(共23张PPT)
第23讲 直角三角形(5年3考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 直角三角形的性质及判定
1.定义:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
2.性质
(1)直角三角形的两锐角 ;
(2)勾股定理:两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即 ;
(3)30°角所对的直角边等于斜边的 ;
(4)斜边上的中线等于斜边的 .
互余
a2+b2=c2
一半
一半
3.判定
(1)有一个角是 的三角形是直角三角形;
(2)有两个角 的三角形是直角三角形;
(3)勾股定理的逆定理:如果三角形三边a,b,c(c边最长)满足 ,那么这个三角形是直角三角形.
直角
互余
a2+b2=c2
知识点二 特殊的直角三角形的性质与判定
1.等腰直角三角形的性质
(1)两条直角边相等;
(2)两个锐角相等,均为45°;
(3)斜边上的高线把它分成两个全等的等腰直角三角形;
2.等腰直角三角形的判定
(1)有一个角是90°的等腰三角形是等腰直角三角形;
(2)有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形.
知识点三 常见的勾股数的规律(三个数都是正整数)
规律一:在一组勾股数中,当最小边为奇数时,它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和.如3,4,5;5,12,13.
规律二:在一组勾股数中,当最小边为偶数时,它的平方刚好等于相差为2的整数平方的差.如8,15,17.
规律三:在一组勾股数中,若第一个数是奇数,则另外两个数,一个数是它的平方减1的一半,一个数是它的平方加1的一半.
考点1 直角三角形的两个锐角互余
例1 如图所示,已知AB∥CD,点E在直线AB上,点F,G在直线CD上,EG⊥EF于点E,∠AEF=40°,则∠EGF的度数是( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
C
即时训练
1.如图所示,直线a∥b,点O在直线a上,∠AOB=90°,∠1=40°,则∠2的度数是( )
A.40° B.50° C.55° D.60°
B
考点2 含30°角的直角三角形的相关计算
例2 如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,DE⊥AC于点E,AE=3CE,则DE的长为
( )
D
即时训练
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,点D在BC上,AB⊥AD,AD=2,则
BC=( )
A.4 B.6 C.8 D.10
30°角所对的直角边等于斜边的一半
B
考点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例3 一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所
示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则CD=( )
A.3.5 cm B.3 cm
C.4 cm D.6 cm
B
即时训练
3.如图所示,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为( )
A.0.5 km B.0.6 km
C.0.9 km D.1.2 km
D
考点4 直角三角形的性质和判定的综合应用
例4 如图所示,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,CD是中线,
AE是角平分线,CD与AE交于点F,CD=6.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(1)求证:CD⊥AE;
(2)求EF的长.
即时训练
4.如图所示,△BDC为等腰直角三角形,延长BD至点A,连接AC,作∠ABC的平分线BE交DC于F,且BE⊥AC于E.若AE=12,△ABC的面积为360,则EF的长度为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
既是角平分线又是高,考虑等腰三角形的“三线合一”,得到等线段
已知面积与底边长,可求得高
△AEB≌△CEB
△BDF≌△CDA
A
五年真题
命题点 直角三角形的性质与判定
(必考,常融合在解答题或与其他知识综合考查)
两年模拟
1.(2025昭通模拟)下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A.1,2,3 B.5,12,13
C.5,6,10 D.12,13,14
B
2.(2025文山州模拟改编)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD=4,AD=
2CD,BD平分∠ABC且BD=AD,则AB的长为( )
C
3.(2025五华区模拟)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=45°,AD平分
∠BAC,下列说法不正确的是( )
A.∠BAC=90° B.AD⊥BC
C.BD=AB D.△ABD≌△ACD
C
4.(2025西山区模拟)第24届国际数学家大会会标是以我国古代的数学家赵爽的弦图为基础设计的,如图所示,会标由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形.如果图中每个直角三角形的两直角边长分别为4和6,那么大正方形的边长应在( )
A.5到6之间
B.6到7之间
C.7到8之间
D.8到9之间
C
5.(2025西山区校级模拟改编)如图所示,DE⊥DF,等边三角形ABC的边长为4,点B,C分别在射线DF,DE上滑动,求AD的最大值.
解:如图所示,取BC中点O,连接OD,OA,则AD≤OD+OA,当点O,D,A共线时,
AD有最大值,最大值是OD+OA.
