习题课一 电场中的平衡和运动轨迹问题
1.如图所示，一个绝缘半圆环上均匀分布有同种电荷，固定在绝缘水平面上，在圆弧的圆心处放有一个点电荷，点电荷受到的电场力为F，若截走圆弧的，则圆心处的点电荷受到的电场力大小变为（ ）
A.F B.F C.F D.F
2.如图甲、乙所示，两个带电荷量均为q的点电荷分别位于带电荷量线密度相同、半径相同的半圆环和圆环的圆心，环的粗细可忽略不计。若图甲中环对圆心点电荷的库仑力大小为F，则图乙中环对圆心点电荷的库仑力大小为（ ）
A.F B.F
C.F D.F
3.如图所示，质量为m的带电小球A悬挂在绝缘细线上，且处在电场强度为E的水平匀强电场中，当小球A静止时，细线与竖直方向成30°角，则小球所带的电荷量应为（ ）
A. B.
C. D.
4.如图所示，带正电的小球a在外力作用下静止在绝缘光滑竖直面上的P点，带正电的小球b用绝缘细线系住，挂在绝缘光滑竖直面上的O点，b球静止时与a球在同一水平面内。若将小球a从P点缓慢移到C点过程中，小球b所受的库仑力大小（ ）
A.逐渐增大 B.逐渐减小
C.保持不变 D.先减小后增大
5.（多选）某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受静电力作用，由M运动到N，其运动轨迹如图中虚线所示，以下说法正确的是（ ）
A.粒子必定带正电荷
B.粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度
C.粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
D.粒子在M点的动能小于它在N点的动能
6.如图所示，光滑绝缘水平面上有质量分别为m和2m的小球A、B，两小球带异种电荷。将方向水平向右、大小为F的力作用在B上，当A、B间的距离为L时，两小球可保持相对静止。若改用方向水平向左的力作用在A上，欲使两小球间的距离保持为2L并相对静止，则外力的大小应为（ ）
A.F B.F C.F D.F
7.如图所示，在竖直空间A点固定一带电荷量Q＝1×10－7 C的正点电荷甲，另一带电荷量q＝2×10－7 C的正点电荷乙从A点正上方H＝0.5 m的C点由静止释放，乙释放时的加速度大小为6.4 m/s2，乙运动过程中速度最大位置在B点。若静电力常量k＝9×109 N·m2/C2，重力加速度大小g取10 m/s2，则点电荷乙的质量m和A、B间的距离h分别为（ ）
A.m＝2×10－4 kg；h＝0.30 m
B.m＝2×10－4 kg；h＝0.35 m
C.m＝1×10－4 kg；h＝0.30 m
D.m＝1×10－4 kg；h＝0.35 m
8.（多选）如图所示，电荷量为Q的均匀带电圆盘竖直固定，质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为试探电荷）通过绝缘轻质细线悬挂于天花板上，小球静止时，细线与竖直方向成θ角，小球位于圆盘中心轴线上且与圆盘中心相距d，静电力常量为k，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A.带电圆盘在小球处产生的电场方向沿中心轴线向右
B.小球与带电圆盘间的静电作用力大小为k
C.带电圆盘在小球处产生的电场强度大小为
D.若带电小球的电荷量突然消失，则带电圆盘在小球处产生的电场也将消失
9.如图所示，质量分别为m1、m2的两个带同种电荷的小球A、B，分别用长为l的绝缘细线悬挂在同一点O，两细线与竖直方向各成一定的角度α、β，两小球用一绝缘轻质弹簧相接，A、B球连线与过O点竖直线交于C点，初始时刻弹簧处在压缩状态，现增加A球的电荷量，下列说法中正确的是（ ）
A.两细线的拉力之比变大 B.两细线的夹角不变
C.AC与BC的长度之比不变 D.OC长度一定变大
10.（多选）如图所示，带箭头的曲线表示某一电场中的电场线的分布情况。一带电粒子在电场中运动的轨迹如图中虚线所示。若只考虑静电力的情况下，则下列判断中正确的是（ ）
A.若粒子是从A运动到B，则粒子带正电；若粒子是从B运动到A，则粒子带负电
B.不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电
