1.3 直线的方程
新课程标准解读 核心素养
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式） 数学抽象、数学运算
第一课时 直线方程的点斜式
射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求.
【问题】 （1）托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？
（2）试从数学角度分析子弹是否会命中目标？
知识点一 直线l的方程
如果一条直线l上的每一点的坐标 ，并且以这个方程的解为坐标的点 ，那么这个方程称为直线l的方程.
知识点二 直线方程的点斜式与斜截式
名称 条件 方程 图形
点斜式 直线l过定点P（x0，y0），斜率为k
斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b）（直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距）
【想一想】
1.直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？
2.直线方程的斜截式等同于一次函数的解析式吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线的点斜式方程也可写成＝k.（ ）
（2）y轴所在直线方程为x＝0.（ ）
（3）直线y－3＝k（x＋1）恒过定点（－1，3）.（ ）
（4）直线y＝2x－3在y轴上的截距为3.（ ）
2.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则（ ）
A.直线经过点（2，－1），斜率为－1
B.直线经过点（1，－2），斜率为－1
C.直线经过点（－2，－1），斜率为1
D.直线经过点（－1，－2），斜率为－1
3.在y轴上的截距为2，且斜率为－3的直线的斜截式方程为 .
题型一 直线方程的点斜式
【例1】 根据条件写出下列直线方程的点斜式：
（1）经过点（2，5），倾斜角为45°；
（2）直线y＝x＋1绕着其上一点P（3，4）逆时针旋转90°后得到的直线l.
尝试解答
通性通法
求直线方程的点斜式的思路
提醒 只有在斜率存在的情况下才可以使用直线方程的点斜式.
【跟踪训练】
过点（－1，2），且倾斜角为135°的直线方程为 .
题型二 直线方程的斜截式
【例2】 根据条件写出下列直线方程的斜截式：
（1）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3；
（2）在y轴上的截距为－6，且与y轴夹角为60°.
尝试解答
通性通法
直线方程的斜截式的求解策略
（1）用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别；
（2）直线方程的斜截式y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然.因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线方程的斜截式，利用k，b的几何意义进行判断.
【跟踪训练】
求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线的方程.
题型三 直线方程的点斜式、斜截式的综合应用
【例3】 已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
（1）求证：直线l过定点；
（2）当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.
尝试解答
通性通法
定点的确定方法
把含参直线方程化为点斜式的形式即可得出定点坐标.
【跟踪训练】
求证：无论m为何值，直线l：y＝（m－1）x＋2m＋1总过第二象限.
1.经过点（1，－3）且斜率为2的直线的方程为（ ）
A.x＋3＝2（y－1） B.x－3＝2（y＋1）
C.y－3＝2（x＋1） D.y＋3＝2（x－1）
2.已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为（ ）
A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2
C.y＝－x－2 D.y＝x－2
3.已知方程kx－y－1＝3k，当实数k变化时，方程表示的所有直线都通过的定点坐标为（ ）
A.（0，0） B.（0，1）
C.（3，1） D.（3，－1）
4.（多选）给出下列四个结论，正确的是（ ）
A.方程k＝与方程y－2＝k（x＋1）可表示同一直线
B.直线l过点P（x1，y1），倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C.直线l过点P（x1，y1），斜率为0，则其方程是y＝y1
D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
5.已知直线l的方程为y－m＝（m－1）（x＋1），若l在y轴上的截距为7，则m＝ .
第一课时 直线方程的点斜式
【基础知识·重落实】
知识点一
都是一个方程的解 都在直线l上
知识点二
y－y0＝k（x－x0） y＝kx＋b
想一想
1.提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.
2.提示：不一定.当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，当k＝0时，y＝b不是一次函数.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√ （4）×
2.D 直线方程y＋2＝－x－1可化为y－（－2）＝－[x－（－1）]，所以过定点（－1，－2），斜率为－1.
3.y＝－3x＋2 解析：∵直线的斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率k＝tan 45°＝1.又直线过点（2，5），所以直线的方程为y－5＝x－2.