∵△ABC为等边三角形,边长为4,O为BC中点,
∴BO=2,AO⊥BC.
新题型·新考法
6.(2025北京西城)如图所示是脊柱侧弯的检测示意图,在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小,需将∠O转化为与它相等的角,则图中与∠O相等的角是( )
A.∠BEA B.∠DEB
C.∠ECA D.∠ADO
B(共24张PPT)
第22讲 等腰三角形(5年5考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 线段的垂直平分线
1.定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.
2.定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
如图所示,直线l垂直平分AB于点O,点P,Q在直线l上,
则PA=PB,QA=QB.
3.逆定理:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
知识点二 等腰三角形的性质及判定(常考点)
1.定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的边叫做 ,另一边叫做 .
2.性质
(1)等腰三角形的两个底角 (简写成“等边对 ”);
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 .
(简写成“三线合一”);
(3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线是 .
腰
底
相等
等角
重合
对称轴
3.判定:(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).
知识点三 等边三角形的性质及判定
1.定义:三条边都相等的三角形是等边三角形.
2.性质
(1)等边三角形的三条边都 ;
(2)三个内角都相等,并且每个角都等于 ;
(3)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;
(4)等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合.
相等
60°
3.判定
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
重点必记
等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
60°
考点1 等腰三角形的性质
例1 如图所示,在△ABC中,AB=AC.为证明“等边对等角”这一结论,常添加辅助线AD,通过证明△ABD和△ACD全等从而得到角相等.下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是( )
A.角平分线AD,全等依据SAS
B.中线AD,全等依据SSS
C.角平分线AD,全等依据HL
D.高线AD,全等依据HL
C
例2 某等腰三角形的两条边长分别为3 cm和 6 cm,则它的周长为( )
A.9 cm B.12 cm
C.15 cm D.12 cm或15 cm
C
易错警示
分类讨论是要点,同时要考虑三角形存在性的问题.
即时训练
1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,且CD=AC.若∠C=40°,则∠BAD的度数为( )
A.10° B.20°
C.40° D.30°
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB的度数为
( )
A.100° B.115°
C.130° D.145°
D
B
考点2 等腰三角形的判定
D
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
例4 如图所示,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,∠BCD的平分线交AD于点F.若AB=7,BC=10,则EF的长为( )
A.4 B.3 C.6 D.5
平行线+角平分线→等腰三角形
A
即时训练
3.根据下列条件,不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶3
B.a∶b∶c=2∶2∶3
C.∠B=50°,∠C=80°
D.2∠A=∠B+∠C
D
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D,则以下推断错误的是( )
根据作图痕迹可知:BD平分∠ABC
D
5.[新教材八上P14例3改编]如图所示,已知在△ABC中,AB=AC,CD,BE是
△ABC两腰上的高,CD,BE相交于点F.求证:△BCF是等腰三角形.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∴CD,BE是△ABC两腰上的高,
∴∠BDC=∠CEB=90°.
∴∠FBC=90°-∠ACB,∠FCB=90°-∠ABC.
∴∠FBC=∠FCB.∴FB=FC.
∴△BCF是等腰三角形.
考点3 等边三角形的性质
例5 如图所示,△ABC是等边三角形,点D在BC的延长线上,点E是AC的中
点,且CE=CD,连接DE并延长交AB于点F.若EF=2,则DF的长为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
充分利用等边三角形每个内角都等于60°这个条件
D
即时训练
6.如图所示,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是
( )
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A
7.如图所示,等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°,则新钢架减少用钢( )
关注这些特殊角,由此角可得∠EBD=30°,在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,因此由30°角得到了边之间的数量关系
D
考点4 等边三角形的判定
例6 如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=
2,则AC的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
矩形的对角线相等且互相平分,再加上此条件,可得到正三角形
C
即时训练
8.有下列说法:
①等边三角形一定是等腰三角形;
②有两边相等的三角形一定是等腰三角形;
③若三角形的三边长a,b,c满足(a-b)2+|b-c|=0,则该三角形是等边三角形;
④若三角形的三边长a,b,c满足(a-b)(b-c)=0,则该三角形是等边三角形.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
五年真题
命题点 等腰三角形的性质、判定(5年5考)
1.(2024云南T8,2分)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为( )
C
2.(2022云南T18,4分)已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°,则△ABC的顶角度数为 .
