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《数列的变化规律》教学设计
学科 数学 年级 三年级 课型 新授课 单元 第三单元
课题 《数列的变化规律》 课时 一课时
课标要求 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域对第二学段（1-3年级）的要求：结合具体数列情境，探索并发现数列的倍数变化规律，能根据规律填写后续数字；发展数感、推理能力与模型意识，体会数学规律的简洁性与实用性。
教材分析 本节课属于“数与代数”领域中“数列规律”的探究内容，是对“积的变化规律”的拓展与应用。通过三组数列，引导学生观察、分析后一个数与前一个数的倍数关系，总结出“后一个数是前一个数的固定倍数”的规律，为后续学习等比数列、倍数相关的数学问题奠定基础。教材在编排上遵循“观察数列→分析倍数关系→总结规律→应用规律填空”的路径：先呈现三组数列，引发学生观察数字间的变化；再通过“说一说有什么规律”的问题，引导学生分析后一个数与前一个数的倍数；最后根据总结的规律，填写数列的后续数字，体现从“具体数列”到“抽象规律”再到“规律应用”的认知过程。
学情分析 学生已掌握表内除法运算，能识别简单的“后一个数比前一个数多几”的等差数列规律，但对“后一个数是前一个数的几倍”的等比类数列规律缺乏系统探究经验，多停留在“数字表面变化”的感知层面，未上升到“倍数关系规律”的认知层面。学生以具体形象思维为主，能通过“数字逐渐变大”直观感知数列变化，但分析“后一个数是前一个数的几倍”的倍数关系时，需要教师引导用除法计算验证；自主总结数列倍数规律的方法（观察、计算、归纳）与语言表述能力有待培养。
核心素养目标 1.通过观察数列中数字的倍数变化，增强对“数的倍数关系”的敏锐感知，发展数感。2.经历“观察数列→计算倍数→总结规律→应用规律”的过程，培养逻辑推理能力，能清晰阐述数列规律的发现与应用思路。3.建立“后一个数=前一个数×固定倍数”的数列变化模型，体会倍数规律在数列中的普遍作用。4.能运用数列的倍数规律，解决数列填空问题，感受规律在数学学习中的实用性。
教学重点 探索并掌握数列的倍数变化规律：能分析数列中后一个数与前一个数的倍数关系，并根据规律填写后续数字。
教学难点 准确分析数列的倍数变化规律，并用清晰的数学语言表述规律。
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新1.连一连。2.想一想，填一填。（每条边都是一根小棒） 我发现：一个乘数不变，另一个乘数（ ），积也同时（ ）。 学生独自完成，然后集体订正。 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识做准备。
二、引新 创设情境，引入课题师：小朋友们，今天老师要带大家开启一场“数字探险之旅”！想象一下，我们现在乘着一艘“规律号” 飞船，飞向充满神秘数字的宇宙。在宇宙里，有好多组数字在等着我们去发现它们的小秘密。首先看第一组数字。课件出示：2，8，32，128，…… 师：大家有没有觉得这些数字像在玩“变身游戏”？师：再看第二组。课件出示：10，20，40，80，…… 师：它们是不是也有自己的“小魔法”？师：还有第三组。课件出示：5，15，45，135，…… 师：其实这些数列里都藏着“数的变化规律”。现在，就让我们一起走进这些数字，看看它们到底藏着什么有趣的规律吧！板书课题：数列的变化规律 学生独自观察，然后点头。学生：是。 以“数字探险之旅”“规律号飞船”为背景，将抽象的数列转化为“宇宙中等待探索的神秘数字”，契合低年级学生喜爱幻想、热衷探险的心理特点，迅速抓住学生注意力，把“学习数列规律” 转化为“主动探索数字秘密”的内在需求，有效消除对“找规律”的畏难情绪，营造轻松有趣的课堂氛围。
三、探究 合作探究，活动领悟探究1：分组探究课件出示：填一填，说一说有什么规律。（1）2，8，32，128，（ ），（ ）。（2）10，20，40，80，（ ），（ ）。（3）5，15，45，135，（ ），（ ）。师：请大家先独立观察每组数列，思考：后一个数和前一个数有什么关系？把你的发现写在练习本上。师巡视，个别指导：看看相邻两个数，是乘几得到下一个数的？师：现在以4人小组为单位，交流各自的发现，然后总结每组数列的规律。讨论时，要把“后一个数是前一个数的几倍”说清楚。师参与小组交流，了解学生交流的情况。师：第一组数有什么规律？师：通过计算，我们找到了这组数的规律。那按照这个规律，后面两个括号里的数是多少呢？师：大家同意吗？师：规律总结得很准确。请大家记住：找数字规律时，就可以像这样，先观察相邻数的变化，通过计算来找规律，所以这一组数的规律就是：后一个数=前一个数×4。