(共19张PPT)
第3讲 二次根式及其运算(5年6考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 二次根式的有关概念
二次根式 形如 (a≥0)的式子叫做二次根式
最简二 次根式 被开方数不含 ,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式
同类二 次根式 几个二次根式化成最简二次根式后,如果它们的被开方数 ,那么这几个二次根式是同类二次根式
分母
相同
知识点二 二次根式的性质(常考点)
≥
a
知识点三 二次根式的运算(常考点)
最简二次根式
考点1 二次根式有意义的条件
x-2≥0,且x-3≠0
D
x-4≥0,4-x≥0 x=4
x≤9
-1
注意x-3≠0
B
.
-1
考点2 二次根式的运算
A
D
1
考点3 最简二次根式及同类二次根式
C
2
考点4 二次根式的估值及整数部分、小数部分
B
C
1
3(答案不唯一)
五年真题
命题点1 二次根式有意义的条件(5年3考)
A
x≥-1
C
B
D
C
11
6
知识清单·理脉络
考点突破 释疑难
实验探究·培素养(共24张PPT)
第4讲 代数式与规律探究(5年6考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 代数式
1.代数式
用基本运算符号把 或表示数的 连接起来的式子叫做代数式.
2.代数式的值(常考点)
(1)用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值.
(2)常用的求代数式的值的方法:直接代入求值法,化简后代入求值法和整体代入求值法.
数
字母
知识点二 规律(必考)
1.代数式型规律
(1)规律题一般以选择题的形式出现,根据题型特点,可以把每一项带入确定答案.若是求具体项是多少,则把相应数值带入代数式中计算其结果.
(2)解决代数式规律题,先观察各项之间的关系,确定代数式中的各部分
(如符号,相同字母的指数,分数的分子、分母等)与次序之间的关系.
(3)按一定规律排列的一列数,求第n项的方法如下:
①正负号交替出现时,用(-1)n或(-1)n+1;
②系数、常数项或字母的指数是奇数型时,用2n-1,偶数型时,用2n;平方型时,用n2,n2+1或n2-1等.
2.图案规律
按一定规律排列的图案,应先观察后一个图案相对于前一个图案增加或减少了什么,再找出第n个图案与n之间有怎样的关系.
考点1 代数式求值
3
例2 如图所示是一个长方形.
(1)根据图中尺寸大小,用含x的代数式表示阴影部分的面积;
(2)若x=3,求阴影部分的面积.
是不规则图形,利用规则图形的和差来表示
(2)当x=3时,
阴影部分的面积=8+2×3=14(cm2).
例3 某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价200元,领带每条定价40元.厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案:①买一套西装送一条领带;②西装和领带都按定价的90%出售.
现某客户要到该服装厂购买西装20套,领带x条(x>20).
(1)若该客户按方案①购买,则需付款 元(用含x的代数式表示);
若该客户按方案②购买,则需付款 元(用含x的代数式表示).
解:(1)(40x+3 200) (36x+3 600)
(2)若x=30,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算.
解:(2)当x=30时,
方案①:40x+3 200=30×40+3 200=4 400(元).
方案②:36x+3 600=36×30+3 600=4 680(元).
∵4 400<4 680,
∴按方案①购买较为合算.
(3)当x=30时,你能给出一种更省钱的购买方案吗 试写出你的购买方案.
解:(3)方案:先按方案①购买20套西装,再按方案②购买10条领带.
所需费用为200×20+40×10×90%=4 360(元).
∵4 360<4 400<4 680,
∴该方案更省钱.
-5
2.学校办公楼前有一长为m,宽为n的长方形空地(如图所示),在中心位置留出一个直径为2a的圆形区域建一个喷泉,两边是长为b,宽为a的两块长方形休息区,阴影部分为绿地.
(1)用代数式表示阴影部分的面积(结果保留π);
解:(1)阴影部分的面积为mn-2ab-πa2;
(2)当m=8,n=6,a=1,b=2时,阴影部分的面积是多少 (π取3)
解:(2)当m=8,n=6,a=1,b=2时,
阴影部分面积为
8×6-2×1×2-π×12
=48-4-π
≈41.
3.某小型工厂生产酸枣面和黄小米,每日两种产品合计生产1 500袋,两种产品的成本和售价如下表,设每天生产酸枣面x袋.
产品 成本(元/袋) 售价(元/袋)
酸枣面 40 46
黄小米 13 15
(1)用含x的式子表示每天的生产成本,并进行化简;
解:(1)40x+13(1 500-x)=19 500+27x,
∴每天的生产成本为(19 500+27x)元.
