1.4 两条直线的平行与垂直
1.过点A（2，5）和点B（－4，5）的直线与直线y＝3的位置关系是（ ）
A.相交 B.平行
C.重合 D.以上都不对
2.已知直线l1经过A（－3，4），B（－8，－1）两点，直线 l2的倾斜角为135°，那么l1与l2（ ）
A.垂直 B.平行
C.重合 D.相交但不垂直
3.经过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为（ ）
A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0
4.已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A（3，2）和B（a，－1），且直线l与l1平行，则实数a的值为（ ）
A.0 B.1
C.6 D.0或6
5.（多选）下列各直线中，与直线2x－y－3＝0平行的是（ ）
A.2ax－ay＋6＝0（a≠0，a≠－2）
B.y＝2x
C.2x－y＋5＝0
D.2x＋y－3＝0
6.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.若l1∥l2，则k1＝k2
B.若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1
C.直线l1∥l2的充要条件是倾斜角α1＝α2
D.若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
7.若经过点（m，3）和（2，m）的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是 .
8.已知四边形MNPQ的顶点分别为M（1，1），N（3，－1），P（4，0），Q（2，2），则四边形MNPQ的形状为 .
9.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝ ；若l1∥l2，则m＝ .
10.已知直线l1：x＋my＋1＝0和l2：（m－3）x－2y＋（13－7m）＝0.
（1）若l1⊥l2，求实数m的值；
（2）若l1∥l2，求实数m的值.
11.已知直线l1：ax＋y－2＝0，l2：（a＋3）x－2by＋1＝0（a＞0，b＞0）互相垂直，则的取值范围为（ ）
A.（0，） B.（0，） C.（，1） D.（3，＋∞）
12.已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3＝（ ）
A.1 B. C. D.1或
13.（多选）以A（－1，1），B（2，－1），C（1，4）为顶点的三角形中，下列结论正确的有（ ）
A.kAB＝－
B.kBC＝－
C.以A点为直角顶点的直角三角形
D.以B点为直角顶点的直角三角形
14.（多选）已知直线l1：xsin α＋y＝0与l2：3x＋y＋c＝0，则下列结论正确的是（ ）
A.直线l1与直线l2可能重合
B.直线l1与直线l2可能垂直
C.直线l1与直线l2可能平行
D.存在直线l1上一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合
15.直线l经过点（1，3），且 .
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与坐标轴围成的三角形面积.
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答.
①与直线2x－y－1＝0平行；
②直线l在x轴上的截距为－.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
16.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，求△ABC的面积的最小值.
1.4 两条直线的平行与垂直
1.B 易知两直线斜率都为0且不重合，所以平行.
2.A 直线l1经过A（－3，4），B（－8，－1）两点，则直线l1的斜率k1＝＝1.直线l2的倾斜角为135°，则直线l2的斜率k2＝tan 135°＝－1，所以k1·k2＝－1，故l1与l2垂直.
3.A 经过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为y－3＝（x－2），化简可得x－2y＋4＝0，故选A.
4.C 因为直线l的倾斜角为，所以l的斜率为tan ＝－1.因为直线l1经过点A（3，2）和B（a，－1），所以直线l1的斜率为.因为直线l与l1平行，所以＝－1，解得a＝6.
5.ABC 直线2x－y－3＝0的斜率为2，D选项中的直线的斜率为－2，故D项错误.选项A、B、C均满足斜率相等且截距不相等，故选A、B、C.
6.CD 对于A，若直线l1∥l2，则直线的倾斜角相等，但斜率不一定存在，所以A错误.对于B，当一条直线与x轴垂直时，斜率不存在，所以B错误.对于C，由直线的倾斜角α1＝α2得到两直线平行，即l1∥l2；若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2，显然正确，所以C正确.对于D，若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行，所以D正确.
7. 解析：由题意可知kl＝，又因为kl＝，所以＝，解得m＝.
8.矩形 解析：因为kMN＝－1，kPQ＝－1，所以MN∥PQ.又kMQ＝1，kNP＝1，所以MQ∥NP，所以四边形MNPQ为平行四边形.又kMN·kMQ＝－1，所以MN⊥MQ，所以四边形MNPQ为矩形.
9.－2 2 解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1k2＝，若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的一元二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2×m＝0，∴m＝2.
10.解：（1）由直线l1：x＋my＋1＝0和l2：（m－3）x－2y＋（13－7m）＝0，
当l1⊥l2时，1·（m－3）－2m＝0，解得m＝－3.
（2）由l1∥l2可得m（m－3）＋2＝0，
解得m＝1或m＝2，
当m＝2时，l1与l2重合，故舍去，
当m＝1时，可得l1：x＋y＋1＝0，
l2：－2x－2y＋6＝0，即x＋y－3＝0，
故m＝1.