C.若粒子是从B运动到A，则其加速度减小
D.若粒子是从B运动到A，则其速度减小
11.如图所示，用两根绝缘线把两个小球悬挂起来，a球电荷量为＋q，b球电荷量为－2q，若两球间的库仑力远小于b球的重力，且两根线都处于绷紧状态，现加一水平向左的匀强电场，待平衡时，表示平衡状态的图是（ ）
12.如图所示，半径为R的导体环的顶端有一宽为l的小狭缝A，且满足l远小于R，在导体环上均匀分布着总电荷量为q的负电荷。已知静电力常量为k，则下列说法正确的是（ ）
A.导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由A指向O
B.导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由O指向A
C.导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由O指向A
D.导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由A指向O
13.如图所示，水平粗糙绝缘杆从物体A中心的孔穿过，A的质量为M，用绝缘细线将另一质量为m的小球B与A连接，整个装置所在空间存在水平向右的匀强电场E，A不带电，B带正电且电荷量大小为q，A、B均处于静止状态，细线与竖直方向成θ角，则（ ）
A.细线中张力大小为mgcos θ
B.细线中张力大小为
C.杆对A的摩擦力大小为qE
D.杆对A的支持力大小为Mg
14.如图所示，长l＝1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电荷量q＝1.0×10－6 C，匀强电场的电场强度E＝3.0×103 N/C，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
（1）小球的质量；
（2）若剪断细绳，则经过1 s小球获得的速度大小；
（3）若撤去电场，则小球到达最低点对细绳的拉力大小。
习题课一 电场中的平衡和运动轨迹问题
1.A 根据对称性可知圆环左、右半部分对点电荷的电场力大小相等（设为F0），方向与竖直方向夹角均为45°，根据力的合成可得F0＝F，解得F0＝F，故选A。
2.C 由题图甲中均匀带电半圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F，可以得出圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F。将题图乙中的均匀带电圆环分成三个圆环，关于圆心对称的两个圆环对圆心点电荷的库仑力的合力为零，因此题图乙中的圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F，故C正确，A、B、D错误。
3.A 小球受到三个力作用：重力mg、电场力F和细线的拉力FT，根据平衡条件得知，F和FT的合力与重力mg大小相等、方向相反， 根据平衡条件可得tan 30°＝＝，解得q＝，故A正确，B、C、D错误。
4.B 设细线长为L，O、P间距离为h，两球间距为x，对小球b受力分析，如图所示，在小球a缓慢下移过程，由相似三角形可得＝，两电荷间库仑力为F＝k，联立可得＝k，由h变大可知x变大，则F变小，故B正确。
5.ACD 根据粒子运动轨迹弯曲的情况，可以确定粒子所受静电力的方向沿着电场线方向，故此粒子必定带正电荷，A正确；由于电场线越密电场强度越大，带电粒子所受静电力就越大，根据牛顿第二定律可知其加速度也越大，故此粒子在N点的加速度较大，B错误，C正确；粒子从M点到N点，静电力的方向与运动方向之间的夹角是锐角，静电力做正功，根据动能定理得此粒子在N点的动能较大，D正确。
6.B 当方向水平向右、大小为F的力作用在B上，A、B间的距离为L时，对A、B组成的整体，有F＝3ma1，对小球A，有＝ma1，若改用方向水平向左的力作用在A上，两小球间的距离保持为2L并相对静止时，对A、B组成的整体，有F'＝3ma2，对小球B，有＝2ma2，联立可得F'＝F，B正确，A、C、D错误。
