第二课时 直线方程的两点式、一般式与*点法式
1.在x轴和y轴上的截距分别为－2，3的直线方程是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2.经过两点（5，0），（2，－5）的直线方程为（ ）
A.5x＋3y－25＝0 B.5x－3y－25＝0
C.3x－5y－25＝0 D.5x－3y＋25＝0
3.两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是（ ）
4.若直线（2m2－5m＋2）x－（m2－4）y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m＝（ ）
A.－2 B.2
C.－3 D.3
5.（多选）直线l经过点P（2，3），且一个方向向量是d＝（3，1），则直线的点法式方程是（ ）
A.3（x－2）＋（y－3）＝0
B.－（x－2）＋3（y－3）＝0
C.＝
D.＝
6.（多选）下列说法中不正确的是（ ）
A.直线l：x＋my－1＝0（m∈R）的斜率为－
B.若直线l过点P（1，3），且其法向量为n＝（－3，1），则直线l的方程为3x－y＝0
C.不经过原点的直线的方程都可以表示为＋＝1
D.过两个不同点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线可以表示成（x2－x1）（y－y1）＝（y2－y1）（x－x1）
7.过点（1，3）且在x轴上的截距为2的直线方程是 .
8.已知A（2，－1），B（6，1），则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为 .
9.设直线l的方程为2x＋（k－3）y－2k＋6＝0（k≠3），若直线l的斜率为－1，则k＝ ；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝ .
10.已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（－2，6），C（－8，0）.
（1）求边AC和AB所在直线的方程；
（2）求AC边上的中线BD所在直线的方程.
11.直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是（ ）
A.[－2，2]
B.（－∞，－2]∪[2，＋∞）
C.[－2，0）∪（0，2]
D.R
12.（多选）直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围可以是（ ）
A. B.（－∞，－1）
C. D.
13.已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，a∈R，则直线l总经过的定点坐标为 .若直线不经过第二象限，则实数a的取值范围是 .
14.已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是 .
15.已知△ABC的三个顶点分别是A（1，1），B（－2，3），C（3，4）.
（1）求BC边上的高所在直线的方程；
（2）如图，若四边形ABCD是平行四边形，求点D的坐标.
16.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）.
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
第二课时 直线方程的两点式、一般式与*点法式
1.C 由直线方程的截距式可得＋＝1.
2.B 经过两点（5，0），（2，－5）的直线方程为＝，整理得5x－3y－25＝0.故选B.
3.A 将两方程化为截距式l1：＋＝1，l2：＋＝1.假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合.
4.D ∵直线（2m2－5m＋2）x－（m2－4）y＋5m＝0的倾斜角为45°，∴＝tan 45°＝1，解得m＝3或m＝2（舍去）.故选D.
5.BC 因为直线l经过点P（2，3），且一个方向向量是d＝（3，1），所以直线方程的点法式是－（x－2）＋3（y－3）＝0或＝.故选B、C.
6.AC 对于A中，若m＝0时，直线l：x－1＝0，此时直线l的斜率不存在，故不正确； 对于B，若直线l过点P（1，3），且其法向量为n＝（－3，1），由直线的点法式方程，可得直线方程为－3×（x－1）＋1×（y－3）＝0，即3x－y＝0，故正确；对于C中，当一条直线平行于坐标轴时，则该直线在该坐标轴上的截距不存在，所以不能用截距式表示直线，故不正确；对于D中，过两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线，无论斜率存在还是不存在，都能表示为方程（x2－x1）（y－y1）＝（y2－y1）（x－x1），故正确.故选A、C.
7.3x＋y－6＝0 解析：由题意知直线过点（2，0），又直线过点（1，3），由直线方程的两点式可得，＝，整理得3x＋y－6＝0.
8.3x－4y－12＝0 解析：由于A（2，－1），B（6，1），故线段AB中点的坐标为（4，0），又直线在y轴上的截距是－3，∴直线方程为－＝1，即3x－4y－12＝0.
9.5 1 解析：因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5.直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
10.解：（1）由截距式，得边AC所在直线的方程为＋＝1，即x－2y＋8＝0.
由两点式，得边AB所在直线的方程为＝，
即x＋y－4＝0.
