【辽宁卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第9~10题
一、原题9
1．（2025·辽宁）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个矩形的宽为步，则长为步，
根据题意可列方程为：
故答案为：A.
【分析】设这个矩形的宽为步，先表示出长，再根据“一块矩形田地的面积为864平方步”可列方程.
二、变式1基础
2．（2025八下·温州期中）随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：假设该电子产品每年降价的百分率均为x，由题意可得.
故答案为：C.
【分析】假设两年前的价格为单位“1”，此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程.
3．（2025八下·玉环期末） 4月23日为“世界读书日”，全国国民阅读调查结果发布，2022年和2024年我国成年国民人均纸质图书阅读量分别为4.65本和4.76本，设平均每年阅读量的增长率为，那么可列方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得4.65(1+x)2=4.76，
故答案为：B.
【分析】通过设平均每年阅读量的增长率为x，利用已知的2019年和2021年我国成年国民人均纸质图书阅读量，构建方程求解.
4．（2025八下·东阳期末） 随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2020年全球装机总量约600GW，预计到2022年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则可列的方程为（ ）
A．600（1+2x）＝864 B．600+2x＝864
C．（600+x）2＝864 D．600（1+x）2＝864
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设全球新增装机量的年平均增长率为x，
由题意得：600(1+x)2=864，
故答案为：D.
【分析】设全球新增装机量的年平均增长率为x，根据连续两年的新增装机量年平均增长率即可求解.
三、变式2巩固
5．（2025八下·舟山期末） 《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺，
∴折断部分的竹子长(10-x)尺，
根据题意得：x2+42=(10-x)2
故答案为：D.
【分析】根据题目描述，利用勾股定理来解决折竹抵地问题，找出折断后的竹子高度.
6．（2025八下·永康期末）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半。”其意思是知识和技艺学习后，如果不及时复习，那么很容易被遗忘。假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程为（ ）
A．（1+x）2=50% B．（1-x）2=50%
C．1-2x=50% D．（1-x）（1+x）=50%
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：(1-x)2=50%.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设每天“遗忘”的百分比为x，则第一天“遗忘”后剩余的百分比为1-x，第二天“遗忘”后剩余的百分比为(1-x)2，再根据“两天不练丢一半”，即可列方程.
7．（2025·台州模拟）在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降，已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，x年内的碳排放量共计2450吨.为求x的值，列出如下方程，其中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵该企业去年的碳排放量为300吨，且从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，
∴该企业今年的碳排放量为300-10=290(吨)，
x年后的碳排放量为(300-10x)吨，
根据题意得：，
即；
故答案为：B.
【分析】根据该企业去年的碳排放量及从今年开始每年的碳排放量均比上年减少10吨，可得出该企业今年及x年后的碳排放量，结合x年内的碳排放量共计2450吨，即可列出关于x的一元二次方程，即可得出答案.
四、变式3提高
8．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（ ）
A．12元 B．10元 C．11元 D．9元
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得，
整理得，
解得．
每件应降价10元．
故答案为：B.
【分析】设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，根据每件降价1元，则每天可多售5件可列出方程，利用因式分解法解得，，又由要尽快减少库存这一条件舍去，故每件应降价10元．
9．（2021九上·仙居期末）某商场销售一批衬衣.平均每天可售出30件.每件衬衣盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件.若商场平均每天盈利2000元.每件衬衣应降价（ ）元.
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件衬衫应降价x元.根据题意，得：
（50-x）（30+2x）=2000
整理，得x2-35x+250=0
解得x1=10，x2=25.
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=10应略去，
∴x=25.
故答案为：D.
【分析】设每件衬衫应降价x元.根据题中的相等关系“单个利润×每天的销售量=每天的总利润2000”可列关于x的方程，解方程即可求解.