（2）直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.
由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k'＝tan 135°＝－1.又点P（3，4）在直线l上，由直线方程的点斜式知，直线l的方程为y－4＝－（x－3）.
跟踪训练
x＋y－1＝0 解析：k＝tan 135°＝－1，由直线方程的点斜式得y－2＝－（x＋1），即x＋y－1＝0.
【例2】 解：（1）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程的斜截式为y＝x＋3或y＝x－3.
（2）与y轴夹角为60°的直线的倾斜角为30°或150°，所以斜率k为tan 30°或tan 150°，即k＝±，故所求直线方程的斜截式为y＝±x－6.
跟踪训练
解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝.
∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，
∴所求直线的方程为y＝x－5.
【例3】 解：（1）证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k（x＋2）.
由直线方程的点斜式可知，直线过定点（－2，1）.
（2）设函数f（x）＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线，当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，需满足
即
解得－≤k≤1.
所以实数k的取值范围是{k≤k≤1}.
跟踪训练
证明：法一 直线l的方程可化为y－3＝（m－1）（x＋2），
所以直线l过定点（－2，3）.
由于点（－2，3）在第二象限，故直线l总过第二象限.
法二 直线l的方程可化为m（x＋2）－（x＋y－1）＝0.
令解得
所以无论m取何值，直线l总经过点（－2，3）.
因为点（－2，3）在第二象限，所以直线l总过第二象限.
随堂检测
1.D 经过点（1，－3）且斜率为2的直线方程的点斜式为y－（－3）＝2（x－1），即y＋3＝2（x－1）.
2.D ∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝，∴直线l的方程为y＝x－2.
3.D 将直线方程化为y＋1＝k（x－3），可得直线过定点（3，－1）.
4.BC A不正确，方程k＝不含点（－1，2）；B正确；C正确；D只有k存在时成立.
5.4 解析：直线l的方程可化为y＝（m－1）x＋2m－1，由直线l在y轴上的截距为7，得2m－1＝7，解得m＝4.
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1.3 直线的方程
新课程标准解读 核心素养
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程
的几种形式（点斜式、两点式及一般式） 数学抽象、
数学运算
第一课时
直线方程的点斜式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手
要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条
直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求.
【问题】 （1）托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？
（2）试从数学角度分析子弹是否会命中目标？
知识点一 直线 l 的方程
如果一条直线 l 上的每一点的坐标 ，并且以
这个方程的解为坐标的点 ，那么这个方程称为直线 l
的方程.
都是一个方程的解
都在直线 l 上
知识点二 直线方程的点斜式与斜截式
名称 条件 方程 图形
点斜
式 直线 l 过定点 P （ x0， y0），斜率为 k
斜
截
式 直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为（0， b ）（直线 l 与 y 轴的交点（0， b ）的纵坐标 b 叫作直线 l 在 y 轴上的截距）
y － y0＝ k
（ x － x0）
y ＝ kx ＋
b
【想一想】
1. 直线与 y 轴的交点到原点的距离和直线在 y 轴上的截距是同一概
念吗？
提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.
2. 直线方程的斜截式等同于一次函数的解析式吗？
提示：不一定.当 k ≠0时， y ＝ kx ＋ b 即为一次函数，当 k ＝0时， y
＝ b 不是一次函数.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线的点斜式方程也可写成 ＝ k . （ × ）
（2） y 轴所在直线方程为 x ＝0. （ √ ）
（3）直线 y －3＝ k （ x ＋1）恒过定点（－1，3）. （ √ ）
（4）直线 y ＝2 x －3在 y 轴上的截距为3. （ × ）
×
√
√
×
2. 已知直线的方程是 y ＋2＝－ x －1，则（ ）
A. 直线经过点（2，－1），斜率为－1
B. 直线经过点（1，－2），斜率为－1
C. 直线经过点（－2，－1），斜率为1
D. 直线经过点（－1，－2），斜率为－1
解析： 直线方程 y ＋2＝－ x －1可化为 y －（－2）＝－[ x －（－
1）]，所以过定点（－1，－2），斜率为－1.