7.A 乙释放时，根据牛顿第二定律有mg－k＝ma，解得点电荷乙的质量m＝2×10－4 kg，当点电荷乙受到合力为零时速度最大，则A、B间的距离h满足mg＝k，解得h＝0.30 m，故A正确，B、C、D错误。
8.AC 根据电场的叠加及对称性可知带电圆盘在小球处产生的电场方向沿中心轴线，又因为小球的受力情况，可知电场力方向水平向右，小球带正电，正电荷受力方向与电场强度方向一致，故带电圆盘在小球处产生的电场方向沿中心轴线向右，A正确；圆盘不是点电荷，无法直接用库仑定律计算静电力，B错误；小球受力情况如图所示。由平衡条件可知小球受到的静电力为F＝mgtan θ，故此处的电场强度为E＝＝，C正确；电场是否消失与场源电荷有关，与试探电荷无关，故若带电小球的电荷量突然消失，带电圆盘在小球处产生的电场不会消失，D错误。
9.C 对两小球受力分析如图所示。
F1、F1'为A、B两小球之间的库仑力，F2、F2'为两小球之间的弹簧弹力，满足F＝F1＋F2＝F'＝F1'＋F2'，对A球受力分析，F、T1、m1g三力满足相似三角形，则有＝＝，同理对B球亦有＝＝，A球的电荷量增大时两球距离会增大，夹角α、β增大，但仍有＝，＝，绳长不变，C点上移，OC长度变小。故C正确。
10.BC 根据做曲线运动的物体所受合外力指向运动轨迹的凹侧，可知静电力与电场线的方向相反，所以不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电，故A错误，B正确；电场线密的地方电场强度大，所以粒子在B点时受到的静电力大，在B点时的加速度较大，若粒子是从B运动到A，则其加速度减小，C正确；从B到A过程中静电力与速度的方向成锐角，速度增大，D错误。
11.C 以a、b整体为研究对象，整体电荷量相当于 －q，水平方向受向右的静电力，上面的线向右倾斜；以b球为研究对象，带负电荷，受向右的静电力，下面的线也是向右倾斜，故选C。
12.D 该导体环可认为是从封闭的导体环上取下宽为l的一小段后的剩余部分，对宽为l的一小段导体分析，由于l远小于R，因此可视为点电荷，其在圆心O处产生的电场强度大小为E＝＝，又因为宽为l的一小段导体带负电荷，故电场强度方向由O指向A。根据对称性知，封闭的导体环在圆心O处产生的合电场强度为0，所以宽为l的一小段导体在圆心O处产生的电场强度与该导体环在圆心O处产生的电场强度大小相等、方向相反，则导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由A指向O，A、B、C错误，D正确。
13.C 对小球B进行受力分析，受力示意图如图甲所示，由于B小球处于静止状态，根据平衡条件可得T＝或T＝，故A、B错误；对物体A和小球B整体进行受力分析，受力示意图如图乙所示，由于整体处于静止状态，根据平衡条件可得f＝qE，N＝Mg＋mg，故C正确，D错误。
14.（1）4×10－4 kg （2）12.5 m/s （3）5.6×10－3 N
解析：（1）小球静止，根据平衡条件可知tan 37°＝
解得m＝＝ kg＝4×10－4 kg。
（2）剪断细绳，根据牛顿第二定律有＝ma
解得a＝＝ m/s2＝12.5 m/s2
经过1 s后小球获得的速度为
v1＝at1＝12.5×1 m/s＝12.5 m/s。
（3）撤去电场，小球从静止落到最低点的过程，有
mgl（1－cos 37°）＝mv2
小球在最低点时，有T－mg＝m
解得T＝mg＋m＝mg＋＝5.6×10－3 N。
根据牛顿第三定律知小球到达最低点时对细绳的拉力T'＝T＝5.6×10－3 N。
2 / 2习题课一 电场中的平衡和运动轨迹问题
核心 素养 目标 科学思维 1.能根据电场的叠加原理解决电荷的受力平衡问题和运动问题。 2.会分析电场线与轨迹相结合的问题。 3.会用对称法和补偿法分析非点电荷产生的电场问题
要点一 库仑力作用下的平衡
【解读】
1.库仑力作用下的平衡问题
库仑力作用下的平衡问题，可能是只有库仑力，也可能有其他力，但其本质都是平衡问题。解题的关键是进行受力分析并列出平衡方程。
2.“三步”处理库仑力作用下的平衡问题
库仑力作用下电荷的平衡问题与力学中物体的平衡问题处理方式相同，也就是将力进行合成与分解。
