(共27张PPT)
第16讲 二次函数的图象与性质(5年4考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 二次函数解析式的三种形式
1.形如 (a,b,c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.
2.三种形式
一般式: (a,b,c为常数,a≠0);
顶点式: (a,h,k为常数,a≠0);
交点式: (a,x1,x2为常数,a≠0).
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
知识点二 二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条 ,它是一个轴对称图形.
抛物线
a的符号 a>0 a<0
大致图象
开口方向 向上 向下
小
大
增大
减小
减小
增大
增减性 总结 开口向上,左减右增;在对称轴的两侧,x与对称轴的距离越 远,y越大 开口向下,左增右减;在对称轴的两侧,x与对称轴的距离越近,y越大
知识点三 二次函数图象与系数的关系
a 决定抛物线的开口方向及大小 开口 方向 当a>0时,抛物线开口
当a<0时,抛物线开口
开口 大小 |a|越大,抛物线的开口
|a|越小,抛物线的开口
向上
向下
越小
越大
y轴
左侧
右侧
原点
考点1 二次函数的图象与性质
例1 如图所示,二次函数y=a(x+2)2+k的图象与x轴交于A,B(-1,0)两点,则下列说法正确的是( )
A.a<0
B.点A的坐标为(-4,0)
C.当x<0时,y随x的增大而减小
D.图象的对称轴为直线x=-2
可知抛物线的对称轴为直线x=-2,利用抛物线的轴对称性求得点A的坐标
D
易错警示
二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧和右侧两种情况讨论.
即时训练
1.关于函数y=-3(x+1)2-2,下列描述错误的是( )
A.抛物线的开口向下
B.对称轴是直线x=-1
C.函数最大值是-2
D.当x>-1时,y随x的增大而增大
D
2.已知二次函数y=3(x-1)2+k的图象上有三点A(3,y1),B(2,y2),C(-2,
y3),则y1,y2,y3的大小关系为( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
对称轴为直线x=1,画出该函数的大致图象,描出点A,B,C的大致位置
C
3.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是( )
A.二次函数图象的对称轴是直线x=1
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当x<-1时,y随x的增大而减小
D.当-30
利用抛物线的轴对称性求得它与x轴的另一个交点的横坐标
D
考点2 二次函数图象与系数a,b,c的关系
例2 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,结合图中的信息回答下列问题(在横线上填“>”“<”或“=”).
①abc 0; ②2a+b 0;
③a-b+c 0; ④a+c 0;
⑤b2 4ac; ⑥4a+2b+c 0;
<
<
>
>
>
>
>
【名师点睛】
即时训练
4.(2024云南考试丛书)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论中错误的是( )
A.a<0 B.c>0
C.b2-4ac>0 D.a+b+c>0
抛物线与x轴有
两个交点 ＞0
D
5.已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象只经过第一、
二、四象限,则实数a的取值范围为( )
a>0
A
6.已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如
下表:
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
A.图象的开口向上
B.当x>0时,y的值随x值的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线x=1
D
7.(2020昆明)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与y轴交于点B(0,-2),点A(-1,m)在抛物线上,则下列结论中错误的是
( )
开口向上 a＞0
对称轴为直线x=1,
1为正数 b＜0
利用抛物线关于直线x=1对称判断
D
8.如图所示,已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1,0),对称轴为直线x=1.有下列结论:
①abc>0;
②2a+b=0;
③函数y=ax2+bx+c的最大值为-4a;
②③④
9.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A,
B,点B的坐标为(3,0),若点C(2,3)在抛物线上,则AB的长为 .
抛物线与y轴的交点为D(0,3)
4
五年真题
命题点 二次函数的图象与性质(5年4考)
(常融合在二次函数的综合题中考查)
两年模拟
1.(2024云南考试丛书)二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是( )
A.(-1,8) B.(1,8)
C.(-1,2) D.(1,-4)
A
2.关于二次函数y =-2(x-1)2+6,下列说法正确的是( )
A.图象的对称轴是直线x=-1
B.图象与x轴没有交点
C.当x=1时,y取得最小值,且最小值为6
D.当x>1时,y随x的增大而减小
3.(2024云南考试丛书)请选择一组你喜欢的a,b,c的值,使二次函数y=
ax2+bx+c(a≠0)的图象同时满足下列条件:①开口向下;②当x<2时,y随x的增大而增大;③当x>2时,y随x的增大而减小.这样的二次函数解析式可以是 .
D
y=-x2+4x(答案不唯一)
4.(2025昆明盘龙区模拟节选)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=
-2mx2-6mx+3(m≠0),试说明点P(-3,3)在该抛物线上.
解:∵y=-2mx2-6mx+3,即y=m(-2x2-6x)+3,
∴令-2x2-6x=0,则y=3.
∴当x=0或x=-3时,y=3.
∴该抛物线必过点(0,3),(-3,3).
∴点P(-3,3)在该抛物线上.
