第2节 库仑定律
1.关于点电荷，下列说法中正确的是（ ）
A.点电荷一定带正电
B.球形带电体一定可以视为点电荷
C.带电少的带电体一定可以视为点电荷
D.大小和形状对作用力的影响可忽略的带电荷可以视为点电荷
2.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.法国物理学家库仑发现了电荷之间的相互作用规律
B.若点电荷q1的电荷量大于点电荷q2的电荷量，则q1对q2的静电力大于q2对q1的静电力
C.凡计算真空中两个静止点电荷间的相互作用，都可以使用公式F＝k
D.根据F＝k可知，当r→0时，F→∞
3.两个完全相同的小金属球（皆可视为点电荷），所带电荷量之比为5∶1，它们在相距一定距离时相互作用的吸引力为F1，如果让它们充分接触后再放回各自原来的位置上，此时相互作用力变为F2，则F1∶F2为（ ）
A.5∶2 B.5∶4
C.5∶6 D.5∶9
4.如图所示，在一条直线上的三点分别放置电荷量QA＝＋3×10－9 C、QB＝－4×10－9 C、QC＝＋3×10－9 C的A、B、C点电荷，则作用在点电荷A上的库仑力的大小为（ ）
A.9.9×10－4 N B.9.9×10－3 N
C.1.17×10－4 N D.2.7×10－4 N
5.两个半径均为R的带电金属球所带电荷量分别为q1和q2，当两球心相距3R时，相互作用的库仑力大小为（ ）
A.F＝k B.F＞k
C.F＜k D.无法确定
6.如图所示，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝8 cm、ac＝6 cm、bc＝10 cm，小球c所受静电力合力的方向平行于ab的连线斜向下。关于小球a、b的电性及所带电荷量比值的绝对值n，下列说法正确的是（ ）
A.同种电荷，n＝ B.同种电荷，n＝
C.异种电荷，n＝ D.异种电荷，n＝
7.如图所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点上，已知A、B都带正电荷，A所受B、C两个电荷的静电力的合力如图中FA所示，则下列说法正确的是（ ）
A.C带正电，且QC＜QB
B.C带正电，且QC＞QB
C.C带负电，且QC＜QB
D.C带负电，且QC＞QB
8.如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b的电荷量均为＋q，c和d的电荷量均为－q。静电力常量为k，求a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力。
9.如图所示，三个绝缘带电小球A、B、C处于竖直平面内，三个小球的连线构成直角三角形，∠A＝90°，∠B＝60°。用竖直向上的力F作用在小球A上，三个小球恰好处于静止状态。下列关于三个小球所带电荷量的关系中正确的是（ ）
A.qA＝qC B.qA＝qB
C.＝qBqC D.qB＝qC
10.如图甲所示，光滑绝缘水平面上固定金属小球A，用原长为L0的绝缘弹簧将A与另一个金属小球B连接，让它们带上等量同种电荷，弹簧伸长量为x1，若两球电荷量各漏掉一半，弹簧伸长量变为x2，如图乙所示，则有（ ）
A.x2＝x1 B.x2＝x1
C.x2＞x1 D.x2＜x1
11.同一直线上的三个点电荷q1、q2、q3，恰好都处于平衡状态。除相互作用的静电力外不受其他外力作用，如图所示，已知q1、q2间的距离是q2、q3距离的2倍，则：
（1）q1、q2、q3各带什么电，列举出各种可能性；
（2）q1、q2、q3的电荷量大小之比是多少。
12.如图所示，△abc处在真空中，边长分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。三个带电小球固定在a、b、c三点，电荷量分别为qa＝6.4×10－12 C，qb＝－2.7×10－12 C，qc＝1.6×10－12 C。已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，求c点小球所受库仑力的大小及方向。
第2节 库仑定律
1.D 带电体被看成点电荷的条件是带电体的大小远小于电荷间的距离，与带电体的电性、形状、所带电荷量的多少都无直接关系，故A、B、C错误，D正确。
2.AC 法国物理学家库仑发现了电荷之间的相互作用规律，故A正确；两点电荷之间的作用力是相互的，根据牛顿第三定律可知，无论点电荷q1的电荷量与点电荷q2的电荷量大小关系如何，q1对q2的静电力大小总等于q2对q1的静电力大小，故B错误；库仑定律的适用条件是真空和静止点电荷，如果在研究的问题中，带电体的形状、大小以及电荷分布可以忽略不计，即可将它看成一个几何点，则这样的带电体就是点电荷，一个实际的带电体能否看成点电荷，不仅和带电体本身有关，还取决于问题的性质和精度的要求，故C正确；当r→0时，带电体不能看成点电荷，公式F＝k不再适用，故D错误。
3.B 因开始时两球吸引，则为异种电荷，设两球带电荷量分别为5q、－q，开始时F1＝k＝；接触后两球各带电荷量q1＝q2＝＝2q，则F2＝k＝，则F1∶F2＝5∶4，故B正确。
4.A
A受到B、C两点电荷的库仑力，如图所示。根据库仑定律有
FBA＝＝ N＝1.08×10－3 N，
FCA＝＝ N＝9×10－5 N，规定沿这条直线由A指向C为正方向，则点电荷A受到的合力大小为FA＝FBA－FCA＝（1.08×10－3－9×10－5）N＝9.9×10－4 N，故A正确。
5.D 因为两球心的距离不比球的半径大得多，所以两带电金属球不能看作点电荷，必须考虑电荷在球上的实际分布。当q1、q2是异种电荷时，相互吸引，电荷分布于最近的两侧，电荷中心距离小于3R，所以F＞k；当q1、q2是同种电荷时，相互排斥，电荷分布于最远的两侧，电荷中心距离大于3R，所以F＜k，故D正确。
6.D 由题意知∠c＝53°，∠a＝90°，由小球c所受静电力合力的方向知a、b带异种电荷，小球a、b对小球c的作用力如图所示。
Fa＝ ①
Fb＝ ②
cos 53°＝ ③
由①②③得：n＝＝，故D正确。
7.C 因A、B都带正电，所以静电力表现为斥力，即B对A的作用力沿BA的延长线方向，而不论C带正电还是带负电，A和C的作用力方向都必须在AC连线上，由平行四边形定则知，合力必定为以两个分力为邻边所做平行四边形的对角线，所以A和C之间必为引力，且FCA＜FBA，所以C带负电，且QC＜QB。故C正确。
8.
