(共28张PPT)
第五章 四边形
第27讲 多边形与平行四边形(5年10考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 多边形
多边形 的定义 在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形 多边形 的性质 内角和 n边形的内角和为
外角和 任意多边形的外角和为
对角线 n边形从一个顶点出发可以画 条对角线,
一共可以画 条对角线
不稳定性 n边形(n>3)具有不稳定性
(n-2)×180°
360°
(n-3)
正多 边形 定义 各边 ,各角也 的多边形叫做正多边形
性质 正n边形的每一个内角的度数都是 ,每一个外角的度数都是
正n边形是轴对称图形,有n条对称轴;正偶数边形又是中心对称图形
相等
相等
知识点二 平行四边形
1.定义
两组对边分别 的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形的性质(常考点)
(1)从边的角度:对边 ;
(2)从角的角度:对角 ;
(3)从对角线的角度:对角线互相 .
平行
平行且相等
相等
平分
3.平行四边形的判定
(1)从边的角度:①两组对边分别 的四边形是平行四边形(定义);②两组对边分别 的四边形是平行四边形;③一组对边 .
的四边形是平行四边形.
(2)从角的角度:两组对角分别 的四边形是平行四边形.
(3)从对角线的角度:对角线互相 的四边形是平行四边形.
4.平行四边形的面积
(1)S平行四边形=底×高;
(2)平行四边形被两条对角线分成的四个三角形的面积 ;
平行
相等
平行且
相等
相等
平分
相等
(3)同底等高的平行四边形的面积相等.
考点1 多边形的内角和与外角和
例1 “香渡栏干屈曲,红妆映、薄绮疏棂.”图(1)窗棂的外边框为正六边形[如图(2)所示],则该正六边形的每个内角为 .
120°
图(1)
图(2)
即时训练
1.一个正多边形每个内角和与它相邻外角的度数比为3∶1,则这个正多边形是( )
A.正方形 B.正六边形
C.正八边形 D.正十边形
2.(2024曲靖市麒麟区模拟)正十二边形的外角和为( )
A.30° B.150° C.360° D.1 800°
3.如果一个正多边形的中心角是20°,那么这个正多边形的边数为 .
C
C
18
4.如图所示是正n边形纸片的一部分,其中l,m是正n边形两条边的一部
分,若l,m所在的直线相交形成的锐角为60°,则n的值是 .
6
考点2 多边形的对角线
例2 若一个多边形的内角和为1 620°,从这个多边形的一个顶点出发,可以作m条对角线,则m= .
即时训练
5.通过画出多边形的对角线,可以把多边形的内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,那么该多边形的内角和是 .
8
利用多边形的内角和公式求出边数
540°
考点3 平行四边形的性质及其计算
例3 如图所示,在 ABCD中,点M,N分别在边BC,AD上,且AM∥CN,对角线BD
分别交AM,CN于点E,F.求证:BE=DF.
既然是平行四边形,就需要考虑到它的边、角、对角线的性质
即时训练
6.如图所示,在 ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E,F分别是AB,CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于点O.
(1)求证:BO=DO;
观察题图,证明BO=DO,也就是证明△ODF≌△OBE
(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于点G,当FG=1时,求AD的长.
考点4 平行四边形的判定及其计算
例4 如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
解:(1)选择①,
证明:∵∠B=∠AED,∴DE∥CB.
∵AB∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形.
选择②,
证明:∵AE=BE,AE=CD,∴CD=BE.
∵AB∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形.
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
即时训练
7.如图所示,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点,∠EDC=∠CBE.求证:四边形BCDE是平行四边形.
证明:∵EF∥AC,
∴∠EDC+∠BCD=180°.
又∵∠EDC=∠CBE,
∴∠CBE+∠BCD=180°.∴BE∥CD.
又∵ED∥BC,
∴四边形BCDE是平行四边形.
五年真题
命题点1 多边形的内角和(5年4考)
1.(2025云南T7,2分)一个六边形的内角和等于( )
A.360° B.540° C.720° D.900°
2.(2024云南T6,2分)一个七边形的内角和等于( )
A.540° B.900° C.980° D.1 080°
3.(2023云南T14,2分)五边形的内角和等于 度.
C
B
540
命题点2 平行四边形的性质与计算(5年6考)
4.(云南中考改编)如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则△DEO与△BCD的面积比等于( )
是两条对角线的中点
B
5.(云南中考改编)在平行四边形ABCD中,∠A=30°,AD=4,BD=4,则平行四边形ABCD的面积等于 .