10．（2025九上·贵港期末）《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，问门的高度是（ ）
A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺
【答案】B
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，
依题意得：，
解得，（不合题意，舍去），
即竹竿的长度为尺，
则（尺）
即门的高度是8尺．
故答案为：B．
【分析】设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
五、原题10
11．（2025·辽宁）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，CE⊥BD，设CE，BD交于点O，则：∠BOC=∠BOE=90°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
在△BOC和△BOE中，
，
∴△BOC≌△BOE（ASA），
∴OC=OE，BC=BE=12，
∴BD垂直平分CE，AE=AB-BE=4，
∴DE=CD，
∴△ADE的周长为AE+DE+AD=AE+AD+CD=AE+AC=14，
故答案为：B.
【分析】先证明△BOC≌△BOE，再根据全等三角形的性质得到OC=OE，BC=BE，进而求出AE的长，然后根据垂直平分的性质得到DE=CD，进而推出△DAE的周长等于AE+AC的长即可．
六、变式1（基础）
12．如图，在△ABC中，BC 的垂直平分线分别交AC，BC 于点 D，E，连接BD，若△ABC 的周长为20，CE=4，则△ABD的周长为 （ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ BC 的垂直平分线分别交AC，BC 于点D，E，CE=4，
∴BC=2CE=8，BD=CD，
∵△ABC的周长为20，
∴8+AB+AC=20，
∴AB+AC=12，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=12.
故答案为：A
【分析】根据垂直平分线性质可得BC=2CE=8，BD=CD，再根据三角形周长即可求出答案.
13．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ）
A．21 B．14 C．13 D．9
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴的周长，
故答案为：C．
【分析】由线段的垂直平分线交于点E，交于点D，得，等量转换的周长.
14．（2025·揭西期末） 如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC的长为9cm，的长为6cm，则EC的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE=6cm，
∴EC=AC-AE=9cm-6cm=3cm.
故答案为：B。
【分析】首先根据线段垂直平分线的性质定理得出AE=BE=6cm，再根据线段的差即可得出 EC的长 .
七、变式2（巩固）
15．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴AM=PM，PN=CN.
∴∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN，
∵∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，
∴∠BMN=2∠MPA∠BNM=2∠CPN
又∵∠APC=114°
∴∠BMN+∠BNM=2(∠MPA+∠CPN)=2(180°-∠APC)=132°
∴∠ABC =180°-(∠BMN+∠BNM)=48°，
故答案为：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，可得∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠CPN，求出∠BMN+∠BNM=132°，根据三角形内角和定理即可求出答案.
16．如图，△ABC 的 面 积 为9 cm2，BP 平 分∠ABC，AP⊥BP 于 点 P，连结PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3 cm2 B．4 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中，
∴△ABP≌△EBP(ASA)，
∴AP=PE，
故答案为： C.
【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出， 推出 代入求出即可.
17．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，E是BC 的中点，过点E作BC 的垂线交 BD 于点 F，连结 CF.若∠A=50°，∠ACF=40°，则∠CFD 的度数为 ( )
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
设∠ABD=∠CBD=x°， 则∠CFD=2x°，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BF=CF，
∴∠FCB=∠CBD=x°，
∵∠A = 50°， ∠ACF = 40°，
∴50°+40°+x°+2x°= 180°，
解得： x=30，
∴∠CFD=2x°=60°，
故答案为： D.
【分析】设∠ABD=∠CBD=x°， 则∠CFD=2x°， 根据线段垂直平分线性质求出BF=CF，推出∠FCB=∠CBD，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可.
八、变式3（提高）
18．（2025八上·长沙开学考）已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE-S△BCE=S△ADC．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①在AE取点F，使EF=BE.
∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE
∴AD=AF.
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2(AF+EF)=2AE，
∴，故①正确；
②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF，
在△ACD与△ACF中，
∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF
∴∠ADC=∠AFC
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB
∴∠CFB=∠B
又∵∠AFC+∠CFB=180°
∴∠ADC+∠B=180°
∴∠DAB+∠DCB=360°-(∠ADC+∠B)=180°
故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，
∴CD=CF，
又∵CF=CB.