解析：a和b电荷量为＋q，c和d电荷量为－q，则c、d电荷对a电荷的静电力为引力，b电荷对a电荷的静电力为斥力。根据库仑定律可得
Fca＝，Fba＝Fda＝
b、d电荷对a电荷的合力为F合＝，其方向与c电荷对a电荷的静电力的夹角为90°
根据力的合成法则，a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小F＝＝。
9.D 由平衡条件可知，A、B间和A、C间必是引力，B、C间必是斥力，故B、C带同种电荷，电性与A相反，对B球受力分析，如图所示
由平衡条件可得
FABcos 60°＝FBC
同理对于C球满足FACcos 30°＝FBC
设A、B距离为l，则A、C距离为l，B、C距离为2l，由库仑定律可得FAB＝k、FAC＝k、FBC＝k，联立可得qA∶qB∶qC＝∶2∶2，故D正确。
10.C 静电力等于弹力，两球电荷量各减半时，若不考虑两球间距离的变化对静电力的影响，静电力减为原来的，则x2＝x1，但实际上两球间距离减小后静电力会增大，故正确答案是x2＞x1，C正确。
11.（1）q1正q2负q3正或q1负q2正q3负 （2）36∶4∶9
解析：（1）三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，近小远大”原理，即两边的电荷电性相同且和中间的电性相反，则q1、q3电性一定相同，q2电性与前两者相反，可得q1正q2负q3正或q1负q2正q3负。
（2）由平衡条件得k＝k，k＝k
联立得q1∶q2∶q3＝36∶4∶9。
12.7.2×10－11 N 方向平行于ab连线向右
解析：如图所示，由几何关系知，ac⊥bc，△abc为直角三角形。a、b两点处的带电小球对c点处的小球的库仑力分别为
Fac＝k＝5.76×10－11 N
Fbc＝k＝4.32×10－11 N
由平行四边形定则得F＝＝7.2×10－11 N
＝0.6，由几何关系知c点小球所受库仑力方向平行于ab连线向右。
3 / 3第2节 库仑定律
核心素养目标 物理观念 明确点电荷是理想模型，知道带电体能看作点电荷的条件，知道库仑定律的文字表述及其公式表达
科学思维 理解理想模型法，培养将实际问题进行简化抽象建立物理模型的能力
科学探究 经历科学探究的过程，通过控制变量法探究实验，体验科学探究的思维方法，培养观察、分析的能力
科学态度 与责任 通过静电力与万有引力的对比，体会自然规律的多样性和统一性
知识点一 点电荷
1.静电力
（1）定义： 间的相互作用力，称为静电力。
（2）影响静电力大小的因素：带电体的形状、大小、 、电荷分布、 等。
2.点电荷
（1）当带电体本身的 比它与其他带电体之间的距离 得多，以至于其 、 及电荷分布等因素对它与其他带电体之间相互作用的影响可忽略时，这样的带电体称为点电荷。
（2）点电荷是只有 、没有大小的几何点，两个视为点电荷的带电体之间的距离就是这两个 之间的距离。
知识点二 两点电荷间的静电力
1.库仑定律
（1）内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力F的大小，与它们的电荷量Q1、Q2的乘积成 ，与它们的距离r的二次方成 ；作用力的方向沿着它们的连线，同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
（2）表达式：F＝k，式中k叫作静电力常量，k的数值是9.0×109 N·m2/C2。
（3）适用条件：真空中的点电荷。
2.静电力叠加原理
对于两个以上的点电荷，其中每一个点电荷所受的总的静电力，等于其他点电荷分别单独存在时对该点电荷的作用力的 。
【情景思辨】
在探究影响电荷之间相互作用力大小因素的过程中，老师做了如图所示的实验。O是一个带正电的导体球，将同一带电小球用绝缘细丝线分别挂在P1、P2、P3位置，调节丝线长度，使小球与带电导体球O的球心保持在同一水平线上，发现小球静止时细丝线与竖直方向的夹角不同，且θ1＞θ2＞θ3。关于这个实验，判断下列说法的正误。
（1）通过该实验现象可知，小球带正电。（ ）
（2）该实验可以研究电荷间相互作用力大小与它们之间距离是否有关。（ ）
（3）该实验中细丝线与竖直方向的夹角越大，表示电荷之间的相互作用力越弱。（ ）
（4）通过该实验现象可知，电荷之间的相互作用力大小与电荷之间的距离的平方成反比。（ ）
要点一 库仑定律的理解与应用
【解读】
1.库仑定律的适用条件
（1）真空。
（2）静止点电荷。
这两个条件都是理想化的，在空气中库仑定律也近似成立。
2.静电力的大小计算和方向判断
（1）大小计算
利用库仑定律计算大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入q1、q2的绝对值即可。
（2）方向判断
在两电荷的连线上，同种电荷相斥，异种电荷相吸。
3.库仑定律与万有引力定律的比较
定律 比较内容 万有引力定律 库仑定律
公式 F＝ F＝
力的性质 只要有质量，就有引力，因此称为万有引力，两物体间的万有引力总是引力 存在于电荷间，两带电体的库仑力由电荷的性质决定，既有引力，也有斥力
