(共35张PPT)
第六章 圆
第31讲 圆的基本性质(5年9考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 圆的有关概念
概念 在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,其固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径
弦 概念:连接圆上任意两点的线段
直径:经过 的弦
圆心
弧 概念:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧
半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆
优弧: 于半圆的弧;
劣弧: 于半圆的弧
等弧 在同圆或 中,能够互相 的弧
弦心距 (补充)圆心到弦的距离
圆心角 顶点在 的角
圆周角 顶点在 上,并且两边都与圆 的角
大
小
等圆
重合
圆心
圆
相交
知识点二 圆的有关性质(常考点)
1.圆是轴对称图形,任何一条 所在的直线都是圆的对称轴.圆既是中心对称图形,又是旋转对称图形,即圆具有旋转不变性.圆心就是它的对称中心.
2.垂径定理及其推论
直径
平分
(2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于 ,并且平分弦所对的
.
弦
两条弧
(3)圆的两条平行弦所夹的弧相等(补充).
直径
3.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系
(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦
,所对的弦的弦心距 ;
(2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量 ,那么它们所对应的其余各组量都分别
.
4.圆周角定理及其推论
(1)定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ;
相等
相等
相等
相等
相等
一半
(2)推论1:同弧或等弧所对的圆周角 ;
(3)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是 ,90°的圆周角所对的弦是 .
5.圆内接四边形
(1)如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆;
(2)圆内接四边形的对角 .
相等
直角
直径
互补
考点1 圆的有关概念(弧、弦、圆心角、圆周角)
例1 如图所示,在 ☉O 中,
(1)半径有 ;
(2)直径有 ;
(3)弦有 ;
OA,OB
AB
AB,AC,BC
即时训练
1.如图所示,图中的直径有 ,非直径的弦有 ;图中以A为一个端点的弧中,优弧有 ,劣弧有 .
AB
CD,EF
∠AOB
∠C,∠D
∠E,∠F
考点2 等圆、等弧
例2 下列说法正确的有( )
A.长度相等的两条弧是等弧
B.平分弦的直径一定垂直于这条弦
C.过圆心的线段是直径
D.圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是它的对称轴
D
即时训练
3.下列说法中错误的是( )
A.周长相等的两个圆半径一定相等
B.圆周长与该圆半径的比值是定值
C.圆周率π的值与圆的大小无关
D.弧长相等的两条弧,所对的圆心角也一定相等
D
考点3 弧、弦、圆心角的关系
例3 如图所示,已知在☉O中,BC是直径,AB=DC,则下列结论不一定成立的是( )
B
C
考点4 圆周角与圆心角的关系,直径所对圆周角的特征
例4 如图所示,点A,B,C在☉O上,BC∥OA,连接BO并延长,交☉O于点D,连
接AC,DC.若∠A=25°,则∠D的大小为( )
A.25° B.30°
C.40° D.50°
C
找到等角
即时训练
5.如图所示,AB是☉O的直径,D,C是☉O上的点,∠ADC=115°,则∠BAC=
°.
25
推出∠ACB=90°
6.如图所示,☉O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠BAC=35°,则∠BOD的大小为 °.
70
7.如图所示,☉O的直径为20,弦AB=16 ,P是弦AB上一动点,则OP长的取值范围是 .
6≤OP≤10
最长是半径,最短是点O到AB的距离,弦心距、半径、弦AB的一半构成直角三角形
考点5 三角形的内心与外心
例5 在△ABC中,∠A=40°,点O是△ABC的外心,则∠BOC的度数是( )
A.40° B.80°
C.100° D.80°或100°
B
例6 [教材九上P100练习T1]如图所示,△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=
75°,点O是△ABC的内心.求∠BOC的度数.