课件出示：（2）10，20，40，80，（ ），（ ）。师：这组数的规律是……？师：你是怎么看出来的？师：非常好！乘2的规律很明显。按照这个规律，后面两个括号里的数是多少？师：这组数的规律就是：后一个数=前一个数×2。第三组的规律又是什么呢？课件出示：（3）5，15，45，135，（ ），（ ）。师：很好！所以接下来的数是……？师：总结得很到位，乘3的规律找对了！这组数的规律就是：后一个数=前一个数×3。 学生独立观察、思考。学生分小组讨论。学生：我们发现，2×4=8，8×4=32，32×4=128，从第1个数开始，后一个数都是前一个数乘4。学生：128×4=512，512×4=2048。齐答：同意。学生：从第1个数开始，后一个数都是前一个数乘2。学生：我用乘法计算，10×2=20，20×2=40，40×2=80。学生：所以后面是80×2=160，160×2=320。学生：我们组发现，后一个数是前一个数乘3，因为5×3=15，15×3=45，45×3=135。学生： 135×3=405，405×3=1215。 先让学生独立观察数列、思考“相邻数关系”，给予个体探究空间；再通过小组交流碰撞思路，确保每位学生都能参与规律推导。教师巡视时提示“看相邻数乘几”，既避免学生无方向猜测，又不直接告知答案，恰到好处地搭建“探究支架”，培养学生“观察—计算—总结”的数学思维。 针对三组数列逐一分析，每组均遵循“找规律→算后续数→验证规律”的流程：先让学生说清“后数是前数的几倍”，再计算括号里的数，最后明确规律表达式。这种“一组一突破”的方式，让学生在重复验证中强化“乘同一个数”的规律认知，避免因多组规律混杂导致理解混乱。
探究2：总结共性，深化规律师：现在咱们把3组数列的规律放在一起看。课件出示：第（1）组：后数=前数×4第（2）组：后数=前数×2第（3）组：后数=前数×3师：大家发现它们的共性了吗？和同桌说说。师巡视了解学生交流的情况，然后提问：谁来说说？师：对！这类数列的规律是：相邻两个数，后一个数是前一个数乘一个相同的数。知道了这个规律，就能轻松算出后面的数了。 学生独自观察，并与同伴交流。学生自由说说：都是后一个数是前一个数乘一个固定的数。 将三组数列的规律并列呈现，引导学生找共性，从“每组的具体规律”上升到“相邻数乘同一个数”的通用规律。这种“从具体到抽象”的归纳过程，帮助学生跳出单组数的局限，建立对“倍数变化类数列”的整体认知，避免知识碎片化。
四、变式 师生互动，变式深化探究3：课堂活动师：接下来，咱们就自己来“写一组有规律的数”，然后和同学交流，好不好？课件出示：2.写一组有规律的数，并与同学交流。师：图中的小朋友写了一组有规律的数，你知道它的规律吗？师：说得太对了！这组数列藏着后一个数是前一个数乘4的规律。其实，有规律的数特别有趣。现在请大家自己写一组有规律的数。课件出示——要求：写一组有规律的数，可以是像刚才那样“乘同一个数”的，也可以是“加同一个数”“减同一个数”或者其他规律的。写的时候，至少写出4个数，方便大家找规律。写好后，先自己想一想规律是什么。师巡视，个别指导：可以从简单的每次加5开始，也可以试试乘2这样的规律。当学生写完后，师安排小组活动：现在以4人小组为单位，互相分享自己写的数列，然后猜一猜对方数列的规律。分享时，要先读自己的数列，再让组员猜规律；猜的时候，要说说为什么这么猜。师参与小组讨论，然后请小组代表展示，全班交流。师：大家验证一下。师：那后面两个数是……？师：还有哪个小组来说说 师：那后面的数是 60、50，对吗？师：还有吗？师：那后面的两个数是……？师：很准确！刚才大家写的数列规律真丰富！现在咱们一起总结一下，有哪些常见的规律类型。课件出示：“加同一个数”：如 2，5，8，11……（每次加3）；“减同一个数”：如 100，90，80，70……（每次减10）；“乘同一个数”：如 1，2，4，8……（每次乘2）。师：大家以后遇到有规律的数，就可以从这几类去思考，找一找相邻两个数的运算关系。 学生：好。学生独自观察，然后回答： 1×4=4，4×4=16，16×4=64，所以规律是每次都乘4。 学生独立创作数列。学生分小组交流。小组代表：我们组的数列是：2，5，8，11，……，规律是后一个数=前一个数+3。学生验证：2+3=5，5+3=8，对的！学生：11+3=14，14+3=17。小组1代表：我们的数列是：100，90，80，70，……，规律是后一个数=前一个数－10。齐答：对。小组代表：我们写的是：1，2，4，8，……，规律是后一个数=前一个数×2。学生： 8×2=16，16×2=32，后面就是 16、32。 允许学生写“乘同一个数”“加同一个数”“减同一个数”等不同规律的数列，打破“仅局限于倍数变化”的思维定式，既巩固本节课核心规律，又回顾旧知，构建“数列规律”的知识体系。同时，“至少写4个数”的要求，确保规律具有可识别性，避免因数太少导致规律模糊。“小组内分享—猜规律—验证规律”的形式，将“写数列”的单向输出转化为双向互动：写数列者需确保规律清晰，猜规律者需运用“观察相邻数运算关系”的方法推导，在互动中强化规律的应用与辨析，同时培养倾听、合作与逻辑推理能力。最后梳理“加、减、乘同一个数”三类常见规律，用具体例子辅助说明，帮助学生建立“数列规律可按运算类型分类”的认知，为后续遇到新数列时提供“从运算关系入手找规律”的思考路径，提升知识的系统性与迁移能力。