正比关系 吸引力与它们质量的乘积成正比 库仑力与它们电荷量的乘积成正比
相似 之处 遵从牛顿第三定律
与距离的平方成反比
都有一个常量
说明：对于微观的带电粒子，它们之间的库仑力要比万有引力大得多。电子和质子的静电引力是它们间万有引力的2.3×1039倍，正因如此，以后在研究带电微粒间的相互作用时，可以忽略万有引力。
【典例1】 两个分别带有电荷量－Q和＋3Q的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F。两小球相互接触后将其固定距离变为，则两球间库仑力的大小为（ ）
A.F B.F
C.F D.12F
尝试解答
1.（多选）对于库仑定律，下列说法正确的是（ ）
A.凡计算真空中两个静止点电荷间的相互作用力，就可以使用公式F＝k
B.两个带电小球即使相距非常近，也能用库仑定律
C.相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们之间的库仑力大小一定相等
D.当两个半径为r的带电金属球中心相距为4r时，对于它们之间的静电作用力大小，只取决于它们各自所带的电荷量
2.如图所示，两个质量均为m的材质、大小相同的金属球壳a和b，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支架上，两球心间的距离l是球半径的3倍。若使它们带上等量异种电荷，使其电荷量的绝对值均为Q，那么下列关于a、b之间的万有引力F引和静电力F电的表达式正确的是（ ）
A.F引＝G，F电＝k
B.F引≠G，F电≠k
C.F引≠G，F电＝k
D.F引＝G，F电≠k
要点二 静电力的矢量合成
【解读】
1.两个或三个以上点电荷对某一点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。这个结论叫作静电力叠加原理。
2.静电力具有力的一切性质，静电力叠加原理实际上就是力叠加原理的一种具体表现。
3.库仑力是矢量，若电荷受到的两个库仑力不在同一直线上，合成遵循平行四边形定则，如图所示。
【典例2】
如图所示，分别在A、B两点放置电荷量为Q1＝＋2×10－14 C和Q2＝－2×10－14 C的两点电荷。在AB的垂直平分线上有一点C，且AB＝AC＝BC＝6×10－2 m。如果有一电子静止放在C点处，则它所受的库仑力的大小和方向如何？
尝试解答
1.
如图所示，直角三角形ABC中∠B＝30°，A、B处的点电荷所带电荷量分别为QA、QB，测得在C处的某正点电荷所受静电力方向平行于AB向左，则下列说法正确的是（ ）
A.A处的点电荷带正电，QA∶QB＝1∶8
B.A处的点电荷带负电，QA∶QB＝1∶8
C.A处的点电荷带正电，QA∶QB＝1∶4
D.A处的点电荷带负电，QA∶QB＝1∶4
2.
如图所示，三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上。a和c带正电，b带负电，a所带的电荷量比b所带的电荷量小。已知c受到a和b的静电力的合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，它应是（ ）
A.F1 B.F2
C.F3 D.F4
要点三 三个自由点电荷的平衡问题
【解读】
1.平衡条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。
2.规律
3.解题思路：解决三个自由点电荷的平衡问题时，首先应根据三个自由点电荷的平衡问题的规律确定出点电荷的电性和大体位置。求点电荷间的距离时，对未知电荷量的电荷列平衡方程；求未知电荷的电荷量时，对其中任意已知电荷量的电荷列平衡方程求解。
【典例3】 a、b两个点电荷相距40 cm，电荷量分别为q1、q2，且q1＝9q2，都是正电荷。现引入点电荷c，这时a、b、c电荷恰好都处于平衡状态。试问：点电荷c的带电性质是怎样的？电荷量为多大？它应该放在什么地方？
尝试解答
【拓展训练】
【典例3】中，若a、b两个电荷固定，引入点电荷c，要使c处于平衡状态，点电荷c的带电性质是怎样的？电荷量为多大？它应该放在什么地方？
要点回眸
1.下列对点电荷的认识，正确的是（ ）
A.只有体积很小的带电体才能看成点电荷
B.体积很大的带电体一定不能看成点电荷
C.只有球形带电体才能看成点电荷
D.当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，可将这两个带电体看成点电荷
2.A、B、C三点在同一直线上，AB∶BC＝1∶2，B点位于A、C之间，在B处固定一电荷量为Q的点电荷。当在A处放一电荷量为＋q的点电荷时，B处的点电荷所受到的库仑力为F；移去A处电荷，在C处放一电荷量为－2q的点电荷，B处的点电荷所受库仑力为（ ）
A.－ B.
C.－F D.F
3.（多选）半径相同的两个金属小球A、B带有相等的电荷量，相隔一定的距离，现让第三个半径相同的不带电的金属小球先后与A、B接触后移开。这时，A、B两球的电荷量之比可能为（ ）
A.2∶3 B.3∶2
C.2∶1 D.1∶2
4.
