苏教版（2019） 选择性必修第一册第4章 数列本章复习与测试（含答案、解析）

苏教版（新课标）选择性必修一第四章数列
一、单选题
1.在等比数列中，，，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
2.已知数列满足，，且数列的前项和若，则实数的范围为( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，，，则( )
A. B. C. D.
4.权是中国古代度量衡器具之一，“权”秤锤与“衡”秤杆配合使用，用于测量物体的重量古代楚国的权通常是环形秤锤，这些权通常由铜或铁制成，并且常常由十个组成一套如图所示已知十枚环权的质量单位：铢从小到大构成项数为的数列，该数列的前项成等差数列，后项成等比数列，且，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，且，则
A. B. C. D.
6.已知数列满足，且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数是( )
A. B. C. D.
7.下列命题正确的有 个
若数列为等比数列，为其前项和，则，，，成等比数列
若数列为等差数列，则为等比数列
数列满足：，则；
已知为数列的前项积，若，则数列的前项和；
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.已知数列的前项和为且满足，，下列命题中错误的是( )
A. 是等差数列 B.
C. D. 是等比数列
9.已知数列满足设，为数列的前项和．若常数，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
10.已知前项和为的数列满足，，，则( )
A. B. C. D.
11.已知数列满足设，为数列的前项和．若常数，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
12.等比数列 满足各项均为正数， ，数列 的前 项和为 ，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
13.已知首项为的数列的前项和为，且，数列满足，则当的前项和取最小值时，的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
14.已知正项数列的前项和为，若，，数列的前项和为，则下列结论正确的是
A. 是等差数列 B.
C. D. 满足的的最小正整数解为
15.已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则( )
A. 为递减等差数列 B.
C. 为递增等比数列 D. 取得最大值时的值是
16.已知数列的首项为，且满足，则( )
A. 为等比数列
B. 为递增数列
C. 的前项和
D. 的前项和
17.将个数排成行列的一个数阵其中，，如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列其中已知，，记这个数的和为下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题
18.已知数列满足：，，且，等比数列公比，则数列的前项和 ．
19.已知数列满足，，则数列的前项和______．
20.已知数列满足：，，则数列的前项和__________．
21.已知数列满足，，，，则数列的最大项为________．
A. B. C. D.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.
已知数列满足数列的前项和为，且．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和．
23.
已知等比数列的前项和为，且
求数列的通项公式
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项，，其中，，成等差数列成等比数列若存在，求出这项若不存在，请说明理由．
24.
已知数列的前项和为，且、、成等差数列，
证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
记，若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．
25.
已知各项为正的数列的前项和为，且对任意正整数，有
求的值；
求数列的通项公式；
若数列的前项和为，求的最大值．
26.
已知数列的前项和为，满足，数列满足，，且．
求数列和的通项公式；
若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围；
是否存在正整数，使，，成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】在等比数列中，，，，则数列的前项和为 ，故选：．
2.【答案】
【解析】数列满足，，且数列的前项和若，则实数的范围为
。故选B．
3.【答案】
【解析】解：已知数列满足，，
则，
则，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，
即，
即，
即．故选：．
4.【答案】
【解析】因为十枚环权的质量单位：铢从小到大构成项数为的数列，该数列的前项成等差数列，后项成等比数列，且，，，
设的后项成等比数列的公比为，
则，解得舍去，
所以，．
又因为的前项成等差数列，所以，
解得，所以．
故选：．
5.【答案】
【解析】，，，，
，

所以故选B．
6.【答案】
【解析】对变形得，
又因为，所以，
所以数列是首项为公比为的等比数列．
所以，
所以．
所以，
所以，解得最小的正整数．故选C．
7.【答案】
【解析】对于设等比数列的公比为，
若，则，
可得，
则，，
故，，不是等比数列，错误；
对于，设等差数列公差为，则，
则是个常数，所以为等比数列，故正确；
对于，依题意，，它不满足，错误；
对于，，当时，，即，解得，
当时，，于是，即，
数列是首项为，公差为的等差数列，
所以数列的前项和，正确．故选：．
8.【答案】
【解析】当时，，
，即，