40°或100°
两年模拟
3.(2025昭通模拟)如图所示,在△ABC中,DE垂直平分AB.若BD=6,CD=3,则AC的长是( )
可得等线段,如DA=DB
C
A.12 B.10 C.9 D.8
4.(2025昆明模拟)如图所示,△ABC为等边三角形,BD为△ABC的高,延长
BC至点E,使CE=CD=1,连接DE,则BE= .
充分利用等边三角形的内角均为60°这个条件,再结合外角的性质
3
5.(2024昆明校级模拟)如图所示,△OAB的顶点O(0,0),顶点A,B分别在第二、三象限,且AB⊥x轴.若AB=8,OA=OB=5,则点A的坐标是( )
等腰三角形的“三线合一”
D
新题型·新考法
6.如图所示,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为
.
100°(共29张PPT)
第26讲 解直角三角形(5年4考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 锐角三角函数的概念
知识点二 特殊角的三角函数值
锐角α 30° 45° 60° 图示
sin α
cos α tan α 1
知识点三 解直角三角形
1.由直角三角形中已知的元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
2.直角三角形中的边角关系(如图所示)
(1)三边之间的关系:a2+b2= ;
(2)锐角之间的关系:
∠A+∠B= ;
c2
90°
3.解直角三角形的一般方法
已知条件 方法
一直角边和一锐角(如a,∠A)
斜边和一锐角(如c,∠A)
两直角边(如a,b)
斜边和一条直角边(如c,a)
知识点四 解直角三角形的实际应用问题中的常用术语
仰角、 俯角 在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫 ,视线在水平线下方的角叫
仰角
俯角
坡度、 坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度 (坡比),用字母i表示; 坡面与水平线的夹角α叫坡角. i=tan α=
方 位 角 指北或指南的方向与目标方向所成的小于90°的角.图中OA的方位角为北偏东50°,OC的方位角为南偏西15°
易错辨析
近似数与精确度
(1)近似数:一个与实际数比较接近的数.对一个实际数取近似数时,用“≈”,实际应用题中作答时要用“约”字;
(2)精确度:描述近似数与精确数的接近程度.一个近似数四舍五入到某一位,就说这个近似数精确到那一位,如1.732精确到个位为2,精确到0.01(百分位)为1.73.
考点1 锐角三角函数的概念
例1 [教材九下P64练习T1改编]如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,求
sin A和sin B的值.
图(1)
图(2)
即时训练
1.(2025昆明五华区模拟)如图所示,点A,B,C在由边长为1的小正方形组成的网格格点上,则下列结论不正确的是( )
C
考点3 利用三角函数的定义解直角三角形
例3 [教材九下P77习题T1改编]在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,由下面的条件解直角三角形:∠A=30°,a=6.
考点4 解直角三角形的实际应用问题
例4 如图所示,我国的一艘海监船在岛A附近沿正东方向航行,船在B点时测得岛A在船的北偏东60°方向,船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点,此时岛A在船的北偏东30°方向.请问船继续航行多少海里与岛A的距离最近
添加辅助线,构造直角三角形求解
即时训练
4.(2024楚雄州模拟)如图所示,某中学九年级数学兴趣小组的学生用一个锐角是30°的三角板测量教学楼AB的高度.已知测量人员与教学楼的水平距离BC的长为18米,测量人员的眼睛与地面的距离CD的长为1.5米,则教学楼的高度是( )
B
5.(2024昆明西山区模拟)如图所示,某班数学课外活动小组的同学想要测量公园内一小山的高度BC,通过测量知道坡角∠A=25°,斜坡AB的长度为200 m,则小山的高度BC为( )
D
五年真题
命题点1 特殊角的三角函数值(5年4考)
命题点2 直角三角形的边角关系(5年4考)
2.(2025云南T15,2分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.若AB=13,BC=
5,则sin A=( )
D
C
D
命题点3 解直角三角形的实际应用
5.如图所示,点C位于点A正北方向,点B位于点A北偏东50°方向,点C位于点B北偏西35°方向,则∠ABC的度数为 °.
