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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第4章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 10.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 11.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 12.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 13.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 14.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 15.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 16.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 17.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误. 18.通过实例体会反证法的含义. 19.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；过直线外一点作这条直线的平行线；作一条线段的垂直平分线；作已知角的平分线.
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第3章《三角形》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“三角形”和“定义、命题、定理”。本章内容以三角形为核心，系统整合其定义、性质、分类及全等判定等知识，既承接平行线与相交线的基础，又为后续直角三角形、四边形等内容奠定方法论框架。教材通过“观察—操作—归纳”路径展开教学，如用小棒摆三角形、拼内角验证内角和定理，强化几何直观；同时注重逻辑推理渗透，例如通过三角形内角和定理推导外角性质，引导学生从特殊到一般归纳结论。此外，单元融入等腰三角形、等边三角形等特殊三角形研究，形成“一般—特殊”的认知结构，并通过全等三角形的判定（SSS、SAS等）培养演绎推理能力，体现“几何研究大观念”的单元整体设计理念。
学情分析 八年级学生已具备平行线、角度等几何基础，能初步运用逻辑推理解决简单问题，但对抽象概念的理解仍需直观支持。例如，在三角形三边关系中，学生易混淆“较短两边之和大于第三边”与“任意两边之和大于第三边”，需通过操作实验突破认知障碍；在全等三角形判定中，学生可能因忽视对应关系导致证明错误，需通过对比练习强化条件匹配意识。此外，学生合作探究能力较强，但独立思考与创新表达较弱，需通过角色扮演、开放性问题激发思维活力。
单元目标 （一）教学目标 1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形，知道等腰三角形、等边三角形的概念. 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形. 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形. 4.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算. 5.会根据角的大小对三角形进行分类. 6.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关 计算. 7.初步认识定义、命题、互逆命题、公理、定理、互逆定理的概念. 8.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式. 9.会判断命题的真假，会用举反例的方法说明一个命题是假命题. 10.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题. 11.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明. 12.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角. 13.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. 14.掌握判定两个三角形全等的四个判定定理，并能熟练地判定两个三角形全等. 15.在探索三角形全等的条件及其运用过程中，培养实践能力和逻辑思维能力. 16.知道尺规作图的概念，对尺规作图题会写已知、求作和作法. 17.会用尺规作一个角等于已知角，过直线外一点作这条直线的平行线. 18.在分别给出三边、两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，会用尺规作三角形. 19.会利用尺规作图留下的痕迹分析作图类型并能利用相关知识解决问题. 20.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，能利用等腰三角形、等边三角形的性质进行计算与证明. 21.掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理，能利用等腰三角形、等边三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或等边三角形. 22.尝试说理，进一步发展有条理的思考和表达能力，提高演绎推理能力. 23.认识线段的垂直平分线，会利用线段垂直平分线的性质进行相等线段的转化. 24.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题. 25.会用尺规作一条线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线. 26.已知底边及底边上的高线会用尺规作等腰三角形. 27.会用尺规作已知角的平分线. （二）教学重点、难点 重点 1.三角形边角关系与内角和定理的系统掌握. 2.全等三角形的性质及三种基本判定方法的灵活运用. 3.等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的本质理解. 4.定义、命题、证明的逻辑结构与书写规范. 难点 1.从实验验证上升到演绎证明的思维转换. 2.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应元素并选择恰当判定. 3.将等腰三角形性质迁移到多步证明与实际问题. 4.对命题条件、结论及逆命题的辨析与反例构造.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1认识三角形24.2命题与证明34.3全等三角形54.4尺规作图24.5等腰三角形34.6线段的垂直平分线2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 认识三角形（1）1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。1.能判断三条线段能否构成三角形。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能准确地表示出三角形的高、角平分线、中线或画出相关图形。任务一：情境导入，观察图形。 任务二：探究新知，认识三角形及三角形有关的概念。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.1 认识三角形（2）1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。1.会应用三角形的内角和定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。