(2)用含x的式子表示每天获得的利润,并进行化简(利润=售价-成本);
(3)当x=600时,求每天的生产成本与每天获得的利润.
解:(2)(46-40)x+(15-13)(1 500-x)=3 000+4x,
∴每天获得的利润为(3 000+4x)元.
(3)当x=600时,
每天的生产成本为19 500+27x
=19 500+27×600=35 700(元).
每天获得的利润是3 000+4x=5 400(元).
答:每天的生产成本是35 700元,每天获得的利润是5 400元.
考点2 整体思想
例4 如果a2-2a-1=0,那么代数式2a(a-2)+3的值为 .
5
化成含已知条件(也可把已知条件变形)的式子,然后整体代入求值
等号两边分别平方
7
变形为a2-2a=1
【名师点睛】
与乘法公式有关的常见变形
①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
②(a+b)2-(a-b)2=4ab;
即时训练
4.已知a2+2a-1=0,则代数式a(a+2)+(a+1)2的值为 .
3
34
D
即时训练
6.按一定规律排列的单项式:3x,4x3,5x5,6x7,7x9,….第n个单项式是
( )
A.(n+2)x2n+1 B.3nxn C.(n+2)x2n-1 D.3nx2n+1
C
A
五年真题
命题点1 代数式求值(5年1考)
-3
命题点2 规律探究(5年5考)
2.(2025云南T12,2分)按一定规律排列的代数式: a,3a,5a,7a,9a,….第n个代数式是( )
A.(2n-1)a B.(2n+1)a C.(n+1)a D.2 025a
A
D
C
5.(2022 云南T8,4分)按一定规律排列的单项式:x,3x2,5x3,7x4,9x5,….第n个单项式是( )
A.(2n-1)xn B.(2n+1)xn
C.(n-1)xn D.(n+1)xn
先分析数字系数的变化规律,再分析字母指数的变化规律
A
A
两年模拟
7.(2024昆明西山区校级期末)若x2-3y-5=0,则2x2-6y-6的值为( )
A.4 B.-4 C.16 D.-16
8.(2025昆明盘龙区模拟)按一定规律排列的代数式:a,2a3,3a5,4a7,5a9,
….第n个代数式是( )
A.na2n-1 B.(n+1)a2n-1
C.na2n+1 D.(n-1)a2n+1
A
A
新题型·新考法
9.历史上,数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f(x)来表示.
例如:当x=-1时,多项式f(x)=x2+2x-3的值记为f(-1),则f(-1)=(-1)2+2
×(-1)-3=-4.已知f(x)=ax5+bx3+3x+c,若f(3)+f(-3)=4,且f(2)=10,则f(-2)的值是( )
A.-2 B.2
C.-6 D.6
C(共17张PPT)
第2讲 实数的运算(5年4考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点 实数的运算(常考点)
1.乘方与开方
(1)正数的任何次方都是正数;负数的偶数次方是正数,奇数次方是负数.
(2)若a>0,则a的平方根为 ,算术平方根为 ;
若a<0,则a 平方根.
a的立方根为 .
(3)若a≠0,则a0= ,a-p= .
没有
1
2.常见的运算
运算 法则
0次幂 a0= (a≠0)
负整数指数幂
a-p= (a≠0,p是正整数)
去绝对 值符号
-1的奇 偶次幂 -1的奇次幂为 ,
-1的偶次幂为
1
-1
1
2
-3
4
3.实数运算的顺序
先算乘方、 ,再算 ,最后算 ,如有括号,先算括号内的,同一级运算,从 到 依次进行.
开方
乘除
加减
左
右
考点 实数的运算
五年真题
命题点 实数的运算(5年4考)
C
新题型·新考法
6.(2025北京)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是( )
A.a>-1 B.a+b=0
C.a-b>0 D.|a|>|b|
D
7.(2025南充)如图所示,把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周,圆上点A到达点A′,点A′对应的数是2,则滚动前点A对应的数是( )
A.2-2π B.π-2
C.5-2π D.2-π
D
计算出具体的数
C(共27张PPT)
第5讲 整式与因式分解(5年9考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 整式的相关概念
1.整式
2.同类项
所含 相同,并且相同字母的 也相同的项叫做同类项,几个 项也是同类项.