五、尝试 尝试练习，巩固提高1.填一填。2.找规律，填一填。3.判断。（1）数列2，6，18，54，162，规律是后一个数是前一个数乘3，这个说法正确。（2）数列3，15，75，375，下一个数是1875。4. 小明收集卡片，第一天收集了2张，以后每天收集的卡片数都是前一天的4倍，第4天小明收集了多少张卡片？ 5.有一个弹性小球，从2米高处落下，第一次弹起的高度是下落高度的4倍，第二次弹起的高度是第一次弹起高度的4倍，第二次弹起多高？ 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸回顾这节课你学到了什么？ 师：说得真好！大家在创作和交流中，对数列规律的理解更深刻了，以后遇到数列，要多观察、多思考！ 学生1：我会找一组数列的规律了。 学生2：我还知道后一个数是前一个数乘一个固定的数。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 数列的变化规律 后数=前数×4后数=前数×2后数=前数×3 后一个数=前一个数×一个相同的数 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.找规律，填一填。（1）7，28，112，（ ），（ ）。（2）9，36，144，（ ），（ ）。（3）20，40，60，（ ），（ ）。2.判断。（1）数列4，20，100，500，规律是后一个数是前一个数乘4。 （ ）（2）数列1，5，25，125，625，规律是后一个数是前一个数乘5。 （ ）（3）数列7，21，63，189，下一个数是567。 （ ）能力提升：1.算一算。（1）数列2，8，32，128，求前5个数的和。（2）已知数列规律是后一个数是前一个数乘3，第一个数是4，求第6个数。2.（1）一种细菌，初始有5个，每过一小时数量就变为之前的3倍，3小时后有多少个细菌？（2）妈妈给小红存钱，第一个月存了10元，以后每个月存的钱数都是前一个月的2倍，5个月后一共存了多少钱？（3）果园里种果树，第一年种了3棵，以后每年种的果树棵数都是前一年的5倍，4年后果园里一共有多少棵果树？拓展迁移： 1.把课堂上自己写的数列和规律讲给家人听。2.找一找生活中“有规律的数”（比如日历上的日期、楼梯的台阶数排列等），记录下来并分析规律。
教学反思 本节课通过“独立探究—小组交流—总结应用”的流程，多数学生能掌握“相邻数乘同一个数”的数列规律，且在“写数列、猜规律”环节表现积极，能灵活运用不同规律创作数列，课堂参与度较高。尤其在探究1中，学生通过计算验证规律的过程扎实，对“找相邻数关系”的方法掌握较好。但存在不足：一是少数学生在写“乘同一个数”的数列时，易出现计算错误，影响规律连贯性；二是小组猜规律时，部分学生仅能判断“越来越大/小”，无法精准说出“加/减/乘几”，对规律的表述仍需强化；三是未涉及“除同一个数”的规律，对数列规律的覆盖不够全面。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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《四则混合运算（一）》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《四则混合运算（一）》单元是数与代数领域第二学段“数与运算”和“数量关系”中的重要内容。《数学课程标准》的“内容要求”中指出：“在解决简单实际问题的过程中，理解四则运算的意义，能进行整数四则混合运算。会运用数描述生活情境中事物的特征，逐步形成数感、运算能力和初步的推理意识。在实际情境中，运用数和数的运算解决问题。在具体情境中，认识常见数量关系：总量一分量十分量、总价=单价×数量、路程=速度×时间；能利用这些关系解决简单的实际问题。能在具体情境中了解等量的等量相等。能解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释，经历探索简单规律的过程，形成初步的模型意识和应用意识。”在“学业要求”中指出：“能描述减法与加法的关系、除法与乘法的关系；能进行整数四则混合运算(以两步为主，不超过三步)，正确运用小括号和中括号。能在简单的实际情境中，运用四则混合运算解决问题，能选择合适的单位通过估算解决实际问题，形成初步的应用意识。能在真实情境中，发现常见数量关系，感悟利用常见数量关系解决问题；能借助计算器进行计算，并解释计算结果的实际意义；形成初步的模型意识、几何直观和应用意识。”