两年模拟
6.(2025昆明五华区模拟)如图所示,花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个外角的度数是( )
A.120° B.90°
C.60° D.30°
C
7.(2025盘龙区模拟)若一个正多边形的每个外角均为30°,则这个正多边形的内角和等于( )
A.2 160° B.1 980°
C.1 800° D.360°
8.(2025五华区校级模拟)如果一个正多边形的内角和等于720°,那么该正多边形的一个外角等于( )
A.45° B.60°
C.72° D.90°
C
B
9.(2025昭通模拟)如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接OE.若BC=12 cm,则OE的长为( )
A.3 cm B.6 cm
C.9 cm D.10 cm
10.(2025曲靖模拟)一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是
.
B
6
新题型·新考法
(1)解:∠1=∠2
(1)由以上作图可知,∠1与∠2的数量关系是 ;
(2)求证:CB=CH;
(2)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD.∴∠1=∠H.
∵∠1=∠2,∴∠2=∠H.∴CB=CH.
(3)若AB=4,AG=2GD,∠ABC=60°,求△BCH的面积.
(3)解:如图所示,过点H作BC的垂线交BC的延长线于点M.
∵四边形ABCD为平行四边形,AB=4,
∴AB∥CD,CD=AB=4.
∴∠HCM=∠ABC=60°,△ABG∽△DHG.(共31张PPT)
第29讲 菱形(5年4考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点 菱形(常考点)
1.定义:有一组 相等的平行四边形是菱形.
2.性质
(1)菱形的四条边 ;
(2)菱形的对角线互相 ,并且每一条对角线 一组对角;
(3)菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线,对称中心是对角线的交点;
(4)菱形的面积:①底×高;②对角线乘积的一半.
邻边
相等
垂直
平分
3.判定
(1)有一组邻边 的平行四边形是菱形;
(2)四条边都 的四边形是菱形;
(3)对角线互相 的平行四边形是菱形.
相等
相等
垂直
考点1 菱形的性质及其计算
例1 [新教材八下P74练习T3改编]如图所示,在边长为16的菱形ABCD中,
AC,BD为对角线,∠BCD=60°,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接DE,DF,
EF.
(1)求证:△DEF是等边三角形;
(2)若点G是对角线AC上的动点,连接EG,FG,则EG+FG的最小值为 .
(2)解:16 提示:∵四边形ABCD是菱形,
∴CA平分∠BCD.
如图所示,作点F关于AC的对称点N,则点N在CD上,连接GN,则FG=GN,
∴EG+FG=EG+GN,
∴E,G,N三点共线时,EG+FG的值最小,最小值为EN的长.
即时训练
1.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E.若∠BCD=70°,则∠BOE的大小为( )
A.20° B.25°
C.35° D.55°
C
2.如图所示,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,则S△AOD=( )
A.24 B.12
C.8 D.6
3.一菱形的两条对角线长分别是6和8,则菱形的高是( )
A.10 B.9.6 C.5 D.4.8
D
D
考点2 菱形的判定及其计算
例2 [新教材八下P75练习T3改编,操作题]请用一张如图所示的三角形纸片ABC折出一个菱形,使∠A为菱形的一个内角,且菱形的一个顶点在BC边上,并说明所折图形是菱形的理由.
解:折叠步骤:(1)将三角形纸片折叠,使AB边落在AC边上,折痕交BC于
点D;
(2)继续折叠纸片,使点A与点D重合,折痕EF分别交AD,AC于点E,F;
(3)以连接DF的线段为折痕继续折叠纸片,如图①所示;
(4)将纸片展开,如图②所示,四边形AFDG就是所求的图形.
理由:如图②所示,
由折叠得AG=AF,DG=DF.
∵点A与点D关于直线EF对称,
∴EF垂直平分AD,∴AF=DF,
∴AG=AF=DG=DF,
∴四边形AFDG是菱形,且以∠BAC为一个内角,菱形的一个顶点D在BC边上.
图①
图②
即时训练
4.(2025云南楚雄模拟)如图所示,四边形ABCD是矩形,E,F分别是线段AB,DC上的点,点O是EF与BD的交点.若将△BED沿直线BD折叠,则点E与点F重合.
在折叠问题中求一线段的长,一般是找与未知线段相关的一直角三角形,通过勾股定理列方程求解
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠FDB=∠DBE.
由折叠可知,∠FDB=∠EDB,DE=DF,EB=FB,
∴∠EDB=∠DBE,
∴DE=BE.
∴DE=BE=BF=DF.
∴四边形BEDF是菱形.
(2)若AB=9,AD=3,求EF·BD的值.
五年真题
命题点 菱形的证明与计算(5年4考)
1.(2025云南T18,2分)如图所示,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O.若AC=6,BD=5,则菱形ABCD的面积是 .
15
2.(2024云南T24,8分)如图所示,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点,且AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形.
利用中位线定理证明中点四边形的具体形状
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
规范解答
(1)证明:如图所示,连接BD,AC交于点O.
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点,
∴GF∥BD,HG∥AC.
