【吉林卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第5~6题
一、原题5
1．（2025·吉林）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
二、变式1基础
2．（2023九上·余杭期中）在下列四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列图案中，不能由一个图形通过旋转而形成的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021九上·慈溪期末）下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（ ）
A． B． C． D．
三、变式2巩固
5．（2023九上·鄞州月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．100°
6．（华师大版七年级数学下册10.3.2旋转的特征同步练习）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．90°
7．（2025·吴兴二模）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E，AC的延长线分别交BD，DE于点F，G，下列结论一定正确的是（ ）
A．BF=DF B．∠CBD=∠EBD C．CB∥DE D．AG⊥DE
四、变式3提高
8．（2024九上·浙江期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝，AC＝4，BC＝3，把Rt△ABC绕着点A逆时针旋转，使点C落在AB边的C'上，的长度是（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．（2022九上·鹿城期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即的长）为（ ）
A． B． C．2π D．
10．（2019九上·台州期中）如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
五、原题6
11．（2025·吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N'；再以点N'为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M'；（3）过点M'画射线CM'交边AB于点D．下列结论错误的为（ ）
A．∠B=∠DCB B．∠BDC=90° C．DB=DC D．AD+DC＝BC
六、变式1（基础）
12．如图，Rt中，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
13． 如图，分别以点A，B为圆心，大于AB 的长为半径作弧，交点分别为 M，N，连结MN交AC 于点D，下列说法一定正确的是（ ）
A．△ABD是直角三角形 B．△BCD是等腰三角形
C．△ABD是等腰三角形 D．△ABC是等腰三角形
14．（2024八上·瓯海月考）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点 ．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
七、变式2（巩固）
15．（2023·宁波模拟）如图，是的中位线，平分交于点D，若，，则边的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
16．（2024八上·海曙开学考）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点若，则的度数是用含的代数式表示
A． B． C． D．
17．如图，在中，是的角平分线．若在边上截取，连结，则图中等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
八、变式3（提高）
18．（2025八上·淳安期末）如图，中，，于，平分，于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．
正确的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
19．（2024八上·绍兴月考）如图，在四边形中，平分于点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．如图，在△ABC中，AB=AC，DE=DF，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．现有下列结论：①AD平分∠BAC；②AD⊥BC；③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；④AD上任意一点到BC两端点的距离相等．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆心角的概念
【解析】【解答】解：，
图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为
故答案为： B.
【分析】先求出正三角形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可.
2．【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：A、不能旋转得到，A错误；
B、可以旋转得到，B正确；
C、不能旋转得到，C错误；
D、不能旋转得到，D错误；
故答案为：B.
【分析】本题是考查运用旋转设计图案，根据旋转图形的特点解答即可．
3．【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案；图形的旋转
【解析】【解答】解：选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到．选项C是轴对称图形，不能旋转得到．
故答案为：C.
【分析】利用旋转设计图案的关键是旋转三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）；根据旋转三要素进行分析即可得出选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到的；根据如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形可得选项C是轴对称图形；即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：A中两个三角形大小不一样，故错误；
B中两个三角形通过翻折可以得到，故错误；
C中两个三角形通过平移可以得到，故错误；
D中两个三角形可以通过旋转得到，故正确.
故答案为D.
【分析】首先分别判断出各个选项中两个三角形之间的位置关系，然后进行判断即可.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
点D在线段的延长线上，.
故答案为：B.
【分析】根据旋转得，再根据内角和性质求 .
6．【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，
∴∠AB′B=（180°﹣120°）=30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=120°﹣30°=90°．
故选D．
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′=∠AB′B=30°，然后利用∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算．
7．【答案】D
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE
∴∠A=∠D，∠ABD=90°
∴∠A+∠AFB=90°
∵∠AFB=∠DFG
∴∠D+∠DFG=90°
∴∠DGF=90°，即 AG⊥DE，D选项正确
根据已知条件不能得出A，B，C选项
故答案为：D
【分析】根据旋转性质可得∠A=∠D，∠ABD=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝，AC＝4，BC＝3，
∴
∴
由旋转的性质得，
∴
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABC中，先利用勾股定理算出AB的长，由旋转的性质得AC'=AC=4，然后根据线段的和差，由C'B=AB-AC'代值计算可得答案.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B＝70°，
∵将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，
∴BC＝B′C，
∴∠BB′C＝∠B＝70°，
∴∠BCB′＝40°，
∴∠ACA′＝40°，
∴点A经过的路径长＝＝，
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形两锐角互余算出∠B的度数，根据旋转的性质得BC=B'C，根据等边对等角及三角形的内角和定理可得∠BCB'=40°，根据旋转的性质得∠ACA'=40°，从而利用弧长计算公式即可算出答案.
10．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设
则 = .
故答案为：B.