即时训练
8.下列命题中,是真命题的是( )
A.经过三个点一定可以作圆
B.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
C.度数相等的弧是等弧
D.相等的圆周角所对的弧相等
B
9.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的顶点上,则△ABC的外心是( )
A.点D B.点E
C.点F D.点G
C
外接圆的圆心,△ABC三边垂直平分线的交点
10.如图所示,点I为△ABC的内心,AB=12 cm,AC=9 cm,BC=6 cm,将∠ACB
平移,使其顶点C与点I重合,则图中阴影部分的周长为( )
A.10 cm B.12 cm
C.13.5 cm D.15 cm
B
内切圆的圆心,△ABC内角平分线的交点,因此连接AI,BI,如图所示.图中有平行线,也有角平分线,可能会出现等腰三角形,从而得到等线段
考点6 圆内接四边形
11.如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形.若∠BOD=140°,则∠A的度数为( )
A.40° B.70°
C.110° D.140°
C
12.(2025泸州中考改编)如图所示,四边形ABCD内接于☉O,BD为☉O的直径.若AB=AC,∠BDC=40°,则∠ADC=( )
A.50° B.60°
C.70° D.110°
D
五年真题
命题点1 圆周角定理及其推论的相关计算(5年7考)
B
2.(2023云南T12,3分)如图所示,AB是☉O的直径,C是☉O上一点.若
∠BOC=66°,则∠A=( )
A.66° B.33°
C.24° D.30°
B
命题点2 垂径定理及其推论的相关计算(5年2考)
3.(2022云南T9,4分)如图所示,已知AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥
CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为( )
B
B
两年模拟
5.(2025昆明五华区校级模拟)如图所示,AB是☉O的直径.若∠AOC=
130°,则∠D的度数为( )
A.75° B.50°
C.30° D.25°
D
C
7.(2025文山模拟)如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上.若∠BAC=
64°,则∠ADC=( )
A.13° B.26°
C.36° D.64°
B
C
9.(2025南京)如图所示,在正n边形中,∠1=20°,则n的值是( )
A.16 B.18
C.20 D.36
B
如图所示,设正n边形的中心为点O,∠AOB为中心角,将正n边形看成一个圆(共36张PPT)
第32讲 与圆有关的位置关系(5年12考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系(d为点到圆心的距离,r为☉O的半径,如图所示).
点在圆外 ,如点A;
点在圆上 ,如点B;
点在圆内 ,如点C.
d>r
d=r
d知识点二 直线与圆的位置关系
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d.
位置关系 相离 相切 相交
图示
公共点个数 0 1 2
公共点的名称 无 切点 交点
数量关系 d>r
d=r
d知识点三 圆的切线
切线的 判定 (1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线(定义法);
(2)到圆心的距离等于 的直线是圆的切线;
(3)经过半径的外端并且 这条半径的直线是圆的切线
切线的 性质 (1)切线与圆只有 个公共点;
(2)切线到圆心的距离等于圆的 ;
(3)圆的切线垂直于过切点的
半径
垂直于
1
半径
半径
切点
切线长 过圆外一点作圆的切线,这点和 之间的线段长叫做这点到圆的切线长
切线长 定理 从圆外一点可以引圆的 条切线,它们的切线长 ,这一点和圆心的连线 两条切线的夹角 两
相等
平分
知识点四 三角形与圆
确定圆的条件 不在 直线上的三个点确定一个圆 三角形 的外心 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形; 外心到三角形 的距离相等
三个顶点
同一条
三角形 的内心 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形;内心到三角形 的距离相等
三边
考点1 点与圆、直线与圆的位置关系
例1 在△ABC中,∠B=40°,∠C=70°,以B为圆心,BC长为半径画圆,则点A和☉B的位置关系,下列说法正确的是( )
A.点A在☉B外 B.点A在☉B上
C.点A在☉B内 D.无法确定
例2 已知☉O的半径是5,直线l与☉O相交,则圆心O到直线l的距离可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
B
A
即时训练
1.已知☉O的半径是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根,圆心O到直线l的距离d=2,则直线l与☉O的交点个数有( )
A.1个 B.2个 C.没有交点 D.不能确定
2.已知☉O的半径3 cm,直线l上有一点到圆心O的距离为3 cm,那么直线l与☉O的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离或相切 D.相切或相交
B
D
C
A.点P在☉O上 B.点P在☉O内
C.点P在☉O外 D.无法确定
∠AOC=2∠ABC=60°
需要求出☉O的半径长,比较OP长与半径的大小
考点2 切线的概念
例3 若圆心O到直线l的距离等于☉O的半径,则直线l与☉O的位置关系是
( )
A.相交 B.相离
C.相切 D.无法确定
C
即时训练
4.如图所示,∠AOB=90°,P为OA上一点,且OP=2,以点P为圆心作半径为1的☉P,将☉P绕点O顺时针旋转60°,则旋转后的☉P与射线OB的位置关系是 (填“相交”“相切”或“相离”).