如图所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点上，已知三角形的边长为1 cm，B、C所带电荷量为qB＝qC＝＋1×10－6 C，A所带电荷量为qA＝－2×10－6 C，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，问A所受B、C两个电荷的静电力的合力F的大小和方向如何？
第2节 库仑定律
【基础知识·准落实】
知识点一
1.（1）电荷 （2）电荷量 二者间的距离 2.（1）大小 小 形状 大小 （2）电荷量 几何点
知识点二
1.（1）正比 反比 2.矢量和
情景思辨
（1）√ （2）√ （3）× （4）×
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】 C 由库仑定律知F＝k，当两小球接触后，带电荷量都为Q，故接触后库仑力F'＝＝k，由以上两式解得F'＝F，故C正确。
素养训练
1.AC 库仑定律公式F＝k的适用条件是真空中静止的点电荷，故A正确；两带电小球相距很近时，不能看作点电荷，公式F＝k不适用，故B错误；相互作用的点电荷间的库仑力也是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，故C正确；当两带电球本身的半径不满足远小于它们间的距离时，就不能看作点电荷，公式F＝k 不再适用，库仑力还与它们的电荷分布有关，故D错误。
2.D a、b所带的异种电荷相互吸引，所以它们各自的电荷分布不均匀，相互靠近的一侧电荷分布比较密集。又l＝3r，不满足l r的要求，故不能将带电球壳看成点电荷，所以不能应用库仑定律计算a、b间的静电力，故F电≠k。万有引力定律适用于两个可看成质点的物体，虽然本题中不满足l r，但由于a、b两球壳的壳层厚度和质量分布均匀，故两球壳可看作质量集中于球心的质点，所以可以应用万有引力定律计算a、b间的万有引力，故F引＝G，故D正确。
要点二
知识精研
【典例2】 8.0×10－21 N 方向平行于AB连线水平向左
解析：电子带负电荷，在C点同时受A、B两处点电荷的作用力FA、FB，如图所示。由库仑定律F＝k得，FA＝k＝9.0×109× N＝8.0×10－21 N，FB＝k＝8.0×10－21 N。由矢量的平行四边形定则和几何知识得静止放在C点的电子受到的库仑力F＝FA＝FB＝8.0×10－21 N，方向平行于AB连线水平向左。
素养训练
1.B 要使C处的正点电荷所受静电力方向平行于AB向左，该正点电荷所受力的情况应如图所示，所以A带负电，B带正电。设A、C间的距离为L，则B、C间的距离为2L。FBsin 30°＝FA，即k·sin 30°＝，解得＝，故B正确。
2.B 根据“同种电荷相互排斥、异种电荷相互吸引”规律，确定金属小球c受到a和b的静电力的方向，考虑a的带电荷量小于b的带电荷量，根据平行四边形定则求合力如图所示，故B正确。
要点三
知识精研
【典例3】 负电荷 q1 在a、b连线上，与a相距30 cm，与b相距10 cm
解析：设c与a相距x，则c、b相距0.4 m－x，设c的电荷量为q3，根据二力平衡可列平衡方程。
a平衡，则k＝k
b平衡，则k＝k
c平衡，则k＝k
解其中任意两个方程，可解得x＝0.3 m（c在a、b连线上，与a相距30 cm，与b相距10 cm），q3＝q2＝q1（q1、q2为正电荷，q3为负电荷）。
拓展训练
提示：由点电荷c处于平衡状态知k＝k，q3可以约掉，即对q3的电性和电荷量无要求，位置应放在与a相距30 cm，与b相距10 cm处。只要q3放到正确的位置，无论其带何种电荷，电荷量是多少，q3受到q1、q2的库仑力总是等大反向，合力为0（该点电场强度为0，所有电荷放在该处均平衡，此知识点第3节学习）。
【教学效果·勤检测】
1.D 由带电体看作点电荷的条件可知，当带电体的形状、大小及电荷分布对它们间相互作用力的影响可忽略时，这个带电体可看作点电荷，带电体能否看作点电荷由研究问题的性质决定，与带电体自身大小、形状无关，故A、B、C错误；当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，两带电体的大小、形状及电荷分布对两带电体间相互作用力的影响可忽略不计，因此可将这两个带电体看成点电荷，故D正确。
2.B 在A处放电荷量为＋q的点电荷时，B处的点电荷所受库仑力大小为F＝；在C处放一电荷量为－2q的点电荷时，B处的点电荷所受库仑力大小为F'＝＝＝＝，且不管B处的电荷是正还是负，两种情况下受力方向相同，故B正确，A、C、D错误。