（二）单元教材内容分析
本单元涵盖混合运算（含两级运算、带小括号的运算）、数量关系（加法与减法的关系、总量与分量的关系）以及探索规律（乘法运算中积的变化规律等）三部分内容。混合运算是对四则运算顺序的系统学习，为后续复杂运算和方程学习奠基；数量关系的学习帮助学生从数学本质理解运算间的关联及实际问题中的数量逻辑；探索规律则聚焦乘法中积随乘数变化的规律，培养学生的归纳推理能力。教材通过生活购物、参观展览、社会实践等真实情境，将知识与实际应用紧密结合，体现数学的实用性与逻辑性。
（三）学生认知情况
学生已掌握加、减、乘、除四则运算的基本方法，对简单的两步运算有初步接触，但对“先乘除后加减”“有括号先算括号内”的运算顺序缺乏系统、清晰的认识，在实际计算中易出现顺序错误。对于数量关系，学生能结合生活经验解决简单的和差问题，但从抽象层面理解“加法与减法的逆运算关系”“总量与分量的关系”有一定难度。在探索规律方面，学生具备一定的观察能力，但自主发现、总结乘法中积的变化规律的意识和能力有待培养。整体而言，学生的抽象思维仍在发展中，需借助直观情境和大量实例来构建知识体系。
二、单元目标拟定
1.掌握两级混合运算（含乘加、乘减、除加、除减）的运算顺序，能正确计算带小括号的混合运算式题。
2.理解加法与减法的逆运算关系，以及总量与分量之间“总量=分量+分量”“分量=总量-分量”的数量关系，能运用这些关系解决实际问题。
3.探索并发现乘法运算中“一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也乘几”的规律，能运用规律解决简单问题。
4.经历混合运算顺序的探究过程，培养归纳、概括能力和逻辑思维能力。
5.通过对数量关系的分析与应用，提升问题解决能力和数学建模能力。
6.在探索规律的活动中，发展观察、比较、猜想、验证的能力，感受归纳推理的数学思想。
7.感受数学与生活的密切联系，体会数学的实用性，增强学习数学的兴趣。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.正确掌握两级混合运算的运算顺序，能熟练计算混合运算式题。
2.理解加法与减法的逆运算关系，以及总量与分量的数量关系，并能应用于实际问题解决。
3.发现并掌握乘法中积的变化规律。
（二）教学重难点
1.准确运用混合运算顺序解决实际问题，尤其是含小括号的运算顺序的理解与应用。
2.从具体情境中抽象出数量关系，灵活运用数量关系解决复杂问题。
3.自主探索并清晰表达乘法中积的变化规律。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。新课标中指出：“学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识。”
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.情境化呈现，贴近生活实际
教材以学生熟悉的购物、参观、社会实践等生活场景为载体引入知识，如买足球和篮球、书包与文具盒的价格比较、参观敦煌艺术展等，让学生在真实情境中感受数学问题，增强学习的趣味性与代入感，同时便于学生理解数学知识在实际中的应用。
2.循序渐进，知识螺旋上升
混合运算部分，先从不含括号的两级运算（乘加、乘减等）入手，再过渡到含小括号的运算，遵循由易到难的认知规律；数量关系从加法与减法的基本关系，拓展到总量与分量的关系，逐步深化；探索规律则从具体的图形与乘法算式实例出发，引导学生归纳抽象规律，体现知识的逐步建构过程。
3.注重操作与探究，培养数学能力
设置“议一议”“试一试”“课堂活动”等环节，鼓励学生通过观察、操作、讨论等方式自主探索知识。如在探索积的变化规律时，让学生通过观察图形中小正方形个数的变化、分析乘法算式中乘数与积的关系，自主发现规律，培养学生的探究能力和创新意识。
4.强调知识应用，提升解决问题能力
每部分知识学习后，都安排了丰富的实际应用问题，如根据鸡蛋箱数提问题、结合社会实践小组人数计算总人数等，让学生在应用知识解决问题的过程中，加深对知识的理解，同时提升问题解决能力和数学应用意识。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 □数与运算 □方程与代数 图形与几何 □数据整理与概率统计