相切
考点3 切线的判定
方法一 直线与圆公共点已知,连半径,证垂直
例4 [教材九上P101习题T4]如图所示,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=
OB,CA=CB.求证:直线AB是☉O的切线.
解:如图所示,连接OC,
∵OA=OB,CA=CB,
∴OC⊥AB(三线合一).
∵OC为☉O的半径,
∴直线AB是☉O的切线.
【解题策略】
利用等腰三角形的“三线合一”的性质证得半径垂直于过该半径端点的直线,进而获证.
即时训练
5.(2025玉溪模拟改编)如图所示,AB是☉O的直径,C,G是☉O上的点,过点C的直线CD⊥BG于点D,交BA的延长线于点E,BC与OD交于点F,且∠ABC=
∠CBD.求证:CD是☉O的切线.
解:如图所示,连接OC.
∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.
∵∠ABC=∠CBD,∴∠OCB=∠CBD,∴OC∥BG.
∵CD⊥BG,∴OC⊥CD.
∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.
【解题策略】
常见类型 示例
已知垂直 证平行
已知BC⊥AC,只需证OE∥AC即可得∠BEO=90°
方法二 直线与圆公共点未知,作垂直,证半径
例5 如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作☉D.求证:直线AC与☉D相切.
解:过点D作DF⊥AC于F,如图所示.
∵∠ABC=90°,
∴AB⊥BC.
∵AD平分∠BAC,DF⊥AC,
∴BD=DF,
∴直线AC与☉D相切.
【解题策略】
当直线与圆公共点未知时,过圆心作该直线的垂线,证明垂线段等于半
径,即可得到垂线段为半径,根据d=r,得到这条直线为圆的切线.
即时训练
6.[教材九上P98例1]如图所示,△ABC为等腰三角形,O为底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D.
求证:AC是☉O的切线.
证明:如图所示,过点O作OE⊥AC于点E,连接OD,OA.
∵AB与O相切于点D,∴AB⊥OD.
∵△ABC为等腰三角形,AO是底边BC的中线,
∴AO是∠BAC的平分线.
又∵OE⊥AC,AB⊥OD,∴OE=OD,即OE是☉O的半径,
∴AC是☉O的切线.
考点4 切线的性质
例6 如图所示,已知△ABC,以AB为直径的☉O交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若∠AOD=80°,则∠C的度数为( )
A.30° B.40°
C.45° D.50°
D
即时训练
7.(2024文山模拟)如图所示,在两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,若AB=8,则图中圆环的面积为( )
A.4π B.8π
C.16π D.24π
C
考点5 过圆外一点作圆的切线(2022年版课标要求)
例7 如图所示,点P是☉O外一点.请利用尺规过点P作☉O的一条切线PE.
(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)
解:如图所示,直线PE即为所求.
五年真题
命题点1 点与圆的位置关系(5年1考)
1.(2025云南T16,2分)已知☉O的半径为5 cm.若点P在☉O上,则点P到圆心O的距离为 cm.