3. 在 y 轴上的截距为2，且斜率为－3的直线的斜截式方程为
.
解析：∵直线的斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得 y ＝
－3 x ＋2.
y ＝－3 x
＋2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线方程的点斜式
【例1】 根据条件写出下列直线方程的点斜式：
（1）经过点（2，5），倾斜角为45°；
解：因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率 k ＝tan 45°＝1.又直线过点（2，5），所以直线的方程为 y －5＝ x －2.
（2）直线 y ＝ x ＋1绕着其上一点 P （3，4）逆时针旋转90°后得到的
直线 l .
解：直线 y ＝ x ＋1的斜率 k ＝1，所以倾斜角为45°.
由题意知，直线 l 的倾斜角为135°，所以直线 l 的斜率k'＝tan
135°＝－1.又点 P （3，4）在直线 l 上，由直线方程的点斜式
知，直线 l 的方程为 y －4＝－（ x －3）.
通性通法
求直线方程的点斜式的思路
提醒 只有在斜率存在的情况下才可以使用直线方程的点斜式.
【跟踪训练】
过点（－1，2），且倾斜角为135°的直线方程为 .
解析： k ＝tan 135°＝－1，由直线方程的点斜式得 y －2＝－（ x ＋
1），即 x ＋ y －1＝0.
x ＋ y －1＝0
题型二 直线方程的斜截式
【例2】 根据条件写出下列直线方程的斜截式：
（1）倾斜角为60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为3；
解：因为直线的倾斜角为60°，所以斜率 k ＝tan 60°＝ .因为直线与 y 轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在 y 轴上的截距 b ＝3或 b ＝－3，故所求直线方程的斜截式为 y ＝ x ＋3或 y ＝ x －3.
（2）在 y 轴上的截距为－6，且与 y 轴夹角为60°.
解：与 y 轴夹角为60°的直线的倾斜角为30°或150°，所
以斜率 k 为tan 30°或tan 150°，即 k ＝± ，故所求直线方程
的斜截式为 y ＝± x －6.
通性通法
直线方程的斜截式的求解策略
（1）用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时
要特别注意截距和距离的区别；
（2）直线方程的斜截式 y ＝ kx ＋ b 不仅形式简单，而且特点明显， k
是直线的斜率， b 是直线在 y 轴上的截距，只要确定了 k 和 b 的
值，直线的图象就一目了然.因此，在解决一次函数的图象问题
时，常通过把一次函数解析式化为直线方程的斜截式，利用 k ，
b 的几何意义进行判断.
【跟踪训练】
求倾斜角是直线 y ＝－ x ＋1的倾斜角的 ，且在 y 轴上的截
距是－5的直线的方程.
解：∵直线 y ＝－ x ＋1的斜率 k ＝－ ，∴其倾斜角α＝
120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝ α＝30°，故所求直
线的斜率 k1＝tan 30°＝ .
∵所求直线的斜率是 ，在 y 轴上的截距为－5，
∴所求直线的方程为 y ＝ x －5.
题型三 直线方程的点斜式、斜截式的综合应用
【例3】 已知直线 l ： y ＝ kx ＋2 k ＋1.
（1）求证：直线 l 过定点；
解：证明：由 y ＝ kx ＋2 k ＋1，得 y －1＝ k （ x ＋2）.
由直线方程的点斜式可知，直线过定点（－2，1）.
（2）当－3＜ x ＜3时，直线上的点都在 x 轴上方，求实数 k 的取
值范围.
解：设函数 f （ x ）＝ kx ＋2 k ＋1，显然其图象是一条直
线，当－3＜ x ＜3时，直线上的点都在 x 轴上方，需满足
即
解得－ ≤ k ≤1.
所以实数 k 的取值范围是 .
通性通法
定点的确定方法
把含参直线方程化为点斜式的形式即可得出定点坐标.
【跟踪训练】
求证：无论 m 为何值，直线 l ： y ＝（ m －1） x ＋2 m ＋1总过第
二象限.