【分析】设根据等腰直角三角形的性质得出，根据旋转的性质得出NC=CE=，根据平角的定义得出∠NOC=60°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出，从而即可得出答案.
11．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图可知
故选项A， B， C正确.
故答案为： D.
【分析】根据作图得到然后根据等角对等边和三角形的内角和定理逐项判断解答即可.
12．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、根据图可得AD=AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B、根据图可得所作直线是线段BC的垂直平分线，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、根据图可得所作直线是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
根据图可得AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=30°=∠B，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】作法知AD=AC可得A中存在等腰三角形；由作法知所作直线是线段BC的垂直平分线，不能找出B中的等腰三角形；由作法知，所作性质是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得DA=DB，可得C中存在等腰三角形；由作法知AD是∠BAC的平分线，推得∠BAD=∠B，根据等角对等边得到DB=DA，可得D中存在等腰三角形.
13．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可得MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】由作图过程可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=BD，进而根据两边相等的三角形就是等腰三角形即可判断得出答案.
14．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】∵，，
∴，
∴，
∴点是线段中垂线与的交点，
∴选项符合题意，
故选：．
【分析】
由三角形的外角性质知．，又因为已知，则等量代换得，所以DC=DB，即点D在线段BC的垂直平分线上.
15．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是的中位线，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】由三角形中位线定理得EF∥BC，BC=2EF，BE=AE=3，由平行线性质及角平分线定义得∠EDB=∠DBE，由等角对等边得DE=BE=3，进而由线段的和差算出EF，从而即可求出BC的长.
16．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ 将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，
∴∠B=∠FDC，CD=BC，
∴∠B=∠CDB=∠FDC=（180°-∠BCD）=（180°-α）=90°-α，
∴∠DCF=∠ACB-∠BCD=80°-α，
∵∠EFC=∠FDC+∠DCF=90°-α+80°-α= .
故答案为：C.
【分析】利用旋转的性质可证得∠B=∠FDC，CD=BC，利用等角对等边和三角形内角和定理可表示出∠FDC的度数，根据∠DCF=∠ACB-∠BCD，可表示出∠DCF的度数，然后利用三角形外角的性质可表示出∠EFC的度数.
17．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
∵∠A=36°
∴
∵BD平分∠ABC
∴
∴∠A=∠ABD
∴△ABD是等腰三角形
在△BDC中，∠DBC=36°，∠C=72°
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=36°
∴∠DBC=∠BDC
∴△BDC是等腰三角形
在△BDC和△BDE中
∴△BDC≌△BDE（SAS）
∴△BDE是等腰三角形
∴∠BED=∠C=72°
∴∠AED=180°-72°=108°
∴∠ADE=180°-108°-36°=36°=∠A
∴△ADE是等腰三角形
综上所述，△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△ADE是等腰三角形，共5个
故答案为：D
【分析】根据题意结合等腰三角形判定定理可得△ABC为等腰三角形，由三角形内角和定理可得∠ABC=72°，再根据角平分线概念可得∠ABD=36°，则∠A=∠ABD，即△ABD是等腰三角形，在△BDC中，根据三角形内角和定理可得∠DBC=∠BDC=36°，即△BDC是等腰三角形，根据全等三角形判定定理可得△BDC≌△BDE（SAS），则△BDE是等腰三角形，再根据三角形内角和定理可得∠ADE=36°=∠A，即△ADE是等腰三角形.
18．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
，故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵平分，，
∴，
∵，是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故③正确；
作于，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故④错误，
∴①②③正确．
故答案为：A．
【分析】先根据AAS得到，即可得到是等腰三角形，求出，判断①②③；作于，得到判断④．
19．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：选项①：如图，在上截取，连接，
∵，
，
∴，
，
∴，
∵平分，即，
在和中，
∵，
∴，
，
∴，故①正确；
选项②：
∵
∴，
，故②正确；
选项③：∵
，
根据已知条件无法证明，故③错误；
选项④：∵，
∴，
∴，
即，故④正确．
综上可知正确的选项为：①②④，
故选∶C
【分析】选项①：在上截取，连接，根据平分，，证明出，故选项①正确；
选项②：由①可知，，再根据线段间的和差关系可得：，故选项②正确；
选项③：由可得∠ACD=∠ACF，无法证明∠ACD=∠BCE，故选项③错误；
选项④；由三角形面积公式及等量代换可得，故选项④正确．
20．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC， DE=DF，
∴ AD平分∠BAC，故①正确；
∴AD上任意一点到∠BAC两边的距离相等，故③正确；
在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD，故②正确；
∴AD是BC的垂直平分线，
∴ AD上任意一点到BC两端点的距离相等 ，故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个.
故答案为：D.
【分析】由到角两边距离相等得点在这个角的角平分线上，可判断①正确；根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断③正确；由等腰三角形的三线合一可判断②正确，进而根据线段垂直平分线上的到到线段两端点距离相等可判断④正确.