11.B ∵直线l1：ax＋y－2＝0，l2：（a＋3）x－2by＋1＝0（a＞0，b＞0）互相垂直，∴a（a＋3）－2b＝0，∴＝.∵a＞0，b＞0，∴∈（0，）.∴的取值范围为（0，）.故选B.
12.D 由k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，解方程得或又l1∥l2，所以k1＝k2，所以k1＋k2＋k3＝1或.
13.AC kBC＝＝－5，kAB＝＝－，kAC＝＝，∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形.故A、C正确，B、D错误.
14.BD ∵直线l1：xsin α＋y＝0的斜率为k1＝－sin α，直线l2：3x＋y＋c＝0的斜率k2＝－3，－1≤sin α≤1，∴k1，k2不可能相等，∴直线l1与直线l2不可能重合，也不可能平行，故A、C均错误；当sin α＝－时，k1k2＝－1，l1⊥l2，∴直线l1与直线l2可能垂直，故B正确；∵直线l1与直线l2不可能重合，也不可能平行，∴直线l1与直线l2一定有交点P，∴存在直线l1上一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合，故D正确.故选B、D.
15.解：（1）选①，∵直线l与直线2x－y－1＝0平行，∴可设直线l的方程为2x－y＋m＝0（m≠－1），把（1，3）代入可得m＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
选②，∵直线l经过点（1，3），由题意可知直线的斜率存在，设为k，∴直线l的方程为y－3＝k（x－1）.∵直线l在x轴上的截距为－，∴直线l过点（－，0），代入可得k＝2，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
（2）在直线l：2x－y＋1＝0中，令x＝0可得y＝1，令y＝0可得x＝－，∴直线l与坐标轴围成的三角形面积S＝×1×＝.
16.解：以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，垂直于l1的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B（a，－2），C（b，3）.
∵AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，
∴·＝－1，
即ab－6＝0，ab＝6，b＝.
∴Rt△ABC的面积S＝AB·AC＝·＝·＝≥＝6（当且仅当a2＝4时取等号）.
∴△ABC的面积的最小值为6.
2 / 21.4 两条直线的平行与垂直
新课程标准解读 核心素养
能根据斜率判定两条直线平行或垂直 数学运算
如图所示是人们平常所说的飞机拉烟，每一道拉烟之间有怎样的位置关系？
【问题】 （1）在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？
（2）若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？
知识点 两条直线平行与垂直
1.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2（其中b1≠b2）.
（1）l1∥l2 ；
（2）l1⊥l2 .
2.若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为 的直线，从而它们互相 .
3.当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则 .
【想一想】
1.两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
2.对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的法向量分别为n1＝（A1，B1），n2＝（A2，B2），能利用它的法向量判断l1和l2平行或垂直吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.（ ）
（2）若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直.（ ）
（3）若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行.（ ）
2.直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（ ）
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
3.已知直线ax＋y＋5＝0与x－2y＋7＝0垂直，则a＝（ ）
A.2 B.
C.－2 D.－
4.l1经过点A（m，1），B（－3，4），l2经过点C（0，2），D（1，1），且l1∥l2，则m＝ .
题型一 两条直线平行、垂直的判定
【例1】 判断下列各组直线平行还是垂直：
（1）l1：y－2＝3（x＋1），l2：y＝3x；
（2）l1：y＝6x－1，l2：y＝－x－1.
尝试解答
通性通法
1.判断两条不重合直线是否平行的方法
在判断两条不重合的直线是否平行时，首先判断两条直线的斜率是否存在：若存在且相等，则两直线平行；若斜率都不存在，则两直线平行.
2.判断两条直线是否垂直的方法
在这两条直线都有斜率的前提下，看它们的斜率之积是否等于－1，但应注意当有一条直线与x轴垂直（斜率不存在），另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
【跟踪训练】
判断下列各组直线的位置关系（“垂直”“平行”或“既不垂直也不平行”）.
（1）l1：y＝－2x＋1与l2：x＋2y－1＝0；
（2）l1：y＝x＋3与l2：x－y－4＝0；
（3）l1：＋＝1与l2：2x－3y＋1＝0；
（4）l1：2x－5＝0与l2：3y－1＝0.
题型二 利用两条直线平行、垂直的条件求直线方程
【例2】 已知点A（3，3）和直线l：y＝x－.求：
（1）经过点A且与直线l平行的直线的方程；
（2）经过点A且与直线l垂直的直线的方程.
尝试解答
通性通法
过一点与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法
（1）由已知直线求出斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；
（2）可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0（C1≠C），再由直线所经过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所经过的点确定C2.
【跟踪训练】
1.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l'的方程：
（1）经过点（－1，3），且与l平行；
（2）经过点（－1，3），且与l垂直.
2.已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋（a＋1）y－a＝0，求满足下列条件的a的值.
