40-x)(19-x)=352
B.(40+x)(19+x)=352
C.(40-2x)(19-2x)=352
D.(40+2x)(19+2x)=352
A
新题型·新考法
8.(2025河南)一元二次方程x2-2x=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
9.(2025南充)设x1,x2是关于x的方程(x-1)(x-2)=m2的两根.
(1)当x1=-1时,求x2及m的值.
(2)求证:(x1-1)(x2-1)≤0.
(2)证明:方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0.
∵Δ=9-4(2-m2)=4m2+1>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
∵方程(x-1)(x-2)=m2,即x2-3x+2-m2=0的两根为x1,x2,
∴x1+x2=3,x1x2=2-m2.
∴(x1-1)(x2-1)
=x1x2-(x1+x2)+1
=2-m2-3+1=-m2.
∵m2≥0,∴-m2≤0,
∴(x1-1)(x2-1)≤0.(共24张PPT)
第8讲 分式方程及其应用(5年5考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 分式方程的概念及解法
1.定义
分母中含有 的方程.
2.特征
(1)含有分母;
(2)分母中含有未知数;
(3)是方程.
未知数
3.解分式方程的一般方法和步骤
(1)去分母:方程两边同乘 ,把分式方程化为整式方程.
(2)解整式方程:去括号、 、合并同类项、系数化为1等.
(3)检验:将整式方程的解代入最简公分母,若最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.
简称为一化,二解,三检验.
最简公分母
移项
4.解分式方程的基本思想
把分式方程转化为整式方程,解这个整式方程,然后验根,从而确定分式方程的解.
5.增根
(1)使分式方程的最简公分母为0的根.
(2)产生增根的原因:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,将其转化为整式方程后没有此条件限制了.
重点必记
分式方程有增根与无解的区别:分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程有增根是去分母后的整式方程的根使分式方程的最简公分母为0.
知识点二 分式方程的实际应用(常考点)
1.列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审:审清题意,分清题目中的已知量、未知量.
(2)设:设未知数,并表示出其余所需要的未知量(注意单位).
(3)列:根据等量关系,列出方程.
(4)解:解方程.
(5)验(双检验):既要检验求得的解是不是所列方程的解,又要检验求得的解是否符合实际问题.
(6)答:根据题意,规范作答(包括单位).
2.常见类型及等量关系式
(1)工程问题:(常把工作总量看成单位“1”)
(1)若分式方程与一元一次方程2x=4的解相同,则a= ;
(2)若分式方程的解为正数,则a的取值范围为 ;
(3)若分式方程无解,则a的值为 ;
(4)若分式方程有增根,则a的值为 .
1
a>-1
-3
-3
D
C
0
4
考点2 分式方程的应用
例2 (2024云南)某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观,已知A地到B地的路程为300千米,乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时,C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍,求D型车的平均速度.
即时训练
5.某网店销售“哪吒”的毛绒玩偶,第一次用8 400元购进该毛绒玩偶后很快售完,该网店第二次购进该玩偶时,发现进价提高了20%,所以用相同的钱购进的玩偶数量比第一次少了35件.则该网店第一次购进“哪吒”
的毛绒玩偶每件的进价是多少元
一般设“比”字后面的量为x,然后用含x的代数式表示“比”字前面的量
五年真题
命题点 分式方程的实际应用(5年5考)
1.(2022云南T12,4分)某地开展建设绿色家园活动,活动期间,计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后,实际每天比原计划每天多植树
50棵,实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同.设实际每天植树x棵,则下列方程正确的是( )
B
D
3.(2025 云南T22,7分)某化工厂采用机器人A,机器人B搬运化工原料,机器人A比机器人B每小时少搬运20千克,机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1 000千克所用时间相等.求机器人A,机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料.
4.(2021云南T18,6分)“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境,进一步提升旅游形象的创新举措.机场、车站、出租车、景区、手机短信,…,“30天无理由退货”的提示随处可见,它已成为一张云南旅行的“安心卡”,极大地提高了旅游服务的品质.刚刚过去的“五·一”假期,旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元,同步的是云南旅游市场强劲复苏.某旅行社今年5月1日租用A,B两种客房一天,供当天使用.下面是有关信息:
请根据上述信息,分别求今年5月1日该旅行社租用的A,B两种客房每间客房的租金.
