苏科版数学八年级上册 第一章 全等三角形复习学案（共4课时，无答案）

第一章全等三角形复习（共4课时）
知识与技能
1、掌握全等三角形的性质；三角形全等的判定，且能灵活运用判定定理判定两个三角形全等．理解三角形的稳定性和它在生产、生活中的应用。
2.在交流中，感受数学思考的合理性和严密性.
数学思考
1．渗透辨证唯物注意思想。
问题解决
教会学生能灵活运用判定定理判定两个三角形全等，如何添加辅助线构造全等三角形．
情感态度与价值观
培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法.
重点: 探究三角形全等的条件
难点: 三角形全等的判定方法及应用。
基础知识梳理　
教材知识全扫描
1． 全等三角形：
　　1.⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形。
　　⑵全等三角形的有关概念：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。表示：△ABC≌△DEF
　　教材P3一句话：
2.三角形全等的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。
全等三角形对应边上的中线、高、对应角平分线相等。
全等三角形的周长、面积相等。
3.全等三角形的判定：SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形）
特别提醒: “有两个角和一边分别相等的两个三角形全等”这句话正确吗?由于没有“对应”二字，结论不一定正确，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等.
SSA不能判定两三角形全等的例子在教材P10.
4.尺规作图：（1）作一个角等于已知角（教材P7_8）：步骤
（2）作已知角的平分线（教材P19）：步骤
　　3．角平分线的性质：
　　⑴角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。
　　⑵角平分线的判定：教的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
⑶三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。
　　二、经验与提示
　　1．寻找全等三角形对应边、对应角的规律：　　
　　① 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
　　② 全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角．
　　③ 有公共边的，公共边一定是对应边．
　　④ 有公共角的，公共角一定是对应角．
　　⑤ 有对顶角的，对顶角是对应角．⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角)
　　2．找全等三角形的方法
　　（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
　　（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
　　（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
　　（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
　　4．证明线段相等的方法：
　　（1）中点定义；
　　（2）等式的性质；
　　（3）全等三角形的对应边相等；
　　（4）借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。随着知识深化，今后还有其它方法。
　　5．证明角相等的方法：
　　（1） 对顶角相等；
　　（2） 同角（或等角）的余角（或补角）相等；
　　（3） 两直线平行，同位角、内错角相等；
　　（4） 角的平分线定义；
　　（5） 等式的性质；
　　（6） 垂直的定义；
　　（7） 全等三角形的对应角相等；
　　（8） 三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化，今后还有其它的方法。
　　6．证垂直的常用方法
　　（1） 证明两直线的夹角等于90°；
　　（2） 证明邻补角相等；
　　（3） 若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；
　　（4） 垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。
　　（5） 证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；
　　（6） 邻补角的平分线互相垂直。
　　7．全等三角形中几个重要结论
　　（1） 全等三角形对应角的平分线相等；
　　（2） 全等三角形对应边上的中线相等；
　　（3） 全等三角形对应边上的高相等。
三、典型例题
题型一 运用全等三角形的性质解决角度和边的长度问题
例1（基础题）已知△ABC≌△DEF，且∠A=52°，∠B=71°31′，DE=8.5 cm，求∠F的大小与AB的长.
分析:由三角形的内角和可求出∠C的度数，根据两个三角形全等，对应角相等、对应边相等，即可求出∠F的大小和AB的长.
解: 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°），
∴ ∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-（52°+71°31′）=56°29′.
∵ △ABC≌△DEF，DE=8.5 cm，
∴ ∠F=∠C=56°29′，AB=DE=8.5 cm.
小结：本题是全等三角形的性质与三角形内角和定理的综合题，要求∠F和AB，可先找∠F的对应角∠C和AB的对应边DE，再根据全等三角形的性质求值.
题型二 利用全等变换解决几何问题
例2 （提高题）如图所示，图中是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF.如果AB＝8 cm，BE=4 cm，DH＝3 cm，则图中阴影部分面积为 。
即时练习 如图1所示，长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上，得点C′，使
∠C′EB＝40°，求∠EDC′的度数.
链接中考
1. 已知图2中的两个三角形全等，则∠的度数是
A．72° B．60° C．58° D．50°
2.
3.
　
　　
2、三角形全等是证明线段相等、角相等最基本、最常用的方法。
例题1、如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证：MB=MC
例题2、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD
3、当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等
例题3、已知∠B=∠E=90°，CE=CB，AB∥CD.
求证：△ADC是等腰三角形
例题4、已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，求证：EB=FC
4、证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长”、“补短”等方法
例题5、如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证AB=AC+BD
提示：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：
（1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）
（2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补））
三、你能用尺规进行下面几种作图吗？