(2)已知点A(a-5,c),B(6m+4,c)都在该二次函数的图象上,求证:c≤8.
说明点A,B关于对称轴x=3m对称(共23张PPT)
第14讲 反比例函数的图象与性质(5年5考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 反比例函数的概念
概念 一般地,形如 (k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数
形式 y= ,或 =k,或y= (k≠0)
xy
kx-1
易错警示
若k=0,则y=0恒成立,为常数函数,失去了反比例函数的意义.
知识点二 反比例函数的图象与性质
双曲线
2.反比例函数的性质
k的符号 k>0 k<0
图象的 大致位置
所在象限 第 象限 第 象限
一、三
二、四
增减性 在每一个象限内,y随x的增大而 在每一个象限内,y随x的增大而
图象特征 自变量x的取值范围为 , 图象无限接近坐标轴,但不与坐标轴相交 对称性 (1)轴对称性:关于直线y=x,y=-x对称; (2)中心对称性:关于原点中心对称 减小
增大
x≠0
3.比例系数k的几何意义
4.常见的与反比例函数有关的图形面积
S矩形OAPB=|k|
S△AOP=
S△ABC=
|k|
2|k|
知识点三 实际问题与反比例函数
1.一般地,建立反比例函数模型有以下两种常用方法:
(1)待定系数法
若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数,则可用待定系数法求反比例函数解析式.
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤:
③解——解方程,求出常数k的值;
④写——把k的值代入反比例函数的解析式中即可写出解析式.
(2)根据数量关系列方程法
若题目信息中变量之间的函数关系不明确,在这种情况下,通常根据数量关系列出关于函数(y)和自变量(x)的方程,解方程,得到函数解析式.
C
考点1 反比例函数的图象与性质
A
A
考点2 反比例函数中比例系数k的几何意义
C
即时训练
8
五年真题
命题点1 反比例函数图象上点的坐标特征(5年3考)
B
5
命题点2 反比例函数的图象与性质(5年1考)
A
命题点3 用待定系数法求反比例函数的解析式(5年1考)
4.(2021云南T10,3分)若反比例函数的图象经过点(1,-2),则该反比例函数的解析式(解析式也称表达式)为 .
两年模拟
说明k-1<0
A
k等于点B的横、纵坐标的积,由此想到过点B作x轴的垂线(图略),结合等边三角形的“三线合一”的性质及k的几何意求解.
A
新题型·新考法
7.跨化学学科 (2025山西)氢气是一种绿色清洁能源,可通过电解水获
得.实践小组通过实验发现,在电解水的过程中,生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系.如表是一组实验数据,根据表中数据,y与x之间的函数关系式为( )
C
水的质量x/g 4.5 9 18 36 45
氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5
分别令x=0,y=0,求所得方程的解,若有解,说明有交点,否则无交点
B(共21张PPT)
第12讲 一次函数的图象与性质
考点梳理 夯基础
重难精析 提能力
知识点一 一次函数的图象与性质
一次函数 y=kx+b(k≠0)(当b=0时,y=kx为正比例函数) k决定图象的倾斜方向和增减性 k>0 k<0
从左向右看,图象呈上升趋势,y随x的增大而 从左向右看,图象呈下降趋势,y随x的增大而
增大
减小
b决定图象与y轴的交点位置 b>0 交点在y轴 半轴上 b=0 交点为原点 b<0 交点在y轴 半轴上 b>0 交点在y轴 半轴上 b=0 交点为原点 b<0 交点在y轴
半轴上
函数 图象
正
负
正
负
图象经过的象限 第 . 象限 第 . 象限 第 . 象限 第 . 象限 第 . 象限 第 .
象限
图象与x轴的交点坐标 令y=0,求对应的x的值,可得交点坐标为 图象与y轴的交点坐标 令x= ,求对应的y的值,可得交点坐标为 注:一次函数的图象是经过点(0, ),( ,0)的一条直线;正比例函数的图象是一条经过点 的直线 一、二、三
一、三
一、三、四
一、二、四
二、
四
二、三、四
0
(0,b)
b
(0,0)
知识点二 一次函数解析式的确定
1.待定系数法
2.平移法(关键:k不变)
平移前的解 析式 平移方式 平移后的解析式 简记
y=kx+b(k≠0) 向左平移m个单位长度 y=k(x )+b 左加右减
向右平移m个单位长度 y=k(x-m)+b 向上平移m个单位长度 y=kx+b+m 上加下减
向下平移m个单位长度 y=kx+b +m
-m
知识点三 一次函数与方程(组)、不等式的关系
1.与一元一次方程的关系:一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解.
2.与二元一次方程组的关系:两个一次函数的图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解.