证明：法一 直线 l 的方程可化为 y －3＝（ m －1）（ x ＋2），
所以直线 l 过定点（－2，3）.
由于点（－2，3）在第二象限，故直线 l 总过第二象限.
法二 直线 l 的方程可化为 m （ x ＋2）－（ x ＋ y －1）＝0.
令解得
所以无论 m 取何值，直线 l 总经过点（－2，3）.
因为点（－2，3）在第二象限，所以直线 l 总过第二象限.
1. 经过点（1，－3）且斜率为2的直线的方程为（ ）
A. x ＋3＝2（ y －1） B. x －3＝2（ y ＋1）
C. y －3＝2（ x ＋1） D. y ＋3＝2（ x －1）
解析： 经过点（1，－3）且斜率为2的直线方程的点斜式为 y －
（－3）＝2（ x －1），即 y ＋3＝2（ x －1）.
2. 已知直线的倾斜角为60°，在 y 轴上的截距为－2，则此直线的方程
为（ ）
解析： ∵α＝60°，∴ k ＝tan 60°＝ ，∴直线 l 的方程为 y ＝
x －2.
3. 已知方程 kx － y －1＝3 k ，当实数 k 变化时，方程表示的所有直线都
通过的定点坐标为（ ）
A. （0，0） B. （0，1）
C. （3，1） D. （3，－1）
解析： 将直线方程化为 y ＋1＝ k （ x －3），可得直线过定点
（3，－1）.
4. （多选）给出下列四个结论，正确的是（ ）
B. 直线 l 过点 P （ x1， y1），倾斜角为90°，则其方程是 x ＝ x1
C. 直线 l 过点 P （ x1， y1），斜率为0，则其方程是 y ＝ y1
D. 所有的直线都有点斜式和斜截式方程
解析： A不正确，方程 k ＝ 不含点（－1，2）；B正确；C
正确；D只有 k 存在时成立.
5. 已知直线 l 的方程为 y － m ＝（ m －1）（ x ＋1），若 l 在 y 轴上的截
距为7，则 m ＝ .
解析：直线 l 的方程可化为 y ＝（ m －1） x ＋2 m －1，由直线 l 在 y
轴上的截距为7，得2 m －1＝7，解得 m ＝4.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若直线 l 的倾斜角为45°，且经过点（2，0），则直线 l 的方程是
（ ）
A. y ＝ x ＋2 B. y ＝ x －2
解析： 由题得直线 l 的斜率为tan 45°＝1，由直线方程的点斜式
求得直线 l 的方程为 y －0＝ x －2，即 y ＝ x －2.故选B.
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2. 直线 y －2＝－ （ x ＋1）的倾斜角及在 y 轴上的截距分别为
（ ）
A. 60°，2
D. 120°，2
解析： 该直线的斜率为－ ，当 x ＝0时， y ＝2－ ，∴其倾
斜角为120°，在 y 轴上的截距为2－ .
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3. 直线 y ＝ ax ＋ 的图象可能是（ ）
解析： 根据直线方程的点斜式，可得其斜率与在 y 轴上的截距同
号，故选B.
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4. （多选）已知直线 l ： y ＝－ x ＋2，则（ ）
A. 倾斜角为60°
B. 过点（0，2）
D. 在 y 轴上的截距为2
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解析： 直线斜率 k ＝－ ，所以倾斜角为120°，故A错误；将点（0，2）代入直线方程， ×0＋2－2＝0成立，故B正确；因为直线 l 斜率 k ＝－ ，所以（1，－ ）是直线的一个方向向量，故C正确；令 x ＝0，可得 y ＝2，即在 y 轴上的截距为2，故D正确.故选B、C、D.