∴CD=CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB
∴S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，
又∵△ACD≌△ACF
∴S△ACF=S△ADC，
∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④正确；
故答案为：D.
【分析】①在AE取点F，使EF=BE，利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF，先由SAS证明△ACD △ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF=CB，从而CD=CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE-S△BCE=S△ADC.
19． 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC，E为BC边的中点，且DE∥AB，若∠C=60°，则下面结论：①点 E 在 BD 的垂直平分线上；②△CDE 是等边三角形；③BC=2DE，其中正确的是 ( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠CBD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴点E在BD的垂直平分线上，故①正确；
∵E为BC边的中点，
∴BE=EC=DE，
∵∠C=60°，
∴△CDE是等边三角形，故②正确；
∵ BE=EC=DE，
∴BC=BE+EC=2DE，故③正确.
故答案为：D
【分析】根据角平分线定义可得∠ABD=∠CBD，再根据直线平行性质可得∠ABD=∠BDE，则∠CBD=∠BDE，再根据垂直平分线性质可判断①；根据等边三角形判定定理可判断②；再根据边之间的关系可判断③.
20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF.其中，正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，即AD⊥BC，故③正确；
∴AD是BC的垂直平分线，故①正确；
∵AD平分∠BAC，故②正确；
∵△ABD≌△ACD，
∴∠B=∠C，
又∵∠BED=∠CFD，BD=CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴∠BDE=∠CDF，故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，从而用SAS判断出△ABD≌△ACD，由全等三角形的对应边相等、对应角相等及平角定义得BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，据此可判断③；根据垂直平分线的定义可直接判断①；由角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断②；由全等三角形的对应角相等得∠B=∠C，从而利用AAS判断出△BED≌△CFD，由全等三角形的对应角相等得∠BDE=∠CDF，据此可判断④.
1 / 1【辽宁卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第9~10题
一、原题9
1．（2025·辽宁）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．2
二、变式1基础
2．（2025八下·温州期中）随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八下·玉环期末） 4月23日为“世界读书日”，全国国民阅读调查结果发布，2022年和2024年我国成年国民人均纸质图书阅读量分别为4.65本和4.76本，设平均每年阅读量的增长率为，那么可列方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025八下·东阳期末） 随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2020年全球装机总量约600GW，预计到2022年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则可列的方程为（ ）
A．600（1+2x）＝864 B．600+2x＝864
C．（600+x）2＝864 D．600（1+x）2＝864
三、变式2巩固
5．（2025八下·舟山期末） 《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025八下·永康期末）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半。”其意思是知识和技艺学习后，如果不及时复习，那么很容易被遗忘。假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程为（ ）
A．（1+x）2=50% B．（1-x）2=50%
C．1-2x=50% D．（1-x）（1+x）=50%
7．（2025·台州模拟）在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降，已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，x年内的碳排放量共计2450吨.为求x的值，列出如下方程，其中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
四、变式3提高
8．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（ ）
A．12元 B．10元 C．11元 D．9元
9．（2021九上·仙居期末）某商场销售一批衬衣.平均每天可售出30件.每件衬衣盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件.若商场平均每天盈利2000元.每件衬衣应降价（ ）元.