（2）由题意，得点D的坐标为（－4，2），
由两点式，得BD所在直线的方程为＝，
即2x－y＋10＝0.
11.C 令x＝0，可得y＝；令y＝0，可得x＝－b.∴｜·（－b）｜≤1，b≠0，解得－2≤b≤2，且b≠0.故选C.
12.BD 设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B（3，0）时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C（－3，0）时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率的取值范围是（－∞，－1）∪.
13.（，） [3，＋∞） 解析：将直线l的方程整理为y－＝a（x－），∴l的斜率为a，且过定点（，）.要满足l不经过第二象限，需a≥0且它在y轴上的截距不大于0且斜率a＞0，即令x＝0时，y＝－≤0，∴a≥3.
14.3 解析：直线AB的方程为＋＝1，设P（x，y），则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝（－y2＋4y）＝[－（y－2）2＋4]≤3.即当P点坐标为时，xy取得最大值3.
15.解：（1）由已知得＝（5，1），可知＝（5，1）就是BC边上的高所在直线的法向量，又所求直线过点A（1，1），∴所求直线的点法式方程为5（x－1）＋（y－1）＝0，即5x＋y－6＝0.
（2）设D点坐标为（x，y），
∵ABCD是平行四边形，∴＝，∴解得
∴D（6，2）.
16.解：（1）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是.
（2）依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B（0，1＋2k）.
又－＜0且1＋2k＞0，∴k＞0.
故S＝｜OA｜｜OB｜＝××（1＋2k）＝≥×＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号.
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
2 / 2第二课时 直线方程的两点式、一般式与*点法式
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线.
【问题】 （1）怎样表示斜拉索所在的直线方程呢？
（2）能否用直线上两个已知点的坐标来表示直线的方程？
知识点一 直线方程的两点式与截距式
两点式 截距式
条件 P1（x1，y1）和P2（x2，y2）， 其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，其中ab≠0
图形
方程 ＝ ＋＝1
适用 范围 不表示 坐标轴的直线 不表示 坐标轴的直线及过 的直线
知识点二 直线方程的一般式与*点法式
1.直线方程的一般式
（1）定义：关于x，y的二元一次方程 （其中A，B不全为0）表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式；
（2）系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k（斜率），－＝b（y轴上的截距）；
当B＝0，且A≠0时，则－＝a（x轴上的截距），此时不存在斜率.
2.直线方程的*点法式
（1）直线的法向量：与直线的方向向量 的向量称为直线的法向量；
（2）设直线l经过点P（x0，y0），且它的一个法向量为n＝（A，B），则直线l方程的点法式为 .
【想一想】
每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0）都能表示一条直线吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.（ ）
（2）直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.（ ）
（3）方程＝和方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示的图形相同.（ ）
2.如图，直线l的截距式方程是＋＝1，则（ ）
A.a＞0，b＞0 B.a＞0，b＜0
C.a＜0，b＞0 D.a＜0，b＜0
3.直线经过点P（1，3），且一个法向量为n＝（2，1）的点法式方程为 ，化为一般式为 .
题型一 直线方程的两点式
【例1】 （1）已知三角形的三个顶点坐标分别是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），求AC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程；
（2）求过点A（2，1）和点B（a，2）的直线方程.
尝试解答
通性通法
求直线方程的两点式的策略及注意点
（1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程；
（2）由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.
【跟踪训练】
1.若直线l经过点A（2，－1），B（－2，－1），则直线l的方程为 .
2.若点P（3，m）在过点A（2，－1），B（－3，4）的直线上，则m＝ .
题型二 直线方程的截距式
【例2】 求经过点A（5，2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？
通性通法
直线方程的截距式的求法及注意点
（1）由已知条件确定横、纵截距；
（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式＋＝1，可得所求的直线方程.
提醒 如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况.
【跟踪训练】
1.直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为（ ）
A.1 B.－1
C.7 D.－7
2.经过点（－2，2）且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为 .
题型三 直线方程的一般式
【例3】 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式：
（1）斜率是 且经过点A（5，3）；
（2）经过A（－1，5），B（2，－1）两点；
（3）在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
尝试解答
通性通法
直线方程的一般式的求解策略
（1）当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；当B≠0，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；
（2）在求直线方程时，设一般式有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用五种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.