【典例1】
竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A、B带同种电荷。现用水平向左的推力F作用于小球B，两球分别静止在竖直墙和水平地面上，如图所示。如果将小球B向左推动少许，当两球重新达到平衡时，与原来平衡状态相比较（ ）
A.地面对小球B的支持力不变
B.两小球之间的距离不变
C.竖直墙面对小球A的弹力变大
D.小球A的位置在原来位置的下方
尝试解答
如图，质量分别为mA和mB的两小球带有同种电荷，电荷量分别为qA和qB，用绝缘细线悬挂在天花板上。平衡时，两小球恰处于同一水平位置，细线与竖直方向间夹角分别为θ1与θ2（θ1＞θ2）。两小球突然失去各自所带电荷后开始摆动，最大速度分别为vA和vB，最大动能分别为EkA和EkB，则（ ）
A.mA∶mB＝tan θ1∶tan θ2
B.qA∶qB＝1∶1
C.vA∶vB＝ ∶
D.EkA∶EkB＝tan ∶tan
要点二 库仑力作用下的运动
【解读】
【典例2】
如图所示，光滑绝缘水平面上两个相同的带电小圆环A、B，电荷量均为q，质量均为m，用一根光滑绝缘轻绳穿过两个圆环，并系于结点O。在O处施加一水平恒力F使A、B一起加速运动，轻绳恰好构成一个边长为l的等边三角形，则（ ）
A.小环A的加速度大小为
B.小环A的加速度大小为
C.恒力F的大小为
D.恒力F的大小为
尝试解答
如图所示，质量均为m、带等量异种电荷的A、B两个小球放在光滑绝缘的固定斜面上，给B球施加沿斜面向上、大小为F＝2mg（g为重力加速度）的拉力，结果A、B两球以相同的加速度向上做匀加速运动，且两球保持相对静止，两球间的距离为L，小球大小忽略不计，斜面的倾角θ＝30°，静电力常量为k。求：
（1）两球一起向上做加速运动的加速度大小；
（2）A球所带的电荷量。
要点三 电场线和带电粒子运动轨迹问题
【解读】
1.带电粒子做曲线运动时，合力指向轨迹曲线的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向。
2.分析方法
（1）由轨迹的弯曲情况结合电场线确定电场力的方向。
（2）由电场力和电场线的方向可判断带电粒子所带电荷的正负。
（3）由电场线的疏密程度可比较电场力的大小，再根据牛顿第二定律F＝ma可判断带电粒子加速度的大小。
【典例3】
某电场的电场线分布如图所示，虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则（ ）
A.粒子一定带负电
B.粒子一定是从a点运动到b点
C.粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度
D.粒子在c点的速度一定大于在a点的速度
尝试解答
如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M点以相同速度垂直于电场线方向飞出a、b两个带电粒子，仅在静电力作用下的运动轨迹如图中虚线所示，则（ ）
A.a一定带正电，b一定带负电
B.a的速度将减小，b的速度将增加
C.a的加速度将减小，b的加速度将增加
D.两个粒子的动能，一个增加一个减小
要点四 非点电荷的电场强度
【解读】
1.对称法求电场强度
对于一些特殊的带电体，由于不满足公式E＝的适用条件，我们不能利用此公式直接进行计算，处理此类问题一般要采用诸如：对称法、补偿法、微元法等方法来求解。如一个点电荷产生的电场强度，在以该点电荷为圆心的某一球面上，各处电场强度的大小是相同的，所以直接或间接知道球面上某点电场强度的大小，即可知道球面上其他点电场强度的大小。非点电荷形成的电场，如带电金属板，其两侧的电场强度也具有对称性，关于金属板对称的点电场强度大小相等，方向相反。
2.补偿法求电场强度
如一个粗细均匀的封闭圆环，电荷在圆环上均匀分布，圆心处电场强度为零，若在圆环上截取很小一段（截去的长度与圆环相比可以忽略不计），那么截去的一段与剩下的不完整的圆环产生的电场强度大小相等，方向相反。
【典例4】
均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（ ）
A.－E B.