3.AC 若A、B两球带等量的同种电荷，电荷量都为Q，则让第三个半径相同的不带电的金属小球先后与A、B两球接触后移开，A、B两球所带的电荷量大小分别为、，则接触后A、B两球的电荷量之比为2∶3；若A、B两球带等量的异种电荷，电荷量大小都为Q，则让第三个半径相同的不带电的金属小球先后与A、B两球接触后移开，A、B两球所带的电荷量大小分别为、，则接触后A、B两球的电荷量之比为2∶1。故选A、C。
4.180 N，沿∠BAC的角平分线
解析：点电荷B、C对点电荷A的静电力大小相等，为FBA＝FCA＝＝ N＝180 N，如图所示，A受大小相等的两个静电力，两静电力夹角为60°，由平行四边形定则和几何知识得A受到的静电力的合力大小为F＝2FBAcos 30°＝2×180× N＝180 N，方向沿∠BAC的角平分线。
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第2节 库仑定律
核
心
素
养
目
标 物理
观念 明确点电荷是理想模型，知道带电体能看作点电荷的条件，知道库仑定律的文字表述及其公式表达
科学
思维 理解理想模型法，培养将实际问题进行简化抽象建立物理模型的能力
科学
探究 经历科学探究的过程，通过控制变量法探究实验，体验科学探究的思维方法，培养观察、分析的能力
科学态度 与责任 通过静电力与万有引力的对比，体会自然规律的多样性和统一性
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一 点电荷
1. 静电力
（1）定义： 间的相互作用力，称为静电力。
（2）影响静电力大小的因素：带电体的形状、大小、
、电荷分布、 等。
电荷
电荷
量
二者间的距离
2. 点电荷
（1）当带电体本身的 比它与其他带电体之间的距
离 得多，以至于其 、 及电荷分布等
因素对它与其他带电体之间相互作用的影响可忽略时，这样
的带电体称为点电荷。
（2）点电荷是只有 、没有大小的几何点，两个视为
点电荷的带电体之间的距离就是这两个 之间的
距离。
大小
小
形状
大小
电荷量
几何点
知识点二 两点电荷间的静电力
1. 库仑定律
（1）内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力F的大小，
与它们的电荷量Q1、Q2的乘积成 ，与它们的距离r的
二次方成 ；作用力的方向沿着它们的连线，同种电
荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
（2）表达式：F＝k，式中k叫作静电力常量，k的数值是
9.0×109 N·m2/C2。
（3）适用条件：真空中的点电荷。
正比
反比
2. 静电力叠加原理
对于两个以上的点电荷，其中每一个点电荷所受的总的静电力，等
于其他点电荷分别单独存在时对该点电荷的作用力的 。
矢量和
【情景思辨】
在探究影响电荷之间相互作用力大小因素的过程中，老师做了如图
所示的实验。O是一个带正电的导体球，将同一带电小球用绝缘细丝
线分别挂在P1、P2、P3位置，调节丝线长度，使小球与带电导体球O
的球心保持在同一水平线上，发现小球静止时细丝线与竖直方向的夹
角不同，且θ1＞θ2＞θ3。关于这个实验，判断下列说法的正误。
（1）通过该实验现象可知，小球带正电。 （ √ ）
（2）该实验可以研究电荷间相互作用力大小与它们之间距离是否有
关。 （ √ ）
（3）该实验中细丝线与竖直方向的夹角越大，表示电荷之间的相互
作用力越弱。 （ × ）
（4）通过该实验现象可知，电荷之间的相互作用力大小与电荷之间
的距离的平方成反比。 （ × ）
√
√
×
×
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一 库仑定律的理解与应用
【解读】
1. 库仑定律的适用条件
（1）真空。
（2）静止点电荷。
这两个条件都是理想化的，在空气中库仑定律也近似成立。
2. 静电力的大小计算和方向判断
（1）大小计算
利用库仑定律计算大小时，不必将表示电性的正、负号代入
公式，只代入q1、q2的绝对值即可。
（2）方向判断
在两电荷的连线上，同种电荷相斥，异种电荷相吸。
3. 库仑定律与万有引力定律的比较
定律 比较内容 万有引力定律 库仑定律
公式 F＝ F＝
力的性质 只要有质量，就有引力，因此称为万有引力，两物体间的万有引力总是引力 存在于电荷间，两带电体
的库仑力由电荷的性质决
定，既有引力，也有斥力
定律 比较内容 万有引力定律 库仑定律
正比关系 吸引力与它们质量的乘积成正比 库仑力与它们电荷量的乘
积成正比
相似 之处 遵从牛顿第三定律
与距离的平方成反比
都有一个常量
说明：对于微观的带电粒子，它们之间的库仑力要比万有引力
大得多。电子和质子的静电引力是它们间万有引力的2.3×1039
倍，正因如此，以后在研究带电微粒间的相互作用时，可以忽
略万有引力。
【典例1】 两个分别带有电荷量－Q和＋3Q的相同金属小球（均可