字母
指数
常数
知识点二 整式的运算
1.幂的运算(常考点)
同底数幂的乘法 底数不变,指数相加 am·an= (m,n为整数)
幂的乘方 底数不变,指数 (am)n= (m,n为整数)
积的乘方 各因式分别乘方,所得的幂 (ab)n=anbn(n为整数)
同底数幂的除法 底数不变,指数 am÷an= (a≠0,m,n为整数)
am+n
相乘
amn
相乘
相减
am-n
2.整式的运算
(1)整式的加减
①合并同类项
概念:把同类项合并成一项;
法则:系数相 作为合并后的系数,字母和字母的指数不变.
加
②去、添括号
a+(b+c)=a+b+c;
a-(b+c)= ;
a+b+c=a+(b+c);
a-b+c=a-( ).
(简记为“-”变“+”不变)
③去括号与合并同类项(步骤是一去、二找、三合并).
a-b-c
b-c
(2)整式的乘法
①单项式与单项式相乘
把它们的系数、 分别相乘,其余字母连同它的指数作为积的因式.
②单项式与多项式相乘
m(a+b+c)= .
③多项式与多项式相乘
(m+n)(a+b)= .
同底数幂
ma+mb+mc
ma+mb+na+nb
(3)整式的除法
①单项式除以单项式:把系数、 分别相除作为商的因式,只在被除式里含有的字母,连同它的指数作为商的因式.
②多项式除以单项式:先用多项式的每一项分别除以这个单项式,再把所得的商 .
(4)乘法公式
①平方差公式:(a+b)(a-b)= .
②完全平方公式:(a±b)2= .
同底数幂
相加
a2-b2
a2±2ab+b2
知识点三 因式分解(常考点)
1.概念
把一个多项式化成几个 的 的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
2.方法
(1)提公因式法
ma+mb+mc=m(a+b+c).
整式
积
(2)公式法
a2-b2=(a+b)(a-b);
a2±2ab+b2=(a±b)2.
(3)十字相乘法
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
3.步骤
一提:有公因式,要先提公因式;
二套:考虑套用 ;
三检查:检查因式分解是否彻底,每个因式要分解到 为止.
公式
不能再分解
重点必记
(1)公因式的确定
①系数:取各项系数的最大公约数;
②字母:取各项都相同的字母;
③指数:取各项相同字母的最低次数.
(2)尝试用公式法来分解因式
①当多项式为两项时,考虑用平方差公式;
②当多项式为三项时,考虑用完全平方公式.
考点1 整式与求值
例1 (2025上海)下列代数式中,能表示“x与y的差的平方”的是( )
A.x2-y2 B.(x-y)2
C.x2-y D.x-y2
例2 若2a+b=-1,则4a2+2ab-b的值为 .
B
1
考点2 整式的运算
例3 下列计算正确的是( )
A.5ab-3a=2b
B.(-3a2)2=6a4
C.(a-1)2=a2-1
D.2a2b÷b=2a2
D
D
B
D
考点3 因式分解
例4 分解因式:3x2-12= .
例5 分解因式:x2-2x+1= .
先观察是否有公因式
3(x+2)(x-2)
三项式,考虑是否符合完全平方公式
(x-1)2
即时训练
5.下列分解因式正确的是( )
A.-x2+4x=-x(x+4)
B.x2+xy+x=x(x+y)
C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2
D.x2-4x+4=(x+2)(x-2)
6.分解因式:
2x2-18y2= .
C
2(x+3y)(x-3y)
五年真题
命题点1 整式的运算(5年4考)
1.(2025云南T4,2分)下列计算正确的是( )
A.x+2x=3x2 B.x2·x3=x5
C.x6÷x2=x D.(xy)2=xy2
2.(2024云南T3,2分)下列计算正确的是( )
A.x3+5x3=6x4 B.x6÷x3=x5 C.(a2)3=a7 D.(ab)3=a3b3
B
D
3.(2023云南T5,3分)下列计算正确的是( )
A.a2·a3=a6
B.(3a)2=6a2
C.a6÷a3=a2
D.3a2-a2=2a2
D
C
命题点2 因式分解(5年5考)
5.(2024云南T14,2分)分解因式:a3-9a=( )
A.a(a-3)(a+3) B.a(a2+9)
C.(a-3)(a+3) D.a2(a-9)
6.(2025云南T17,2分)分解因式:x2+x = .
7.(2023云南T15,2分)分解因式:x2-4= .
8.(2021 云南T13,3分)分解因式:x3-4x= .
A
x(x+1)
(x+2)(x-2)
x(x+2)(x-2)
两年模拟
A
D
新题型·新考法
C
12.因式分解:
(1)a2-4a+4= ;
(2)x2+10x+25= .