两年模拟
5.(2025昆明官渡区一模)无人机搭载高分辨率相机与多光谱传感器,能实时捕捉农田病虫害图象与光谱信息,识别病害类型与害虫情况,构建病虫害暴发与扩散模型,实现监测与预警,并利用智能喷洒系统精准施药,提升农药利用率与防治效果.已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药作业面积的8倍,若使用无人机对800亩茶园打药的时间比人工对400亩茶园打药的时间少30小时,求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积.(1亩合666.7平方米)
B
-3或1(共37张PPT)
第10讲 一次不等式(组)及不等式的实际应用(5年5考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 不等式的性质
知识点二 一元一次不等式及其解法
不等式 用符号(“>”“≥”“<”“≤”“≠”)表示
关系的式子
不等式的解 使不等式成立的未知数的值
不等式的解集 一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合
解不等式 求不等式的解集的过程
一元一次不等式 只含有一个未知数,未知数的次数是 的不等式
大小
1
解一元一次不等式的步骤 (1) ;
(2)去括号;
(3) ;
(4)合并同类项;
(5) 化为1
去分母
移项
系数
温馨提示
在数轴上表示解集时,要注意“两定”:一定边界,二定方向.定边界时,
“≥”“≤”是实心圆点,“>”“<”是空心圆圈;定方向的原则为小于向左,大于向右.
知识点三 一元一次不等式组
1.一元一次不等式组
把关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立起来,就组成一个一元一次不等式组.
2.一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组中各个不等式解集的 ,叫做这个一元一次不等式组的解集.
公共部分
借助数轴,熟练掌握以下四种基本不等式组的解集:
x
a知识点四 不等式(组)的应用
1.解题步骤
(1)审清题意,找出不等关系;
(2)设未知数;
(3)列不等式(组);
(4)解不等式(组);
(5)写出答案.
2.不等式(组)的实际应用题中,常见的关键词与相对应的不等号
常见关键词 不等号
大于,多于,超过,高于 >
小于,少于,不足,低于 <
至少,不低于,不小于,不少于 ≥
至多,不超过,不高于,不大于 ≤
考点1 一元一次不等式(组)的解法及解集表示
即时训练
1.不等式2x-1<-3的解集在数轴上表示正确的是( )
D
A B C D
(2)当m取何值时,这个方程组的解x大于1,y不小于-1
(3)已知t=3x-2y,在(2)的条件下,求t的取值范围.
A
考点3 不等式(组)的实际应用
例4 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A,B两种型号的电风扇,下表是近两周的销售情况:
销售时段 销售数量/台 销售收入/元
A种型号 B种型号
第一周 3 4 1 200
第二周 5 6 1 900
(进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进货成本)
(1)求A,B两种型号的电风扇的销售单价.
(2)若超市准备用不多于7 500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台,则A种型号的电风扇最多能采购多少台
(3)在(2)的条件下,超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1 850元的目标 若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.
即时训练
5.某公司计划到超市采购甲、乙两种规格的杯子,调查发现,若购买甲杯子3个,乙杯子2个,共需资金1 020元;若购买甲杯子4个,乙杯子3个,共需资金1 440元.
(1)甲、乙两种杯子的单价分别是多少元
(2)若该公司计划购进这两种规格的杯子共20个,其中乙杯子的数量不少
于甲杯子的数量,且该公司最多能提供4 320元的资金购买杯子,请你设计购买方案供该公司选择.
对应的数学符号是“≥”
根据不等式组的正整数解确定
五年真题
命题点 不等式(组)的实际应用(5年5考)
A
A B
C D
3.(2024曲靖模拟)若关于x的不等式x-3>-k的解集在数轴上表示如图所示,则k的值为( )
A.-1 B.2 C.3 D.4
D
4.(2025云南模拟)在平面直角坐标系中,若点A(2a+4,6-2a)在第四象限,则a的取值范围是 .
横坐标>0,纵坐标<0
a>3
5.(2024弥勒模拟)2024年3月8日“妇女节”这一天,某花店店主去斗南花市批发玫瑰、康乃馨两种鲜花进行销售,进价、售价如下表:
鲜花 康乃馨 玫瑰
进价/(元/枝) 1 2
售价/(元/枝) 3 5
已知这两种鲜花的进价总额为1 300元,销售总额为3 400元.
(1)该花店购进这两种鲜花的枝数分别是多少
(2)为了促销,店主决定在利润不低于1 600元的情况下,康乃馨按原价出售,玫瑰打折出售,问最多可打几折
新题型·新考法
6.某商场促销方案规定:单笔消费金额每满100元立减10元.例如,单笔消费金额为208元时,立减20元.甲在该商场单笔购买2件A商品,立减了
20元;乙在该商场单笔购买2件A商品与1件B商品,立减了30元.若B商品的单价是整数元,则它的最小值是( )
A.1元 B.99元
C.101元 D.199元
A