（1）l1∥l2；
（2）l1⊥l2.
题型三 直线平行与垂直的综合应用
【例3】 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2＋t），R（－2t，2），其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）将本例改为已知“A（－4，3），B（2，5），C（6，3），D（－3，0），顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状.”
2.（变设问）将本例改为“已知矩形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2＋t），试求顶点R的坐标.”
通性通法
1.利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤
2.判定几何图形形状的注意点
（1）在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标；
（2）证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况；
（3）判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况.
【跟踪训练】
已知A（1，0），B（3，2），C（0，4），点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，则点D的坐标为 .
1.直线x＋ay－7＝0与直线（a＋1）x＋2y－14＝0平行，则a的值是（ ）
A.1 B.－2
C.1或－2 D.－1或2
2.下列条件中，使得l1⊥l2的是（ ）
①l1的斜率为－，l2经过点A（1，1），B；②l1的倾斜角为45°，l2经过点P（－2，－1），Q（3，－5）；③l1经过点M（1，0），N（4，－5），l2经过点R（－6，0），S（－1，3）.
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
3.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0（m∈R）的两个根，则l1与l2的位置关系是（ ）
A.平行 B.垂直
C.可能重合 D.无法确定
4.已知直线l的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为 .
5.若不同两点P，Q的坐标分别为（a，b），（3－b，3－a），则线段PQ的垂直平分线的斜率为 .
1.4 两条直线的平行与垂直
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）k1＝k2 （2）k1k2＝－1 2. 平行或重合 3.l1⊥l2
想一想
1.提示：不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在.
2.提示：能.当n1∥n2时，l1∥l2；当n1⊥n2（n1·n2＝0）时，l1⊥l2.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√
2.D 设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝－1，所以l1⊥l2.
3.A ∵直线ax＋y＋5＝0与x－2y＋7＝0垂直，∴－a＝－2，∴a＝2.故选A.
4.0 解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，∴m＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，
在y轴上的截距分别为b1，b2，
直线l1的方程可化为y＝3x＋5，
所以k1＝k2＝3，b1≠b2，故l1∥l2.
（2）设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，
则由l1，l2的方程可知k1＝6，k2＝－，
因为k1k2＝6×＝－1，
所以l1⊥l2.
跟踪训练
解：（1）设l1与l2的斜率分别为k1与k2，
则k1＝－2，k2＝－，故k1≠k2且k1k2≠－1，
所以l1与l2既不垂直也不平行.
（2）设l1与l2的斜率分别为k1与k2，在y轴上的截距分别为b1，b2，
由题意知k1＝1，k2＝1，故k1＝k2，
又因为b1≠b2，故l1∥l2.
（3）设l1与l2的斜率分别为k1与k2，
l1与l2的方程可化为l1：y＝－x＋3，l2：y＝x＋.
所以k1·k2＝×＝－1，故l1⊥l2.
（4）l1与l2的方程可化为l1：x＝，l2：y＝.
因为l1的斜率不存在，l2的斜率为0，故l1⊥l2.
【例2】 解：因为直线l：y＝x－，
所以该直线的斜率k＝.
（1）经过点A（3，3）且与直线l平行的直线方程为y－3＝（x－3），
即3x－4y＋3＝0.
（2）经过点A（3，3）且与直线l垂直的直线方程为y－3＝－（x－3），
即4x＋3y－21＝0.
跟踪训练
1.解：法一 l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－.
（1）∵l'与l平行，∴l'的斜率为－.
又∵l'经过点（－1，3），
∴所求方程为y－3＝－（x＋1），
即3x＋4y－9＝0.
（2）∵l'与l垂直，∴l'的斜率为，
又∵l'经过点（－1，3），
∴所求方程为y－3＝（x＋1），
即4x－3y＋13＝0.
法二 （1）由l'与l平行，可设l'的方程为3x＋4y＋m＝0（m≠－12）.
将点（－1，3）代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
（2）由l'与l垂直，可设l'的方程为4x－3y＋n＝0.
将（－1，3）代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
2.解：法一 由题可知A1＝a，B1＝2，C1＝－3，A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－a.
（1）当l1∥l2时，
解得a＝2.
（2）当l1⊥l2时，A1A2＋B1B2＝0，
即3a＋2（a＋1）＝0，解得a＝－.
法二 直线l1可化为y＝－x＋.
（1）当a＝－1时，l2：x＝－与l1不平行；
当a≠－1时，直线l2：y＝－x＋，
∵l1∥l2，∴－＝－且≠，
解得a＝2.
（2）当a＝－1时，l2：x＝－与l1不垂直；
当a≠－1时，l2：y＝－x＋，
∵l1⊥l2，∴－·＝－1，
解得a＝－.
【例3】 解：由斜率公式得kOP＝＝t，kQR＝＝＝t，kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－.所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，
故四边形OPQR为矩形.