95
两年模拟
6.(2025东川区模拟)如图所示,两张宽度均为6 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的菱形的边长大约在( )
A.4 cm到5 cm之间
B.5 cm到6 cm之间
C.6 cm到7 cm之间
D.7 cm到8 cm之间
C
特殊角,添加辅助线构造直角三角形时,要充分利用线条的宽为 6 cm这个条件,如图所示,过点A作AC⊥BC于点C
7.(2025保山校级模拟)如图所示,在等边三角形ABC中,AB=4,点P在边AB上,AP=1.5,过点P作PE⊥AB交AC于点E,D为边BC的中点,则tan∠EPD的值为( )
B
新题型·新考法
8.跨物理学科 如图所示,在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中,用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体,观察到入射角(∠1)与折射角(∠2)约为4∶3的比例关系.为了挑战自我,同学们进一步思考:若两条入射光线以不同角度α,β斜射入这种液体,液体内折射光线的夹角γ与α,β的数量关系为( )
过界面上的两个入射点作垂直于水平面的直线,通过平行线的性质寻找角之间的数量关系
√(共21张PPT)
第24讲 全等三角形(5年6考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 全等三角形的概念和性质
1.概念:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.平移、翻转、折叠前后的图形全等.
2.全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边 ,全等三角形的对应角 ;
(2)全等三角形的周长 ,全等三角形的面积 ;
(3)全等三角形对应的角平分线、高、中线都 .
相等
相等
相等
相等
相等
知识点二 全等三角形的判定
1.如图(1)所示,已知三边分别相等,则两三角形全等,此定理可表示为
“SSS”.
2.如图(2)所示,已知两边及其夹角分别相等,则两三角形全等,此定理可表示为“SAS”.
图(1) 图(2)
3.如图(3)所示,已知两角及其夹边分别相等,则两三角形全等,此定理可表示为“ASA”.
4.如图(4)所示,已知两角和其中一个角的对边分别相等,则两三角形全等,此定理可表示为“AAS”.
图(3) 图(4)
5.如图(5)所示,已知直角三角形中的斜边和一条直角边分别相等,则两三角形全等,此定理可表示为“HL”.
图(5)
重点必记
证明两个三角形全等时,对应字母要写在对应位置上.
考点1 全等三角形的性质
例1 如图所示,已知AB=CD.若添加一个条件后,可得△ABC≌△CDA,则在下列条件中,可以添加的是( )
A.∠B=∠D B.AD∥BC
C.AB∥CD D.CA平分∠BCD
C
即时训练
1.[教材八上P33习题T5改编]如图所示,△ABC≌△DEC,CA和CD,CB和CE是对应边,∠ACD=28°,则∠BCE= °.
28
2.如图所示,AC=BC,AD=BD,这个图形叫做“筝形”.数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论:①△ACD≌△BCD;②AO=BO;③AB⊥CD;④
∠CAB=∠ABD.其中正确结论的序号是( )
A.①②③④ B.①②③
C.①②④ D.②③④
B
考点2 全等三角形的判定
例2 [教材八上P37练习T1改编]如图所示,点B是线段AC的中点,∠EAB=
∠DBC,∠ABE=∠BCD.求证:△ABE≌△BCD.
【解题策略】
获取证明全等三角形的条件的方法
题干中有“中点”想“等边”;有“角平分线”想“公共边”或“等角”
(出现“轴对称”想“公共边”或“等角”);有“平行线”想“等角”
(同位角或内错角);有“⊥”(或“直角三角形”)想“90°”(想到HL或互余找“等角”).
即时训练
3.如图所示,在△ABC和△DEF中,点A,E,B,D在同一直线上,AC∥DF,AC=
DF,只添加一个条件,能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.BC=DE B.AE=DB
C.∠A=∠DEF D.∠ABC=∠D
B
4.如图所示,AB=AD,∠B=∠D,∠BAE=∠CAD.
求证:AC=AE.
两边加上同一个量,等式仍然成立
五年真题
命题点 全等三角形的判定与性质(5年6考)
类型一 轴对称型(5年3考)
1.(2022云南T11,4分)如图所示,OB平分∠AOC,D,E,F分别是射线OA,射线OB,射线OC上的点,D,E,F与O点都不重合,连接ED,EF.若添加下列条件中的某一个,就能使△DOE≌△FOE,你认为要添加的那个条件是( )
A.OD=OE B.OE=OF
C.∠ODE=∠OED D.∠ODE=∠OFE
D
2.(2023云南T18,6分)如图所示,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC.求证:
△ABC≌△EDC.