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5. （多选）下列关于直线方程的点斜式 y － y0＝ k （ x － x0）（ k ∈R）
的叙述正确的是（ ）
A. 不能表示与 y 轴平行的直线
B. 不能表示与 x 轴平行的直线
C. 表示经过点（ x0， y0）的所有直线
D. 表示经过点（ x0， y0）的无数条直线
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解析： 直线方程的点斜式 y － y0＝ k （ x － x0）（ k ∈R）不能
表示斜率不存在的直线，即不能表示与 y 轴平行的直线，但能表示
与 x 轴平行的直线，A正确，B错误；该直线能表示过点（ x0， y0）
的无数条直线，但不能表示过点（ x0， y0）的所有直线（因为过点
（ x0， y0）的所有直线中存在一条平行于 y 轴的直线），故C错误，
D正确.
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6. （多选）直线（ m2＋2 m ） x ＋（2 m2－ m ＋3） y ＝4 m ＋1在 y 轴上
的截距为1，则 m 的值可以是（ ）
A. －2
D. 2
解析： 令 x ＝0，得 y ＝ .由已知得 ＝1，则4 m
＋1＝2 m2－ m ＋3，即2 m2－5 m ＋2＝0.解得 m ＝2或 .
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7. 在 y 轴上的截距为－6，且与 y 轴相交成30°角的直线方程是
.
解析：与 y 轴相交成30°角的直线的斜率为 k ＝tan 60°＝ 或 k ＝
tan 120°＝－ ，所以在 y 轴上的截距为－6，且与 y 轴相交成30°
角的直线方程是 y ＝ x －6或 y ＝－ x －6.
y ＝
x －6或 y ＝－ x －6
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8. 将直线 y ＝ x ＋ －1绕其上一点（1， ）沿逆时针方向旋转
15°，得到的直线方程是 .
解析：直线 y ＝ x ＋ －1的倾斜角是45°，逆时针方向旋转15°后
倾斜角为60°，斜率是 ，则方程是 y － ＝ （ x －1），即 y
＝ x .
y ＝ x
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9. 直线 y ＝ kx ＋2（ k ∈R）不过第三象限，则斜率 k 的取值范围
是 .
解析：当 k ＝0时，直线 y ＝2不过第三象限；
当 k ＞0时，直线过第三象限；
当 k ＜0时，直线不过第三象限.
（－∞，0]
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10. 写出下列直线方程的斜截式：
（1）直线的倾斜角为45°且在 y 轴上的截距是2；
解：斜率 k ＝tan 45°＝1，可得直线方程的斜截式为 y
＝ x ＋2.
（2）直线过点 A （3，1）且在 y 轴上的截距是－1.
解：由题意知直线过点（3，1），（0，－1），
∴斜率 k ＝ ＝ ，
可得直线方程的斜截式为 y ＝ x －1.
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11. 与直线3 x －2 y ＝0的斜率相等，且过点（－4，3）的直线方程为
（ ）
解析： 由直线3 x －2 y ＝0得 y －0＝ （ x －0），则斜率 k ＝
，从而所求直线的斜率也为 .又所求直线过点（－4，3），所以
依据直线方程的点斜式可得 y －3＝ [ x －（－4）]＝ （ x ＋4）.
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12. 直线 l1： y ＝ ax ＋ b 与直线 l2： y ＝ bx ＋ a （ ab ≠0， a ≠ b ）在同一
平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
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解析： 对于A选项，由 l1得 a ＞0， b ＜0，而由 l2得 a ＞0， b ＞
0，矛盾；对于B选项，由 l1得 a ＜0， b ＞0，而由 l2得 a ＞0， b ＞
0，矛盾；对于C选项，由 l1得 a ＞0， b ＜0，而由 l2得 a ＜0， b ＞
0，矛盾；对于D选项，由 l1得 a ＞0， b ＞0，而由 l2得 a ＞0， b ＞
0.故选D.
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13. （多选）已知直线 l ： x － my ＋ m －1＝0，则下述正确的是
（ ）
A. 直线 l 的斜率可以等于0
B. 直线 l 的斜率有可能不存在
C. 直线 l 可能过点（2，1）
D. 直线 l 在 y 轴上的截距可能为0
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解析： 因为直线 l ： x － my ＋ m －1＝0，若 m ＝0，则直线的
斜率不存在，故B正确；若 m ≠0，则直线的斜率存在，且斜率 k ＝
，不可能为0，故A错误；将点（2，1）代入直线方程得2－ m ＋
m －1＝1≠0，故C错误；令 m ＝1，则直线方程为 x － y ＝0，横纵
截距均为0，故D正确.故选B、D.