单元数量 3
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 四则混合运算（一） 乘加乘减 1
除减混合运算 1
含小括号的混合运算 1
加法和减法的关系 1
加法中的总量与分量 1
乘法中的总量与分量 1
积的变化规律 1
数列的变化规律 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 □转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
3.1《乘加乘减》 目标： 掌握乘加、乘减混合运算的运算顺序，能正确进行计算。 探究1：探究 “买足球和篮球一共用了多少元”→ 探究2：巩固运算顺序：“想一想” → 探究3：拓展应用 → 1.能用分步和综合算式计算总花费问题，掌握乘加的计算方法。 2.能正确计算乘加乘减，掌握运算顺序。 3.能编出既有乘法，又有加法或减法的算式。
3.2《除减混合运算》 目标： 掌握除减混合运算的运算顺序，能正确计算；运用除减运算解决生活中的价格比较、剩余问题等实际情境。 探究1：探究“1个书包比1个文具盒贵多少元” → 探究2：试一试 → 探究3：课堂活动 → 1.能用分步和综合算式计算差价问题，掌握除减的计算方法。 2.能正确计算“除减、乘加”“只有加减、只有乘除”两组算式。 3.能按照“说算式→说步骤”“说步骤→猜算式”两种形式玩对口令游戏。
3.3《含小括号的混合运算》 目标： 理解小括号在混合运算中的作用，掌握有小括号的混合运算顺序，能正确计算含小括号的两步混合运算。 探究1：探究“买3套运动服一共用了多少元” → 探究2：试一试 → 探究3：课堂活动 → 1.能用分步和综合算式计算总钱数，理解小括号的作用。 2.能正确计算含小括号的除减、减加，完善带小括号的两步混合运算顺序。 3.能按要求玩“我写算式，你说运算顺序”的游戏。
3.4《加法和减法的关系》 目标： 结合具体情境，归纳、掌握加减法之间的关系，知道减法是加法的逆运算。 探究1：解决“买两种书一共用了多少元” → 探究2：想一想：根据加法算式写加减算式 → 探究3：拓展应用，总结加法和减法的关系 → 1.能用加法计算买两种书的总价钱，巩固加法的意义。 2.能根据48+90=138写出另外一个加法算式和两个减法算式。 3.能根据题中的任意2条信息提出一个数学问题并解决，比说说加法和减法的关系。
3.5《加法中的总量与分量》 目标： 结合具体生活情境，理解“总量”与“分量”的概念，掌握“总量=分量+分量”“分量=总量-分量”的数量关系，能运用该关系解决实际问题。 探究1：解决“星期六中小学生总人数” → 探究2：说一说、议一议：明确总量与分量的关系→ 探究3：运用关系解决新问题 → 1.能找出题中的分量和总量，并尝试用两种方法解决问题。 2.能说说其他的总量和分量，并总结出总量和分量的关系。 3.能找出题中的分量和总量，并提出一个数学问题并解决。
3.6《乘法中的总量与分量》 目标： 明确乘法中“每份数、份数→单一总量”，加法中“单一总量→多量总量”的层级关系，理解分量的相对性。熟练运用“年级人数=小组数×每组人数”和“总人数=二年级人数+三年级人数”解决问题。 探究1：分步探究，掌握乘加混合运算与分量总量关系 → 探究2：试一试 → 探究3：课堂活动 → 1.能解决问题，并找出题中的分量和总量。 2.能根据所给的信息，提出一个数学问题并解决。 3.能按要求完成“说一说”和“闯关游戏”。
3.6《积的变化规律》 目标： 学生能发现并理解乘法中“一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也乘几”的规律，以及数列、图形排列的规律，会运用规律解决问题。 探究1：观察图形与数据，初步感知 → 探究2：分析变化关系 → 探究3：课堂活动 → 1.能初步找出图形数量的变化规律，并写出乘法算式并完成课本上的表格。 2.能根据具体算式总结出积的变化规律。 3.能根据要求创造图形，找到图形数量的变化规律。
3.2《除减混合运算》 目标： 通过观察数列中数字的倍数变化，建立“后一个数=前一个数×固定倍数”的数列变化模型。 探究1：分组探究 → 探究2：总结共性，深化规律 → 探究3：课堂活动 → 1.能找出三组数列的规律，并按规律填出每一组后面的两个数。 2.能找出三组数列规律的共性。 3.能写一组有规律的数。
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