C.－E D.＋E
尝试解答
如图所示，均匀带正电的圆环所带的电荷量为Q，半径为R，圆心为O，A、B、C为垂直于圆环平面且过圆环中心的轴上的三个点，已知BC＝2AO＝2OB＝2R，当在C处放置一点电荷时（不影响圆环的电荷分布情况，
整个装置位于真空中），B点的电场强度恰好为零，则由此可得A点的电场强度大小为（ ）
A. B.
C. D.
1.一带负电荷的质点，只在静电力作用下沿曲线abc由a运动到c，已知质点的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，图中可能正确的是（虚线是曲线在b点的切线）（ ）
2.质量为m、电量为＋q的小球悬挂在天花板上，带负电的点电荷Q1与q的水平距离为r时，绳子与竖直方向的夹角为30°，带负电的点电荷Q2与q的水平距离为r时，绳子与竖直方向的夹角为60°，则两点电荷的电量之比Q1∶Q2为（ ）
A.1∶3 B.∶1
C.3∶1 D.1∶
3.如图所示，光滑绝缘的水平面上固定两个带有等量正电荷的小球A、B。将一带电小球C放在A、B连线的中点O处，C恰好处于静止状态。若将B缓慢向右移动，则C将（ ）
A.静止不动
B.向左运动
C.向右运动
D.可能向左，也可能向右运动
4.
如图所示，16个电荷量均为＋q（q＞0）的小球（可视为点电荷），均匀分布在半径为R的圆周上。若将圆周上P点的一个小球的电荷量换成－2q，则圆心O点处的电场强度为（ ）
A.，方向沿半径向左
B.，方向沿半径向左
C.，方向沿半径向右
D.，方向沿半径向右
习题课一 电场中的平衡和运动轨迹问题
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】 A 以A球为研究对象，分析受力，受力图如图甲所示，设B对A的库仑力与墙壁的夹角为θ，由平衡条件得竖直墙面对小球A的弹力为FN1＝mAgtan θ，将小球B向左推动少许时，θ减小，则竖直墙面对小球A的弹力FN1减小； 再以A、B整体为研究对象，分析受力如图乙所示，由平衡条件得F＝FN1，FN2＝（mA＋mB）g，则F减小，地面对小球B的支持力一定不变，故A正确，C错误；
由以上分析得到库仑力F库＝，θ减小，cos θ增大，F库减小，根据库仑定律分析得知，两球之间的距离增大，故B错误；根据受力情况可知，小球A位置一定在原来位置的上方，故D错误。
素养训练
D 对A进行受力分析可知，A所受到的库仑力大小为F＝mAgtan θ1，同理B受到的库仑力为F＝mBgtan θ2，两球间的库仑力大小相等，方向相反，因此mA∶mB＝tan θ2∶tan θ1 ①，A错误；两个小球间的库仑力总是大小相等，与两小球带电量大小无关，因此无法求出两球电量间的关系，B错误；由于两球处于同一高度，则l1cos θ1＝l2cos θ2＝h ②，又由于两球下摆的过程中，机械能守恒，则mgl（1－cos θ）＝Ek＝mv2 ③
由②③联立可得＝
由①②③联立利用三角函数关系可得＝，C错误，D正确。
要点二
知识精研
【典例2】 B 设轻绳的拉力为FT，则对A，有FT＋FTcos 60°＝k，FTcos 30°＝maA，联立解得aA＝，B正确，A错误；恒力F的大小为F＝2maA＝，C、D错误。
素养训练
（1）g （2）L
解析：（1）以A、B两个小球整体为研究对象，两球一起向上做加速运动，设加速度为a，根据牛顿第二定律有
