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《积的变化规律》教学设计
学科 数学 年级 三年级 课型 新授课 单元 第三单元
课题 《积的变化规律》 课时 一课时
课标要求 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域对第二学段（1-3年级）的要求：结合具体图形与乘法算式的变化情境，探索并掌握“一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也乘几”的积的变化规律；发展运算能力与推理能力，体会数学规律的简洁性与普遍性。
教材分析 教材属于“数与代数”领域中“乘法运算规律”的探究内容，是对乘法运算本质的深化理解。通过“小正方形个数变化”的直观图形与乘法算式表格，引导学生发现积随乘数变化的规律，为后续学习商的变化规律、乘法简便运算及小数乘法规律奠定基础。教材在编排上遵循“直观图形→算式表格→规律抽象”的路径：先呈现小正方形组成的图形序列（数量依次为 3、6、12、24……），让学生感知“数量翻倍”的规律；再通过乘法算式表格（乘数2不变，另一个乘数依次乘3、6、12……，积也对应变化），引导学生观察、对比；最后抽象出“一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也乘几”的规律，体现从直观到抽象的认知过程。
学情分析 学生已熟练掌握表内乘法与多位数乘法运算，能观察简单图形（如数列、图形个数）的变化规律，但对“乘法运算中，积随乘数变化的内在规律”缺乏系统探究经验，多停留在“计算结果”层面，未上升到“规律认知”层面。学生以具体形象思维为主，能通过“小正方形数量翻倍”的图形直观感知变化，但将“图形规律”转化为“乘法算式规律”并抽象概括时，需要借助算式对比、教师引导来梳理逻辑；自主归纳数学规律的方法（观察、对比、验证）有待培养。
核心素养目标 1. 能根据“积的变化规律”，推理出乘法算式的结果，提升运算的灵活性与推理能力。2.通过观察图形数量变化、乘法算式中乘数与积的关系，归纳出“一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也乘几”的规律，培养逻辑推理能力。3.建立“一个乘数不变，另一个乘数乘n，积也乘n”的数学模型，体会规律在乘法运算中的普遍作用。4.能运用积的变化规律解决简单的乘法问题（如快速计算相关算式、推测积的变化结果），感受规律的实用性。
教学重点 探索并掌握“一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也乘几”的积的变化规律。
教学难点 能清晰、准确地表述积的变化规律，并运用规律进行乘法运算的推理与应用。
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新1.你能接着画下去吗？2.你知道蜜蜂采的是几号花吗？填一填。 学生独自完成，然后集体订正。 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识做准备。
二、引新 创设情境，引入课题师：在我们的图形王国，有着这样的图形。课件出示：四方脸蛋长得周，四条胳膊一般稠，四个角儿都笔直，手帕、地砖常扮它。（打一图形）师：小朋友们，你瞧小正方形们排着整齐的队伍来到了我们的课堂。 学生独自猜猜：是正方形。 以“猜正方形”的谜语为切入点，让学生在主动猜谜的过程中唤醒旧知，避免机械复习的枯燥感，为后续学习奠定认知基础。
三、探究 合作探究，活动领悟探究1：观察图形与数据，初步感知课件出示：议一议，填一填。师：请大家数一数，每一组图形有几个小正方形？师：这些图形的排列是有规律的。请大家仔细观察，这些图形的小正方形个数有什么变化规律？先自己看一看，再和同桌交流想法。师：谁愿意分享你的发现？根据学生的回答，课件出示：师：也就是说后一组的小正方形个数是前一组的2倍，是吗？师：大家观察得真仔细！那如果继续画下去，下一组会有多少个小正方形呢？师：其实，图形个数的变化里，藏着乘法中乘数和积的变化规律。接下来，咱们就一起探究这个数学秘密。板书课题：积的变化规律师：咱们把图形的小正方形个数整理成表格。课件出示——小组活动：1.4人一组，观察数字并写出乘法算式。2.完成课本上的表格。师巡视指导，然后提问：谁来说说你列的乘法算式？根据学生的回答，课件出示：师：表格怎么填？根据学生的回答，课件出示： 学生独自数一数，然后回答：第1组有3个小正方形，第2组有6个，第3 组12个，第4组24个学生观察、交流。学生1：我发现第2组小正方形个数是第1组的2倍。学生2：我还发现第3组小正方形个数是第2组的2倍。