3.与一元一次不等式的关系
分类 不等式kx+b>0的解集 不等式kx+b<0的解集
从“数”上看 在函数y=kx+b中,当 时, x的取值范围 在函数y=kx+b中,当
时,x的取值范围
从“形”上看 函数y=kx+b的图象位于 . 部分对应的点的横坐标的取值范围 函数y=kx+b的图象位于
部分对应的点的横坐标的取值范围
y>0
y<0
x轴
上方
x轴下方
拓展延伸
在同一平面直角坐标系中,直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2的位置关系:
(1)当k1=k2且b1≠b2时,两条直线平行;
(2)当k1≠k2时,两条直线相交,若b1=b2=b,则两条直线相交于点(0,b).
考点1 一次函数的图象与性质
例1 对于一次函数y=x+1,下列结论错误的是( )
A.函数值随自变量的增大而增大
B.当x>-1时,y>0
C.函数图象不经过第四象限
D.函数图象与x轴交点的坐标是(0,-1)
D
即时训练
1.若k<0,b>0,则函数y=kx+b的图象可能是( )
B
A B C D
2.(2025昭通模拟)如果直线y=kx+b经过第一、二、四象限,那么k,b的取值范围是( )
A.k>0,b>0 B.k>0,b<0
C.k<0,b>0 D.k<0,b<0
3.若点A(-3,y1),B(1,y2)都在直线y=-2x+5上,则y1与y2的大小关系是
( )
A.y1>y2 B.y1C.y1≤y2 D.y1≥y2
C
A
考点2 一次函数解析式的确定
例2 已知一次函数的图象过点(3,5)与点(2,3),求这个一次函数的解
析式.
即时训练
4.一次函数y=5x+b的图象经过点(1,10),将一次函数y=5x+b的图象向下平移3个单位长度,所得函数的解析式为 .
5.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(-3,2),与x轴的交点为B,若OB=4,则这个一次函数的解析式为 .
y=5x+2
6.如图所示,已知过点B(1,0)的直线l1与直线l2:y=2x+4相交于点
P(-1,a).
(1)求直线l1的解析式;
(2)求四边形PAOC的面积.
是不规则图形,借助规则图形面积的和或差来求解
x<3
即时训练
7.(2025昭通模拟)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图所
示,一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3),则关于x的方程x+b=kx+4的解是( )
实质是两个一次函数图象的交点的横坐标
A.x=-2 B.x=0
C.x=1 D.x=-1
C
8.如图所示,函数y=kx+b(k≠0)的图象与函数y=2x的图象交于点A(a,2),则不等式kx+b<2x的解集为 .
函数y=kx+b的图象位于函数y=2x的图象下
方部分对应的点的横坐标的取值范围
x>1(共23张PPT)
第三章 函数
第11讲 平面直角坐标系及函数(5年3考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 平面直角坐标系中点的坐标特征
1.对应关系:平面直角坐标系内的点和有序数对是一一对应的.
2.各象限内点的坐标特征
如图所示,第一象限 x>0且y>0;
第二象限 x 0且y 0;
第三象限 x 0且y 0;
第四象限 x>0且y<0.
<
>
<
<
3.坐标轴上点的坐标特征
如图所示,点M1(x,y)在x轴上 =0;
点M2(x,y)在y轴上 =0;
点M3(x,y)在原点 .
y
x
x=0,y=0
注意
坐标轴上的点不属于任何象限,原点既在x轴上,又在y轴上.
4.关于原点及坐标轴对称的点的坐标特征
如图所示,点P(a,b)关于x轴对称的点P1的坐标为 ;
点P(a,b)关于y轴对称的点P2的坐标为 ;
点P(a,b)关于原点对称的点P3的坐标为 .
(a,-b)
(-a,b)
(-a,-b)
5.点的平移
如图所示,点P(x,y)向左平移a个单位长度得到点P1 ;
点P(x,y)向右平移a个单位长度得到点P2 ;
点P(x,y)向上平移b个单位长度得到点P3 ;
点P(x,y)向下平移b个单位长度得到点P4 .
(x-a,y)
(x+a,y)
(x,y+b)
(x,y-b)
知识点二 平面直角坐标系中的距离
1.点到坐标轴及原点的距离
如图所示,点P(a,b)到x轴的距离是 ;
点P(a,b)到y轴的距离是 ;
点P(a,b)到原点的距离是 .
|b|
|a|
2.中点坐标公式
已知点P(a1,b1)与点Q(a2,b2)为平面直角坐标系中任意两点,那么线段PQ
的中点坐标为 .
3.两点间的距离公式
已知点P(a1,b1)与点Q(a2,b2)为平面直角坐标系中的任意两点,那么线段
PQ = .
知识点三 函数
1.概念:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变
量,y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函
数值.
2.函数自变量范围的确定
不等于0
非负数
解集
考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征
例1 点A(1,-3)关于x轴的对称点B的坐标为 ;点B关于y轴的对称点C的坐标为 ;若点A关于原点的对称点为点D,则点D的
坐标为 .