【跟踪训练】
1.已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l方程的点斜式为 ；截距式为 ；斜截式为 ；一般式为 .
2.直线（m＋2）x＋（m2－2m－3）y＝2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为 .
题型四 直线方程的*点法式
【例4】 用直线方程的点法式求经过点A（－3，4），B（5，－1）的直线的方程为 .
尝试解答
通性通法
要求直线方程的点法式，求出直线的法向量是解题的关键.
【跟踪训练】
过点（1，2），且法向量为（3，－4）的直线方程的点法式为 .
1.过P1（2，0），P2（0，3）两点的直线方程是（ ）
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝1 D.－＝1
2.经过M（3，2）与N（6，2）两点的直线方程为（ ）
A.x＝2 B.y＝2
C.x＝3 D.x＝6
3.（多选）如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.直线l过点A（3，－1），且l的一个法向量n＝（3，2），则直线l的点法式方程为 .
5.直线ax＋by＝1（ab≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积是 .
第二课时 直线方程的两点式、一般式与*点法式
【基础知识·重落实】
知识点一
垂直于 垂直于 原点
知识点二
1.（1）Ax＋By＋C＝0 2.（1）垂直
（2）A（x－x0）＋B（y－y0）＝0
想一想
提示：都能表示一条直线.
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）×
2.B M（a，0），N（0，b），由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，所以a＞0，b＜0.故选B.
3.2（x－1）＋（y－3）＝0 2x＋y－5＝0 解析：直线的点法式方程为2（x－1）＋（y－3）＝0，即2x＋y－5＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）过点A（－5，0），C（0，2）的直线方程的两点式为＝，整理得2x－5y＋10＝0，此为AC边所在直线的方程.
设边AC的中点为D（x，y），
则
所以点D的坐标为（－，1）.
AC边上的中线所在直线为BD，由直线方程的两点式得直线BD的方程为＝，整理得8x＋11y＋9＝0，此即AC边上的中线所在直线的方程.
（2）①当a＝2时，A，B两点的横坐标均为2，直线AB垂直于x轴，故所求直线的方程为x＝2，即x－2＝0.
②当a≠2时，由直线方程的两点式可得＝，
整理得x＋（2－a）y＋a－4＝0（*）.
又当a＝2时，（*）式可化为x－2＝0，
所以综合①②可知，所求直线方程为x＋（2－a）y＋a－4＝0.
跟踪训练
1.y＝－1 解析：由于点A与点B的纵坐标相等，所以直线l不满足两点式方程的条件，故所求直线的方程为y＝－1.
2.－2 解析：由直线方程的两点式得＝，即＝.∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，∵点P（3，m）在直线AB上，则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
【例2】 解：法一 ①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；
②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，
可设方程为＋＝1，即x－y＝a，
又∵l经过点A（5，2），∴5－2＝a，a＝3，
∴l的方程为x－y－3＝0，
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
法二 由题意知直线的斜率一定存在.
设直线方程的点斜式为y－2＝k（x－5），
x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－.
根据题意得2－5k＝－，解得k＝或1.
当k＝时，直线方程为y－2＝（x－5），
即2x－5y＝0；
当k＝1时，直线方程为y－2＝1×（x－5），
即x－y－3＝0.
母题探究
解：①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0，符合题意；
②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，
又∵l经过点（5，2），∴＋＝1，解得a＝.
∴l的方程为x＋2y－9＝0.
综上所述，直线l的方程为2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.
跟踪训练
1.B 直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1.
2.2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0
解析：由题意知，直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直线l的方程为＋＝1，由已知可得解得或所以＋＝1或＋＝1，故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
【例3】 解：（1）由点斜式方程得y－3＝（x－5），
化成一般式，得x－y＋3－5＝0.
（2）由两点式方程得＝，
化成一般式，得2x＋y－3＝0.
（3）由截距式方程得＋＝1，
化成一般式，得x＋3y＋3＝0.
跟踪训练
1.y＋4＝（x－0） ＋＝1 y＝x－4 x－y－4＝0
解析：点斜式方程： y＋4＝（x－0），截距式方程：＋＝1，斜截式方程： y＝x－4，一般式方程：x－y－4＝0.