，等式两边同时除以得
，即，
因此，数列是等差数列
由知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，则．
，得
．
不适合．
综上所述，．
因为数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以．所以，所以是等比数列；故选C．
9.【答案】
【解析】因为，
所以当时，有．
由得，即．
当时，，所以，．
则，
，
得，，
所以．
因为常数，，所以的最小值是．故选C．
10.【答案】
【解析】由，，
可知数列的奇数项是以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以为首项，为公比的等比数列．
可知，有．
．故选D．
11.【答案】
【解析】因为，
所以当时，有．
由得，即．
当时，，所以，．
则，
，
得，，
所以．
因为常数，且，所以的最小值是．故选C．
12.【答案】
【解析】等比数列 满足各项均为正数， ，数列 的前 项和为 ，则 的取值范围为。故选A．
13.【答案】
【解析】由，得时，，两式作差得，又，
所以
所以，当时，，所以当时，递增，
又，所以时，的前项和取最小值，
故选C．
14.【答案】
【解析】因为，
当时，，
又是正项数列的前项和，解得，
当时，，即，整理得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
则，
又正项数列的前项和为，所以，故A正确
当时，，
当时，满足，
所以，
，
因为，
所以，即，故B错误
要证，由，即证，令，
原不等式即为，即证，
令，所以，
当时，恒成立，所以在单调递增，
则当时，，即成立，所以成立，故C正确
因为，所以，
则 ，
当时，，故时不等式不成立；
当时，
，
因为，即，化简整理得：，
当时，，
当时，，
综上得满足的的最小正整数解为，故 D正确．
故选ACD．
15.【答案】
【解析】由求导法则：，所以，
所以，由得得．
A.，
故数列为首项为公差为的等差数列，又，
所以，故数列为递减的等差数列，故选项A正确；
B.由知选项B错误；
C.由知数列为等比数列，
由及知数列递增，故选项C正确；
D.易知数列各项为正且单调递减，由得，
故数列前项大于，第项等于，从第项开始小于，
故取最大值时的值为或，故选项D错误．
故选AC．
16.【答案】
【解析】由得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，故A正确，
因为，所以，显然递增，故B正确；
设，
所以，
两式相减得，
所以，不正确；
因为，，故的前项和，D正确；
故选ABD．
17.【答案】
【解析】选项A由题意，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，且，，
可得，，所以，
解得或舍去，所以选项A是正确的；
选项B：又由，所以选项B不正确；
选项C又由
，所以选项C是正确的；
选项D又由这个数的和为，
则
，所以选项D是正确的．
故答案选ACD．
18.【答案】
【解析】因为，，且，
当时，，即，
由等比数列 的公比为，
即，解得，
所以，
当时，，即，
解得，
又，且，
可得，，
即，化为，
又，
所以为等差数列，且公差，
则，
所以，
，
，
上面两式相减可得
，
所以．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】，时，．
，
当时也满足上式，
，
，
数列的前项和
所以数列的前项和，
故答案为：．
20.【答案】
【解析】由，得，
所以，
又，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
因此．
故答案为：．
21.【答案】
【解析】因为，所以；
因为所以；
，以上各式相乘可得，
所以，，由于有最大值，
所以的最大值为．
故答案为．
22.【答案】解：由题知，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
又当时，，
所以，
当时， ，
，
由得，，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故
由知，，
利用分组求和可得，
．
23.【解析】由得：
，两式相减得：
，
所以，等比数列的公比为，
又因为，所以，
所以数列的通项公式为．
由得：，，
所以，
所以，
假设在数列中存在项，，其中，，成等差数列成等比数列，
则，即，
因为，，成等差数列，所以，
所以，即，
由得：与已知矛盾，
所以在数列中不存在项，，其中，，成等差数列成等比数列．
24. 【解析】因为，，成等差数列，
所以，
所以
由，得，
所以，
又当时，，
所以，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即；
据求解知，，，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
又因为，，，，，
，，，，，，
所以
．
25.【解析】当时，，
当时，得，
得，，
数列各项为正，，，
联立可得，，负值舍去
综上可得，；
当时，，
，
两式相减可得，
，
是首项为，公比为的等比数列，
；
令，则，
令，则，令，则，
数列的前项为正，第项为，从第项开始均为负，
数列的前项或前项的和取得最大值，
最大值为．
26.【解析】数列的前项和为，，．
当时，，所以．
当时，，两式相减得，
则数列为首项，公比的等比数列，
故．
由，两边同除以，得，
从而数列为首项为，公差的等差数列，则，
故．
由得，
于是，
所以，
两式相减得，
所以，
由得，
因为任意的，都有，即恒成立，所以恒成立，
记，所以，
因为 ，
从而数列为递增数列，所以当时取最小值，
于是．
假设存在正整数，，使，，成等差数列，则，即，
若为偶数，则为奇数，而为偶数，上式不成立．
若为奇数，设，则，于是，即，
当时，，此时与矛盾；
当时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立．
综上所述，满足条件的实数对不存在．
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