两点关于原点成中心对称
(1,3)
(-1,3)
(-1,3)
即时训练
1.若点A(a,b)在第二象限,则点B(a,-b)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.在平面直角坐标系中,点P(-1,m2+1)位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
B
例2 在平面直角坐标系中,点A(2,3)关于x轴的对称点的坐标是
;关于y轴的对称点的坐标是 ;关于原点的对称点是 .
即时训练
3.在平面直角坐标系中,已知点A在y轴上,且位于原点的下方,距离原点4个单位长度.
(1)点A的坐标为 .
(2)将点A先向上平移5个单位长度,再向右平移3个单位长度得到点B,则点B位于第 象限,坐标为 ,线段AB的长度为 .
(2,-3)
(-2,3)
(-2,-3)
(0,-4)
一
(3,1)
(3)在(2)的条件下,点B关于x轴对称的点的坐标为 ,关于y轴对称的点的坐标为 ,关于原点对称的点的坐标为 .
(3,-1)
(-3,1)
(-3,-1)
此处角平分线上点的横、纵坐标互为相反数
(-2,2)或(2,-2)
D
C
考点3 函数与图象
例3 [教材八下P76例2改编]周末,小明骑车去图书馆借书,中途遇到了一个红灯,绿灯后继续向图书馆骑行,借完书之后一路绿灯骑车回家.如图所示的图象描述了他离家的距离s(单位:m)与骑行时间t(单位:min)之间的关系.根据图中提供的信息,给出下列说法:
①小明共骑行了2 400 m;
②小明在图书馆停留了2 min;
③小明从家到图书馆路上的平均速度为400 m/min;
④小明从图书馆回家路上的平均速度为200 m/min.
其中正确的说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
与x轴平行,说明在这段时间内,离家的距离不变
B
即时训练
6.跨物理学科 如图所示,用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中,然后匀速向上提起,使铁块完全露出水面,并上升一定高度,则下列能反映弹簧测力计的读数y(单位:N)与铁块被提起的时间x(单位:s)之间的函数关系的大致图象是( )
A
A B C D
五年真题
命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征(5年1考)
1.(2022 云南T14,4分)点A(1,-5)关于原点的对称点为点B,则点B的坐标为 .
命题点2 函数自变量的取值范围(5年2考)
(-1,5)
x≠10
D
4.(2024昆明呈贡区期末)已知AB∥y轴,且点A的坐标为(m,m+1),点B的坐标为(1,3),则点A的坐标为( )
A.(1,2) B.(1,-3) C.(2,3) D.(-2,-3)
新题型·新考法
5.如图所示是中国象棋棋盘的一部分,在图中建立平面直角坐标系,已知“車”所在位置的坐标为(-2,2),则“炮”所在位置的坐标为( )
A.(3,1) B.(1,3)
C.(4,1) D.(3,2)
A
A
6.(2025广安)在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(a,b),且a,b满足(a-2)2+|b+3|=0,则点A在第 象限.
四(共17张PPT)
第15讲 一次函数与反比例函数综合
考点1 交点问题
(1)求反比例函数的解析式;
即时训练
横、纵坐标相等
C
A
-1≤x
<0或x≥2
考点2 面积问题
(1)求一次函数的解析式;
(2)点P是x轴上一点,△BOP的面积等于8,求点P坐标;
把点的坐标转化成相关线段的长,根据图形的面积公式列方程求解
(3)连接OA,OB,求△AOB的面积.
它的任意一边都不在坐标轴上或与坐标轴平行,把△AOB的面积转化成共底(在y轴上)的两个三角形的面积和
【解题策略】
求函数图象与线段(或与坐标轴)
围成的图形面积的方法
(1)通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边,再利用点的坐标求得底边上的高,最后利用面积公式求解.
(2)当图形的任意一边都不在坐标轴上,也不与坐标轴平行时,需要利用割补法把图形的面积转化为几个三角形的面积和,保证这些三角形的边在坐标轴上或与坐标轴平行,再利用(1)中的方法求面积.
②S△ADB=S△ACD+S△BDC;
③S△AOB=S△ACO+S△BOC=S△ADO+S△BDO.
即时训练
(1)求直线AC的解析式;
(2)求△AOC的面积.
A
0
比
B
/
A
C
X
0
B
A
X
X
C
X
⑧
Y米
A
BO(共26张PPT)
第19讲 二次函数的实际应用(近5年无考查)
重难精析 提能力
聚焦云南 明考向
考点1 利润、最值问题
例1 [教材九上P50探究2改编]某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10
件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大
为了完成以上问题,小刚分析:调整价格包括涨价和降价两种情况.小刚先探究了涨价的情况,下面是小刚的思路,请你帮助小刚完善以下内容:
(1)假设每件涨价x元,则所得利润y与x的函数关系式为 ;其中x的取值范围是 ;在涨价的情况下,售价为 元时,利润最大,最大利润是 元.
(2)在降价的情况下,最大利润是多少
解:(1)y=-10x2+100x+6 000 0≤x≤30 65 6 250
(2)设每件降价m元,每星期售出商品的利润为w元,
则w=(60-40-m)(300+20m)=-20m2+100m+6 000.