3.(2021云南T16,6分)如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E.求证:∠DAC=∠CBD.
类型二 旋转型(5年2考)
4.(2025云南T21,6分)如图所示,AB与CD相交于点O,AC=BD,∠C=∠D.
求证:△AOC≌△BOD.
5.(2024云南T21,6分)如图所示,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=
∠CAD,AC=AD.
求证:△ABC≌△AED.
两年模拟
6.(2025曲靖麒麟区模拟)如图所示,已知点A,E,F,D在同一条直线上,AF=
DE,BE=CF,AB=CD.求证:△ABE≌△DCF.
7.(2024楚雄校级模拟)如图所示,在△ABC中,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:
△ABD≌△ACD.
新题型·新考法
8.如图所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别
在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为( )
等腰直角三角形+斜边的中点,考虑连接AD,构造等腰三角形“三线合一”的基本图形
不规则图形,可通过等量代换来转化成规则图形的面积
C(共35张PPT)
第四章 三角形
第20讲 线段、角、相交线与平行线(5年5考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 直线和线段
直线的基本事实 两点确定 直线
线段的基本事实 两点之间, 最短
两点间的距离 连接两点的线段的 叫做两点间的距离
线段的和差 如图所示,在线段AC上取一点B,则有AB+BC=AC,AB=AC-BC,BC=AC-AB
一条
线段
长度
线段的中点 如图所示,点M把线段AB分成相等的两条线段,则有AM=
= AB.类似地,还有线段的三等分点、四等分点等
BM
重点必记
点、线、面、体之间的关系为点动成线、线动成面、面动成体.
知识点二 角(常考点)
1.角的平分线
(1)定义:一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线.
∠BOC
∠AOB
2
2
2.余角和补角
余角 定义 如果两个角的和是 (直角),那么这两个角互为余角
性质 同角或等角的余角
补角 定义 如果两个角的和是 (平角),那么这两个角互为补角
性质 同角或等角的补角
90°
相等
180°
相等
知识点三 相交线与平行线(常考点)
1.相交线
对顶角 特征 有公共顶点,角的两边互为反向延长线
性质 对顶角
邻补角 有公共顶点,有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角 垂线 性质1 在同一平面内,过一点有且只有 条直线与已知直线垂直 性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 最短 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的 的长度 相等
一
垂线段
垂线段
三线 八角 同位角:∠1和∠5,∠4和∠8,∠2和∠6,∠3和∠7;
内错角:∠3和∠5,∠4和∠6;
同旁内角:∠3和∠6,∠4和∠5
2.平行线
(1)经过直线外一点, 一条直线与这条直线平行.
(2)如果b∥a,c∥a,那么 .
(3)性质与判定
①同位角相等 两直线 ;
②内错角相等 两直线 ;
③同旁内角互补 两直线 .
有且只有
b∥c
平行
平行
平行
知识点四 命题与定理
1.命题
判断一件事情的语句叫做命题,它包括题设和结论两部分,如果题设成
立,那么结论一定成立,这样的命题叫做 命题,题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做 命题.
2.互逆命题
两个命题的题设、结论正好相反,那么这两个命题叫做互逆命题.
3.判断真命题需要推理证明,判断假命题只需举出一个 .
真
假
反例
4.反证法
不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.
5.定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.
考点1 两点确定一条直线的实际应用
例1 [新教材七上P167T6改编]下列实际操作依据的数学道理是“两点确定一条直线”的是( )
C
A.将弯曲的河道改直
B.公园建九曲桥
C.建筑工人砌墙拉参照线
D.测量跳远成绩
考点2 两点之间线段最短的实际应用
例2 [新教材七上P165探究改编]如图所示,从A地到B地有①②③④四条路线,其中最短的路线是( )
A.① B.②
C.③ D.④
B
考点3 线段的计算
例3 [新教材七上P167T4改编]点C是线段AB的中点,点D是线段AC的三等分点.已知线段AB=12 cm,求线段BD的长.
易错警示
题干中没有图形,线段AC的三等分点的位置不确定,因此要分类讨论.本题容易漏掉点D位置的一种情况.