母题探究
1.解：由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，
由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行.
又因为kAB·kAD＝×（－3）＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形.
2.解：因为OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，设R（x，y），
则由中点坐标公式知
解得所以R点的坐标是（－2t，2）.
跟踪训练
（10，－6） 解析：设D（x，y），则kAB＝＝1，kBC＝＝－，kCD＝，kAD＝，∵AB⊥CD，AD∥BC，
∴
解得即D（10，－6）.
随堂检测
1.B 由已知，得a（a＋1）－2＝0，解得a＝－2或a＝1.当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2.
2.B 设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1k2＝－1，易得①③正确，故选B.
3.B 由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×（－3）＝m2＋36＞0恒成立.故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在.设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B.
4.±2 解析：由题意知m2－3＝tan 45°，解得m＝±2.
5.－1 解析：若a＝3－b，则P，Q两点重合，不合题意.故PQ斜率存在.由kPQ＝＝1，得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
4 / 4(共72张PPT)
1.4 两条直线的平行与垂直
新课程标准解读 核心素养
能根据斜率判定两条直线平行或垂直 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示是人们平常所说的飞机拉烟，每一道拉烟之间有怎样的位置
关系？
（2）若 l1∥ l2，则 l1， l2的斜率相等吗？
【问题】 （1）在平面直角坐标中，若 l1∥ l2，则它们的倾斜角α1与
α2有什么关系？
知识点 两条直线平行与垂直
1. 对于两条不重合的直线 l1： y ＝ k1 x ＋ b1和 l2： y ＝ k2 x ＋ b2（其中
b1≠ b2）.
（1） l1∥ l2 ；
（2） l1⊥ l2 .
2. 若直线 l1与直线 l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为 的直
线，从而它们互相 .
k1＝ k2
k1 k2＝－1
平行或重合
3. 当 l1， l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，
则 .
l1⊥ l2
【想一想】
1. 两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
提示：不是，垂直于 x 轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在.
2. 对于两条不重合的直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0和 l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2
＝0，它们的法向量分别为 n1＝（ A1， B1）， n2＝（ A2， B2），能
利用它的法向量判断 l1和 l2平行或垂直吗？
提示：能.当 n1∥ n2时， l1∥ l2；当 n1⊥ n2（ n1· n2＝0）时， l1⊥ l2.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行. （ × ）
（2）若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率
存在，则这两条直线垂直. （ × ）
（3）若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线
平行. （ √ ）
×
×
√
2. 直线 l1， l2的斜率是方程 x2－3 x －1＝0的两根，则 l1与 l2的位置关系
是（ ）
A. 平行 B. 重合
C. 相交但不垂直 D. 垂直
解析： 设 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，则 k1 k2＝－1，所以 l1⊥ l2.
3. 已知直线 ax ＋ y ＋5＝0与 x －2 y ＋7＝0垂直，则 a ＝（ ）
A. 2
C. －2
解析： ∵直线 ax ＋ y ＋5＝0与 x －2 y ＋7＝0垂直，∴－ a ＝－
2，∴ a ＝2.故选A.
4. l1经过点 A （ m ，1）， B （－3，4）， l2经过点 C （0，2）， D
（1，1），且 l1∥ l2，则 m ＝ .
解析：∵ l1∥ l2，且 k2＝ ＝－1，∴ k1＝ ＝－1，∴ m ＝0.
0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两条直线平行、垂直的判定
【例1】 判断下列各组直线平行还是垂直：
（1） l1： y －2＝3（ x ＋1）， l2： y ＝3 x ；
解：设两条直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，
在 y 轴上的截距分别为 b1， b2，
直线 l1的方程可化为 y ＝3 x ＋5，
所以 k1＝ k2＝3， b1≠ b2，故 l1∥ l2.
（2） l1： y ＝6 x －1， l2： y ＝－ x －1.
解：设两条直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，
则由 l1， l2的方程可知 k1＝6， k2＝－ ，
因为 k1 k2＝6× ＝－1，
所以 l1⊥ l2.
通性通法
1. 判断两条不重合直线是否平行的方法
在判断两条不重合的直线是否平行时，首先判断两条直线的斜率是
否存在：若存在且相等，则两直线平行；若斜率都不存在，则两直
线平行.
2. 判断两条直线是否垂直的方法
在这两条直线都有斜率的前提下，看它们的斜率之积是否等于－
1，但应注意当有一条直线与 x 轴垂直（斜率不存在），另一条直线
与 x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
【跟踪训练】
判断下列各组直线的位置关系（“垂直”“平行”或“既不垂直也不平
行”）.
（1） l1： y ＝－2 x ＋1与 l2： x ＋2 y －1＝0；
解：设 l1与 l2的斜率分别为 k1与 k2，
则 k1＝－2， k2＝－ ，故 k1≠ k2且 k1 k2≠－1，
所以 l1与 l2既不垂直也不平行.
