2.1-2.3四边形同步测试（含答案解析）

第2章《四边形》（2.1～2.3）同步测试与解析
　
一．选择题（共10小题）
1．若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（　　）
A．6
B．8
C．18
D．27
　
2．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（　　）
A．60°
B．65°
C．55°
D．50°
　
3．如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（　　）
A．4
B．6
C．8
D．10
　
4．平行四边形的一条边长是12cm，那么它的两条对角线的长可能是（　　）
A．8cm和16cm
B．10cm和16cm
C．8cm和14cm
D．8cm和12cm
　
5．如图，在 ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（　　）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．8cm
　
6．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AD=BC
B．AC=BD
C．∠A=∠C
D．∠A=∠B
　
7．点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
　
8．下列说法不正确的是（　　）
A．平行四边形对边平行
B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等
D．一组对角相等的四边形是平行四边形
　
9．下列图形中，是中心对称图形的为（　　）
A．
B．
C．
D．
　
10．如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（　　）
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
　
　
二．填空题（共8小题）
11．已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是　　　　　　，内角和是　　　　　　．
　
12．一个n边形的内角和为1080°，则n=　　　　　　．
　
13．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则 ABCD的周长等于　　　　　　．
　
14．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是　　　　　　度．
　
15．在四边形ABCD中，若AB=CD，请你补充一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．则你补充的条件是　　　　　　．（只需填一个你认为正确的条件即可）．
　
16．如图， ABCD中，AB、BC长分别为12和24，边AD与BC之间的距离为5，则AB与CD间的距离为　　　　　　．
　
17．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为　　　　　　．
　
18．用长为4cm的n根火柴可以拼成如图1所示的x个边长都为4cm的平行四边形，还可以拼成如图2所示的2y个边长都为4cm的平行四边形，那么用含x的代数式表示y，得到　　　　　　．
　
　
三．解答题（共6小题）
19．在 ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH=EH．
　
20．嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=　　　　　　
求证：四边形ABCD是　　　　　　四边形．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为　　　　　　．
　
21．如图，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED′是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2．
　
22．如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
　
23．如图，在 ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．
　
24．已知在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC=　　　　　　（用含x、y的代数式表示）；
（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE
与
BF
的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，
①当x＜y时，若x+y=140°，∠DFB=30°试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．
　
　
试题解析参考：
　
一．选择题（共10小题）
1．若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（　　）
A．6
B．8
C．18
D．27
解：∵凸n边形的内角和为1260°，
∴（n﹣2）×180°=1260°，
解得n=9，
∴9﹣3=6．
故选：A．
　
2．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（　　）
A．60°
B．65°
C．55°
D．50°
解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，
∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，
∴∠P=180°﹣120°=60°．
故选：A．
　
3．如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（　　）
A．4
B．6
C．8
D．10
解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB=AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
而BO⊥AE，
∴AO=OE，
在Rt△AOB中，AO===4，
∴AE=2AO=8．
故选C．
　
4．平行四边形的一条边长是12cm，那么它的两条对角线的长可能是（　　）
A．8cm和16cm
B．10cm和16cm
C．8cm和14cm
D．8cm和12cm
解：A、4+8=12，不能构成三角形，不满足条件，故A选项错误；
B、5+8＞12，能构成三角形，满足条件，故B选项正确．
C、4+7＜12，不能构成三角形，不满足条件，故C选项错误；
D、4+6＜12，不能构成三角形，不满足条件，故D选项错误．
故选：B．
　
5．如图，在 ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（　　）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．8cm
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm，BD=6cm
∴OA=OC=AC=5cm，OB=OD=BD=3cm，
∵∠ODA=90°，
∴AD==4cm．
故选A．
　
6．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AD=BC
B．AC=BD
C．∠A=∠C
D．∠A=∠B
解：如图所示：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
当∠A=∠C时，则∠A+∠B=180°，
故AD∥BC，
则四边形ABCD是平行四边形．
故选：C．
　
7．点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：如图，连接PQ、QR、PR，分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n∥PQ，分别交于点D、E、F，
∵DP∥QR，DQ∥PR，
∴四边形PDQR为平行四边形，
同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形，
故D、E、F三点为满足条件的M点，
故选C．
　
8．下列说法不正确的是（　　）
A．平行四边形对边平行
B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等
D．一组对角相等的四边形是平行四边形
解：A、正确；
B、正确；
C、正确；
D、一组对角相等而另一组对角不相等的四边形不是平行四边形，故命题错误．
故选D．
　
9．下列图形中，是中心对称图形的为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故A错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故B正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故D错误．