任务一：动手操作，回顾旧知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，应用三角形的外角及内角和进行相关计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.2.1 定义，命题1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.2 证明，举反例1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。1.会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.会进行一些简单命题的证明。任务一：认真思考，初步感知举反例。 任务二：探究新知，探究举反例和证明. 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.3 定理，推论1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。能运用已知定理推导简单推论。任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究定理和推论。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.3.1 认识全等三角形1.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。1.会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。任务一：认真观察，提出猜想。 任务二：探究新知，全等三角形的性质。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真观察，进行判断。 任务二：探究新知，掌握边角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）1.理解“角边角、角角边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用ASA、AAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握角边角、角角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边）1.理解“边边边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SSS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握边边边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.5 全等三角形的应用1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。 2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，构建全等三角形模型。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（1）1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。 2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（2）1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。 2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（1）1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。 2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的性质。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（2）1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。 2.理解判定定理与性质的互逆关系。能运用定理证明线段相等或三角形为等腰三角形。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的判定定理。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（3）1.掌握等边三角形的性质和判定定理。 2.能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等边三角形的性质和判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（1）1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究线段垂直平分线。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（2）1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。 2.理解各作图方法的几何依据。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，动手操作。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。第4章 小结与评价1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。1.能够熟练运用三角形的三边关系、内角和定理、外角性质解决问题。 2.能够熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.能够熟练运用垂直平分线的性质与判定解决问题任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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分课时教学设计
《4.1 认识三角形》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《三角形的有关概念与重要线段》是湘教版八年级上册第4章《三角形》的第一节第一课时的内容。本节内容既承接了小学阶段对三角形的直观认知，又为后续研究三角形性质、全等判定等奠定基础。教材以生活实物抽象出三角形定义，讲授了边、角、顶点等基本概念，继而引出高线、中线、角平分线三条重要线段，既为后续证明奠基，又渗透符号语言、图形语言与文字语言的互译，彰显从经验几何向论证几何过渡的课程定位。
学习者分析 八年级学生已具备平行线、角度计算等基础知识，能通过观察生活实例识别三角形。在操作技能方面，学生能使用直尺画图，但画高的规范性（如直角三角形斜边上的高）和准确性（如钝角三角形需延长边）有待提升，需通过“错误案例分析—对比修正”强化技能。此外，学生对几何概念的抽象概括能力较弱，例如难以从“高是顶点到对边的距离”中提炼出“垂直”这一本质属性，需通过“变式训练”（如改变三角形形状观察高的变化）培养几何直观。
教学目标 1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。 4.感受几何源于生活的魅力，培养严谨作图、敢于质疑、乐于合作的学习品质。
教学重点 三角形定义的严格表述，三角形的三边关系，三角形高、中线、角平分线的画法及几何意义。