1、已知三边作三角形
2、作一个角等于已知角
3、已知两边和它们的夹角作三角形
4、已知两角和它们的夹边作三角形
5、已知斜边和一直角边作直角三角形
6、作角的平分线
四、学以致用
1、如图：在△ABC中，∠C =90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。
2、如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
3、如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF
已知：EG∥AF，________，__________
求证：_________
4、如图，在R△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.
一.选择题(每题3分,共39分)
1. 两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A. 两角和其中一角的对边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边
2. 能使两个直角三角形全等的条件是( )
A. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等 C.一条边对应相等　D.两直角边对应相等
3. 假如两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（ ）
A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 面积相等
4. 如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，假如AB=6cm，BD=5cm，AD=4cm，那么BC的长是( )
A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 无法确定
?
5. 如图， △ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=500，∠AEC=1200，则∠DAC的度数等于( )
A. 1200 B. 700 C. 600 D.500
6. 某同学把一块三角形的玻璃打坏成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是( )
A. 带①去　　　 　B. 带②去　　　 　C. 带③去　　　 　D. ①②③都带去
7. 在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB= A′B′，在下面判定中错误的是( )
A. 若添加条件AC=A′C′，则△ABC ≌△A′B′C′
B. 若添加条件BC=B′C′，则△ABC ≌△A′B′C′
C. 若添加条件∠B=∠B′，则△ABC ≌△A′B′C′
D. 若添加条件∠C=∠C′，则△ABC ≌△A′B′C′
8. 在△ABC和△A′B′C′中，①AB= A′B′,②BC= B′C′,③AC= A′C′，④∠A=∠A′，⑤∠B=∠B′，⑥∠C=∠C′，则下列条件组不能保证△ABC≌△A′B′C′的是( )
A.①②③ B.①②⑤ C.②④⑤ D.①③⑤
9．下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周长= △DEF的周长
D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
10. 在△ABC和△A′B′C′中, AB= A′B′, ∠B=∠B′, 补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′, 则补充的这个条件是( )
A．BC= B′C′ B．∠A=∠A′ C．AC= A′C′ D．∠C=∠C′
11. 如图，已知AB=DC，AD=BC，E、F在DB上，且BF=DE，若∠AEB=1200，∠ADB=300，则∠BCF= ( )
A. 150° B.40° C.80° D. 90°
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??
?
?
12. 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，那么下列结论中不正确的是( )
A. BD=CD B. AB=AC C. BE=CE D. ∠3=∠1 ∠2
13. 如图AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则 （ ）
A. ∠1=∠EFD B. BE=EC C. BF=DF=CD D. FD∥BC
二、填空题(每小题3分，共39分)
14. 如图，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A=∠C，则其他对应角分别为　　 　　 　　　，对应边分别为　 　　　　.
15. 如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离　　　　　　.
?
16. 如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加的一个条件是　　　　　　(填上你认为适当的一个条件即可).
17. 如图，AC⊥BD于O，BO=OD，图中共有全等三角形 对.
18. 如图，沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，假如AD=7cm，DM=5cm，∠DAM=300，则AN= 　　 cm，NM= 　　 cm，∠NAM= 　　 .
19. 已知：如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，
(1) 若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为 .
(2) 若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为 .
3) 若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为 .

20. 如图，已知在△ABC中，∠A=900，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC＝15cm，则△DEB的周长为 cm.

21. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件　　　　　=　　　　　.
22. 如图，若△ABC≌△ADE，∠EAC=35°，则∠BAD= 度.
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23. 如图，AB=CD，AD=BC，O为BD中点，过O点作直线与DA、BC延长线交于E、F，若，∠ADB=600，EO=10，则∠DBC= ，FO= .
24. 如图，△DEF≌△ABC，且AC＞BC＞AB，则在△DEF中，______＜ ______＜ _____.
25. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转900得到△DCF，连接EF，若∠BEC=600，则∠EFD的度数为 .
?
26. 在不等边△ABC中，∠APQ=∠PAQ，PM⊥AB，PN⊥AC，PM=PN。则下列结论：①AN=AM；②QP∥AM；③△BMP≌△ANP，其中正确的代号是　　　　　　　　.
三、解答题(每小题9分，共72分)
27．如图，AC=AD，BC=BD，图中有相等的角吗？请找出来，并说明你的理由.
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28. 已知:如图，AC=AB，AE=AD，∠1=∠2.
求证:∠3=∠4
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