2.－6 解析：令y＝0，则直线在x轴上的截距是x＝，∴＝3，∴m＝－6.
【例4】 5x＋8y－17＝0 解析：因为直线经过点A（－3，4），B（5，－1），所以直线AB的斜率为＝－，所以直线AB的一个方向向量为m＝（8，－5），所以直线AB的一个法向量为n＝（5，8），所以直线的点法式方程为5（x＋3）＋8（y－4）＝0，即5x＋8y－17＝0.
跟踪训练
3（x－1）－4（y－2）＝0
解析：过点（1，2），且法向量为（3，－4）的直线方程的点法式为3（x－1）－4（y－2）＝0.
随堂检测
1.C 由截距式，得所求直线的方程为＋＝1.
2.B 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.
3.ABC
直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距为－＝－＜0，在y轴上的截距为－＞0，如图所示，由图象可知，直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限.故选A、B、C.
4.3（x－3）＋2（y＋1）＝0
解析：直线l过点A（3，－1），且l的一个法向量n＝（3，2），则直线l的点法式方程为3×（x－3）＋2×（y＋1）＝0.
5. 解析：直线在两坐标轴上的截距分别为与，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为.
4 / 4(共64张PPT)
第二课时 直线方程的两点式、一般式与*点法式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线
为 x 轴，桥塔所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成
过桥塔上一点与桥面上一点的直线.
（2）能否用直线上两个已知点的坐标来表示直线的方程？
【问题】 （1）怎样表示斜拉索所在的直线方程呢？
知识点一 直线方程的两点式与截距式
两点式 截距式
条件 P1（ x1， y1）和 P2（ x2，
y2），其中 x1≠ x2， y1≠ y2 在 x 轴上的截距为 a ，在 y 轴上的
截距为 b ，其中 ab ≠0
图形
两点式 截距式
方程
适用范
围 不表示 坐标轴
的直线 不表示 坐标轴的直线
及过 的直线
垂直于
垂直于
原点
知识点二 直线方程的一般式与*点法式
1. 直线方程的一般式
（1）定义：关于 x ， y 的二元一次方程
（其中 A ， B 不全为0）表示的是一条直线，称它为直线方
程的一般式；
（2）系数的几何意义：当 B ≠0时，则－ ＝ k （斜率），－ ＝ b
（ y 轴上的截距）；
当 B ＝0，且 A ≠0时，则－ ＝ a （ x 轴上的截距），此时不存
在斜率.
Ax ＋ By ＋ C ＝0
2. 直线方程的*点法式
（1）直线的法向量：与直线的方向向量 的向量称为直线
的法向量；
（2）设直线 l 经过点 P （ x0， y0），且它的一个法向量为 n ＝（ A ，
B ），则直线 l 方程的点法式为
.
垂直
A （ x － x0）＋ B （ y － y0）
＝0
【想一想】
每一个关于 x ， y 的二元一次方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0（其中
A ， B 不全为0）都能表示一条直线吗？
提示：都能表示一条直线.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示. （ √ ）
（2）直线 y ＝ x 在 x 轴和 y 轴上的截距均为0. （ √ ）
（3）方程 ＝ 和方程（ y － y1）（ x2－ x1）＝（ x － x1）
（ y2－ y1）表示的图形相同. （ × ）
√
√
×
2. 如图，直线 l 的截距式方程是 ＋ ＝1，则（ ）
A. a ＞0， b ＞0 B. a ＞0， b ＜0
C. a ＜0， b ＞0 D. a ＜0， b ＜0
解析： M （ a ，0）， N （0， b ），由题图知 M 在 x 轴正半轴
上， N 在 y 轴负半轴上，所以 a ＞0， b ＜0.故选B.
3. 直线经过点 P （1，3），且一个法向量为 n ＝（2，1）的点法式方
程为 ，化为一般式为 .
解析：直线的点法式方程为2（ x －1）＋（ y －3）＝0，即2 x ＋ y －
5＝0.