教学难点 钝角三角形高的画法。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 【议一议】观察下图，在图中找出几个三角形. 构成这些三角形的三条线段在同一条直线上吗？这三条线段是怎样连接的？ 学生活动1： 合作交流，举手回答问题 活动意图说明：通过具体问题情境引入新课有利于调动学生思维的积极性，激发学生学习动机，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，能够培养学生的应用意识.环节二：探究新知教师活动2： 探究一：三角形的概念及表示方法 【自主预习】 填空： 1._______________________的三条线段_____________所构成的图形叫作三角形. 2.三角形可用符号“_____________”来表示，如图中的三角形可记作“_____________ ”，读作“三角形 ABC ”. 3.A，B，C 叫作ABC 的_____________； ∠A，∠B，∠C叫作ABC 的_____________（简称ABC 的角）； 线段AB，BC，CA叫作ABC 的_____________. 4.通常∠A，∠B，∠C 的对边BC，AC，AB可分别用_____________来表示. 5.两条边相等的三角形叫作_____________. 在等腰三角形中，相等的两边叫作_____________，另外一边叫作_____________. 两腰的夹角叫作_____________，腰和底边的夹角叫作_____________. 6.三边都相等的三角形叫作_____________（或正三角形）. 等边三角形是特殊的等腰三角形——______________________的等腰三角形. 探究二：三角形三边之间的关系 【思考】问题1：在小学阶段，通过画三角形等操作过程，探索得知：三角形中任意两边的长度之和大于第三边的长度 . 这一结论对任何三角形都成立吗？为什么？ 问题2：三角形的任意两边之差有什么关系？ 教师讲授：由基本事实“两点之间，线段最短”可得 AB+AC>BC,AB+BC>AC,AC+BC>AB. 由于AB+AC >BC, 根据不等式的基本性质1可得AB>BCAC, 即BCAC< AB, 同理可得ACAB< BC, ABC< AC. 【归纳】三角形三边之间的关系: 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边. 探究三：三角形的高、角平分线、中线 【定义】从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是ABC 的边BC上的高. 【做一做】如图，试用三角板或量角器分别画出图中ABC三条边上的高线. 【定义】在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图，AD平分∠BAC，交BC于点D，则线段AD是ABC 的一条角平分线，此时∠BAD=∠CAD=∠BAC. 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线. 如图，E是线段BC的中点，则线段AE是ABC的边BC上的中线，此时BE=EC=BC. 【说一说】任意画一个三角形，画出三条边上的中线. 你发现了什么？ 【定义】三角形的三条中线相交于一点. 这三条中线的交点叫作三角形的重心. 如图， ABC的三条中线AD，BE，CF 相交于点G，则点G为ABC的重心.学生活动2： 学生自主预习，根据教材填空 认真预习 认真预习 认真思考，举手回答问题 认真听讲 学生认真听讲，了解三角形三边之间的关系 学生认真听讲，了解三角形的高 动手操作，画钝角三角形的高 学生认真听讲，了解三角形的角平分线 学生认真听讲，了解三角形的中线 动手操作 学生认真听讲，了解三角形的重心活动意图说明：通过动手操作可以让学生的认知更直观，使学生亲自经历获取知识的过程，能提高对数学结论的认可程度。环节三：例题精讲教师活动3： 例2如图，AD是ABC的中线，AE是ABC的高线 . （1） 图中共有几个三角形？请分别列举出来. （2） 图中哪些三角形的面积相等？ 解： 图中有6个三角形，它们分别是： ABD，ADE，AEC，ABE，ADC，ABC. 因为AD是ABC的中线， 所以BD=DC. 因为AE是ABC的高线，也是ABD和ADC的高线， 所以= BD AE， = DC AE， 因此=.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( ) A．5 B．6 C．11 D．16 2.如图，在中，边上的高为（ ） A． B． C． D． 3.如图，在锐角中，为边上的中线，则（ ） A． B． C． D． 选做题： 4.已知等腰三角形的两边长分别为3，6，则其周长为 ． 5.已知一个三角形的三条边长为2、7、 ，则 的取值范围是 ． 6.如图，点O是的重心，则 ．（填“”“”或“”） 【综合拓展类作业】 7.下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由。 （1） 20cm，15cm，8cm； （2） 7cm，15cm，8cm； （3） 5cm，15cm，8cm。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列结论错误的是（ ） A．∠BAF=∠CAF B．BF＝CF C．∠B+∠BAD=90° D．S△ABC＝2S△ABF 3.若等腰三角形的周长为20cm，一边为6cm，则底边长为（ ） A．6cm B．7cm C．6cm或7cm D．6cm或8cm 【综合拓展类作业】 4.已知关于的方程组． （1）若方程组的解满足，求的取值范围． （2）若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值．
教学反思 本节课通过生活实例引入概念，学生参与度较高，但在操作环节发现部分学生对钝角三角形高的画法存在困难，反映出对“高是顶点到对边所在直线的垂线段”这一本质属性理解不足。后续教学中可增加动态演示（如几何画板中拖动顶点观察高的变化），强化“垂直”与“距离”的关联；同时设计分层任务（如基础题画锐角三角形高，拓展题探究钝角三角形高与边的关系），满足差异化需求。此外，需加强概念间的对比（如中线与角平分线的区别），避免学生因概念混淆导致后续学习障碍。
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第4章 三角形
4.1 认识三角形（1）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。
01
掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。
02
认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。
03
02
新知导入
不在同一直线上
议一议
观察下图，在图中找出几个三角形. 构成这些三角形的三条线段在同一条直线上吗？这三条线段是怎样连接的？
首尾相接
03
新知探究
探究一
三角形的概念及表示方法
不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.
三角形可用符号“”来表示，如图中的三角形可记作“ABC ”，读作“三角形 ABC ”.
03
新知探究
A，B，C 叫作ABC 的顶点；
∠A，∠B，∠C叫作ABC 的内角（简称ABC 的角）；
线段AB，BC，CA叫作ABC 的边.
通常∠A，∠B，∠C 的对边BC，AC，AB可分别用a，b，c来表示.
03
新知探究
两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边. 两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
03
新知探究
三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.
等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形.
注意
03
新知探究
探究二
三角形三边之间的关系
思考
在小学阶段，通过画三角形等操作过程，探索得知：三角形中任意两边的长度之和大于第三边的长度 . 这一结论对任何三角形都成立吗？为什么？
基本事实：两点之间，线段最短
AB+AC >BC,
AB+BC >AC,
AC+BC >AB.
03
新知探究
三角形三边之间的关系:三角形的任意两边之和大于第三边.
三角形的任意两边之差有什么关系？
三角形的任意两边之差小于第三边.
03
新知探究
由于AB+AC >BC,
根据不等式的基本性质1可得AB>BCAC,
即BCAC< AB,
同理可得ACAB< BC, ABC< AC.
三角形三边之间的关系:
三角形的任意两边之和大于第三边.
三角形的任意两边之差小于第三边.