（2） l1： y ＝ x ＋3与 l2： x － y －4＝0；
解：设 l1与 l2的斜率分别为 k1与 k2，在 y 轴上的截距分别
为 b1， b2，
由题意知 k1＝1， k2＝1，故 k1＝ k2，
又因为 b1≠ b2，故 l1∥ l2.
（3） l1： ＋ ＝1与 l2：2 x －3 y ＋1＝0；
解：设 l1与 l2的斜率分别为 k1与 k2，
l1与 l2的方程可化为 l1： y ＝－ x ＋3， l2： y ＝ x ＋ .
所以 k1· k2＝ × ＝－1，故 l1⊥ l2.
（4） l1：2 x －5＝0与 l2：3 y －1＝0.
解：l1与 l2的方程可化为 l1： x ＝ ， l2： y ＝ .
因为 l1的斜率不存在， l2的斜率为0，故 l1⊥ l2.
题型二 利用两条直线平行、垂直的条件求直线方程
【例2】 已知点 A （3，3）和直线 l ： y ＝ x － .求：
（1）经过点 A 且与直线 l 平行的直线的方程；
经过点 A （3，3）且与直线 l 平行的直线方程为
y －3＝ （ x －3），即3 x －4 y ＋3＝0.
解：因为直线 l ： y ＝ x － ，
所以该直线的斜率 k ＝ .
（2）经过点 A 且与直线 l 垂直的直线的方程.
解：经过点 A （3，3）且与直线 l 垂直的直线方程为
y －3＝－ （ x －3），即4 x ＋3 y －21＝0.
通性通法
过一点与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法
（1）由已知直线求出斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间的
关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；
（2）可利用如下待定系数法：与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0（ A ， B 不全为
0）平行的直线方程可设为 Ax ＋ By ＋ C1＝0（ C1≠ C ），再由直
线所经过的点确定 C1；与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0（ A ， B 不全为
0）垂直的直线方程可设为 Bx － Ay ＋ C2＝0，再由直线所经过的
点确定 C2.
【跟踪训练】
1. 已知直线 l 的方程为3 x ＋4 y －12＝0，求满足下列条件的直线l'
的方程：
（1）经过点（－1，3），且与 l 平行；
解：法一 l 的方程可化为 y ＝－ x ＋3，
∴ l 的斜率为－ .
∵l'与 l 平行，∴l'的斜率为－ .
又∵l'经过点（－1，3），
∴所求方程为 y －3＝－ （ x ＋1），
即3 x ＋4 y －9＝0.
法二 由l'与 l 平行，可设l'的方程为3 x ＋4 y ＋ m ＝0（ m ≠－12）.
将点（－1，3）代入上式得 m ＝－9.
∴所求直线的方程为3 x ＋4 y －9＝0.
（2）经过点（－1，3），且与 l 垂直.
解：法一 ∵l'与 l 垂直，∴l'的斜率为 ，
又∵l'经过点（－1，3），
∴所求方程为 y －3＝ （ x ＋1），
即4 x －3 y ＋13＝0.
法二 由l'与 l 垂直，可设l'的方程为4 x －3 y ＋ n ＝0.
将（－1，3）代入上式得 n ＝13.
∴所求直线的方程为4 x －3 y ＋13＝0.
2. 已知直线 l1： ax ＋2 y －3＝0， l2：3 x ＋（ a ＋1） y － a ＝0，求满足
下列条件的 a 的值.
（1） l1∥ l2；
当 l1∥ l2时，
解得 a ＝2.
解：法一 由题可知 A1＝ a ， B1＝2， C1＝－3，
A2＝3， B2＝ a ＋1， C2＝－ a .
法二 直线 l1可化为 y ＝－ x ＋ .
当 a ＝－1时， l2： x ＝－ 与 l1不平行；
当 a ≠－1时，直线 l2： y ＝－ x ＋ ，
∵ l1∥ l2，∴－ ＝－ 且 ≠ ，
解得 a ＝2.
（2） l1⊥ l2.
解：法一当 l1⊥ l2时， A1 A2＋ B1 B2＝0，
即3 a ＋2（ a ＋1）＝0，解得 a ＝－ .
法二 当 a ＝－1时， l2： x ＝－ 与 l1不垂直；
当 a ≠－1时， l2： y ＝－ x ＋ ，
∵ l1⊥ l2，∴－ · ＝－1，
解得 a ＝－ .
题型三 直线平行与垂直的综合应用
【例3】 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 OPQR 的顶点坐
标按逆时针顺序依次为 O （0，0）， P （1， t ）， Q （1－2 t ，2＋
t ）， R （－2 t ，2），其中 t ＞0.试判断四边形 OPQR 的形状.