即时训练
1.已知线段AB=4,在直线AB上作线段BC,使得BC=2,若D是线段AC的中点,则线段AD的长为( )
A.1 B.3 C.1或3 D.2或3
没有图形,点C的位置不确定,需分类讨论
C
考点4 角的比较与计算
例4 如图所示,点O在直线AB上,OD是∠BOC的平分线,若∠AOC=140°,则∠BOD的度数为 .
20°
即时训练
2.如图所示,用量角器测得∠ABC的度数是( )
A.50° B.80° C.130° D.150°
C
3.如图所示,∠AOC=∠BOD=90°,∠AOD=126°,则∠BOC的大小为( )
A.36° B.44° C.54° D.63°
C
考点5 方位角
例5 小明与小亮要到科技馆参观.小明家、小亮家和科技馆的位置如图所示,则科技馆位于小亮家的( )
A.南偏东60°方向
B.北偏西60°方向
C.南偏东50°方向
D.北偏西50°方向
A
即时训练
4.如图所示,乙地在甲地的北偏东50°方向上,则∠1的度数为( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
B
考点6 余角和补角
例6 若∠A=55°,则∠A的补角为( )
A.35° B.45° C.115° D.125°
即时训练
5.若∠A=35°,则∠A的余角为( )
A.35° B.45° C.55° D.145°
D
C
考点7 相交线中角的识别和计算
例7 如图所示,直线AB,CD交于点O,OE⊥AB于O,若∠1=35°,则∠2的度数是( )
A.55° B.45° C.35° D.30°
A
即时训练
6.如图所示,按图中的方式摆放一副三角尺,直角顶点重合,直角边所在直线分别重合,那么∠BAC的大小为 .
135°
7.如图所示,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD的大小为
( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
A
考点8 平行线的判定
例8 如图所示,小明在地图上量得∠1=∠2,由此得出幸福大街与平安大街互相平行,他的依据是( )
A.同位角相等,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行
D.对顶角相等
B
考点9 平行线的性质
例9 (2024福建)在同一平面内,将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图所示方式摆放,若AB∥CD,则∠1的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
平行是打通角之间关系的桥梁
A
即时训练
8.(2025昆明模拟)如图所示,直线AB,CD被直线CE所截,AB∥CD,若∠1=
140°,则∠C的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
B
9.如图所示,已知AD∥BC,BD平分∠ABC.若∠A=110°,则∠D的度数是
( )
A.40° B.36° C.35° D.30°
往往有等腰三角形出现
C
五年真题
命题点 利用平行线的性质求角度(5年5考)
1.(2025云南T3,2分)如图所示,已知直线c与直线a,b都相交.若a∥b,∠1
=50°,则∠2=( )
A.53° B.52°
C.51° D.50°
D
2.(2023云南T3,3分)如图所示,直线c与直线a,b都相交.若a∥b ,∠1=
35° ,则∠2=( )
A.145° B.65° C.55° D.35°
D
两年模拟
3.(2025云南模拟)如图所示,直线l1和l2被直线l3和l4所截,∠1=∠2=
88°,∠3=105°,则∠4的度数为( )
A.75° B.88° C.95° D.105°
A
4.(2025昆明西山区模拟)如图所示,AB∥CD,DE⊥BC于点E,若∠CDE
=25°,则∠ABC的度数是( )
A.25° B.55°
C.65° D.75°
5.(2025昆明五华区模拟)已知∠α=24°50′,则它的余角为( )
A.65°10′ B.65°50′
C.155°10′ D.155°50′
C
A
新题型·新考法
6.跨物理学科 如图所示,一束平行光线照射平面镜后反射,若入射光线与平面镜的夹角∠1=50°,则反射光线与平面镜的夹角∠4的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
光在均匀介质中传播时,
反射角=入射角
B
7.如图所示,直线m∥n,一块含有30°角的直角三角板按如图所示的方式放置.若∠1=40°,则∠2的大小为( )
A.70° B.60° C.50° D.40°
与∠1互为对顶角
A(共17张PPT)
第21讲 一般三角形及其性质(5年3考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点 三角形的性质
1.三角形的三边关系
(1)三角形两边的和 第三边;
(2)三角形两边的差 第三边.
2.三角形的三条重要线段
(1)三角形的中线:连接三角形的一个顶点和它对边 所得到的线段;
大于
小于
中点
(2)三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,连接这个顶点和 的线段;
(3)三角形的角平分线:三角形一个内角的 和它所对的边交于一点,这个角的顶点与交点之间的线段.