……学生点头。学生独自思考，然后回答：24×2=48，下一组会有48个小正方形。学生分组完成。学生自由说说。学生：第一行是2×3=6，对应第1组图形；第二行2×6=12，对应第2组…… 以“小正方形排列的图形”为载体，让学生通过“数个数”直观感受图形数量的变化，将抽象的“积的变化”转化为具象的“图形数量变化”，契合低年级学生“以直观思维为主”的认知特点，避免直接接触数字规律的枯燥与晦涩。通过“独立观察→同桌交流→小组写乘法算式”的环节，引导学生主动发现图形数量与乘法算式的关联，将“乘法算式”这一旧知与“积的变化”新知衔接，为后续分析“乘数与积的关系”奠定基础，同时培养观察、交流与归纳能力。将图形个数、乘法算式整理成表格，帮助学生将零散的发现系统化，直观看到“乘数的变化”与“积的变化”的对应关系，为探究2的规律总结做好数据铺垫。
探究2：分析变化关系师：请大家观察表格里的乘数和积，看看有什么发现。先独立思考2分钟，再在小组内讨论。师巡视，参与小组交流并引导：关注“不变的乘数”和“变化的乘数、积”之间的关系。师：哪个小组来分享你们的发现？根据学生的回答，课件出示：师：说得特别清晰！现在咱们一起来看看，这里第一个乘数2不变，第二个乘数从3→6→12→24，每次乘2，积从6→12→24→48，也每次乘2，你能用一句话说说发现的规律吗？师：观察下面的几个算式，你又有什么新的发现？课件出示：2×3=62×12=242×48=96根据学生的回答，课件出示：师：今天，咱们通过观察图形、分析表格，自主发现了积的变化规律。课件出示：一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也同时乘几。师：大家一起读一遍这个规律。师：如果积的变化反过来，比如一个乘数不变，积乘了4，那另一个乘数会怎么变化？师：真聪明！这说明规律是双向的——既可以从乘数的变化推出积的变化，也能从积的变化反推乘数的变化。大家不仅能正向运用规律计算，还能逆向思考规律的逻辑，特别棒！ 学生分小组讨论。小组1代表：我们发现，第一个乘数一直是2，没有变化；第二个乘数从3变成 6，乘了2），积从6变成12，也乘了2；第二个乘数从6变成12，又乘了2，积从12变成24，也跟着乘了2……学生尝试说说：一个乘数不变，另一个乘数乘2，积也同时乘2。学生独自观察，然后回答：第一个乘数2不变，第二个乘数从3→12→48，每次乘4，积从6→24→96，也每次乘4，也就是说一个乘数不变，另一个乘数乘4，积也同时乘4。学生齐读。学生：另一个乘数也得乘4，因为积的变化和另一个乘数的变化是一致的。 通过“关注不变的乘数和变化的乘数、积”的提示，引导学生跳出“单纯看数字”的表层观察，聚焦核心逻辑，避免学生陷入无方向的猜测，培养“抓关键、找关联”的数学思维。从“具体算式”到“一句话总结”，再到“逆向思考”，逐步引导学生将具象数据抽象为数学规律，并理解规律的双向性，避免“死记硬背规律”，实现“知其然更知其所以然”。
四、变式 师生互动，变式深化探究3：课堂活动师：接下来，咱们用小方块来玩“摆一摆”的游戏，看看里面藏着什么数学规律，好不好？课件出示：1.用小方块摆一摆。师：看，图里的同学准备用小方块摆图形。他们打算怎么摆？师：谁来说说第2组该摆多少个？师：对的，现在请大家拿出小方块，自己摆一摆第1组和第2组。师巡视，并提醒：注意摆的时候要整齐，方便数清楚数量。师：谁来展示一下自己摆的？并说说第2组的数量关系。师：说得很清楚！“倍”就是几个这样的数，这里用乘法计算，很准确。按照“后一组是前一组的2倍” 的规律，第3组应该摆多少个？第4组呢？分小组讨论。师巡视指导，然后提问：第3组应该摆多少个？师：第4组呢？师：大家同意吗？师：那现在小组合作，摆一摆第3组和第 4 组，摆好后数一数，验证是不是2倍关系。师：现在咱们把每组的数量列出来。课件出示：师：观察这些算式，你发现了什么规律？和小组同学交流。师：总结得真好！这就是我们之前学的“一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也乘几”的规律，通过摆小方块，我们直观看到了这个规律的变化过程。 学生：第1组摆2个小方块，第2组摆的小方块数是第1组的2倍。学生：第1组2个，2倍就是2×2=4个，所以第2组摆4个。学生动手摆。学生：第1组2个，第2组是它的2倍，所以2×2=4个，摆了4个小方块。学生分小组讨论。学生：第3组是第2组的2倍，第2组有4个，所以4×2=8个。学生：第4组是第3组的2倍，8×2=16个。学生：同意。学生小组合作摆放。小组交流后，学生分享：第一个乘数都是2，第二个乘数依次是1、2、4、8，每次乘2；积也依次是2、4、8、16，每次也乘2。 通过“摆小方块”的操作，让学生从“观察图形” 升级为“创造图形”，在“摆第2 组、第3组”的过程中，亲身体验“后一组是前一组的2倍”，直观验证“一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也乘几”的规律，将“理论规律”转化为“动手体验”，加深记忆与理解。小组合作摆方块、讨论数量关系，既延续了“合作探究”的模式，又让学生在“分工摆、共同数、一起验证”中，学会用规律解决实际问题，培养协作能力与“用规律指导实践”的应用意识。