(a-2)2
(x+5)2(共34张PPT)
第一章 数与式
第1讲 实数的相关概念与大小比较
第一部分 考点精准解读
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 实数的分类
1.按定义分类
2.按大小分类
知识点二 实数的概念与性质(常考点)
1.数轴
(1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
(2) 与数轴上的点一一对应.
(3)数轴上两点间的距离=右边点表示的数-左边点表示的数.
2.相反数
(1)只有符号不同的两个数互为相反数.
(2)实数a的相反数是-a.
a与b互为相反数 a+b= .
0的相反数是0.
实数
0
(3)在数轴上,表示相反数的两个点位于原点的两侧,且到原点的距离相等.这两个点关于 对称.
3.绝对值
(1)数轴上表示数a的点与原点的 叫做数a的绝对值,记作|a|.
(2)一个正数的绝对值是它本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的
.
原点
距离
相反数
温馨提示
(1)0没有倒数,倒数等于它本身的数是±1.
(2)互为相反数的两个数的绝对值相等,即|a|=|-a|.
1
1
知识点三 科学记数法(常考点)
科学记数法
将一个数表示成 的形式(其中1≤|a|<10,n是整数),这种表示数的方法叫做科学记数法.
温馨提示
(1)当n是正整数时,n等于原数的整数位数减1.
(2)当n是负整数时,n的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前所有0的个数(含小数点前的0).
a×10n
知识点四 实数的大小比较
1.类别比较法
(1)正数>0>负数;
(2)两个负数比较大小,绝对值大的反而 .
2.数轴比较法
数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的 .
3.差值比较法
(1)a-b>0 a>b;
小
大
(2)a-b=0 a=b;
(3)a-b<0 a4.平方比较法(a>0,b>0)
>
>
=
<
考点1 正负数的意义及大小比较
例1 (2022云南T2,4分)中国是最早采用正负数表示相反意义的量,并进行负数运算的国家.若零上10 ℃记作+10 ℃,则零下10 ℃记作( )
A.10 ℃ B.0 ℃
C.-10 ℃ D.-20 ℃
C
【名师点睛】
用正数、负数表示具有相反意义的量(常考点)
一般地,对于具有相反意义的量,可以把其中一个量规定为正,则另一个量为负,如收入为“+”,则支出为“-”;向东为“+”,则向西为“-”;上升为“+”,则下降为“-”.
例2 春节期间某一天,昆明、昭通、香格里拉、玉溪四个城市的最低气温分别为8 ℃,-3 ℃,-10 ℃,0 ℃,其中最低气温是( )
A.-10 ℃ B.-3 ℃
C.0 ℃ D.8 ℃
A
即时训练
1.如果水位下降2 m时,水位变化记作-2 m,那么水位升高3 m时,水位变化记作 m.
+3
2
考点2 实数的分类
C
【名师点睛】
无理数常见的形式
(1)π,开不尽方的数;(2)大部分三角函数;(3)形如0.101 001 000 1…
(每相邻两个“1”之间依次多一个“0”)的数及它们的倍分数等.
即时训练
B
A
考点3 数轴、绝对值、相反数、倒数
例4 (1)如图所示,数轴上点P表示的数是 .
-1
即时训练
5.6的相反数是 ;-6的绝对值是 .
6.如图所示,将-1在数轴上对应的点向右平移2个单位长度,则此时该点对应的数是 .
-6
6
1
考点4 科学记数法
例5 将25 000用科学记数法表示为( )
A.0.25×105 B.2.5×104
C.25×103 D.250×102
B
【名师点睛】
常见单位换算
(1)计数单位:1亿=1×108,1万=1×104,
1千=1×103.
(2)计量单位:1 km=1×103 m,1 mm=1×10-3 m,1 nm=1×10-9 m.