2（ x －1）＋（ y －3）＝0
2 x ＋ y －5＝0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线方程的两点式
【例1】 （1）已知三角形的三个顶点坐标分别是 A （－5，0）， B
（3，－3）， C （0，2），求 AC 边所在直线的方程，以及该边上中
线所在直线的方程；
解：过点 A （－5，0）， C （0，2）的直线方程的两点式为 ＝ ，整理得2 x －5 y ＋10＝0，此为 AC 边所在直线的方程.
设边 AC 的中点为 D （ x ， y ），
则
所以点 D 的坐标为（－ ，1）.
AC 边上的中线所在直线为 BD ，由直线方程的两点式得直线 BD
的方程为 ＝ ，整理得8 x ＋11 y ＋9＝0，此即 AC 边
上的中线所在直线的方程.
（2）求过点 A （2，1）和点 B （ a ，2）的直线方程.
解：①当 a ＝2时， A ， B 两点的横坐标均为2，直线 AB 垂
直于 x 轴，故所求直线的方程为 x ＝2，即 x －2＝0.
②当 a ≠2时，由直线方程的两点式可得 ＝ ，
整理得 x ＋（2－ a ） y ＋ a －4＝0（*）.
又当 a ＝2时，（*）式可化为 x －2＝0，
所以综合①②可知，所求直线方程为 x ＋（2－ a ） y ＋ a －4＝0.
通性通法
求直线方程的两点式的策略及注意点
（1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否
满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若
满足，则考虑用两点式求方程；
（2）由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或
数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须
注意坐标的对应关系.
1. 若直线 l 经过点 A （2，－1）， B （－2，－1），则直线 l 的方程
为 .
解析：由于点 A 与点 B 的纵坐标相等，所以直线 l 不满足两点式方程
的条件，故所求直线的方程为 y ＝－1.
y ＝－1
【跟踪训练】
2. 若点 P （3， m ）在过点 A （2，－1）， B （－3，4）的直线上，则
m ＝ .
解析：由直线方程的两点式得 ＝ ，即 ＝ .∴直线
AB 的方程为 y ＋1＝－ x ＋2，∵点 P （3， m ）在直线 AB 上，则 m
＋1＝－3＋2，得 m ＝－2.
－2
题型二 直线方程的截距式
【例2】 求经过点 A （5，2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线
l 的方程.
解：法一 ①当直线 l 在坐标轴上的截距均为0时，方程为 y ＝ x ，即
2 x －5 y ＝0；
②当直线 l 在坐标轴上的截距不为0时，
可设方程为 ＋ ＝1，
即 x － y ＝ a ，
又∵ l 经过点 A （5，2），
∴5－2＝ a ， a ＝3，
∴ l 的方程为 x － y －3＝0，
综上所述，直线 l 的方程是2 x －5 y ＝0或 x － y －3＝0.
法二 由题意知直线的斜率一定存在.
设直线方程的点斜式为 y －2＝ k （ x －5），
x ＝0时， y ＝2－5 k ， y ＝0时， x ＝5－ .
根据题意得2－5 k ＝－ ，解得 k ＝ 或1.
当 k ＝ 时，直线方程为 y －2＝ （ x －5），
即2 x －5 y ＝0；
当 k ＝1时，直线方程为 y －2＝1×（ x －5），
即 x － y －3＝0.
【母题探究】
（变条件）若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为
“在 x 轴上的截距是 y 轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？
解：①当直线 l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为 y ＝ x ，即2 x －
5 y ＝0，符合题意；
②当直线 l 在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为 ＋ ＝1，
又∵ l 经过点（5，2），∴ ＋ ＝1，解得 a ＝ .
∴ l 的方程为 x ＋2 y －9＝0.
综上所述，直线 l 的方程为2 x －5 y ＝0或 x ＋2 y －9＝0.
通性通法
直线方程的截距式的求法及注意点
（1）由已知条件确定横、纵截距；
（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距
不为零，则代入公式 ＋ ＝1，可得所求的直线方程.
提醒 如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互
为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少
倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的
情况.
1. 直线 － ＝1在两坐标轴上的截距之和为（ ）
A. 1 B. －1
C. 7 D. －7
解析： 直线在 x 轴上截距为3，在 y 轴上截距为－4，因此截距之
和为－1.
【跟踪训练】
2. 经过点（－2，2）且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线 l 的
方程为 .