1 / 1【吉林卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第5~6题
一、原题5
1．（2025·吉林）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
【答案】B
【知识点】圆心角的概念
【解析】【解答】解：，
图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为
故答案为： B.
【分析】先求出正三角形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可.
二、变式1基础
2．（2023九上·余杭期中）在下列四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：A、不能旋转得到，A错误；
B、可以旋转得到，B正确；
C、不能旋转得到，C错误；
D、不能旋转得到，D错误；
故答案为：B.
【分析】本题是考查运用旋转设计图案，根据旋转图形的特点解答即可．
3．下列图案中，不能由一个图形通过旋转而形成的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案；图形的旋转
【解析】【解答】解：选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到．选项C是轴对称图形，不能旋转得到．
故答案为：C.
【分析】利用旋转设计图案的关键是旋转三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）；根据旋转三要素进行分析即可得出选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到的；根据如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形可得选项C是轴对称图形；即可得出答案.
4．（2021九上·慈溪期末）下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：A中两个三角形大小不一样，故错误；
B中两个三角形通过翻折可以得到，故错误；
C中两个三角形通过平移可以得到，故错误；
D中两个三角形可以通过旋转得到，故正确.
故答案为D.
【分析】首先分别判断出各个选项中两个三角形之间的位置关系，然后进行判断即可.
三、变式2巩固
5．（2023九上·鄞州月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．100°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
点D在线段的延长线上，.
故答案为：B.
【分析】根据旋转得，再根据内角和性质求 .
6．（华师大版七年级数学下册10.3.2旋转的特征同步练习）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．90°
【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，
∴∠AB′B=（180°﹣120°）=30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=120°﹣30°=90°．
故选D．
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′=∠AB′B=30°，然后利用∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算．
7．（2025·吴兴二模）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E，AC的延长线分别交BD，DE于点F，G，下列结论一定正确的是（ ）
A．BF=DF B．∠CBD=∠EBD C．CB∥DE D．AG⊥DE
【答案】D
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE
∴∠A=∠D，∠ABD=90°
∴∠A+∠AFB=90°
∵∠AFB=∠DFG
∴∠D+∠DFG=90°
∴∠DGF=90°，即 AG⊥DE，D选项正确
根据已知条件不能得出A，B，C选项
故答案为：D
【分析】根据旋转性质可得∠A=∠D，∠ABD=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
四、变式3提高
8．（2024九上·浙江期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝，AC＝4，BC＝3，把Rt△ABC绕着点A逆时针旋转，使点C落在AB边的C'上，的长度是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝，AC＝4，BC＝3，
∴
∴
由旋转的性质得，
∴
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABC中，先利用勾股定理算出AB的长，由旋转的性质得AC'=AC=4，然后根据线段的和差，由C'B=AB-AC'代值计算可得答案.
9．（2022九上·鹿城期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即的长）为（ ）
A． B． C．2π D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B＝70°，
∵将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，
∴BC＝B′C，
∴∠BB′C＝∠B＝70°，
∴∠BCB′＝40°，
∴∠ACA′＝40°，
∴点A经过的路径长＝＝，
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形两锐角互余算出∠B的度数，根据旋转的性质得BC=B'C，根据等边对等角及三角形的内角和定理可得∠BCB'=40°，根据旋转的性质得∠ACA'=40°，从而利用弧长计算公式即可算出答案.
10．（2019九上·台州期中）如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设
则 = .
故答案为：B.
【分析】设根据等腰直角三角形的性质得出，根据旋转的性质得出NC=CE=，根据平角的定义得出∠NOC=60°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出，从而即可得出答案.
五、原题6
11．（2025·吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N'；再以点N'为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M'；（3）过点M'画射线CM'交边AB于点D．下列结论错误的为（ ）
A．∠B=∠DCB B．∠BDC=90° C．DB=DC D．AD+DC＝BC
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图可知
故选项A， B， C正确.
故答案为： D.
【分析】根据作图得到然后根据等角对等边和三角形的内角和定理逐项判断解答即可.
六、变式1（基础）
12．如图，Rt中，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、根据图可得AD=AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B、根据图可得所作直线是线段BC的垂直平分线，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、根据图可得所作直线是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
根据图可得AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=30°=∠B，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】作法知AD=AC可得A中存在等腰三角形；由作法知所作直线是线段BC的垂直平分线，不能找出B中的等腰三角形；由作法知，所作性质是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得DA=DB，可得C中存在等腰三角形；由作法知AD是∠BAC的平分线，推得∠BAD=∠B，根据等角对等边得到DB=DA，可得D中存在等腰三角形.