五、尝试 尝试练习，巩固提高1.判断。（1）因为2×3=6，2×6=12，所以一个乘数不变，另一个乘数乘 2，积也乘 2，这个规律是对的。（2）两个数相乘，一个乘数乘 5，另一个乘数也同时乘 5，积不变。（3）一个乘数乘10，另一个乘数也乘10，积就用原来的积乘20。2.根据 4×6=24，在括号里直接填合适的数。3.根据要求写数。（1）后一个数是前一个数的3倍。（2）后一个数是前一个数的5倍。4. 请用乘法算式表示下列图形的规律。 5.小明有3盒铅笔，每盒有6支。如果每盒的铅笔支数变成原来的2 倍，小明一共有多少支铅笔？ 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸回顾这节课你学到了什么？ 师：小朋友们，今天咱们在图形王国里收获满满！其实生活里也藏着很多积的变化规律，课后大家可以找一找生活中的“积的变化”，下节课咱们一起分享，看看谁的眼睛最亮，能发现最多的数学秘密！ 学生1：我知道了积的变化规律，一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也同时乘几。 学生2：我还知道规律是双向，一个乘数不变，积乘几，另一个乘数乘也同时几。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 积的变化规律 一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也同时乘几。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.填一填。（1）按照“一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也同时乘几”的规律，若2×48=96，那么下一个式子是2×( )=( )。（2）已知3×5=15，如果3不变，5乘2，积变为（ ）。（3）若4×6=24，当4不变，6乘3时，积是（ ）。2.找规律，画一画。（1）（2）能力提升：1.从下面的数中，选出5个组成一组有规律的数。1 5 10 20 25 40 45 70 80 90 125 180 6252.（1）超市里苹果每千克5元，买了4 千克。如果购买的千克数变成原来的3倍，需要花多少钱？ （2）一个书架有4层，每层能放12本书。如果层数不变，每层放书的数量变成原来的2倍，这个书架一共能放多少本书？拓展迁移：1.自己编2道“利用积的变化规律计算”的题目，明天和同学交流分享。 2.找一找生活中的“积的变化”。
教学反思 本节课以“数形结合、动手实践”为主线，通过图形观察、数据梳理、动手摆方块等环节，多数学生能自主发现并理解积的变化规律，课堂参与度较高，尤其是“摆小方块”环节，学生积极性强，能直观验证规律，效果较好。但存在不足：一是少数学生在“逆向思考（积变推乘数变）”时反应较慢，对规律的双向性理解不透彻；二是“摆小方块”时，个别小组因方块数量记错，影响验证效率。后续需针对逆向思考设计更多专项练习，帮助学生强化规律的双向应用；同时在操作前明确“数清数量、及时记录”的要求，确保动手环节更高效，此外还需关注学困生，适时给予一对一引导，让全体学生都能跟上探究节奏。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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《四则混合运算（一）》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《四则混合运算（一）》单元是数与代数领域第二学段“数与运算”和“数量关系”中的重要内容。《数学课程标准》的“内容要求”中指出：“在解决简单实际问题的过程中，理解四则运算的意义，能进行整数四则混合运算。会运用数描述生活情境中事物的特征，逐步形成数感、运算能力和初步的推理意识。在实际情境中，运用数和数的运算解决问题。在具体情境中，认识常见数量关系：总量一分量十分量、总价=单价×数量、路程=速度×时间；能利用这些关系解决简单的实际问题。能在具体情境中了解等量的等量相等。能解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释，经历探索简单规律的过程，形成初步的模型意识和应用意识。”在“学业要求”中指出：“能描述减法与加法的关系、除法与乘法的关系；能进行整数四则混合运算(以两步为主，不超过三步)，正确运用小括号和中括号。能在简单的实际情境中，运用四则混合运算解决问题，能选择合适的单位通过估算解决实际问题，形成初步的应用意识。能在真实情境中，发现常见数量关系，感悟利用常见数量关系解决问题；能借助计算器进行计算，并解释计算结果的实际意义；形成初步的模型意识、几何直观和应用意识。”