解析：由题意知，直线 l 在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可
设所求直线 l 的方程为 ＋ ＝1，由已知可得解得
或所以 ＋ ＝1或 ＋ ＝1，故直线 l 的方程
为2 x ＋ y ＋2＝0或 x ＋2 y －2＝0.
2 x ＋ y ＋2＝0或 x ＋2 y －2＝0
题型三 直线方程的一般式
【例3】 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式：
（1）斜率是 且经过点 A （5，3）；
解：由点斜式方程得 y －3＝ （ x －5），
化成一般式，得 x － y ＋3－5 ＝0.
（2）经过 A （－1，5）， B （2，－1）两点；
解：由两点式方程得 ＝ ，
化成一般式，得2 x ＋ y －3＝0.
（3）在 x ， y 轴上的截距分别是－3，－1.
解：由截距式方程得 ＋ ＝1，
化成一般式，得 x ＋3 y ＋3＝0.
通性通法
直线方程的一般式的求解策略
（1）当 A ≠0时，方程可化为 x ＋ y ＋ ＝0，只需求 ， 的值；当 B
≠0，方程可化为 x ＋ y ＋ ＝0，只需求 ， 的值.因此，只要
给出两个条件，就可以求出直线方程；
（2）在求直线方程时，设一般式有时并不简单，常用的还是根据给
定条件选用五种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.
1. 已知直线 l 的倾斜角为60°，在 y 轴上的截距为－4，则直线 l 方程的
点斜式为 y ＋4＝ （ x －0） ；截距式为 ＋ ＝1 ；斜截式
为 y ＝ x －4 ；一般式为 x － y －4＝0 .
解析：点斜式方程： y ＋4＝ （ x －0），截距式方程： ＋
＝1，斜截式方程： y ＝ x －4，一般式方程： x － y －4＝0.
y ＋4＝ （ x －0）
＋ ＝1
y ＝ x －4
x － y －4＝0
【跟踪训练】
2. 直线（ m ＋2） x ＋（ m2－2 m －3） y ＝2 m 在 x 轴上的截距为3，则
实数 m 的值为
解析：令 y ＝0，则直线在 x 轴上的截距是 x ＝ ，∴ ＝3，
∴ m ＝－6.
－6
题型四 直线方程的*点法式
【例4】 用直线方程的点法式求经过点 A （－3，4）， B （5，－1）
的直线的方程为 .
5 x ＋8 y －17＝0
解析：因为直线经过点 A （－3，4）， B （5，－1），所以直线 AB 的
斜率为 ＝－ ，所以直线 AB 的一个方向向量为 m ＝（8，－
5），所以直线 AB 的一个法向量为 n ＝（5，8），所以直线的点法式
方程为5（ x ＋3）＋8（ y －4）＝0，即5 x ＋8 y －17＝0.
通性通法
要求直线方程的点法式，求出直线的法向量是解题的关键.
【跟踪训练】
过点（1，2），且法向量为（3，－4）的直线方程的点法式为
.
解析：过点（1，2），且法向量为（3，－4）的直线方程的点法式为
3（ x －1）－4（ y －2）＝0.
3
（ x －1）－4（ y －2）＝0
1. 过 P1（2，0）， P2（0，3）两点的直线方程是（ ）
解析： 由截距式，得所求直线的方程为 ＋ ＝1.
2. 经过 M （3，2）与 N （6，2）两点的直线方程为（ ）
A. x ＝2 B. y ＝2
C. x ＝3 D. x ＝6
解析： 由 M ， N 两点的坐标可知，直线 MN 与 x 轴平行，所以直
线方程为 y ＝2，故选B.
3. （多选）如果 AB ＜0， BC ＜0，那么直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0经过
（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0在 x 轴上的截距
为－ ＝－ ＜0，在 y 轴上的截距为－ ＞0，如
图所示，由图象可知，直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0经过第
一、二、三象限.故选A、B、C.
4. 直线 l 过点 A （3，－1），且 l 的一个法向量 n ＝（3，2），则直线 l
的点法式方程为 .
解析：直线 l 过点 A （3，－1），且 l 的一个法向量 n ＝（3，2），
则直线 l 的点法式方程为3×（ x －3）＋2×（ y ＋1）＝0.