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14. 将直线 y ＝3 x 绕坐标原点按逆时针方向旋转90°，再向右平移1个
单位长度，所得直线方程为 .
解析：将直线 y ＝3 x 绕坐标原点按逆时针方向旋转90°，得到直线
y ＝－ x ，再向右平移1个单位长度，所得到的直线方程为 y ＝－
（ x －1），即 y ＝－ x ＋ .
y ＝－ x ＋
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15. 已知直线 l 的斜率与直线3 x －2 y ＝6的斜率相等，直线 l 与 x 轴的交
点坐标为（ a ，0），且 a 比直线 l 在 y 轴上的截距大1，求直线 l 方
程的斜截式.
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解：由题意知，直线 l 的斜率为 ，
设直线 l 在 y 轴上的截距为 b ，
故直线 l 的方程为 y ＝ x ＋ b ，
由 x ＋ b ＝0得 a ＝－ b ，
所以－ b － b ＝1， b ＝－ ，
所以直线 l 方程的斜截式为 y ＝ x － .
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16. 如图，在两条互相垂直的道路 l1， l2的一角，有一个电线杆，电线
杆底部到道路 l1的垂直距离为4米，到道路 l2的垂直距离为3米，现
在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行道 AB ，使得人
行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，求人行道
的长度.
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解：如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为 y －4＝ k
（ x －3）（ k ＜0），所以 A （3－ ，0）， B （0，4－3 k ），所
以△ ABO 的面积 S ＝ （4－3 k ） ＝ ，因为
k ＜0，所以－9 k － ≥2 ＝24，当且仅当－9 k ＝－
，即 k ＝－ 时取等号，此时， A （6，0），
B （0，8），所以人行道的长度为10米.
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谢 谢 观 看！
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161.3 直线的方程
第一课时 直线方程的点斜式
1.若直线l的倾斜角为45°，且经过点（2，0），则直线l的方程是（ ）
A.y＝x＋2 B.y＝x－2
C.y＝x－ D.y＝x－2
2.直线y－2＝－（x＋1）的倾斜角及在y轴上的截距分别为（ ）
A.60°，2 B.120°，2－
C.60°，2－ D.120°，2
3.直线y＝ax＋的图象可能是（ ）
4.（多选）已知直线l：y＝－x＋2，则（ ）
A.倾斜角为60°
B.过点（0，2）
C.直线l的方向向量为（1，－）
D.在y轴上的截距为2
5.（多选）下列关于直线方程的点斜式y－y0＝k（x－x0）（k∈R）的叙述正确的是（ ）
A.不能表示与y轴平行的直线
B.不能表示与x轴平行的直线
C.表示经过点（x0，y0）的所有直线
D.表示经过点（x0，y0）的无数条直线
6.（多选）直线（m2＋2m）x＋（2m2－m＋3）y＝4m＋1在y轴上的截距为1，则m的值可以是（ ）
A.－2 B.－
C. D.2
7.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是 .
8.将直线y＝x＋－1绕其上一点（1，）沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程是 .
9.直线y＝kx＋2（k∈R）不过第三象限，则斜率k的取值范围是 .
10.写出下列直线方程的斜截式：
（1）直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2；
（2）直线过点A（3，1）且在y轴上的截距是－1.
11.与直线3x－2y＝0的斜率相等，且过点（－4，3）的直线方程为（ ）
A.y－3＝－（x＋4） B.y＋3＝（x－4）
C.y－3＝（x＋4） D.y＋3＝－（x－4）
12.直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a（ab≠0，a≠b）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
13.（多选）已知直线l：x－my＋m－1＝0，则下述正确的是（ ）
A.直线l的斜率可以等于0
B.直线l的斜率有可能不存在
C.直线l可能过点（2，1）
D.直线l在y轴上的截距可能为0
14.将直线y＝3x绕坐标原点按逆时针方向旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得直线方程为 .