5
命题点2 切线的判定与性质及与圆相关的综合计算(5年11考)
2.(2024云南T27节选,7分)如图所示,AB是☉O的直径,点D,F是☉O上异于A,B的点.点C在☉O外,CA=CD,延长BF与CA的延长线交于点M,点N在BA的延长线上,∠AMN=∠ABM,AM·BM=AB·MN.点H在直径AB上,∠AHD=90°,点E是线段DH的中点.
(1)求∠AFB的度数;
规范解答
(1)解:∵AB是☉O的直径,点F是☉O上异于A,B的点,
∴∠AFB=90°.……………………………………(3分)
(2)求证:直线CM与☉O相切.
3.(2022云南T23节选,4分)如图所示,四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的☉O,P是☉O的劣弧BC上的任意一点,连接PA,PC,PD,延长BC至点E,使BD2=BC·BE.请判断直线DE与☉O的位置关系,并证明你的结论.
两年模拟
4.(2024五华模拟改编)如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AC是☉O的直
径,连接BD,过点D的直线与CA的延长线交于点E,且∠EDA=∠ECD.求证:DE是☉O的切线.
证明:如图所示,连接OD,
∵AC是☉O的直径,
∴∠ADC=90°,即∠ADO+∠ODC=90°.
∵OC=OD,∴∠ODC=∠ECD.
又∵∠EDA=∠ECD,∴∠EDA=∠ODC,
∴∠ADO+∠EDA=90°,即∠EDO=90°,
∴OD⊥DE,
又∵OD是半径,
∴直线DE是☉O的切线.
5.(2025曲靖模拟节选)如图所示,在☉O中,直径AB与弦CD交于点E,连接AC,BD.过点D的直线DF与BA的延长线交于点F,且DF2=FA·FB.
求证:(1)∠BEC=∠ABD+∠CAE;
(2)DF是☉O的切线.
∴∠ADF=∠BDO.
∵AB为直径,
∴∠BDA=90°,
即∠BDO+∠ODA=90°,
∴∠ADF+∠ODA=90°,
即∠ODF=90°,
∴OD⊥DF.
∵OD是☉O的半径,
∴DF是☉O的切线.
新题型·新考法
6.(2025北京)如图所示,过点P作☉O的两条切线,切点分别为A,B,连接OA,OB,OP,取OP的中点C,连接AC并延长,交☉O于点D,连接BD.
(1)求证:∠ADB=∠AOP.(共21张PPT)
第33讲 与圆有关的计算(5年6考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 正多边形和圆
1.正多边形的有关概念
(1)中心:正多边形的 圆的圆心;
(2)半径:正多边形外接圆的半径;
(3)中心角:正多边形每一边所对的 角;
(4)边心距:正多边形的中心到正多边形的一边的距离.
外接
圆心
【归纳总结】
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.
2.正多边形的有关计算
(1)如图所示,正n边形的中心角等于 ,半径(OA)、边心距(OC)和边长的一半(AC)构成 三角形;
直角
知识点二 弧长和扇形面积
圆的周长:C=2πR.
扇形的弧长:l= .
圆的面积:S=πR2.
知识点三 圆柱和圆锥的侧面积、全面积和体积
1.设圆柱的高为l,底面半径为R,如图(1)所示,其侧面展开图是一个矩形.
因此S圆柱侧= ;S圆柱全= ;
V圆柱= .
2.如图(2)所示,设圆锥的母线长为l,底面半径为R,高为h,圆锥的侧面展开图是一个扇形,圆锥的母线长l等于扇形半径,圆锥的底面圆周长2πR等于扇形弧长.
因此S圆锥侧= ,S圆锥全= .
2πRl
2πRl+2πR2
πR2l
πRl
πRl+πR2
图(1)
图(2)
(2)圆锥的母线长等于其侧面展开图(扇形)的半径;
(3)圆锥的母线l、底面半径R和圆锥的高h三者之间的数量关系为R2+h2
=l2.