解析：直线在两坐标轴上的截距分别为 与 ，所以直线与两坐标
轴围成的三角形面积为 .
3（ x －3）＋2（ y ＋1）＝0
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为－2，3的直线方程是（ ）
解析： 由直线方程的截距式可得 ＋ ＝1.
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2. 经过两点（5，0），（2，－5）的直线方程为（ ）
A. 5 x ＋3 y －25＝0 B. 5 x －3 y －25＝0
C. 3 x －5 y －25＝0 D. 5 x －3 y ＋25＝0
解析： 经过两点（5，0），（2，－5）的直线方程为 ＝
，整理得5 x －3 y －25＝0.故选B.
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3. 两条直线 l1： － ＝1和 l2： － ＝1在同一直角坐标系中的图象可
以是（ ）
解析： 将两方程化为截距式 l1： ＋ ＝1， l2： ＋ ＝1.假定
l1的位置，判断 a ， b 的正负，从而确定 l2的位置，知A项符合.
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4. 若直线（2 m2－5 m ＋2） x －（ m2－4） y ＋5 m ＝0的倾斜角为
45°，则 m ＝（ ）
A. －2 B. 2
C. －3 D. 3
解析： ∵直线（2 m2－5 m ＋2） x －（ m2－4） y ＋5 m ＝0的倾
斜角为45°，∴ ＝tan 45°＝1，解得 m ＝3或 m ＝2（舍
去）.故选D.
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5. （多选）直线 l 经过点 P （2，3），且一个方向向量是 d ＝（3，
1），则直线的点法式方程是（ ）
A. 3（ x －2）＋（ y －3）＝0
B. －（ x －2）＋3（ y －3）＝0
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解析： 因为直线 l 经过点 P （2，3），且一个方向向量是 d ＝
（3，1），所以直线方程的点法式是－（ x －2）＋3（ y －3）＝0或
＝ .故选B、C.
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6. （多选）下列说法中不正确的是（ ）
B. 若直线 l 过点 P （1，3），且其法向量为 n ＝（－3，1），则直线 l
的方程为3 x － y ＝0
D. 过两个不同点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）的直线可以表示成（ x2
－ x1）（ y － y1）＝（ y2－ y1）（ x － x1）
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解析： 对于A中，若 m ＝0时，直线 l ： x －1＝0，此时直线 l 的
斜率不存在，故不正确； 对于B，若直线 l 过点 P （1，3），且其法
向量为 n ＝（－3，1），由直线的点法式方程，可得直线方程为－
3×（ x －1）＋1×（ y －3）＝0，即3 x － y ＝0，故正确；对于C
中，当一条直线平行于坐标轴时，则该直线在该坐标轴上的截距不
存在，所以不能用截距式表示直线，故不正确；对于D中，过两个
不同的点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）的直线，无论斜率存在还是
不存在，都能表示为方程（ x2－ x1）（ y － y1）＝（ y2－ y1）（ x －
x1），故正确.故选A、C.
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7. 过点（1，3）且在 x 轴上的截距为2的直线方程是 .
解析：由题意知直线过点（2，0），又直线过点（1，3），由直线
方程的两点式可得， ＝ ，整理得3 x ＋ y －6＝0.
3 x ＋ y －6＝0
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8. 已知 A （2，－1）， B （6，1），则在 y 轴上的截距是－3，且经过
线段 AB 中点的直线方程为 .
解析：由于 A （2，－1）， B （6，1），故线段 AB 中点的坐标为
（4，0），又直线在 y 轴上的截距是－3，∴直线方程为 － ＝1，
即3 x －4 y －12＝0.
3 x －4 y －12＝0
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9. 设直线 l 的方程为2 x ＋（ k －3） y －2 k ＋6＝0（ k ≠3），若直线 l 的
斜率为－1，则 k ＝ ；若直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距之和等于0，
则 k ＝ .
解析：因为直线 l 的斜率存在，所以直线 l 的方程可化为 y ＝－ x
＋2，由题意得－ ＝－1，解得 k ＝5.直线 l 的方程可化为 ＋
＝1，由题意得 k －3＋2＝0，解得 k ＝1.