视为点电荷），固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F。两
小球相互接触后将其固定距离变为，则两球间库仑力的大小为（ ）
A. F B. F
C. F D. 12F
解析：由库仑定律知F＝k，当两小球接触后，带电荷量都为Q，故
接触后库仑力F'＝＝k，由以上两式解得F'＝F，故C正确。
1. （多选）对于库仑定律，下列说法正确的是（ ）
A. 凡计算真空中两个静止点电荷间的相互作用力，就可以使用公式F
＝k
B. 两个带电小球即使相距非常近，也能用库仑定律
C. 相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们之间
的库仑力大小一定相等
D. 当两个半径为r的带电金属球中心相距为4r时，对于它们之间的静
电作用力大小，只取决于它们各自所带的电荷量
解析： 库仑定律公式F＝k的适用条件是真空中静止的
点电荷，故A正确；两带电小球相距很近时，不能看作点电
荷，公式F＝k不适用，故B错误；相互作用的点电荷间的库
仑力也是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，故C
正确；当两带电球本身的半径不满足远小于它们间的距离时，
就不能看作点电荷，公式F＝k 不再适用，库仑力还与它们
的电荷分布有关，故D错误。
2. 如图所示，两个质量均为m的材质、大小相同的金属球壳a和b，其
壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支架上，两球心间
的距离l是球半径的3倍。若使它们带上等量异种
电荷，使其电荷量的绝对值均为Q，那么下列关
于a、b之间的万有引力F引和静电力F电的表达式
正确的是（ ）
A. F引＝G，F电＝k B. F引≠G，F电≠k
C. F引≠G，F电＝k D. F引＝G，F电≠k
解析： a、b所带的异种电荷相互吸引，所以它们各自的电荷分
布不均匀，相互靠近的一侧电荷分布比较密集。又l＝3r，不满足
l r的要求，故不能将带电球壳看成点电荷，所以不能应用库仑定
律计算a、b间的静电力，故F电≠k。万有引力定律适用于两个可
看成质点的物体，虽然本题中不满足l r，但由于a、b两球壳的壳
层厚度和质量分布均匀，故两球壳可看作质量集中于球心的质点，
所以可以应用万有引力定律计算a、b间的万有引力，故F引＝
G，故D正确。
要点二 静电力的矢量合成
【解读】
1. 两个或三个以上点电荷对某一点电荷的作用力，等于各点电荷单独
对这个点电荷的作用力的矢量和。这个结论叫作静电力叠加原理。
2. 静电力具有力的一切性质，静电力叠加原理实际上就是力叠加原理
的一种具体表现。
3. 库仑力是矢量，若电荷受到的两个库仑力不在同一直线上，合成遵循平行四边形定则，如图所示。
【典例2】 如图所示，分别在A、B两点放置电荷量为Q1＝＋2×10－
14 C和Q2＝－2×10－14 C的两点电荷。在AB的垂直平分线上有一点C，
且AB＝AC＝BC＝6×10－2 m。如果有一电子静止放在C点处，则它所
受的库仑力的大小和方向如何？
答案：8.0×10－21 N 方向平行于AB连线水平向左
解析：电子带负电荷，在C点同时受A、B两处点电荷的作
用力FA、FB，如图所示。由库仑定律F＝k得，FA＝
k＝9.0×109× N＝8.0×10－21 N，FB
＝k＝8.0×10－21 N。由矢量的平行四边形定则和几何
知识得静止放在C点的电子受到的库仑力F＝FA＝FB＝
8.0×10－21 N，方向平行于AB连线水平向左。
1. 如图所示，直角三角形ABC中∠B＝30°，A、B处的点电荷所带电
荷量分别为QA、QB，测得在C处的某正点电荷所受静电力方向平行
于AB向左，则下列说法正确的是（ ）
A. A处的点电荷带正电，QA∶QB＝1∶8
B. A处的点电荷带负电，QA∶QB＝1∶8
C. A处的点电荷带正电，QA∶QB＝1∶4
D. A处的点电荷带负电，QA∶QB＝1∶4
解析： 要使C处的正点电荷所受静电力方向
平行于AB向左，该正点电荷所受力的情况应如
图所示，所以A带负电，B带正电。设A、C间
的距离为L，则B、C间的距离为2L。FBsin 30°
＝FA，即k·sin 30°＝，解得＝
，故B正确。
2. 如图所示，三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三
个顶点上。a和c带正电，b带负电，a所带的电荷量比b所带的电荷
量小。已知c受到a和b的静电力的合力可用图中四条有向线段中的
一条来表示，它应是（ ）
A. F1 B. F2
C. F3 D. F4
解析： 根据“同种电荷相互排斥、异种电荷相互吸引”规律，确定金属小球c受到a和b的静电力的方向，考虑a的带电荷量小于b的带电荷量，根据平行四边形定则求合力如图所示，故B正确。