A．10 B．15 C．20 D．25
10．（2025九上·贵港期末）《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，问门的高度是（ ）
A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺
五、原题10
11．（2025·辽宁）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
六、变式1（基础）
12．如图，在△ABC中，BC 的垂直平分线分别交AC，BC 于点 D，E，连接BD，若△ABC 的周长为20，CE=4，则△ABD的周长为 （ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
13．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ）
A．21 B．14 C．13 D．9
14．（2025·揭西期末） 如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC的长为9cm，的长为6cm，则EC的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
七、变式2（巩固）
15．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
16．如图，△ABC 的 面 积 为9 cm2，BP 平 分∠ABC，AP⊥BP 于 点 P，连结PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3 cm2 B．4 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2
17．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，E是BC 的中点，过点E作BC 的垂线交 BD 于点 F，连结 CF.若∠A=50°，∠ACF=40°，则∠CFD 的度数为 ( )
A．30° B．45° C．55° D．60°
八、变式3（提高）
18．（2025八上·长沙开学考）已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE-S△BCE=S△ADC．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19． 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC，E为BC边的中点，且DE∥AB，若∠C=60°，则下面结论：①点 E 在 BD 的垂直平分线上；②△CDE 是等边三角形；③BC=2DE，其中正确的是 ( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF.其中，正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个矩形的宽为步，则长为步，
根据题意可列方程为：
故答案为：A.
【分析】设这个矩形的宽为步，先表示出长，再根据“一块矩形田地的面积为864平方步”可列方程.
2．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：假设该电子产品每年降价的百分率均为x，由题意可得.
故答案为：C.
【分析】假设两年前的价格为单位“1”，此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程.
3．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得4.65(1+x)2=4.76，
故答案为：B.
【分析】通过设平均每年阅读量的增长率为x，利用已知的2019年和2021年我国成年国民人均纸质图书阅读量，构建方程求解.
4．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设全球新增装机量的年平均增长率为x，
由题意得：600(1+x)2=864，
故答案为：D.
【分析】设全球新增装机量的年平均增长率为x，根据连续两年的新增装机量年平均增长率即可求解.
5．【答案】D
【知识点】列一元二次方程；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺，
∴折断部分的竹子长(10-x)尺，
根据题意得：x2+42=(10-x)2
故答案为：D.
【分析】根据题目描述，利用勾股定理来解决折竹抵地问题，找出折断后的竹子高度.
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：(1-x)2=50%.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设每天“遗忘”的百分比为x，则第一天“遗忘”后剩余的百分比为1-x，第二天“遗忘”后剩余的百分比为(1-x)2，再根据“两天不练丢一半”，即可列方程.
7．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵该企业去年的碳排放量为300吨，且从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，
∴该企业今年的碳排放量为300-10=290(吨)，
x年后的碳排放量为(300-10x)吨，
根据题意得：，
即；
故答案为：B.
【分析】根据该企业去年的碳排放量及从今年开始每年的碳排放量均比上年减少10吨，可得出该企业今年及x年后的碳排放量，结合x年内的碳排放量共计2450吨，即可列出关于x的一元二次方程，即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得，
整理得，
解得．
每件应降价10元．
故答案为：B.
【分析】设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，根据每件降价1元，则每天可多售5件可列出方程，利用因式分解法解得，，又由要尽快减少库存这一条件舍去，故每件应降价10元．
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件衬衫应降价x元.根据题意，得：
（50-x）（30+2x）=2000
整理，得x2-35x+250=0
解得x1=10，x2=25.
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=10应略去，
∴x=25.
故答案为：D.
【分析】设每件衬衫应降价x元.根据题中的相等关系“单个利润×每天的销售量=每天的总利润2000”可列关于x的方程，解方程即可求解.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，
依题意得：，
解得，（不合题意，舍去），
即竹竿的长度为尺，
则（尺）
即门的高度是8尺．
故答案为：B．
【分析】设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，CE⊥BD，设CE，BD交于点O，则：∠BOC=∠BOE=90°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
在△BOC和△BOE中，
，
∴△BOC≌△BOE（ASA），
∴OC=OE，BC=BE=12，
∴BD垂直平分CE，AE=AB-BE=4，
∴DE=CD，
∴△ADE的周长为AE+DE+AD=AE+AD+CD=AE+AC=14，
故答案为：B.
【分析】先证明△BOC≌△BOE，再根据全等三角形的性质得到OC=OE，BC=BE，进而求出AE的长，然后根据垂直平分的性质得到DE=CD，进而推出△DAE的周长等于AE+AC的长即可．
12．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ BC 的垂直平分线分别交AC，BC 于点D，E，CE=4，
∴BC=2CE=8，BD=CD，
∵△ABC的周长为20，
∴8+AB+AC=20，
∴AB+AC=12，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=12.