3.三角形的内角和定理及推论
(1)三角形的内角和定理:三角形三个内角的和等于 ;
(2)推论:①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 .
②三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.
垂足
平分线
180°
和
4.角的平分线
(1)角平分线上的点到角的两边的距离 ;
(2)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 上.
5.三角形的中位线
(1)概念:连接三角形两边 的线段;
(2)定理:三角形的中位线 于第三边,并且等于第三边的 .
6.边角关系
在同一个三角形中,等边对等角;大边对大角;小边对小角.
相等
平分线
中点
平行
一半
考点1 三角形的三边关系
例1 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A.3,4,8 B.5,6,11
C.5,6,10 D.3,3,6
C
【名师点睛】
三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据,并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围.
即时训练
1.一木工有两根长分别为30厘米和50厘米的木条,要另找一根木条,钉成一个三角形木架,则第三根木条的长度x(厘米)应在的范围是( )
A.30C.20D
2.如图所示,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,以增加使用梯子时的安全性,这样做的道理是( )
A.两点之间,线段最短
B.三角形具有稳定性
C.两点确定一条直线
D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
B
考点2 三角形的高、中线、角平分线、中位线
例2 如图所示,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于点E.F为AB上一点,CF⊥AD,垂足为H.下列判断正确的是( )
A.AD是△ABE的角平分线
B.BE是△ABD的边AD上的中线
C.CH是△ACD的边AD上的高
D.AH是△ABC的角平分线
C
即时训练
3.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是( )
A.中线 B.角平分线 C.高 D.中位线
4.下面四个图形中,线段BE能表示三角形ABC的高的是( )
A
B
A B C D
5.(2024广安)如图所示,在△ABC中,D,E分别是AC,BC的中点.若∠A=
45°,∠CED=70°,则∠C的度数为( )
A.45° B.50° C.60° D.65°
D
考点3 三角形的内角和定理及其推论
例3 [教材八上P17T9改编] 如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,∠ACQ=100°,则∠ADB的度数为( )
A.80° B.40° C.100° D.130°
D
即时训练
6.如图所示,BD和CD是△ABC的角平分线,∠BDC=118°,则∠BAC= °.
56
五年真题
命题点 三角形的高、中线、角平分线、中位线(5年3考)
1.(2023云南T10,3分)如图所示,A,B两点被池塘隔开,A,B,C三点不共线.设AC,BC的中点分别为M,N.若MN=3米,则AB等于( )
A.4米 B.6米
C.8米 D.10米
B
两年模拟
2.(2025呈贡区校级模拟)如图所示,DE是△ABC的中位线,若AB+BC+AC=
30,则AD+DE+AE的长为( )
A.30 B.20 C.15 D.10
C
B
4.(2025曲靖模拟)如图所示,点F是∠ABC的平分线BM上一点,过点F作FE
∥AB交BC于点E,若∠CEF=40°,则∠FBE= 度.
20
新题型·新考法
5.(2025昭通模拟)如图所示,在△ABC中,AD是它的角平分线,AE是它的中线,AB=5,AC=3,BC=7,则ED的长为( )
C(共30张PPT)
第25讲 相似三角形(5年8考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 比例线段
3.平行线分线段成比例
(1)基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的 成比例;
(2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段 .
对应线段
成比例
知识点二 相似三角形
1.概念: 相等、 成比例的两个三角形叫做相似三角形.
2.性质
(1)相似三角形的对应角 ,对应边的比 ;相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 ;
(2)周长的比等于 ;面积的比等于 .
对应角
对应边
相等
相等
相似比
相似比
相似比的平方
3.判定
(1) 于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
(2) 成比例的两个三角形相似;
(3)两边成比例且 相等的两个三角形相似;
(4) 分别相等的两个三角形相似;
(5)斜边和一条直角边成 的两个直角三角形相似.
平行
三边
夹角
两角
比例
知识点三 相似多边形
1.概念:两个边数相同的多边形,如果它们的 相等, 成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.
2.性质
(1)对应角 、对应边 ;
(2)周长的比等于 ,面积的比等于 .
对应角
对应边
相等
成比例
相似比
相似比的平方
知识点四 位似
1.相关概念:两个图形,如果它们的对应顶点的连线经过同一点,并且这点与对应顶点所连线段 ,像这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做 .