（二）单元教材内容分析
本单元涵盖混合运算（含两级运算、带小括号的运算）、数量关系（加法与减法的关系、总量与分量的关系）以及探索规律（乘法运算中积的变化规律等）三部分内容。混合运算是对四则运算顺序的系统学习，为后续复杂运算和方程学习奠基；数量关系的学习帮助学生从数学本质理解运算间的关联及实际问题中的数量逻辑；探索规律则聚焦乘法中积随乘数变化的规律，培养学生的归纳推理能力。教材通过生活购物、参观展览、社会实践等真实情境，将知识与实际应用紧密结合，体现数学的实用性与逻辑性。
（三）学生认知情况
学生已掌握加、减、乘、除四则运算的基本方法，对简单的两步运算有初步接触，但对“先乘除后加减”“有括号先算括号内”的运算顺序缺乏系统、清晰的认识，在实际计算中易出现顺序错误。对于数量关系，学生能结合生活经验解决简单的和差问题，但从抽象层面理解“加法与减法的逆运算关系”“总量与分量的关系”有一定难度。在探索规律方面，学生具备一定的观察能力，但自主发现、总结乘法中积的变化规律的意识和能力有待培养。整体而言，学生的抽象思维仍在发展中，需借助直观情境和大量实例来构建知识体系。
二、单元目标拟定
1.掌握两级混合运算（含乘加、乘减、除加、除减）的运算顺序，能正确计算带小括号的混合运算式题。
2.理解加法与减法的逆运算关系，以及总量与分量之间“总量=分量+分量”“分量=总量-分量”的数量关系，能运用这些关系解决实际问题。
3.探索并发现乘法运算中“一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也乘几”的规律，能运用规律解决简单问题。
4.经历混合运算顺序的探究过程，培养归纳、概括能力和逻辑思维能力。
5.通过对数量关系的分析与应用，提升问题解决能力和数学建模能力。
6.在探索规律的活动中，发展观察、比较、猜想、验证的能力，感受归纳推理的数学思想。
7.感受数学与生活的密切联系，体会数学的实用性，增强学习数学的兴趣。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.正确掌握两级混合运算的运算顺序，能熟练计算混合运算式题。
2.理解加法与减法的逆运算关系，以及总量与分量的数量关系，并能应用于实际问题解决。
3.发现并掌握乘法中积的变化规律。
（二）教学重难点
1.准确运用混合运算顺序解决实际问题，尤其是含小括号的运算顺序的理解与应用。
2.从具体情境中抽象出数量关系，灵活运用数量关系解决复杂问题。
3.自主探索并清晰表达乘法中积的变化规律。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。新课标中指出：“学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识。”
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.情境化呈现，贴近生活实际
教材以学生熟悉的购物、参观、社会实践等生活场景为载体引入知识，如买足球和篮球、书包与文具盒的价格比较、参观敦煌艺术展等，让学生在真实情境中感受数学问题，增强学习的趣味性与代入感，同时便于学生理解数学知识在实际中的应用。
2.循序渐进，知识螺旋上升
混合运算部分，先从不含括号的两级运算（乘加、乘减等）入手，再过渡到含小括号的运算，遵循由易到难的认知规律；数量关系从加法与减法的基本关系，拓展到总量与分量的关系，逐步深化；探索规律则从具体的图形与乘法算式实例出发，引导学生归纳抽象规律，体现知识的逐步建构过程。
3.注重操作与探究，培养数学能力
设置“议一议”“试一试”“课堂活动”等环节，鼓励学生通过观察、操作、讨论等方式自主探索知识。如在探索积的变化规律时，让学生通过观察图形中小正方形个数的变化、分析乘法算式中乘数与积的关系，自主发现规律，培养学生的探究能力和创新意识。
4.强调知识应用，提升解决问题能力
每部分知识学习后，都安排了丰富的实际应用问题，如根据鸡蛋箱数提问题、结合社会实践小组人数计算总人数等，让学生在应用知识解决问题的过程中，加深对知识的理解，同时提升问题解决能力和数学应用意识。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 □数与运算 □方程与代数 图形与几何 □数据整理与概率统计