故选：B．
　
10．如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（　　）
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
解：如图，连接OA、OB、OC、OD，
∵四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OE=OF，AE=CF，BF=DE，
相等的线段共有5对．
故选C．
　
二．填空题（共8小题）
11．已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是　6　，内角和是　720°　．
解：设此多边形有n条边，由题意，得
n=2（n﹣3），
解得n=6，
（6﹣2）×180°=720°，
故答案为：6，720°．
　
12．一个n边形的内角和为1080°，则n=　8　．
解：（n﹣2） 180°=1080°，
解得n=8．
　
13．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则 ABCD的周长等于　20　．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴AE+DE=AD=BC=6，
∴AE+2=6，
∴AE=4，
∴AB=CD=4，
∴ ABCD的周长=4+4+6+6=20，
故答案为：20．
　
14．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是　120　度．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B：∠C=1：2，
∴∠C=×180°=120°，
故答案为：120．
　
15．在四边形ABCD中，若AB=CD，请你补充一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．则你补充的条件是　AB∥CD　．（只需填一个你认为正确的条件即可）．
解：补充条件：AB∥CD；理由如下：
∵AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
故答案为：AB∥CD．
　
16．如图， ABCD中，AB、BC长分别为12和24，边AD与BC之间的距离为5，则AB与CD间的距离为　10　．
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F．
由题意得，S四边形ABCD=AE×BC=CD×AF，
∴24×5=12×AF，
∴AF=10，即AB与CD间的距离为10．
故答案是：10．
　
17．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为　4　．
解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1，
∴AB=2AC=2，
根据中心对称的性质得到BB′=2AB=4．
故答案为：4．
　
18．用长为4cm的n根火柴可以拼成如图1所示的x个边长都为4cm的平行四边形，还可以拼成如图2所示的2y个边长都为4cm的平行四边形，那么用含x的代数式表示y，得到　　．
解：依题意，由图1可知：一个平行四边形有4条边，两个平行四边形有4+3条边，
∴m=1+3x，
由图2可知：一组图形有7条边，两组图形有7+5条边，
∴m=2+5y，
得1+3x=3y+2（y+1），
整理，得y=x﹣，
故答案为：y=x﹣．
　
三．解答题（共6小题）
19．在 ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH=EH．
证明：∵在□ABCD中，BE∥CD，
∴∠E=∠2，
∵CE平分∠BCD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠E，
∴BE=BC，
又∵BH⊥BC，
∴CH=EH（三线合一）．
20．嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=　CD　
求证：四边形ABCD是　平行　四边形．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为　平行四边形两组对边分别相等　．
解：（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD
求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）证明：连接BD，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等．
　
21．如图，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED′是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2．
证明：（1）∵将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE=AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABDC，
∴CED′B，
∴四边形BCED′是平行四边形；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AB2=AE2+BE2．
　
22．如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED，
∴BE=FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===2，
所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；
②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG=BC=3，
所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，
由勾股定理得，CG===，
所以，四边形BDFC的面积=3×=3；
③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．
　
23．如图，在 ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．
证明：（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD，
∵ED⊥DB，FB⊥BD，
∴∠EDB=∠FBD=90°，
∴∠ADE=∠CBF，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（ASA）；
（2）作DH⊥AB，垂足为H，
在Rt△ADH中，∠A=30°，
∴AD=2DH，
在Rt△DEB中，∠DEB=45°，
∴EB=2DH，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴FD=EB，
∴DA=DF．
　
24．已知在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC=　360°﹣x﹣y　（用含x、y的代数式表示）；
（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE
与
BF
的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，
①当x＜y时，若x+y=140°，∠DFB=30°试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．
解：（1）∠ABC+∠ADC=360°﹣x﹣y；
故答案为：360°﹣x﹣y；
（2）如图1，延长DE交BF于G
∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，
∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，
又∵∠CBM=180°﹣∠ABC=180°﹣（180°﹣∠ADC）=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；
（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM=x+y，
∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，
∴∠CDF+∠CBF=（x+y），
如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB=180°﹣y，
得∠FBD+∠FDB=180°﹣y+（x+y）=180°﹣y+x，
∴∠DFB=y﹣x=30°，
解方程组：，
解得：；
②当x=y时，DC∥BF，此时∠DFB=0，故x、y满足x=y时，∠DFB不存在．