∵四边形EFGH是矩形,∴HG⊥GF.∴BD⊥AC.
∴平行四边形ABCD是菱形.………………(4分)
(2)若矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10,求AB的长.
3.(2023云南T22,7分)如图所示,平行四边形ABCD中,AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线,且E,F分别在边BC,AD上,AE=AF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
∴∠DAE=∠BCF.
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB.
∴∠BCF=∠AEB.∴AE∥FC.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AE=AF,
∴平行四边形AECF是菱形.……………………(3分)
规范解答
(2)解:如图所示,连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=EB.∵∠ABC=60°,∴△ABE是等边三角形.
∴∠BAE=∠AEB=∠ABE=60°.
两年模拟
4.(2025昆明期中)如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点F在对角线AC上,过点F,B分别作AB,AC的平行线相交于点E,连接BF,且∠ABF=∠FBC+
∠DAC.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(1)证明:∵EF∥AB,BE∥AF,
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD.∴∠DAC=∠FCB.
∵∠ABF=∠FBC+∠DAC,∴∠ABF=∠FBC+∠FCB.
∵∠AFB=∠FBC+∠FCB,
∴∠ABF=∠AFB.∴AB=AF,
∴平行四边形ABEF是菱形.
通过等角的代换,确定添加辅助线构造直角三角形的方法
新题型·新考法
5.(2025扬州)如图所示,在 ABCD中,对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F.
(1)求证:四边形AFCE是菱形;
(2)若AB=3,BC=5,CE平分∠ACD,求DE的长.(共23张PPT)
第30讲 正方形(5年2考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点 正方形
定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
性质 四个角都是直角,四条边都相等
两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角
正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,有4条对称轴,对称中心是对角线的交点
判定 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
有一组邻边相等的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形
【归纳总结】
四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理:
考点1 正方形的性质及其计算
例1 如图所示,在正方形ABCD中,点E在AB边上,连接CE,过点D作DF⊥CE于点F,过点B作BG⊥CE于点G.若BG=3,DF=8,则FG的长为( )
A.4 B.5
C.7 D.11
B
即时训练
1.如图所示,直线l与正方形ABCD的边AB,AD分别相交于点M,N,则α+β的度数为( )
A.270° B.260°
C.245° D.240°
A
采用整体思想
C
充分利用正方形的轴对称性、
对角线相等且互相垂直平分
考点2 正方形的判定及其计算
例2 如图所示,在四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC=90°,M是CD的中点,AB=
AD+BC,连接AM,BM,分别过点A,B作AN∥BM,BN∥AM交于点N.
(1)求证:四边形ANBM是正方形;
(1)证明:如图所示,延长AM,BC相交于点E.
∵AN∥BM,BN∥AM,
∴四边形ANBM是平行四边形.
∵∠DAB+∠ABC=180°,∴AD∥BC,
∴∠D=∠MCE.
(2)若AD=2,BC=4,求四边形ABMD的面积.
(2)解:如图所示,过点M作MQ⊥BC,垂足为点Q.
由(1)得BM⊥AE,AM=BM=EM,
∴△ABM≌△EBM.
∴S△ABM=S△EBM.
∵AD=2,BC=4,AB=AD+BC,
∴CE=AD=2,BE=AB=2+4=6.
∵MQ⊥BC,BM=EM,
∴BQ=EQ.
即时训练
3.如图所示,四边形ABCD是菱形,点G,H在线段AC上,且AG=GH=HC.
(1)判断四边形DGBH的形状,并说明理由;
解:(1)四边形DGBH的形状是菱形.理由如下:
连接BD,交AC于点O,如图所示.
∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.
∵点G,H在AC上,AG=GH=HC,
∴OA-AG=OC-CH,
∴OG=OH,
∴四边形DGBH是平行四边形.
∵BD⊥GH,
∴平行四边形DGBH是菱形.
五年真题
命题点 正方形的证明与计算 (5年2考)
1.(2021云南T14,3分)已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点,
∠ABC的平分线与线段AC交于点D.若△ABC的一条边长为6,则点D到直线
AB的距离为 .
两年模拟
2.(2025昭通模拟)如图所示,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,
AC,BE相交于点F,则∠AFE的度数为 度.
60
3.(2024曲靖模拟)如图所示,E是正方形ABCD的边CD上一点,以点A为中
心,把△ADE绕点A逆时针旋转90°得到△AD′E′,连接EE′.
(1)求∠EAE′的度数;
解:(1)∵△ADE绕点A逆时针旋转90°得到△AD′E′,
∴∠EAE′=90°.
(2)若AD=5,DE=2,求EE′的长.
4.(2024楚雄模拟)如图所示,在平行四边形ABCD中,∠BAC=90°,AB=AC,过点A作边BC的垂线交DC的延长线于点E,F是垂足,连接BE,DF,DF交AC于点O.