要点三 三个自由点电荷的平衡问题
【解读】
1. 平衡条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向
相反。
2. 规律
3. 解题思路：解决三个自由点电荷的平衡问题时，首先应根据三个自
由点电荷的平衡问题的规律确定出点电荷的电性和大体位置。求点
电荷间的距离时，对未知电荷量的电荷列平衡方程；求未知电荷的
电荷量时，对其中任意已知电荷量的电荷列平衡方程求解。
【典例3】 a、b两个点电荷相距40 cm，电荷量分别为q1、q2，且q1
＝9q2，都是正电荷。现引入点电荷c，这时a、b、c电荷恰好都处于平
衡状态。试问：点电荷c的带电性质是怎样的？电荷量为多大？它应
该放在什么地方？
答案：负电荷 q1 在a、b连线上，与a相距30 cm，与b相
距10 cm
解析：设c与a相距x，则c、b相距0.4 m－x，设c的电荷量为q3，根据
二力平衡可列平衡方程。
a平衡，则k＝k
b平衡，则k＝k
c平衡，则k＝k
解其中任意两个方程，可解得x＝0.3 m（c在a、b连线上，与a相距30
cm，与b相距10 cm），q3＝q2＝q1（q1、q2为正电荷，q3为负电
荷）。
【拓展训练】
【典例3】中，若a、b两个电荷固定，引入点电荷c，要使c处于平衡
状态，点电荷c的带电性质是怎样的？电荷量为多大？它应该放在什
么地方？
提示：由点电荷c处于平衡状态知k＝k，q3可以约掉，
即对q3的电性和电荷量无要求，位置应放在与a相距30 cm，与b相距
10 cm处。只要q3放到正确的位置，无论其带何种电荷，电荷量是多
少，q3受到q1、q2的库仑力总是等大反向，合力为0（该点电场强度为
0，所有电荷放在该处均平衡，此知识点第3节学习）。
要点回眸
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 下列对点电荷的认识，正确的是（ ）
A. 只有体积很小的带电体才能看成点电荷
B. 体积很大的带电体一定不能看成点电荷
C. 只有球形带电体才能看成点电荷
D. 当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，可将这两个带电
体看成点电荷
解析： 由带电体看作点电荷的条件可知，当带电体的形状、大
小及电荷分布对它们间相互作用力的影响可忽略时，这个带电体可
看作点电荷，带电体能否看作点电荷由研究问题的性质决定，与带
电体自身大小、形状无关，故A、B、C错误；当两个带电体的大
小远小于它们之间的距离时，两带电体的大小、形状及电荷分布对
两带电体间相互作用力的影响可忽略不计，因此可将这两个带电体
看成点电荷，故D正确。
2. A、B、C三点在同一直线上，AB∶BC＝1∶2，B点位于A、C之
间，在B处固定一电荷量为Q的点电荷。当在A处放一电荷量为＋q
的点电荷时，B处的点电荷所受到的库仑力为F；移去A处电荷，在
C处放一电荷量为－2q的点电荷，B处的点电荷所受库仑力为（ ）
A. － B.
C. －F D. F
解析： 在A处放电荷量为＋q的点电荷时，B处的点电荷所受库
仑力大小为F＝；在C处放一电荷量为－2q的点电荷时，B处的
点电荷所受库仑力大小为F'＝＝＝＝，且不管
B处的电荷是正还是负，两种情况下受力方向相同，故B正确，A、
C、D错误。
3. （多选）半径相同的两个金属小球A、B带有相等的电荷量，相隔
一定的距离，现让第三个半径相同的不带电的金属小球先后与A、
B接触后移开。这时，A、B两球的电荷量之比可能为（ ）
A. 2∶3 B. 3∶2
C. 2∶1 D. 1∶2
解析： 若A、B两球带等量的同种电荷，电荷量都为Q，则让
第三个半径相同的不带电的金属小球先后与A、B两球接触后移
开，A、B两球所带的电荷量大小分别为、，则接触后A、B两球
的电荷量之比为2∶3；若A、B两球带等量的异种电荷，电荷量大
小都为Q，则让第三个半径相同的不带电的金属小球先后与A、B两
球接触后移开，A、B两球所带的电荷量大小分别为、，则接触
后A、B两球的电荷量之比为2∶1。故选A、C。
4. 如图所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点
上，已知三角形的边长为1 cm，B、C所带电荷量为qB＝qC＝＋
1×10－6 C，A所带电荷量为qA＝－2×10－6 C，静电力常量k＝
9.0×109 N·m2/C2，问A所受B、C两个电荷的静电力的合力F的大小
和方向如何？
答案：180 N，沿∠BAC的角平分线
解析：点电荷B、C对点电荷A的静电力大小相等，为FBA＝FCA＝＝ N＝180 N，如图所示，A受大小相等的两个静电力，两静电力夹角为60°，由平行四边形定则和几何知识得A受到的静电力的合力大小为F＝2FBAcos 30°＝2×180× N＝180 N，方向沿∠BAC的角平分线。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 关于点电荷，下列说法中正确的是（ ）
A. 点电荷一定带正电
B. 球形带电体一定可以视为点电荷
C. 带电少的带电体一定可以视为点电荷
D. 大小和形状对作用力的影响可忽略的带电荷可以视为点电荷
解析： 带电体被看成点电荷的条件是带电体的大小远小于电荷
间的距离，与带电体的电性、形状、所带电荷量的多少都无直接关
系，故A、B、C错误，D正确。
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2. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 法国物理学家库仑发现了电荷之间的相互作用规律
B. 若点电荷q1的电荷量大于点电荷q2的电荷量，则q1对q2的静电力大
于q2对q1的静电力
C. 凡计算真空中两个静止点电荷间的相互作用，都可以使用公式F＝
k
D. 根据F＝k可知，当r→0时，F→∞
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解析： 法国物理学家库仑发现了电荷之间的相互作用规律，
故A正确；两点电荷之间的作用力是相互的，根据牛顿第三定律可
知，无论点电荷q1的电荷量与点电荷q2的电荷量大小关系如何，q1
对q2的静电力大小总等于q2对q1的静电力大小，故B错误；库仑定
律的适用条件是真空和静止点电荷，如果在研究的问题中，带电体的形状、大小以及电荷分布可以忽略不计，即可将它看成一个几何点，则这样的带电体就是点电荷，一个实际的带电体能否看成点电荷，不仅和带电体本身有关，还取决于问题的性质和精度的要求，故C正确；当r→0时，带电体不能看成点电荷，公式F＝k不再适用，故D错误。
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3. 两个完全相同的小金属球（皆可视为点电荷），所带电荷量之比为
5∶1，它们在相距一定距离时相互作用的吸引力为F1，如果让它们
充分接触后再放回各自原来的位置上，此时相互作用力变为F2，则
F1∶F2为（ ）
A. 5∶2 B. 5∶4
C. 5∶6 D. 5∶9
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解析： 因开始时两球吸引，则为异种电荷，设两球带电荷量分
别为5q、－q，开始时F1＝k＝；接触后两球各带电荷量q1＝
q2＝＝2q，则F2＝k＝，则F1∶F2＝5∶4，故B正确。
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4. 如图所示，在一条直线上的三点分别放置电荷量QA＝＋3×10－9
C、QB＝－4×10－9 C、QC＝＋3×10－9 C的A、B、C点电荷，则作
用在点电荷A上的库仑力的大小为（ ）
A. 9.9×10－4 N B. 9.9×10－3 N
C. 1.17×10－4 N D. 2.7×10－4 N
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解析： A受到B、C两点电荷的库仑力，如图所示。根据库仑定律有FBA＝＝ N＝1.08×10－3 N，FCA＝＝ N＝9×10－5 N，规定沿这条