∵该函数图象的对称轴为直线m=2.5,
∴当x=2.5时,w取得最大值,最大值为6 125.
故在降价的情况下,最大利润为6 125元.
(3)该商品如何定价才能使利润最大
解:(3)∵6 250>6 125,
∴该商品定价65元才能使利润最大.
【名师点睛】
利用二次函数解决实际问题的方法
(1)建模:设未知数,根据题意列出函数解析式,通常为二次函数y=ax2+bx
+c(a≠0).
(2)分析:若a < 0 ,则函数有最大值;若a>0,则函数有最小值.
(3)求顶点:若顶点的横坐标在取值范围内,可直接代入求最值.
(4)验证:若顶点的横坐标(或对称轴)不在取值范围内,代入区间端点值求最值.
(5)结合实际:检查所得结果是否在取值范围内,且是否符合题意,确保答案正确.
考点2 几何图形面积问题
例2 [教材九上P57T7改编]如图所示,某农户计划用篱笆围成一个矩形场地种菜,为充分利用现有资源,该矩形场地一面靠墙(墙的长度为18 m),另外三面用篱笆围成,中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别种植不同农作物,计划购买篱笆的总长度为32 m,设矩形场地的长为x m,宽为y m,面积为S m2.
公式:S矩形=长×宽
(1)分别求出y与x,S与x的函数解析式.
观察图形,可得4y+x=32
(2)当x为何值时,矩形场地的总面积最大 最大面积为多少
(3)若购买的篱笆总长增加8 m,矩形场地的最大总面积能否达到100 m2 若能,请求出x的值;若不能,请说明理由.
方程有解说明能达到,否则不能达到
考点3 抛物线型问题
例3 某座大桥,其形状可近似看成抛物线,钢拱最高处点C与路面的距离OC为50 m,若以点O为原点,OC所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,抛物线与x轴相交于A,B两点,且A,B两点间的距离为80 m.
由抛物线在平面直角坐标系中的位置,可设其解析式为y=ax2+k或y=a(x-40)(x+40)
(1)求该抛物线的解析式;
把相关线段的长转化为点的坐标,利用待定系数法求解
(2)钢拱最高处点C与水面的距离CD为72 m,请求出此时这条钢拱之间水面的宽度;
(3)当-32【名师点睛】
抛物线型问题的解题方法
(1)合理建立平面直角坐标系,设函数解析式(一般设顶点式或交点式).
(2)利用已知点的坐标或几何条件(如对称轴、顶点、跨度)求解析式.
(3)若求最大高度,看顶点;若求水平距离,找图象与x轴(或与x轴平行的直线)的交点.
(4)结合实际条件(如落地时间、边界条件等)确定有效解,数形结合,利用对称性简化计算.
两年模拟
1.(2024玉溪红塔区模拟)一个球从地面竖直向上弹起,球距离地面的高度h(单位:米)与经过的时间t(单位:秒)满足函数关系式h=-5t2+15t,那么球弹起后又回到地面所经过的时间是 秒.
此时函数值为0,即0=-5t2+15t
3
2.(2025云南红河模拟)某商店计划销售某种食品,进价为20元/千克,经市场调研发现,该食品每千克的售价必须高于20元,又要低于50元.这种食品的日销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间存在一次函数关系,部分图象如图所示.
(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)若该食品的日销售量不低于90千克,当售价为多少时,每天获取的利润最大 最大利润是多少
对应的符号为“≥”
3.(2025云南玉溪模拟改编)某影院每天的运营成本为2 000元,该影院每天售出的电影票数量y(单位:张)与售价x(单位:元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80,且x是整数),部分数据如下表:
电影票售价x(元/张) 50 60
售出电影票数量y(张) 124 84
(1)请求出y与x之间的函数关系式.
(2)该影院将电影票售价x(单位:元/张)定为多少时,每天的利润w(单位:元)最大 最大利润是多少 (注:每天的利润=票房收入-运营成本)
新题型·新考法
4.(2025昆明东川区二模)某超市需购进某种商品,每件的进价为10元,设该商品的销售单价为x(单位:元),在销售过程中发现:当10≤x≤20时,该商品的日销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)之间的部分对应值如下表:
销售单价x(元) 10 12 14 16 18
日销售量y(件) 180 168 156 144 132
分析数据,x每增加2,y就减少12
(1)当10≤x≤20时,你认为一次函数、反比例函数,哪个更符合y与x之间的关系 请求出y与x之间的函数关系式.
(2)设该商品的日销售利润为w元,当该商品的销售单价x定为多少元时,日销售利润最大 最大利润是多少 (共20张PPT)
第17讲 二次函数解析式的确定及图象的变换(含平移)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 二次函数解析式的确定(待定系数法)
1.基本方法
设出解析式,根据抛物线经过的点的坐标,利用待定系数法求解.
