导数的应用--恒成立问题 高频考点 专题练 2026年高考数学一轮复习备考

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导数的应用--恒成立问题 高频考点 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
1．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求实数a的取值范围．
2．已知函数（为自然对数的底数）.若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
3．已知定义在上的函数．
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围．
4．函数，．，要使成立，求实数m的取值范围．
5．已知函数，
(1)求函数的单调区间；
(2)若对一切的，恒成立，求实数的取值范围．
6．已知函数，.当时，恒成立，求实数的取值范围.
7．已知函数．若对任意成立，求实数a的值.
8．已知函数.当时，恒成立，求a的取值范围.
9．已知函数在处的切线与直线垂直.若对任意恒成立，求实数的值.
10．若时，的图象恒在的图象上方，求a的取值范围.
11．已知函数（其中）若时，，求实数的取值范围.
12．已知函数，其中.当时，恒成立，求实数的值.
13．设函数.是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
14．已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
15．已知函数f(x)= ln(a x)+bx在点（1，f(1)）处的切线是y=0；
(I)求函数f(x)的极值；
(II)当恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数)
16．已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
17．设函数．
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，都有，求m的取值范围．
18．已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数.若对，有，求的取值范围.
19．已知函数.若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由题意知，的定义域为，
，
①当时，恒成立，
所以在上单调递增；
②当时，若，若，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，，即，
所以，令，则．
令，
则，
令，则，所以当时，；
当时，，
所以即在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，；
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即实数a的取值范围为．
2．
【分析】构造差函数，利用二阶导数，分和讨论即可得解.
【详解】当时，恒成立，即在上恒成立，
设，则，
令，则.
①当时，因为，则，
可知在上单调递减，则，
所以在上单调递减，
所以，即恒成立，所以满足题意；
②当时，令，解得：，
当时，，则单调递增，
此时，则在上单调递增，所以，
即当时，，即不恒成立，可知不合题意.
综上所述，.
3．(1)答案见解析
(2)．
【详解】（1），
当时，．
在上，单调递减；
在上，单调递增．
（2）函数的导数为．
①若，则在上，恒成立，单调递增，因此，不符合题意；
②若，令得，当时，，当时，，因此在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以只需即可，即，解得，；
③若，则在上，恒成立，单调递减，因此，符合题意．综上所述，实数a的取值范围是．
4．．
【分析】先构造函数，将题目条件等价于；再分别利用导数判断函数和的单调性，求出最值，得出，求解即可.
【详解】因为，即，设，
则题目条件等价于．
因为，当时，，
所以在上单调递增，
所以当时，．
因为，
所以.
因为当时，，，，
所以在上恒成立，
则在上单调递增.
所以当时，．
则，解得：
故实数m的取值范围是．
5．(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求导后，利用的正负即可得到函数的单调区间；
（2）参变分离，构造函数，然后利用导数求其最大值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为，
所以对一切的，恒成立，
即恒成立，
可得，即，
令，其中，
则，
则当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，则，解得，
所以的取值范围为.
6．
【分析】由必要性说明，再验证充分性成立即可求解.
【详解】设，
只需在时恒成立即可，
又，且，
所以要使当时，，
必须满足，即.
下面证明时满足题意：
①当时，由，，
令，
求导得，令，
求导得，所以在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以当时，，即；
②当时，，
令，，则，
所以在上单调递增，
又，当时，，
所以存在，使得，
当时，，即在上单调递减，
当时，，
所以当时，不恒成立.
综上所述，实数的取值范围是.
7．
【分析】设，利用导数证明．设，则，所以命题等价于对任意，都有，然后从两方面求解并验证满足条件.
【详解】设，，则，
从而当时，当时.
所以在上递减，在上递增，
这就说明，即，且等号成立当且仅当.
设，
则.
当时，的取值范围是，
所以命题等价于对任意，都有.
一方面，若对任意，都有，
则对，有，
取，得，故.
再取，得，
所以.
另一方面，若，则对任意都有，
满足条件.
综合以上两个方面，知a的值是2.
8．
【分析】将不等式恒成立问题转化为对任意的恒成立，首先得到不等式恒成立的必要条件，然后再证明充分性，通过构造新函数，根据新函数的导数判断其单调性，分情况讨论即可得解.
【详解】，
则时，恒成立，
等价于时，恒成立；
令，则，
注意到，则，对恒成立的一个必要条件为，
下面证明也是所涉恒成立的充分条件，
令，则，
即在上单调递增，
当时，注意到，，
结合在上单调递增，则使，
则，
则在上单调递减，则当时，，这与题意不符；
当时，，则，则在上单调递增，
又，则时，；
综上可知，当，恒成立时，；
9．
【分析】由必要性得，再验证充分性即可求解.