直线由A指向C为正方向，则点电荷A受到的合力大小为FA＝FBA－FCA＝（1.08×10－3－9×10－5）N＝9.9×10－4 N，故A正确。
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5. 两个半径均为R的带电金属球所带电荷量分别为q1和q2，当两球心
相距3R时，相互作用的库仑力大小为（ ）
A. F＝k B. F＞k
C. F＜k D. 无法确定
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解析： 因为两球心的距离不比球的半径大得多，所以两带
电金属球不能看作点电荷，必须考虑电荷在球上的实际分布。
当q1、q2是异种电荷时，相互吸引，电荷分布于最近的两侧，
电荷中心距离小于3R，所以F＞k；当q1、q2是同种电荷
时，相互排斥，电荷分布于最远的两侧，电荷中心距离大于
3R，所以F＜k，故D正确。
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6. 如图所示，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab
＝8 cm、ac＝6 cm、bc＝10 cm，小球c所受静电力合力的方向平行
于ab的连线斜向下。关于小球a、b的电性及所带电荷量比值的绝对
值n，下列说法正确的是（ ）
A. 同种电荷，n＝ B. 同种电荷，n＝
C. 异种电荷，n＝ D. 异种电荷，n＝
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解析： 由题意知∠c＝53°，∠a＝90°，
由小球c所受静电力合力的方向知a、b带异种电
荷，小球a、b对小球c的作用力如图所示。
Fa＝ ①
Fb＝ ②
cos 53°＝ ③
由①②③得：n＝＝，故D正确。
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7. 如图所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点
上，已知A、B都带正电荷，A所受B、C两个电荷的静电力的合力
如图中FA所示，则下列说法正确的是（ ）
A. C带正电，且QC＜QB
B. C带正电，且QC＞QB
C. C带负电，且QC＜QB
D. C带负电，且QC＞QB
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解析： 因A、B都带正电，所以静电力表现为斥力，即B对A的
作用力沿BA的延长线方向，而不论C带正电还是带负电，A和C的
作用力方向都必须在AC连线上，由平行四边形定则知，合力必定
为以两个分力为邻边所做平行四边形的对角线，所以A和C之间必
为引力，且FCA＜FBA，所以C带负电，且QC＜QB。故C正确。
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8. 如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其
中a和b的电荷量均为＋q，c和d的电荷量均为－q。静电力常量为
k，求a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力。
答案：
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解析：和b电荷量为＋q，c和d电荷量为－q，则c、d电荷对a电
荷的静电力为引力，b电荷对a电荷的静电力为斥力。根据库仑
定律可得
Fca＝，Fba＝Fda＝
b、d电荷对a电荷的合力为F合＝，其方向与c电荷对a电荷
的静电力的夹角为90°
根据力的合成法则，a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力
大小F＝＝。
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9. 如图所示，三个绝缘带电小球A、B、C处于竖直平面内，三个小球
的连线构成直角三角形，∠A＝90°，∠B＝60°。用竖直向上的
力F作用在小球A上，三个小球恰好处于静止状态。下列关于三个
小球所带电荷量的关系中正确的是（ ）
A. qA＝qC B. qA＝qB
C. ＝qBqC D. qB＝qC
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解析： 由平衡条件可知，A、B间和A、C间必是引力，B、C间必是斥力，故B、C带同种电荷，电性与A相反，对B球受力分析，如图所示
由平衡条件可得FABcos 60°＝FBC
同理对于C球满足FACcos 30°＝FBC
设A、B距离为l，则A、C距离为l，B、C距离为2l，由库仑定律可得FAB＝k、FAC＝k、FBC＝k，联立可得qA∶qB∶qC＝
∶2∶2，故D正确。
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10. 如图甲所示，光滑绝缘水平面上固定金属小球A，用原长为L0的绝
缘弹簧将A与另一个金属小球B连接，让它们带上等量同种电荷，
弹簧伸长量为x1，若两球电荷量各漏掉一半，弹簧伸长量变为
x2，如图乙所示，则有（ ）
A. x2＝x1 B. x2＝x1
C. x2＞x1 D. x2＜x1
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解析： 静电力等于弹力，两球电荷量各减半时，若不考虑两
球间距离的变化对静电力的影响，静电力减为原来的，则x2＝
x1，但实际上两球间距离减小后静电力会增大，故正确答案是x2
＞x1，C正确。
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11. 同一直线上的三个点电荷q1、q2、q3，恰好都处于平衡状态。除相
互作用的静电力外不受其他外力作用，如图所示，已知q1、q2间
的距离是q2、q3距离的2倍，则：
（1）q1、q2、q3各带什么电，列举出各种可能性；
答案：q1正q2负q3正或q1负q2正q3负
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解析：三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，近小远大”原理，即两边的电荷电性相同且和中间的电性相反，则q1、q3电性一定相同，q2电性与前两者相反，可得q1正q2负q3正或q1负q2正q3负。
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（2）q1、q2、q3的电荷量大小之比是多少。
答案：36∶4∶9
解析：由平衡条件得k＝k，k＝
k，联立得q1∶q2∶q3＝36∶4∶9。
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12. 如图所示，△abc处在真空中，边长分别为ab＝5 cm，bc＝3
cm，ca＝4 cm。三个带电小球固定在a、b、c三点，电荷量分
别为qa＝6.4×10－12 C，qb＝－2.7×10－12 C，qc＝1.6×10－
12 C。已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，求c点小球所受
库仑力的大小及方向。
答案：7.2×10－11 N 方向平行于ab连线向右
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解析：如图所示，由几何关系知，ac⊥bc，△abc为直角三角形。a、b两点处的带电小球对c点处的小球的库仑力分别为
Fac＝k＝5.76×10－11 N
Fbc＝k＝4.32×10－11 N
由平行四边形定则得F＝＝7.2×10－11 N
＝0.6，由几何关系知c点小球所受库仑力方向平行于ab连线向右。
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