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10. 已知△ ABC 的三个顶点分别为 A （0，4）， B （－2，6）， C （－
8，0）.
（1）求边 AC 和 AB 所在直线的方程；
解：由截距式，得边 AC 所在直线的方程为 ＋ ＝1，即 x －2 y ＋8＝0.
由两点式，得边 AB 所在直线的方程为 ＝ ，即 x ＋ y
－4＝0.
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（2）求 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程.
解：由题意，得点 D 的坐标为（－4，2），
由两点式，得 BD 所在直线的方程为 ＝ ，即2 x
－ y ＋10＝0.
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11. 直线 x －2 y ＋ b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那
么 b 的取值范围是（ ）
A. [－2，2] B. （－∞，－2]∪[2，＋∞）
C. [－2，0）∪（0，2] D. R
解析： 令 x ＝0，可得 y ＝ ；令 y ＝0，可得 x ＝－ b .∴ ｜
·（－ b ）｜≤1， b ≠0，解得－2≤ b ≤2，且 b ≠0.故选C.
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12. （多选）直线 l 经过点 A （1，2），在 x 轴上的截距的取值范围是
（－3，3），则其斜率的取值范围可以是（ ）
B. （－∞，－1）
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解析： 设直线的斜率为 k ，如图，过定
点 A 的直线经过点 B （3，0）时，直线 l 在 x
轴上的截距为3，此时 k ＝－1；过定点 A 的直
线经过点 C （－3，0）时，直线 l 在 x 轴的截
距为－3，此时 k ＝ ，满足条件的直线 l 的斜
率的取值范围是（－∞，－1）∪ .
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解析：将直线 l 的方程整理为 y － ＝ a （ x － ），∴ l 的斜率为
a ，且过定点（ ， ）.要满足 l 不经过第二象限，需 a ≥0且它在 y
轴上的截距不大于0且斜率 a ＞0，即令 x ＝0时， y ＝－ ≤0，
∴ a ≥3.
（ ， ）
[3，＋∞）
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14. 已知 A （3，0）， B （0，4），直线 AB 上一动点 P （ x ， y ），则
xy 的最大值是 .
解析：直线 AB 的方程为 ＋ ＝1，设 P （ x ， y ），则 x ＝3－
y ，∴ xy ＝3 y － y2＝ （－ y2＋4 y ）＝ [－（ y －2）2＋4]≤3.即当
P 点坐标为 时， xy 取得最大值3.
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15. 已知△ ABC 的三个顶点分别是 A （1，1）， B （－2，3）， C
（3，4）.
（1）求 BC 边上的高所在直线的方程；
解：由已知得 ＝（5，1），可知
＝（5，1）就是 BC 边上的高所在直线
的法向量，又所求直线过点 A （1，1），
∴所求直线的点法式方程为5（ x －1）＋
（ y －1）＝0，即5 x ＋ y －6＝0.
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（2）如图，若四边形 ABCD 是平行四边形，求点 D 的坐标.
解：设 D 点坐标为（ x ， y ），
∵ ABCD 是平行四边形，∴ ＝ ，
∴解得∴ D
（6，2）.
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16. 已知直线 l ： kx － y ＋1＋2 k ＝0（ k ∈R）.
（1）若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；
解：直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋2 k ＋1，则直线 l 在 y 轴上
的截距为2 k ＋1，要使直线 l 不经过第四象限，则
解得 k ≥0，故 k 的取值范围是 .
（2）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A ，交 y 轴正半轴于点 B ， O 为坐
标原点，设△ AOB 的面积为 S ，求 S 的最小值及此时直线 l 的
方程.
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解：依题意，直线 l 在 x 轴上的截距为－ ，在 y 轴
上的截距为1＋2 k ，
∴ A ， B （0，1＋2 k ）.
又－ ＜0且1＋2 k ＞0，∴ k ＞0.
故 S ＝ ｜ OA ｜｜ OB ｜＝ × ×（1＋2 k ）＝ ≥ × ＝4，
当且仅当4 k ＝ ，即 k ＝ 时，取等号.
故 S 的最小值为4，此时直线 l 的方程为 x －2 y ＋4＝0.
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谢 谢 观 看！