03
新知探究
如图，D是ABC的边AC上一点，且AD=BD，试判断AC与BC的大小关系.
例1
解：因为AC=AD+DC，
又AD=BD，
则AC=BD+DC.
在BDC 中，BD+DC >BC（三角形的任意两边之和大于第三边），
所以AC >BC.
03
新知探究
探究三
三角形的高、角平分线、中线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是ABC 的边BC上的高.
03
新知探究
做一做
如图，试用三角板或量角器分别画出图中ABC三条边上的高线.
03
新知探究
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
如图，AD平分∠BAC，交BC于点D，则线段AD是ABC 的一条角平分线，此时∠BAD=∠CAD=∠BAC.
几何语言
∵ AD是ABC 的角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD=∠BAC.
03
新知探究
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.
如图，E是线段BC的中点，则线段AE是ABC的边BC上的中线，此时BE=EC=BC.
几何语言
∵AE是ABC的中线，
∴BE=EC.
03
新知探究
说一说
任意画一个三角形，画出三条边上的中线. 你发现了什么？
它们相交于一点.
03
新知探究
三角形的三条中线相交于一点. 这三条中线的交点叫作三角形的重心.
如图， ABC的三条中线AD，BE，CF 相交于点G，则点G为ABC的重心.
三角形的重心一定在三角形的内部.
注意
03
新知探究
例2
解： 图中有6个三角形，它们分别是： ABD，ADE，AEC，ABE，ADC，ABC.
如图，AD是ABC的中线，AE是ABC的高线 .
（1） 图中共有几个三角形？请分别列举出来.
（2） 图中哪些三角形的面积相等？
03
新知探究
例2
解： 因为AD是ABC的中线，
所以BD=DC.
因为AE是ABC的高线，也是ABD和ADC的高线，
所以= BD AE， = DC AE，
因此=.
如图，AD是ABC的中线，AE是ABC的高线 .
（2） 图中哪些三角形的面积相等？
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( )
A．5 B．6 C．11 D．16
2.如图，在中，边上的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
C
B
04
课堂练习
3.如图，在锐角中，为边上的中线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.已知等腰三角形的两边长分别为3，6，则其周长为 ．
5.已知一个三角形的三条边长为2、7、 ，则 的取值范围是 ．
6.如图，点O是的重心，则 ．（填“”“”或“”）
15
5=
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.下列长度的三条线段能组成三角形吗 请说明理由。
（1） 20cm，15cm，8cm；
（2） 7cm，15cm，8cm；
（3） 5cm，15cm，8cm。
（1）解： ∵15+8=23>20,
∴能组成三角形；
（2）解： ∵7+8=15,
∴不能组成三角形；
（3）解：∵5+8=13<15,
∴不能组成三角形.
05
课堂小结
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
A
06
作业布置
2.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BAF=∠CAF
B．BF＝CF
C．∠B+∠BAD=90°
D．S△ABC＝2S△ABF
D
06
作业布置
3.若等腰三角形的周长为20cm，一边为6cm，则底边长为（ ）
A．6cm
B．7cm
C．6cm或7cm
D．6cm或8cm
D
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.已知关于的方程组．
(1)若方程组的解满足，求的取值范围．
(2)若x,y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值．
(1)解：方程组，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：.
06
作业布置
(2)解：解方程组得：，
可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；
若x是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形；
若是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形；
综上所述：.
07
板书设计
三角形的概念：
三角形的表示方法：
三角形三边之间的关系：
三角形的高、角平分线、中线：
4.1 认识三角形（1）
习题讲解书写部分
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第4章 三角形
4.1 认识三角形（1）
学习目标与重难点
学习目标：
1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.
2.知道等腰三角形、等边三角形的概念。
3.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。
4.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。
学习重点：
三角形定义的严格表述，三角形的三边关系，三角形高、中线、角平分线的画法及几何意义。
学习难点：
钝角三角形高的画法。
学习过程
一、合作交流
【议一议】观察下图，在图中找出几个三角形. 构成这些三角形的三条线段在同一条直线上吗？这三条线段是怎样连接的？
二、探究新知
探究一：三角形的概念及表示方法
教材第86页
【自主预习】
填空：
1._______________________的三条线段_____________所构成的图形叫作三角形.
2.三角形可用符号“_____________”来表示，如图中的三角形可记作“_____________ ”，读作“三角形 ABC ”.
3.A，B，C 叫作ABC 的_____________；
∠A，∠B，∠C叫作ABC 的_____________（简称ABC 的角）；
线段AB，BC，CA叫作ABC 的_____________.