解：由斜率公式得 kOP ＝ ＝ t ， kQR ＝ ＝ ＝ t ， kOR ＝
＝－ ，
kPQ ＝ ＝ ＝－ .所以 kOP ＝ kQR ， kOR ＝ kPQ ，从而 OP ∥
QR ， OR ∥ PQ .
所以四边形 OPQR 为平行四边形.
又 kOP · kOR ＝－1，所以 OP ⊥ OR ，
故四边形 OPQR 为矩形.
1. （变条件）将本例改为已知“ A （－4，3）， B （2，5）， C （6，
3）， D （－3，0），顺次连接 A ， B ， C ， D 四点，试判断四边形
ABCD 的形状.”
【母题探究】
解：由题意 A ， B ， C ， D 四点在平面直角坐标
系内的位置如图，
由斜率公式可得 kAB ＝ ＝ ， kCD ＝ ＝
， kAD ＝ ＝－3， kBC ＝ ＝－ .
所以 kAB ＝ kCD ，由图可知 AB 与 CD 不重合，所以
AB ∥ CD ，由 kAD ≠ kBC ，所以 AD 与 BC 不平行.
又因为 kAB · kAD ＝ ×（－3）＝－1，
所以 AB ⊥ AD ，故四边形 ABCD 为直角梯形.
2. （变设问）将本例改为“已知矩形 OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依
次为 O （0，0）， P （1， t ）， Q （1－2 t ，2＋ t ），试求顶点 R 的
坐标.”
解：因为 OPQR 为矩形，所以 OQ 的中点也是 PR 的中点，设 R
（ x ， y ），
则由中点坐标公式知
解得所以 R 点的坐标是（－2 t ，2）.
通性通法
1. 利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤
2. 判定几何图形形状的注意点
（1）在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，
猜测其形状，以明确证明的目标；
（2）证明两直线平行时，仅有 k1＝ k2是不够的，还要注意排除两直
线重合的情况；
（3）判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他
的情况.
【跟踪训练】
已知 A （1，0）， B （3，2）， C （0，4），点 D 满足 AB
⊥ CD ，且 AD ∥ BC ，则点 D 的坐标为 .
（10，－6）
解析：设 D （ x ， y ），则 kAB ＝ ＝1， kBC ＝ ＝－ ，
kCD ＝ ， kAD ＝ ，∵ AB ⊥ CD ， AD ∥ BC ，
∴解得即 D （10，－6）.
1. 直线 x ＋ ay －7＝0与直线（ a ＋1） x ＋2 y －14＝0平行，则 a 的值是
（ ）
A. 1 B. －2
C. 1或－2 D. －1或2
解析： 由已知，得 a （ a ＋1）－2＝0，解得 a ＝－2或 a ＝1.当 a
＝1时，两直线重合，∴ a ＝－2.
2. 下列条件中，使得 l1⊥ l2的是（ ）
① l1的斜率为－ ， l2经过点 A （1，1）， B ；
② l1的倾斜角为45°， l2经过点 P （－2，－1）， Q （3，－5）；
③ l1经过点 M （1，0）， N （4，－5）， l2经过点 R （－6，0）， S
（－1，3）.
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
解析： 设 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，则 l1⊥ l2 k1 k2＝－1，易
得①③正确，故选B.
3. 已知两条直线 l1， l2的斜率是方程3 x2＋ mx －3＝0（ m ∈R）的两个
根，则 l1与 l2的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 垂直
C. 可能重合 D. 无法确定
解析： 由方程3 x2＋ mx －3＝0，知Δ＝ m2－4×3×（－3）＝ m2
＋36＞0恒成立.故方程有两相异实根，即 l1与 l2的斜率 k1， k2均存在.
设两根为 x1， x2，则 k1 k2＝ x1 x2＝－1，所以 l1⊥ l2，故选B.
4. 已知直线 l 的倾斜角为45°，直线 l2的斜率为 k ＝ m2－3，若 l1∥ l2，
则 m 的值为 .
解析：由题意知 m2－3＝tan 45°，解得 m ＝±2.
5. 若不同两点 P ， Q 的坐标分别为（ a ， b ），（3－ b ，3－ a ），则
线段 PQ 的垂直平分线的斜率为 .
解析：若 a ＝3－ b ，则 P ， Q 两点重合，不合题意.故 PQ 斜率存在.
由 kPQ ＝ ＝1，得线段 PQ 的垂直平分线的斜率为－1.
±2
－1
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 过点 A （2，5）和点 B （－4，5）的直线与直线 y ＝3的位置关系是
（ ）
A. 相交 B. 平行
C. 重合 D. 以上都不对
解析： 易知两直线斜率都为0且不重合，所以平行.