15.已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，直线l与x轴的交点坐标为（a，0），且a比直线l在y轴上的截距大1，求直线l方程的斜截式.
16.如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行道AB，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，求人行道的长度.
第一课时 直线方程的点斜式
1.B 由题得直线l的斜率为tan 45°＝1，由直线方程的点斜式求得直线l的方程为y－0＝x－2，即y＝x－2.故选B.
2.B 该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－，∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－.
3.B 根据直线方程的点斜式，可得其斜率与在y轴上的截距同号，故选B.
4.BCD 直线斜率k＝－，所以倾斜角为120°，故A错误；将点（0，2）代入直线方程，×0＋2－2＝0成立，故B正确；因为直线l斜率k＝－，所以（1，－）是直线的一个方向向量，故C正确；令x＝0，可得y＝2，即在y轴上的截距为2，故D正确.故选B、C、D.
5.AD 直线方程的点斜式y－y0＝k（x－x0）（k∈R）不能表示斜率不存在的直线，即不能表示与y轴平行的直线，但能表示与x轴平行的直线，A正确，B错误；该直线能表示过点（x0，y0）的无数条直线，但不能表示过点（x0，y0）的所有直线（因为过点（x0，y0）的所有直线中存在一条平行于y轴的直线），故C错误，D正确.
6.CD 令x＝0，得y＝.由已知得＝1，则4m＋1＝2m2－m＋3，即2m2－5m＋2＝0.解得m＝2或.
7.y＝x－6或y＝－x－6
解析：与y轴相交成30°角的直线的斜率为k＝tan 60°＝或k＝tan 120°＝－，所以在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是y＝x－6或y＝－x－6.
8.y＝x 解析：直线y＝x＋－1的倾斜角是45°，逆时针方向旋转15°后倾斜角为60°，斜率是，则方程是y－＝（x－1），即y＝x.
9.（－∞，0] 解析：当k＝0时，直线y＝2不过第三象限；
当k＞0时，直线过第三象限；
当k＜0时，直线不过第三象限.
10.解：（1）斜率k＝tan 45°＝1，可得直线方程的斜截式为 y＝x＋2.
（2）由题意知直线过点（3，1），（0，－1），
∴斜率k＝＝，
可得直线方程的斜截式为y＝x－1.
11.C 由直线3x－2y＝0得y－0＝（x－0），则斜率k＝，从而所求直线的斜率也为.又所求直线过点（－4，3），所以依据直线方程的点斜式可得y－3＝[x－（－4）]＝（x＋4）.
12.D 对于A选项，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于B选项，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于C选项，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；对于D选项，由l1得a＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0.故选D.
13.BD 因为直线l：x－my＋m－1＝0，若m＝0，则直线的斜率不存在，故B正确；若m≠0，则直线的斜率存在，且斜率k＝，不可能为0，故A错误；将点（2，1）代入直线方程得2－m＋m－1＝1≠0，故C错误；令m＝1，则直线方程为x－y＝0，横纵截距均为0，故D正确.故选B、D.
14.y＝－x＋ 解析：将直线y＝3x绕坐标原点按逆时针方向旋转90°，得到直线y＝－x，再向右平移1个单位长度，所得到的直线方程为y＝－（x－1），即y＝－x＋.
15.解：由题意知，直线l的斜率为，
设直线l在y轴上的截距为b，
故直线l的方程为y＝x＋b，
由x＋b＝0得a＝－b，
所以－b－b＝1，b＝－，
所以直线l方程的斜截式为y＝x－.
16.解：如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y－4＝k（x－3）（k＜0），所以A（3－，0），B（0，4－3k），所以△ABO的面积S＝（4－3k）＝（24－9k－），因为k＜0，所以－9k－≥2＝24，当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号，此时，A（6，0），B（0，8），所以人行道的长度为10米.
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