【详解】构建，则，
由题意可知：对任意恒成立，且，
则，解得，
若，则，
构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即对任意恒成立，
且对任意恒成立，
可知对任意恒成立，所以符合题意；
综上所述：.
10．
【分析】分离参数，由必要性有，再验证充分性成立即可.
【详解】因为时，的图象恒在的图象上方，
即恒成立，等价于恒成立，
当时，有，
下证：即证，恒成立，
令，
当时，，
当时，，
设，则，
此时在有两个不同的解，
且当或时，，
当时，，
故在上为减函数，在，上为增函数，
而，
故当时，，当时，，
当时，，
故在上为增函数，在为减函数，在为增函数，
而，故时，恒成立，
综上.
11．
【分析】由必要性得，再验证充分性成立即可求解.
【详解】由，，
则，得.
下面验证充分性：
①当时，，，，
单调递增，，
单调递增，，成立；
②当时，当，，
单调递减，，
单调递减，，与条件矛盾，不成立；
综上所述：.
12．
【分析】由必要性得，然后说明不符合要求，符合要求即可得解.
【详解】当时，恒成立，
当时，，
即，
整理得，由于，故，
当时，对求导得，
令，，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若取，则，不合要求，
当时，，
，
当时，恒成立，
故.
13．存在，
【分析】由必要性得，再验证充分性成立即可.
【详解】由题意可知：的定义域为，.
若关于的不等式在上恒成立，且，
则，解得，
若，当时，，
可知在上为减函数，则在上恒成立，
综上所述：的取值范围是.
14．(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;
（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.
【详解】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.
15．(1) 的极大值为，无极小值；
(2) .
【详解】分析：（1）先根据导数几何意义得解得b,再根据得a，根据导函数零点确定单调区间，根据单调区间确定极值，（2）先化简不等式为，再分别求左右两个函数最值得左边最小值与右边最大值同时取到，则不等式转化为，解得实数m的取值范围.
详解：
（1）因为，所以
因为点处的切线是，所以，且
所以，即
所以，所以在上递增，在上递减，
所以的极大值为，无极小值
（2）当恒成立时,由（1），
即恒成立，
设，则，，
又因为，所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，；
在上单调递增，在上单调递减，.
所以均在处取得最值，所以要使恒成立，
只需，即
解得，又，所以实数的取值范围是.
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
16．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出后根据可求的最小值；
（2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性；
（3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得.
【详解】（1）时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为.，
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）因为当且仅当，故为的一个解，
所以即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当，则当时，
故在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而当时，
而时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
综上，.
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
17．（1）在单调递减，在单调递增；（2）.
【详解】（Ⅰ）．
若，则当时，，；当时，，．
若，则当时，，；当时，，．
所以，在单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．
考点：导数的综合应用．
18．
【分析】即对都成立，由恒成立必要条件可得，通过导数证明满足题意即可完成证明.
【详解】若对，有，转化为，
即对都成立；
设，，
因为，所以要使，
必须满足，即，所以；
下面证明时满足题意：
因为，，所以，
只需要证明即可，
设，
所以，且，，
先研究当时，设，，
因为函数、在上均为单调递减，
则在内单调递减，
又因为，，
所以，使得，
且当时，；当时，，
此时在内单调递增，在内单调递减，
又，，故对任意的，，
则在内单调递增，所以，
综上，当时，，即得，所以得证，
故所求为.
19．
【分析】根据题意，令，得令，，
. 对的取值进行分类讨论，即可得出的取值范围.
【详解】令，，
则.
若对任意，恒成立，则.
令，，
.
①当时，.
设，则，令，解得，
则当时，恒成立，单调递减，
当时，恒成立，单调递增，
所以当时，取得最小值，，
所以，当时，恒成立，即.
在上恒成立，且不恒为0.
在上单调递增.
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
，符合题意.
②当时，.当时，，，所以；
当时，，，所以；
在上单调递增.
，
.∴存在，使得.
当时，，则在上单调递减；
，则在上单调递减；
，则在上单调递减；
故当时，，不合题意.
③当时，.
若，由②知在上单调递增.
则存在，使得，且当时，，在上单调递增；
若，由②知在上单调递增.
当时，，单调递增.
当时，函数在上单调递增.
当时，，在上单调递减，
，在上单调递增.
故时，，不合题意.
综上所述，存在，使得任意，都有恒成立.
实数的取值范围为.
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