2.性质:位似图形的任意一对对应点与位似中心在 ,它们到
的距离之比等于相似比.
3.位似与点的坐标:若M,N为两个以原点为位似中心的图形,其相似比为k,则与N上的点A(x,y)对应的M上的点B的坐标是 或(-kx,-ky).
成比例
位似中心
同一直线上
位似中心
(kx,ky)
考点1 平行线分线段成比例
C
即时训练
1.如图所示,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.若AB=3,BC=6,DF=6,则DE= .
2
10
C
△ADE与△ABC的相似比
例3 若△ABC∽△A′B′C′,且相似比为2∶3,则△ABC与△A′B′C′的面积比为( )
A.2∶3 B.3∶2
C.4∶9 D.9∶4
C
例4 如图所示,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,下列条件中,不能确定△ADE∽△ACB的是( )
C
即时训练
A
4.如图所示,正方形网格中相似的两个三角形是( )
A.①与③ B.②与③
C.①与④ D.③与④
A
5.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高.
(1)求证:△ABD∽△CBA;
(1)证明:∵AD是斜边BC上的高,
∴∠BDA=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠BDA=∠BAC.
又∵∠B为公共角,
∴△ABD∽△CBA.
熟练掌握这个基本图形
(2)若AB=6,BC=10,求BD的长.
考点3 相似多边形
例5 下列四组图形中,不是相似图形的是( )
D
A B C D
即时训练
6.如图所示,有三个矩形,其中是相似图形的是( )
A.甲和乙 B.甲和丙
C.乙和丙 D.甲、乙和丙
B
考点4 位似
例6 (2025温州模拟)如图所示,在直角坐标系中,线段AC与BD是位似图
形,O为位似中心.若点A(1,0)的对应点为B(2,0),则点C(2,2)的对应点D的坐标为( )
A.(3,3) B.(3,4)
C.(4,4) D.(4,5)
C
即时训练
7.如图所示,△ABC与△A′B′C′是位似图形,点O为位似中心,且OA′∶
AA′=2∶1,则S△A′B′C′∶S△ABC=( )
A.1∶2 B.1∶4
C.2∶3 D.4∶9
D
8.如图所示,△ABC和△EDF是以点O为位似中心的位似图形,△ABC和
△EDF的周长之比为2∶5.若△AOC的面积为4,则△EOF的面积为( )
A.6 B.9
C.14 D.25
D
两图形位似,只要求出相似比即可
五年真题
命题点 相似三角形的判定与性质(5年8考)
类型一 A字型
A
B
中位线平行于第三边且等于第三边长的一半
面积比等于相似比的平方
类型二 8字型
△BOD的周长
周长之比等于相似比
△AOC的周长
4.(2021云南T12,3分)如图所示,在△ABC中,点D,E分别是BC,AC的中点,
AD与BE相交于点F.若BF=6,则BE的长是 .
9
两年模拟
5.(2025楚雄禄丰模拟)如图所示,小康利用复印机将一张长为5 cm,宽为3 cm的矩形图片放大,其中放大后的长为10 cm,则放大后的矩形的面积为( )
A.60 cm2 B.58 cm2
C.56 cm2 D.50 cm2
A
6.(2025楚雄模拟)在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点.如图所示,点A,B,C,D均在格点上,连接AC,BD相交于点E.若小正方形的边长为1,则△ABE与△CDE的面积之比为( )
C
等于相似比的平方,找容易计算的对应边的比
7.(2025昆明模拟)如图所示,某同学用灯光照射一个三角尺形成中心投影,测得三角尺一边长为2 cm,其投影的对应边长为5 cm,则三角尺的面积与投影的面积比为( )
A.2∶5 B.4∶25
C.4∶5 D.2∶25
B
8.(2025西山区模拟)如图所示,D,E是△ABC的边AB,AC上的两点,且DE∥
BC.若S△ADE∶S△ABC=1∶9,则△ADE与△ABC的周长之比为( )
A.1∶2 B.1∶3
C.3∶1 D.1∶9
B
新题型·新考法
A
推出DE∥AC,DF∥CB,∴四边形CEDF为平行四边形
设参数,并利用△EHG∽△FQG,
△ADF∽△ABC,△AQF∽△AHC得到相关线段的比