一般形式:设抛物线为y=ax2+bx+c,将已知点的坐标代入解析式,列出方程组,解方程组求出系数a,b,c的值,最后代入解析式即可.
2.抛物线经过特殊点时所设解析式
抛物线经过的特殊点 所设解析式(a≠0)
顶点为原点 y=ax2
抛物线过原点 y=ax2+bx
对称轴是y轴(顶点在y轴上) y=ax2+c
顶点在x轴上 y=a(x-h)2
顶点坐标为(h,k) y=a(x-h)2+k
与x轴的两个交点的坐标分别为(x1,0),(x2,0) y=a(x-x1)(x-x2)
任意三点 y=ax2+bx+c
(1)根据题目条件选择合适的解析式形式,可简化计算过程.
(2)待定系数法是通过已知条件建立方程组,从而确定解析式中未知系数的方法.
知识点二 二次函数图象的平移
2.平移规律
左 右 ,上 下 .
加
减
加
减
3.平移的方法
(1)将抛物线的解析式y=ax2+bx+c(a≠0)转化为y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标;
(2)保持抛物线的形状不变,平移其顶点(h,k)即可.
4.保持y=ax2的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法如下:
考点1 二次函数解析式的确定
例1 根据下列已知条件,求二次函数的解析式.
(1)若二次函数图象的顶点在x轴上,且横坐标为1,经过点(2,-4),则该二次函数的解析式为 ;
(2)若二次函数图象的顶点坐标为(2,-2),函数图象过点(3,1),则该二次函数的解析式为 ;
y=-4(x-1)2
y=3(x-2)2-2
(3)若二次函数图象的顶点在y轴上,与y轴的交点为(0,-1) ,函数图象过点(-4,-5),则该二次函数的解析式为 ;
(4)若二次函数的图象经过点(-4,0),(2,0),(0,8),则该二次函数的解析式为 .
y=-0.25x2-1
y=-x2-2x+8
【名师点睛】
根据题目中的已知条件,比如对称轴、顶点坐标、与坐标轴的两个交点等来灵活选择所设解析式的形式.
即时训练
1.(1)若抛物线y=x2+bx+c经过(1,0)和(3,0),则其解析式是 .
(2)已知抛物线y=x2-2bx+c,若抛物线的顶点坐标是(2,-3),则b= ,
c= .
(3)已知抛物线y=ax2+bx-4的对称轴为直线x=-1,且抛物线经过点(3,
-3),则其解析式为 .
(4)若二次函数的图象经过点A(3,0),对称轴为直线x=1,与y轴正半轴交于点C,且OC=2,则其解析式为 .
y=x2-4x+3
2
1
2.在平面直角坐标系中,抛物线的顶点坐标是(-1,2),并且经过点(2,
11).求抛物线的解析式.
解:设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+2.
∵抛物线经过点(2,11),
∴11=a×(2+1)2+2,
解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x+1)2+2.
考点2 二次函数图象的平移
例2 (1)把抛物线y=(x-1)2+2先向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度后,所得新抛物线的解析式为 ;
(2)将抛物线y=x2-2x+2先向右平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线的顶点坐标为 ;
(3)抛物线y=(x-1)2+3是由抛物线y=x2先向右平移 个单位长度,再向 平移 个单位长度后所得.
y=(x+1)2-2
(3,5)
1
上
3
【名师点睛】
如果所给的抛物线的解析式不是顶点式,需要先把抛物线的解析式化为顶点式的形式,然后根据函数图象的平移规则“左加右减,上加下减”
求解.
即时训练
3.把抛物线y=-x2+1向左平移1个单位长度,然后向上平移3个单位长度,则平移后抛物线的解析式为( )
A.y=-(x+3)2+1
B.y=-(x+1)2+3
C.y=-(x-1)2+4
D.y=-(x+1)2+4
D
4.将二次函数y=x2-6x+5的图象先向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度后得到的图象的顶点坐标是( )
A.(1,-1) B.(5,-1)
C.(1,-7) D.(3,2)
B
两年模拟
1.(2024云南考试丛书)若抛物线y=-x2+bx+c如图所示,则此抛物线的解析式为 .
y=-x2+2x+3
A
3.平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),平移该抛物线,使点A平移后的对应点A′落在原抛物线的对称轴上,点B平移后的对应点B′落在直线y=x-1上,求平移后的抛物线的解析式.
解:令y=x2-2x-3=(x+1)(x-3)=0,解得x1=-1,x2=3.
∵点A在点B的左侧,
∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0).
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∵点A′与点B′的纵坐标相等,且A′B′=AB=4,
由题意可知点A′的横坐标为1,
∴点B′的横坐标为5.
又∵点B′落在直线y=x-1上,
∴点B′的坐标为(5,4),
∴平移后的抛物线是由抛物线y=x2-2x-3向右平移2个单位长度,向上平移4个单位长度得到的,
∴平移后的抛物线的解析式为y=(x-1-2)2-4+4=x2-6x+9.