13． 如图，分别以点A，B为圆心，大于AB 的长为半径作弧，交点分别为 M，N，连结MN交AC 于点D，下列说法一定正确的是（ ）
A．△ABD是直角三角形 B．△BCD是等腰三角形
C．△ABD是等腰三角形 D．△ABC是等腰三角形
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可得MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】由作图过程可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=BD，进而根据两边相等的三角形就是等腰三角形即可判断得出答案.
14．（2024八上·瓯海月考）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点 ．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】∵，，
∴，
∴，
∴点是线段中垂线与的交点，
∴选项符合题意，
故选：．
【分析】
由三角形的外角性质知．，又因为已知，则等量代换得，所以DC=DB，即点D在线段BC的垂直平分线上.
七、变式2（巩固）
15．（2023·宁波模拟）如图，是的中位线，平分交于点D，若，，则边的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是的中位线，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】由三角形中位线定理得EF∥BC，BC=2EF，BE=AE=3，由平行线性质及角平分线定义得∠EDB=∠DBE，由等角对等边得DE=BE=3，进而由线段的和差算出EF，从而即可求出BC的长.
16．（2024八上·海曙开学考）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点若，则的度数是用含的代数式表示
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ 将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，
∴∠B=∠FDC，CD=BC，
∴∠B=∠CDB=∠FDC=（180°-∠BCD）=（180°-α）=90°-α，
∴∠DCF=∠ACB-∠BCD=80°-α，
∵∠EFC=∠FDC+∠DCF=90°-α+80°-α= .
故答案为：C.
【分析】利用旋转的性质可证得∠B=∠FDC，CD=BC，利用等角对等边和三角形内角和定理可表示出∠FDC的度数，根据∠DCF=∠ACB-∠BCD，可表示出∠DCF的度数，然后利用三角形外角的性质可表示出∠EFC的度数.
17．如图，在中，是的角平分线．若在边上截取，连结，则图中等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
∵∠A=36°
∴
∵BD平分∠ABC
∴
∴∠A=∠ABD
∴△ABD是等腰三角形
在△BDC中，∠DBC=36°，∠C=72°
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=36°
∴∠DBC=∠BDC
∴△BDC是等腰三角形
在△BDC和△BDE中
∴△BDC≌△BDE（SAS）
∴△BDE是等腰三角形
∴∠BED=∠C=72°
∴∠AED=180°-72°=108°
∴∠ADE=180°-108°-36°=36°=∠A
∴△ADE是等腰三角形
综上所述，△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△ADE是等腰三角形，共5个
故答案为：D
【分析】根据题意结合等腰三角形判定定理可得△ABC为等腰三角形，由三角形内角和定理可得∠ABC=72°，再根据角平分线概念可得∠ABD=36°，则∠A=∠ABD，即△ABD是等腰三角形，在△BDC中，根据三角形内角和定理可得∠DBC=∠BDC=36°，即△BDC是等腰三角形，根据全等三角形判定定理可得△BDC≌△BDE（SAS），则△BDE是等腰三角形，再根据三角形内角和定理可得∠ADE=36°=∠A，即△ADE是等腰三角形.
八、变式3（提高）
18．（2025八上·淳安期末）如图，中，，于，平分，于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．
正确的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
，故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵平分，，
∴，
∵，是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故③正确；
作于，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故④错误，
∴①②③正确．
故答案为：A．
【分析】先根据AAS得到，即可得到是等腰三角形，求出，判断①②③；作于，得到判断④．
19．（2024八上·绍兴月考）如图，在四边形中，平分于点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：选项①：如图，在上截取，连接，
∵，
，
∴，
，
∴，
∵平分，即，
在和中，
∵，
∴，
，
∴，故①正确；
选项②：
∵
∴，
，故②正确；
选项③：∵
，
根据已知条件无法证明，故③错误；
选项④：∵，
∴，
∴，
即，故④正确．
综上可知正确的选项为：①②④，
故选∶C
【分析】选项①：在上截取，连接，根据平分，，证明出，故选项①正确；
选项②：由①可知，，再根据线段间的和差关系可得：，故选项②正确；
选项③：由可得∠ACD=∠ACF，无法证明∠ACD=∠BCE，故选项③错误；
选项④；由三角形面积公式及等量代换可得，故选项④正确．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，DE=DF，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．现有下列结论：①AD平分∠BAC；②AD⊥BC；③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；④AD上任意一点到BC两端点的距离相等．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC， DE=DF，
∴ AD平分∠BAC，故①正确；
∴AD上任意一点到∠BAC两边的距离相等，故③正确；
在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD，故②正确；
∴AD是BC的垂直平分线，
∴ AD上任意一点到BC两端点的距离相等 ，故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个.
故答案为：D.
【分析】由到角两边距离相等得点在这个角的角平分线上，可判断①正确；根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断③正确；由等腰三角形的三线合一可判断②正确，进而根据线段垂直平分线上的到到线段两端点距离相等可判断④正确.
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