故答案为：A
【分析】根据垂直平分线性质可得BC=2CE=8，BD=CD，再根据三角形周长即可求出答案.
13．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴的周长，
故答案为：C．
【分析】由线段的垂直平分线交于点E，交于点D，得，等量转换的周长.
14．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE=6cm，
∴EC=AC-AE=9cm-6cm=3cm.
故答案为：B。
【分析】首先根据线段垂直平分线的性质定理得出AE=BE=6cm，再根据线段的差即可得出 EC的长 .
15．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴AM=PM，PN=CN.
∴∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN，
∵∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，
∴∠BMN=2∠MPA∠BNM=2∠CPN
又∵∠APC=114°
∴∠BMN+∠BNM=2(∠MPA+∠CPN)=2(180°-∠APC)=132°
∴∠ABC =180°-(∠BMN+∠BNM)=48°，
故答案为：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，可得∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠CPN，求出∠BMN+∠BNM=132°，根据三角形内角和定理即可求出答案.
16．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中，
∴△ABP≌△EBP(ASA)，
∴AP=PE，
故答案为： C.
【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出， 推出 代入求出即可.
17．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
设∠ABD=∠CBD=x°， 则∠CFD=2x°，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BF=CF，
∴∠FCB=∠CBD=x°，
∵∠A = 50°， ∠ACF = 40°，
∴50°+40°+x°+2x°= 180°，
解得： x=30，
∴∠CFD=2x°=60°，
故答案为： D.
【分析】设∠ABD=∠CBD=x°， 则∠CFD=2x°， 根据线段垂直平分线性质求出BF=CF，推出∠FCB=∠CBD，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可.
18．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①在AE取点F，使EF=BE.
∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE
∴AD=AF.
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2(AF+EF)=2AE，
∴，故①正确；
②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF，
在△ACD与△ACF中，
∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF
∴∠ADC=∠AFC
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB
∴∠CFB=∠B
又∵∠AFC+∠CFB=180°
∴∠ADC+∠B=180°
∴∠DAB+∠DCB=360°-(∠ADC+∠B)=180°
故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，
∴CD=CF，
又∵CF=CB.
∴CD=CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB
∴S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，
又∵△ACD≌△ACF
∴S△ACF=S△ADC，
∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④正确；
故答案为：D.
【分析】①在AE取点F，使EF=BE，利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF，先由SAS证明△ACD △ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF=CB，从而CD=CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE-S△BCE=S△ADC.
19．【答案】D
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠CBD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴点E在BD的垂直平分线上，故①正确；
∵E为BC边的中点，
∴BE=EC=DE，
∵∠C=60°，
∴△CDE是等边三角形，故②正确；
∵ BE=EC=DE，
∴BC=BE+EC=2DE，故③正确.
故答案为：D
【分析】根据角平分线定义可得∠ABD=∠CBD，再根据直线平行性质可得∠ABD=∠BDE，则∠CBD=∠BDE，再根据垂直平分线性质可判断①；根据等边三角形判定定理可判断②；再根据边之间的关系可判断③.
20．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，即AD⊥BC，故③正确；
∴AD是BC的垂直平分线，故①正确；
∵AD平分∠BAC，故②正确；
∵△ABD≌△ACD，
∴∠B=∠C，
又∵∠BED=∠CFD，BD=CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴∠BDE=∠CDF，故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，从而用SAS判断出△ABD≌△ACD，由全等三角形的对应边相等、对应角相等及平角定义得BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，据此可判断③；根据垂直平分线的定义可直接判断①；由角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断②；由全等三角形的对应角相等得∠B=∠C，从而利用AAS判断出△BED≌△CFD，由全等三角形的对应角相等得∠BDE=∠CDF，据此可判断④.
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