即时训练
7.石墨烯是目前世界上最薄却是最坚硬的纳米材料,同时也是导电性最好的材料,其理论厚度仅0.000 000 34毫米,将0.000 000 34用科学记数法表示应为( )
A.0.34×10-6 B.3.4×10-7
C.3.4×10-6 D.34×10-5
B
8.(2025内江改编)2025年5月14日12时12分,全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射,此次发射的太空计算星座共有12颗卫星,其中10颗为“内江城市卫星星群”成员,若每颗卫星每天处理的数据量为
3 500 000 000字节,则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到350亿字节,将数据350亿用科学记数法表示为( )
1亿=1×108
A.35×109 B.3.5×109
C.3.5×1010 D.0.35×1010
C
9.科学家在深海发现了一种新型浮游生物,其单个个体的质量仅为
0.000 000 000 15千克,将0.000 000 000 15用科学记数法可表示为
( )
A.1.5×10-9 B.1.5×10-10
C.15×10-9 D.0.15×10-11
B
五年真题
命题点1 正负数的意义(5年4考)
1.(2025云南T1,2分)中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若收入10元记作+10元,则支出5元可记作( )
A.-5元 B.5元
C.-10元 D.10元
A
2.(2024云南T1,2分)中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若向北运动100米记作+100米,则向南运动100米可记作( )
A.100米 B.-100米 C.200米 D.-200米
3.(2023云南T1,3分)中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若向东走60米记作+60米,则向西走80米可记作( )
A.-80米 B.0米 C.80米 D.140米
4.(云南中考改编)中国是最早采用正负数表示具有相反意义的量的国
家.某仓库运进面粉7吨,记为+7吨,那么运出面粉8吨应记为 吨.
B
A
-8
命题点2 科学记数法(5年4考)
5.(2025云南T2,2分)地球绕太阳公转的速度约是110 000 km/h.110 000
用科学记数法可以表示为( )
A.1.1×102 B.11×103 C.1.1×105 D.11×107
6.(2023云南T2,3分)云南省矿产资源极为丰富,被誉为“有色金属王
国”.锂资源方面,滇中地区被中国科学院地球化学研究所探明拥有氧化锂资源达340 000吨.340 000用科学记数法可以表示为( )
A.340×104 B.34×105 C.3.4×105 D.0.34×106
C
C
命题点3 实数的大小比较(5年1考)
7.(2021云南T1,4分)某地区2021年元旦的最高气温为9 ℃,最低气温为
-2 ℃,那么该地区这天的最低气温比最高气温低( )
A.7 ℃ B.-7 ℃
C.11 ℃ D.-11 ℃
C
两年模拟
8.(2025昆明五华区模拟)下列实数中,无理数是( )
A
新题型·新考法
9.中考所用的排球质量有严格标准,现有四个排球,超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数,其中最接近标准质量的是( )
1.1 g -1 g 0.9 g -0.5 g
D
A B C D
10.(2025北京)2025年5月29日,行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射,开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之
旅.已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍,月球远地点距离约为4×105 km,则该小行星与地球的最近距离约为( )
A.1.8×105 km B.1.8×106 km
C.1.8×107 km D.1.8×1010 km
C
A
12.(2025河北)从-5 ℃上升5 ℃后的温度,在温度计上显示正确的是
( )
B
A B C D
13.(2025山西)下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温.比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况,下列说法正确的是
( )
A.日最高气温的波动大 B.日最低气温的波动大
C.一样大 D.无法比较
A
气温 日期 2月 2日 2月 3日 2月 4日 2月 5日 2月
6日
最高气温/℃ 12 6 10 9 8
最低气温/℃ 1 -2 -1 0 2
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第6讲 分式及其运算(5年2考)
重难精析 提能力
考点梳理 夯基础
聚焦云南 明考向
知识点一 分式的概念
字母
知识点二 分式的基本性质
1.性质
3.约分
(1)定义
把一个分式的分子和分母的 约去,叫做分式的约分.
(2)最简分式
分子与分母没有 的分式.
4.通分
(1)定义
根据分式的 ,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 的分式,叫做分式的通分.
公因式
公因式
基本性质
同分母
(2)最简公分母
几个分式通分时,一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,叫做最简公分母.
知识点三 分式的运算
4.分式的混合运算
在分式的混合运算中,应先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,最后进行加减运算.遇到有括号的,先算括号里面的.
a≠2
x≠±2
在保证分子为0的情况下,保证分母不为0
-1
1
求出使分子为0的x值后,舍去使分母为0的x的值
x≥0且x≠5
必须同时满足:(1)分母不为0,(2)分子中的x≥0
x=0
考点2 分式化简与求值
类型一 分式的化简
D
A
x+y
C
【名师点睛】
分式化简求值的步骤
(1)因式分解:利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将可因式分解的分子或分母化成乘积形式,为通分、约分做准备.
(2)有括号先算括号:将括号内的异分母分式通分为同分母分式,再合并同类项.
(3)有除法,除变乘(分子、分母交换位置).
(4)约分,化成最简分式(或不含括号的整式).
(5)将未知数的值代入计算.
易错警示
代入数值时,必须保证原分式及运算过程中的分式的分母都不为0.
五年真题
命题点 分式的化简求值(5年2考)
1
D