知识点四 阴影部分面积的求法
1.规则图形的面积,直接利用对应公式计算.
2.不规则图形的面积,要将图形的面积转化为可求图形的面积的和或差,常用方法有:(1) ,(2)等积变形法,(3)拼凑法,(4)平移法,
(5) 等.
割补法
旋转法
考点1 正多边形的有关计算
例1 (2025德阳)六方钢也称六角棒,是钢材的一种,其截面为正六边形.六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工,广泛应用于各种建筑结构和工程结构,如房梁、桥梁柱、输电塔等.在学校开展的综合实践活动中,兴趣小组对六方钢截面图(如图所示)的性质进行研究,测得边长AB=1,那么图中四边形GCHF的面积是( )
A
考点2 弧长与圆锥的相关计算
例2 已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面积为( )
A.6π B.12π
C.15π D.24π
例3 若圆锥的底面半径是1 cm,它的侧面展开图的圆心角是直角,则该圆锥的高为 cm.
B
240
3.已知圆锥的底面半径为3,母线长为12,则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °.
4.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、弧长为6π的扇形,则该圆锥的母线长为 .
90
9
10π
考点3 不规则图形面积的求法
例4 (2020云南)如图所示,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE(阴影部分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是( )
D
五年真题
命题点 弧长与扇形、圆锥的相关计算(5年5考)
1.(2025云南T13,2分)若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°,母线长为40 cm,则该圆锥的底面圆的半径为( )
A.9 cm B.10 cm
C.11 cm D.12 cm
B
2.(2024云南T15,2分)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长为40厘米,底面圆的半径为30厘米,则该圆锥的侧面积为( )
A.700π平方厘米
B.900π平方厘米
C.1 200π平方厘米
D.1 600π平方厘米
C
3.(2023云南T16,2分)数学活动课上,某同学制作了一顶圆锥形纸帽.若圆锥的底面圆的半径为1分米,母线长为4分米,则该圆锥的高为 .
分米.
4.(2022云南T17,4分)某中学开展劳动实习,学生到教具加工厂制作圆
锥,他们制作的圆锥,母线长为30 cm,底面圆的半径为10 cm,这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 .
120°
两年模拟
5.(2025景洪模拟)将一个底面半径为6 cm的圆锥的侧面展开得到一个扇形,这个扇形的弧长是( )
A.6π cm B.12π cm C.6 cm D.12 cm
6.(2025文山模拟)数学活动课上,某同学用一张半圆形纸片,围成了一个母线长为15厘米的圆锥侧面(接缝忽略不计),则该圆锥的底面圆周长为
( )
A.30π厘米 B.15π厘米 C.15厘米 D.7.5π厘米
B
B
7.(2025五华模拟)如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=2,若把直角三角形绕边AC所在直线旋转一周,则所得几何体的表面积等于( )
D
8.(2025西山模拟)2025年3月9日,云南省首届“云岭石榴红”陀螺邀请赛在玉溪市新平彝族傣族自治县正式开幕.来自昆明、玉溪、普洱等省内7个州市的68支队伍齐聚一堂,展开激烈角逐,以陀螺为媒,共话民族团结,共促文化交流.陀螺的底部是一个圆锥的造型.如图所示,圆锥的母线长为10 cm,高h为8 cm,则此圆锥的侧面积为 cm2.(结果保留π)
60π
9.(2025玉溪模拟)圆锥在生活中随处可见,例如:陀螺、漏斗、生日帽
等.如用一个半径为6,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥,则这个圆锥的底面圆的半径为 .
2
新题型·新考法
10.(2025山东)在中国古代文化中,玉璧寓意宇宙的广阔与秩序,也经常被视为君子修身齐家的象征.如图所示是某玉璧的平面示意图,由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
D
利用正方形对角线的性质及其内切圆半径求出它的外接圆半径