4.通常∠A，∠B，∠C 的对边BC，AC，AB可分别用_____________来表示.
5.两条边相等的三角形叫作_____________.
在等腰三角形中，相等的两边叫作_____________，另外一边叫作_____________. 两腰的夹角叫作_____________，腰和底边的夹角叫作_____________.
6.三边都相等的三角形叫作_____________（或正三角形）.
等边三角形是特殊的等腰三角形——______________________的等腰三角形.
探究二：三角形三边之间的关系
【思考】问题1：在小学阶段，通过画三角形等操作过程，探索得知：三角形中任意两边的长度之和大于第三边的长度 . 这一结论对任何三角形都成立吗？为什么？
问题2：三角形的任意两边之差有什么关系？
【归纳】三角形三边之间的关系:
三角形的任意两边之和______________第三边.
三角形的任意两边之差______________第三边.
例1如图，D是ABC的边AC上一点，且AD=BD，试判断AC与BC的大小关系.
探究三：三角形的高、角平分线、中线
【定义】三角形的高：
________________________________________________________________________________________________________________________________
如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是ABC 的边BC上的高.
【做一做】如图，试用三角板或量角器分别画出图中ABC三条边上的高线.
【定义】三角形的角平分线：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
如图，AD平分∠BAC，交BC于点D，则线段AD是ABC 的一条角平分线，此时∠BAD=∠CAD=∠BAC.
【定义】三角形的中线：
______________________________________________________________________________________________________________________________________
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.
如图，E是线段BC的中点，则线段AE是ABC的边BC上的中线，此时BE=EC=BC.
【说一说】任意画一个三角形，画出三条边上的中线. 你发现了什么？
【定义】三角形的重心：
_______________________________________________________________________________________
三、例题精讲
例2如图，AD是ABC的中线，AE是ABC的高线 .
（1） 图中共有几个三角形？请分别列举出来.
（2） 图中哪些三角形的面积相等？
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( )
A．5 B．6 C．11 D．16
2.如图，在中，边上的高为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在锐角中，为边上的中线，则（ ）
A． B． C． D．
选做题
4.已知等腰三角形的两边长分别为3，6，则其周长为 ．
5.已知一个三角形的三条边长为2、7、 ，则 的取值范围是 ．
6.如图，点O是的重心，则 ．（填“”“”或“”）
【综合拓展类作业】
7.下列长度的三条线段能组成三角形吗 请说明理由。
（1） 20cm，15cm，8cm；
（2） 7cm，15cm，8cm；
（3） 5cm，15cm，8cm。
五、课堂小结
这节课你收获了什么
六、作业布置
1.如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BAF=∠CAF B．BF＝CF
C．∠B+∠BAD=90° D．S△ABC＝2S△ABF
3.若等腰三角形的周长为20cm，一边为6cm，则底边长为（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm或7cm D．6cm或8cm
4.已知关于的方程组．
（1）若方程组的解满足，求的取值范围．
（2）若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】C
【解析】设此三角形第三边的长为x，则10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】解：根据三角形的高的定义，可得边上的高为 AF.
故答案为：B．
3.【答案】B
【解析】解：在锐角中，为边上的中线，
，
故答案为：B.
4.【答案】15．
【解析】解：①当3为腰时，另两边为3、6，，不能构成三角形，舍去；
②当6为腰时，另两边为3、6，，能构成三角形，
此时三角形的周长为
故答案为：．
5.【答案】5【解析】解：根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和得：7 2即56.【答案】．
【解析】解： ∵点O是的重心，
∴AD是三角形中线，
∴，
故答案为：．
7.【答案】（1）解：
∴能组成三角形；
（2）解：
∴不能组成三角形；
（3）解：
∴不能组成三角形.
作业布置：
1.【答案】A
【解析】解：∵点，分别为，边上的中点，
∴，，
∵的面积为12，
∴，
故选：A．
2.【答案】D
【解析】解：∵AE是角平分线
∴∠BAE=∠CAE，A错误
∵AF是中线
∴BF=CF，B正确
∵∠ADB=90°
∴∠B+∠BAD=90°，C正确
∵AF是中线
∴S△ABC＝2S△ABF，D正确
故答案为：D
3.【答案】D
【解析】解：①6cm是底边时，腰长＝（20 6）＝7cm，
此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm，
符合三角形三边关系，
②6cm是腰长时，底边＝20 6×2＝8cm，
此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm，
符合三角形三边关系，
综上所述，底边长为6或8cm.
故答案为：D．
4．【答案】（1）解：方程组，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：
（2）解：解方程组得：，
可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；
若x是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形；
若是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形；
综上所述：.
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