单元数量 3
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 四则混合运算（一） 乘加乘减 1
除减混合运算 1
含小括号的混合运算 1
加法和减法的关系 1
加法中的总量与分量 1
乘法中的总量与分量 1
积的变化规律 1
数列的变化规律 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 □转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
3.1《乘加乘减》 目标： 掌握乘加、乘减混合运算的运算顺序，能正确进行计算。 探究1：探究 “买足球和篮球一共用了多少元”→ 探究2：巩固运算顺序：“想一想” → 探究3：拓展应用 → 1.能用分步和综合算式计算总花费问题，掌握乘加的计算方法。 2.能正确计算乘加乘减，掌握运算顺序。 3.能编出既有乘法，又有加法或减法的算式。
3.2《除减混合运算》 目标： 掌握除减混合运算的运算顺序，能正确计算；运用除减运算解决生活中的价格比较、剩余问题等实际情境。 探究1：探究“1个书包比1个文具盒贵多少元” → 探究2：试一试 → 探究3：课堂活动 → 1.能用分步和综合算式计算差价问题，掌握除减的计算方法。 2.能正确计算“除减、乘加”“只有加减、只有乘除”两组算式。 3.能按照“说算式→说步骤”“说步骤→猜算式”两种形式玩对口令游戏。
3.3《含小括号的混合运算》 目标： 理解小括号在混合运算中的作用，掌握有小括号的混合运算顺序，能正确计算含小括号的两步混合运算。 探究1：探究“买3套运动服一共用了多少元” → 探究2：试一试 → 探究3：课堂活动 → 1.能用分步和综合算式计算总钱数，理解小括号的作用。 2.能正确计算含小括号的除减、减加，完善带小括号的两步混合运算顺序。 3.能按要求玩“我写算式，你说运算顺序”的游戏。
3.4《加法和减法的关系》 目标： 结合具体情境，归纳、掌握加减法之间的关系，知道减法是加法的逆运算。 探究1：解决“买两种书一共用了多少元” → 探究2：想一想：根据加法算式写加减算式 → 探究3：拓展应用，总结加法和减法的关系 → 1.能用加法计算买两种书的总价钱，巩固加法的意义。 2.能根据48+90=138写出另外一个加法算式和两个减法算式。 3.能根据题中的任意2条信息提出一个数学问题并解决，比说说加法和减法的关系。
3.5《加法中的总量与分量》 目标： 结合具体生活情境，理解“总量”与“分量”的概念，掌握“总量=分量+分量”“分量=总量-分量”的数量关系，能运用该关系解决实际问题。 探究1：解决“星期六中小学生总人数” → 探究2：说一说、议一议：明确总量与分量的关系→ 探究3：运用关系解决新问题 → 1.能找出题中的分量和总量，并尝试用两种方法解决问题。 2.能说说其他的总量和分量，并总结出总量和分量的关系。 3.能找出题中的分量和总量，并提出一个数学问题并解决。
3.6《乘法中的总量与分量》 目标： 明确乘法中“每份数、份数→单一总量”，加法中“单一总量→多量总量”的层级关系，理解分量的相对性。熟练运用“年级人数=小组数×每组人数”和“总人数=二年级人数+三年级人数”解决问题。 探究1：分步探究，掌握乘加混合运算与分量总量关系 → 探究2：试一试 → 探究3：课堂活动 → 1.能解决问题，并找出题中的分量和总量。 2.能根据所给的信息，提出一个数学问题并解决。 3.能按要求完成“说一说”和“闯关游戏”。
3.6《积的变化规律》 目标： 学生能发现并理解乘法中“一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也乘几”的规律，以及数列、图形排列的规律，会运用规律解决问题。 探究1：观察图形与数据，初步感知 → 探究2：分析变化关系 → 探究3：课堂活动 → 1.能初步找出图形数量的变化规律，并写出乘法算式并完成课本上的表格。 2.能根据具体算式总结出积的变化规律。 3.能根据要求创造图形，找到图形数量的变化规律。
3.2《除减混合运算》 目标： 通过观察数列中数字的倍数变化，建立“后一个数=前一个数×固定倍数”的数列变化模型。 探究1：分组探究 → 探究2：总结共性，深化规律 → 探究3：课堂活动 → 1.能找出三组数列的规律，并按规律填出每一组后面的两个数。 2.能找出三组数列规律的共性。 3.能写一组有规律的数。
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