新题型·新考法
4.(2025山东)在水分、养料等条件一定的情况下,某植物的生长速度y
(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1 000)内,y与x近似成一次函数关系;在中高光照强度范围(x
≥1 000)内,y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象,知下列结论正确的是( )
A.当x≥1 000时,y随x的增大而减小
B.当x=2 000时,y有最大值
C.当y≥0.6时,x≥1 000
D.当y=0.4时,x=600
B
1(共18张PPT)
第18讲 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系(5年4考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点的 坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
(1)如图(1)(2)所示,当b2-4ac=0时,抛物线与x轴只有一个交点,方程ax2
+bx+c=0有 的实数根;
横
两个相等
图(1) 图(2)
(2)如图(3)(4)所示,当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点,方程ax2+
bx+c=0有两个不相等的实数根;
图(3) 图(4)
(3)如图(5)(6)所示,当b2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点,方程ax2+bx+c
=0无实数根.
图(5) 图(6)
2.二次函数与不等式的关系
(1)不等式ax2+bx+c>0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方部分所对应的点的横坐标的取值范围;
(2)不等式ax2+bx+c<0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方部分所对应的点的横坐标的取值范围.
[可以借助如图(1)(2)所示的抛物线加以理解]
图(1) 图(2)
拓展
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=mx+n(m≠0)图象的交点情况:
将ax2+bx+c=mx+n转化为关于x的方程ax2+(b-m)x+(c-n)=0,如图所示,以a>0为例.
①当Δ<0时,两函数图象没有交点
②当Δ=0时,两函数图象有唯一交点 ③Δ>0时,两函数图象有两个交点 考点 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系
例 (1)二次函数y=x2-2x-1的图象与x轴的交点情况是( )
A.有两个交点
B.只有一个交点
C.没有交点
D.无法确定
A
(2)若二次函数y=ax2-4ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-4ax+c=0的解为( )
A.x1=-1,x2=-5 B.x1=5,x2=1
C.x1=-1,x2=5 D.x1=1,x2=-5
(3)若二次函数y=(k-1)x2+2x-1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是
.
(4)若二次函数y=2x2-x+k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是
.
C
k≥0且k≠1
即时训练
1.(2025安徽)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则( )
A.abc<0 B.2a+b<0
C.2b-c<0 D.a-b+c<0
2.(2024宁夏)若二次函数y=2x2-x+m的图象与x轴有交点,则m的取值范围是 .
C
五年真题
命题点 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系(5年4考)
(常融合在二次函数的综合题中考查)
两年模拟
1.(2024云南考试丛书改编)已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).
(1)求证:无论m取何值,该函数的图象都经过y轴上一个定点;
y轴上点的横坐标为0
(1)证明:当x=0时,y=1,∴无论m取何值,该函数的图象都经过y轴上一个定点(0,1).
(2)若该函数的图象与x轴只有一个公共点,求m的值;
题中没有明确是哪一种函数,故需要分m=0
和m≠0两种情况讨论.
(2)解:当m=0时,函数为y=-6x+1,该函数图象与x轴只有一个公共点.
当m≠0时,
∵该函数的图象与x轴只有一个公共点,
∴令y=mx2-6x+1=0,则Δ=36-4m,
∴36-4m=0,即m=9,
综上,m的值为0或9.
(3)当该函数的图象与x轴有两个公共点时,求m的取值范围,并求m为最大
整数时,方程mx2-6x+1=0的两个根.
说明该函数为二次函数,即m≠0,且Δ>0
(2)当该函数图象与x轴的交点的横坐标为整数时,求整数m的值.
没有明确哪类函数,需要分类讨论
说明函数值y=0(共31张PPT)
第13讲 一次函数的实际应用(5年5考)
重难精析 提能力
聚焦云南 明考向
考点1 最值问题
例1 (2024云南T25,8分)A,B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意,深受大家喜欢.某超市销售A,B两种型号的吉祥物,有关信息如表:
型号 成本(元/个) 销售价格(元/个)
A 35 a
B 42 b
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物,则一共需要670元;若购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物,则一共需要
410元.
(1)求a,b的值.
即时训练
1.(2022云南T22,8分)某学校要购买甲、乙两种消毒液,用于预防流感.若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液,则一共需要615元;若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液,则一共需要780元.
(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元
(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶,其中购买甲消毒液a桶,且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶,又不超过乙消毒液的数量
的2倍.怎样购买,才能使总费用W最少 并求出最少费用.
对应的数学符号为“≤”
规范解答
解:(2)由题意,得
W=45a+35(30-a)=10a+1 050,
∴W随a的增大而增大.……………………………………………(5分)
考点2 方案问题
例2 (2025昆明盘龙区模拟)某车企在新能源汽车的制造过程中,需要用到某种规格的动力电池零部件,现有两种供应这种零部件的方案.