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2. 已知直线 l1经过 A （－3，4）， B （－8，－1）两点，直线 l2的倾斜
角为135°，那么 l1与 l2（ ）
A. 垂直 B. 平行
C. 重合 D. 相交但不垂直
解析： 直线 l1经过 A （－3，4）， B （－8，－1）两点，则直线
l1的斜率 k1＝ ＝1.直线 l2的倾斜角为135°，则直线 l2的斜率
k2＝tan 135°＝－1，所以 k1· k2＝－1，故 l1与 l2垂直.
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3. 经过点 A （2，3）且垂直于直线2 x ＋ y －5＝0的直线方程为
（ ）
A. x －2 y ＋4＝0 B. 2 x ＋ y －7＝0
C. x －2 y ＋3＝0 D. x －2 y ＋5＝0
解析： 经过点 A （2，3）且垂直于直线2 x ＋ y －5＝0的直线的
斜率为 ，由点斜式求得直线的方程为 y －3＝ （ x －2），化简可
得 x －2 y ＋4＝0，故选A.
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4. 已知直线 l 的倾斜角为 ，直线 l1经过点 A （3，2）和 B （ a ，－
1），且直线 l 与 l1平行，则实数 a 的值为（ ）
A. 0 B. 1
C. 6 D. 0或6
解析： 因为直线 l 的倾斜角为 ，所以 l 的斜率为tan ＝－1.因
为直线 l1经过点 A （3，2）和 B （ a ，－1），所以直线 l1的斜率为
.因为直线 l 与 l1平行，所以 ＝－1，解得 a ＝6.
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5. （多选）下列各直线中，与直线2 x － y －3＝0平行的是（ ）
A. 2 ax － ay ＋6＝0（ a ≠0， a ≠－2）
B. y ＝2 x
C. 2 x － y ＋5＝0
D. 2 x ＋ y －3＝0
解析： 直线2 x － y －3＝0的斜率为2，D选项中的直线的斜率
为－2，故D项错误.选项A、B、C均满足斜率相等且截距不相等，
故选A、B、C.
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6. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 若 l1∥ l2，则 k1＝ k2
B. 若直线 l1⊥ l2，则 k1 k2＝－1
C. 直线 l1∥ l2的充要条件是倾斜角α1＝α2
D. 若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
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解析： 对于A，若直线 l1∥ l2，则直线的倾斜角相等，但斜率
不一定存在，所以A错误.对于B，当一条直线与 x 轴垂直时，斜率不
存在，所以B错误.对于C，由直线的倾斜角α1＝α2得到两直线平行，
即 l1∥ l2；若 l1∥ l2，则倾斜角α1＝α2，显然正确，所以C正确.对于
D，若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行，所以D正确.
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7. 若经过点（ m ，3）和（2， m ）的直线 l 与斜率为－4的直线互相垂
直，则 m 的值是 .
解析：由题意可知 kl ＝ ，又因为 kl ＝ ，所以 ＝ ，解得 m
＝ .
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8. 已知四边形 MNPQ 的顶点分别为 M （1，1）， N （3，－1）， P
（4，0）， Q （2，2），则四边形 MNPQ 的形状为 .
解析：因为 kMN ＝－1， kPQ ＝－1，所以 MN ∥ PQ . 又 kMQ ＝1， kNP
＝1，所以 MQ ∥ NP ，所以四边形 MNPQ 为平行四边形.又 kMN · kMQ
＝－1，所以 MN ⊥ MQ ，所以四边形 MNPQ 为矩形.
矩形
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9. 直线 l1， l2的斜率 k1， k2是关于 k 的方程2 k2－4 k ＋ m ＝0的两根，若
l1⊥ l2，则 m ＝ ；若 l1∥ l2，则 m ＝ .
解析：由一元二次方程根与系数的关系得 k1 k2＝ ，若 l1⊥ l2，则
＝－1，∴ m ＝－2.若 l1∥ l2则 k1＝ k2，即关于 k 的一元二次方程2 k2
－4 k ＋ m ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2× m ＝0，
∴ m ＝2.
－2
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10. 已知直线 l1： x ＋ my ＋1＝0和 l2：（ m －3） x －2 y ＋（13－7 m ）
＝0.
（1）若 l1⊥ l2，求实数 m 的值；
解：由直线 l1： x ＋ my ＋1＝0和 l2：（ m －3） x －2 y
＋（13－7 m ）＝0，
当 l1⊥ l2时，1·（ m －3）－2 m ＝0，解得 m ＝－3.
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（2）若 l1∥ l2，求实数 m 的值.
解：由 l1∥ l2可得 m （ m －3）＋2＝0，
解得 m ＝1或 m ＝2，
当 m ＝2时， l1与 l2重合，故舍去，
当 m ＝1时，可得 l1： x ＋ y ＋1＝0，
l2：－2 x －2 y ＋6＝0，即 x ＋ y －3＝0，
故 m ＝1.