(1)求证:四边形ABEC是正方形;
(1)证明:∵AB=AC,AF⊥BC,∴BF=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DE.∴∠BAF=∠CEF.
又∵∠AFB=∠EFC,
∴△ABF≌△ECF.∴AB=EC,
∴四边形ABEC是平行四边形.
又∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴平行四边形ABEC是正方形.
(2)若OC=2,求BC·DE的值.
新题型·新考法
5.(2025北京海淀)如图所示,在正方形ABCD中,E为AB上一点,将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°,得到△DCF,连接EF交CD于点G.若BE=4,DG=5,则EF的长为 .
可知∠EDF=90°(共29张PPT)
第28讲 矩形(5年4考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点 矩形(常考点)
1.定义:有一个角是 的平行四边形是矩形.
2.性质
(1)矩形四个角都是直角;
(2)矩形对角线 且互相平分;
(3)矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴,它的对称中心是对角线的交点.
直角
相等
3.判定
(1)有一个角是 的平行四边形是矩形;
(2)有三个角是 的四边形是矩形;
(3)对角线 的平行四边形是矩形.
注意:判定矩形前要分清是以一般四边形还是平行四边形为基础判定其为矩形.
直角
直角
相等
考点1 矩形的性质及其计算
例1 [新教材八下P70练习T2]如图所示,四边形ABCD是矩形,点E在BC的延长线上,DE∥AC.△DBE是等腰三角形吗 试说明理由.
解:△DBE是等腰三角形.理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BE,AC=BD.
又DE∥AC,
∴四边形ADEC是平行四边形,∴AC=DE.
∴BD=DE. ∴△DBE是等腰三角形.
即时训练
D
2.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,AD的中
点.若EF=6,∠ACD=60°,则AB的长为 .
12
考点2 矩形的判定及其计算
例2 (2025云南德宏模拟)如图所示,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,且BE=DF,AC=EF.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴AF∥CE.
∵BE=DF,∴AF=CE,∴四边形AECF为平行四边形.
又∵AC=EF,∴平行四边形AECF是矩形.
可推出AF=EC 四边形AECF是平行四边形
(2)若AB=8,△ABE的面积为9,求△ABE的周长.
即时训练
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC.
等腰三角形的“三线合一”
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(1)证明:∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°.
∵CE∥AD,
∴∠ECD=180°-∠ADC=90°.
又∵AE⊥AD,
∴∠EAD=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
(2)若BC=4,CE=3,求EF的长.
五年真题
命题点 矩形的证明与计算 (5年4考)
1.(2025云南T24,8分)如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB.连接AD,CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1,
△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
规范解答
(1)证明:∵O是AC的中点,
∴OA=OC.
∵OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.……………………(4分)
(2)若l2-l1=2,l3=28,求AC的长.
2.(2022云南T21,8分)如图所示,在平行四边形ABCD中,连接BD,E为线段AD的中点,连接并延长BE与CD的延长线交于点F,连接AF,∠BDF=90°.
(1)求证:四边形ABDF是矩形;
规范解答
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,即AB∥CF,∴∠BAE=∠FDE.……………(1分)
∵E为线段AD的中点,∴AE=DE.……………………(2分)
又∵∠AEB=∠DEF,∴△ABE≌△DFE(ASA),∴AB=DF.
又∵AB∥DF,
∴四边形ABDF是平行四边形.………………………(3分)
∵∠BDF=90°,∴平行四边形ABDF是矩形.………(4分)
(2)若AD=5,DF=3,求四边形ABCF的面积.
两年模拟
3.(2025昆明校级模拟)如图所示,在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,∠CBF=∠ADE.
(1)求证:四边形DEBF是矩形;
(1)证明:在平行四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC,∠DAB=∠BCD.
∵∠CBF=∠ADE,∴∠ADC-∠ADE=∠ABC-∠CBF,
即∠EDF=∠FBE.
∵∠DEB=∠DAB+∠ADE,∠DFB=∠BCD+∠CBF,∴∠DEB=∠DFB.
又∵∠EDF=∠FBE,∴四边形DEBF是平行四边形.
∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°.
∴平行四边形DEBF是矩形.
新题型·新考法
5.康康在学习了矩形定义及判定定理1后,继续探究其他判定定理.
(1)实践与操作
如图(1)所示.
①任意作两条相交的直线,交点记为O;
②以点O为圆心,适当长为半径画弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段OA,OB,OC,OD;
图(1)
③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD.于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形,则该判定定理是 .
(1)解:由作图可得OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴该判定定理是对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(2)猜想与证明
通过和同伴交流,他们一致认为四边形ABCD是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法:对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证,请你完成证明过程.
已知:如图(2)所示,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.
图(2)
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵AC=BD,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB,
∴∠ABC=∠DCB=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