方案一:从新能源汽车配件生产公司直接购买,每个动力电池零部件的单价为10万元;
方案二:由车企引进一套汽车配件机器人自动化生产线进行加工制作,车企需要一次性投入生产线建设费用16 000万元,且每加工一个动力电池零部件还需支付成本费2万元.
设该车企需要使用到这种规格的动力电池零部件的数量为x个,选择方案一需要花费的总费用为y1万元,选择方案二需要花费的总费用为y2万元.
(1)请分别写出y1和y2关于x的函数解析式.
解:(1)对于方案一,∵每个动力电池零部件的单价为10万元,
∴y1=10x.
对于方案二,∵需一次性投入生产线建设费用16 000万元,每加工一个零部件的成本为2万元,
∴y2=16 000+2x.
(2)如果你是该车企决策者,为了让车企所花费的总费用最低,你认为应该选择哪种方案
可以借助(1)中的两个函数进行分析
解:(2)令10x=16 000+2x,解得x=2 000,
∴当x=2 000时,两种方案所花费的总费用相等.
令10x<16 000+2x,解得x<2 000,
∴当x<2 000时,选择方案一所花费的总费用更低.
令10x>16 000+2x,解得x>2 000,
∴当x>2 000时,选择方案二所花费的总费用更低.
即时训练
2.(2021云南T21,8分)某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案.
方案一:没有底薪,只付销售提成;
方案二:底薪加销售提成.
如图所示,射线l1、射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一、方案二付给销售人员的工资y1(单位:元)和y2(单位:元)与其当月鲜花销售量x(单位:千克)(x≥0)的函数关系.
(1)分别求y1,y2关于x的函数解析式(解析式也称表达式);
(2)若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克,但其3月份的工资超过2 000元,这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资
规范解答
解:(2)当x=70时,
y1=30×70=2 100>2 000; ……………………………………………(6分)
y2=10×70+800=1 500<2 000. ………………………………………(7分)
答:这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资.………(8分)
五年真题
命题点 二元一次方程组、一次函数、不等式的实际应用(5年5考)
1.(2025云南T25,8分)请你根据下列素材,完成有关任务.
背景 某校计划购买篮球和排球,供更多学生参加体育锻炼,增强身体素质.
素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等;
素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元;
素材三 该校计划购买篮球和排球共60个,篮球和排球均需购买,且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍.
请完成下列任务: 任务一 每个篮球、每个排球的价格分别是多少元
任务二 给出最节省费用的购买方案.
规范解答
解:(任务二)设购买m个篮球,该校购买篮球和排球共花费w元,则购买(60
-m)个排球,
根据题意,得w=150m+100(60-m)=50m+6 000,
∵50>0,∴w随m的增大而增大.
∵60-m≤2m,解得m≥20, ……………………………………………(6分)
∴当m=20时,w取得最小值,此时60-m=60-20=40.
答:最节省费用的购买方案是购买20个篮球,40个排球.………… (8分)
两年模拟
2.(2025昆明模拟)某水果店出售一批水果.已知该水果的销售量y(单位:千克)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示,其中该水果的销售单价不超过60元.
(1)求y关于x的函数解析式;
观察图象,取两个特殊点的坐标或便于计算的两个点的坐标,利用待定系数法求解
(2)当水果店将该批水果的销售单价定为多少元时,销售额最大,最大销售额是多少元
根据“销售额=销售量×销售单价”列函数关系式
3.(2025昆明西山区一模)野生菌火锅是云南特有的美味,被评为云南十大经典名菜.某野生菌火锅店为吸引客户,推出两种套餐,近两天这两种套餐的销售情况统计如表:
时间 数量 收入
甲套餐 乙套餐 第一天 20个 10个 3 200元
第二天 15个 20个 3 900元
(1)求甲、乙两种套餐的单价.
对应的数学符号为“≥”
总利润=销售量×单个商品的利润
新题型·新考法
4.[教材八下P100T15改编]甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品,春节期间两家商场都让利酬宾,设商品原价为x元,购物金额为y元.甲商场所有商品按8折出售;乙商场对一次购物中超过200元后的部分打折销售,且购物金额与商品原价之间满足一次函数关系如下表:
商品原价x/元 200 300 400 500 …
购物金额y/元 200 270 340 410 …
(1)请求出乙商场购物金额y(元)与商品原价x(元)之间的函数关系式,并直接写出自变量的取值范围;
(2)春节期间去哪家商场购物更省钱
解:(2)∵甲商场购物金额y(元)与商品原价x(元)之间满足关系式y=0.8x,
∴当0当x>200时,令0.7x+60>0.8x,解得x<600;
令0.7x+60=0.8x,解得x=600;
令0.7x+60<0.8x,解得x>600.
∴当商品原价小于600元时,到甲商场购物更省钱;
当商品原价等于600元时,两个商场购物优惠相同;
当商品原价大于600元时,到乙商场购物更省钱.