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11. 已知直线 l1： ax ＋ y －2＝0， l2：（ a ＋3） x －2 by ＋1＝0（ a ＞
0， b ＞0）互相垂直，则 的取值范围为（ ）
D. （3，＋∞）
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解析： ∵直线 l1： ax ＋ y －2＝0， l2：（ a ＋3） x －2 by ＋1＝0
（ a ＞0， b ＞0）互相垂直，∴ a （ a ＋3）－2 b ＝0，∴ ＝ .
∵ a ＞0， b ＞0，∴ ∈（0， ）.∴ 的取值范围为（0， ）.故
选B.
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12. 已知直线 l1， l2， l3的斜率分别是 k1， k2， k3，其中 l1∥ l2，且 k1，
k3是方程2 x2－3 x －2＝0的两根，则 k1＋ k2＋ k3＝（ ）
A. 1
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解析： 由 k1， k3是方程2 x2－3 x －2＝0的两根，解方程得
或又 l1∥ l2，所以 k1＝ k2，所以 k1＋ k2＋ k3
＝1或 .
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13. （多选）以 A （－1，1）， B （2，－1）， C （1，4）为顶点的三
角形中，下列结论正确的有（ ）
C. 以 A 点为直角顶点的直角三角形
D. 以 B 点为直角顶点的直角三角形
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解析： kBC ＝ ＝－5， kAB ＝ ＝－ ， kAC ＝
＝ ，∵ kAB · kAC ＝－1，∴ AB ⊥ AC ，∴△ ABC 是以 A 点为
直角顶点的直角三角形.故A、C正确，B、D错误.
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14. （多选）已知直线 l1： x sin α＋ y ＝0与 l2：3 x ＋ y ＋ c ＝0，则下列
结论正确的是（ ）
A. 直线 l1与直线 l2可能重合
B. 直线 l1与直线 l2可能垂直
C. 直线 l1与直线 l2可能平行
D. 存在直线 l1上一点 P ，直线 l1绕点 P 旋转后可与直线 l2重合
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解析： ∵直线 l1： x sin α＋ y ＝0的斜率为 k1＝－ sin α，直线
l2：3 x ＋ y ＋ c ＝0的斜率 k2＝－3，－1≤ sin α≤1，∴ k1， k2不可能
相等，∴直线 l1与直线 l2不可能重合，也不可能平行，故A、C均错
误；当 sin α＝－ 时， k1 k2＝－1， l1⊥ l2，∴直线 l1与直线 l2可能
垂直，故B正确；∵直线 l1与直线 l2不可能重合，也不可能平行，
∴直线 l1与直线 l2一定有交点 P ，∴存在直线 l1上一点 P ，直线 l1绕
点 P 旋转后可与直线 l2重合，故D正确.故选B、D.
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15. 直线 l 经过点（1，3），且 .
（1）求直线 l 的方程；
解：选①，∵直线 l 与直线2 x － y －1＝0平行，∴可设
直线 l 的方程为2 x － y ＋ m ＝0（ m ≠－1），把（1，3）代入
可得 m ＝1，∴直线 l 的方程为2 x － y ＋1＝0.
选②，∵直线 l 经过点（1，3），由题意可知直线的斜率存
在，设为 k ，∴直线 l 的方程为 y －3＝ k （ x －1）.∵直线 l 在
x 轴上的截距为－ ，∴直线 l 过点（－ ，0），代入可得 k
＝2，∴直线 l 的方程为2 x － y ＋1＝0.
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（2）求直线 l 与坐标轴围成的三角形面积.
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成
解答.
①与直线2 x － y －1＝0平行；
②直线 l 在 x 轴上的截距为－ .
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：在直线 l ：2 x － y ＋1＝0中，令 x ＝0可得 y ＝1，令
y ＝0可得 x ＝－ ，∴直线 l 与坐标轴围成的三角形面积 S ＝
×1× ＝ .
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16. 如图，已知直线 l1∥ l2，点 A 是 l1， l2之间的定点，点 A 到 l1， l2之
间的距离分别为3和2，点 B 是 l2上的一动点，作 AC ⊥ AB ，且 AC
与 l1交于点 C ，求△ ABC 的面积的最小值.
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解：以 A 为坐标原点，平行于 l1的直线为 x 轴，垂直于 l1的直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设 B （ a ，－2）， C （ b ，3）.
∵ AC ⊥ AB ，∴ kAC · kAB ＝－1，∴ · ＝－
1，
即 ab －6＝0， ab ＝6， b ＝ .
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∴Rt△ ABC 的面积 S ＝ AB · AC ＝
· ＝ · ＝
≥ ＝6（当且仅当
a2＝4时取等号）.
∴△ ABC 的面积的最小值为6.
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