2mg－2mgsin θ＝2ma
解得a＝g。
（2）设A球的带电荷量为q，对A球研究，根据牛顿第二定律有k－mgsin θ＝ma，
解得q＝L 。
要点三
知识精研
【典例3】 C 做曲线运动的物体，合力指向运动轨迹的凹侧，由此可知，带电粒子受到的静电力的方向为沿着电场线向左，所以粒子带正电，A错误；粒子可能是从a点沿轨迹运动到b点，也可能是从b点沿轨迹运动到a点，B错误；由电场线的分布可知，粒子在c点处受静电力较大，加速度一定大于在b点的加速度，C正确；若粒子从c运动到a，静电力与速度方向成锐角，所以粒子做加速运动，若粒子从a运动到c，静电力与速度方向成钝角，所以粒子做减速运动，故粒子在c点的速度一定小于在a点的速度，D错误。
素养训练
C 由曲线轨迹只能判断出a、b受力方向相反，带异种电荷，无法判断哪个带正电荷，A错误；由粒子的偏转轨迹可知静电力对a、b均做正功，动能增加，B、D错误；由电场线的疏密可判定，a所受静电力逐渐减小，加速度减小，b正好相反，C正确。
要点四
知识精研
【典例4】 A 左半球面AB上的正电荷产生的电场等效为带正电荷量为2q的整个球面的电场和带电荷量为－q的右半球面的电场的合电场，则E＝k－E'，E'为带电荷量为－q的右半球面在M点产生的场强大小。带电荷量为－q的右半球面在M点的场强大小与带正电荷量为q的左半球面AB在N点的场强大小相等，则EN＝E'＝k－E＝－E，A正确。
素养训练
B 将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看作点电荷，其所带电荷量为q＝；每一点电荷在B处的场强为E1＝k＝；由对称性可知，各小段带电环在B处的场强E的垂直于轴向的分量相互抵消，而E1的轴向分量之和即为带电环在B处的场强，则EB＝nE1cos 45°＝；C点处放置一点电荷时，B点的电场强度恰好为零，说明C处点电荷和圆环上的电荷在B处产生的场强大小相等，方向相反，设C处电荷的带电量为q'。则有k＝EB，解得q'＝Q，C处电荷带正电；根据对称性知，圆环在A处的场强大小为EA1＝EB＝，方向向左。C处电荷在A处产生的场强为EA2＝k＝，方向向左；所以A点的电场强度大小为EA＝EA1＋EA2＝，故选B。
【教学效果·勤检测】
1.D 质点从a运动到c，质点的速率是递减的，可知质点所受静电力方向与运动方向成钝角，又根据曲线运动条件，可知静电力指向轨迹弯曲的凹侧，因负电荷所受静电力与电场强度方向相反，故D正确。
2.A 带电小球受重力mg、绳子拉力T、电荷Q1对小球的库仑力F，如图所示，带电小球受力平衡，由平衡条件可知F＝mgtan 30°
由库仑定律可得F＝k，Q1＝＝＝
同理可得Q2＝＝＝
则两点电荷的电量之比为Q1∶Q2＝1∶3，B、C、D错误，A正确。
3.D A、B是两个固定的带有等量的正电荷小球，两者连线中点电场强度为零，小球B十分缓慢地远离A移动，导致原来的位置电场强度不为零，根据电场强度叠加的原理，可知电场强度向右，由于不清楚小球C的电性，所以小球C受力可能向左，也可能向右，所以小球C的运动情况是可能向左运动，也可能向右运动，故A、B、C错误，D正确。
4.C 原来圆周上均匀分布的都是电荷量为＋q的小球，由于圆的对称性，圆心处电场强度为0。在P点的带电荷量为＋q的小球在圆心处产生的电场强度大小为E1＝k，
方向由P指向O，可知其余15个带电荷量为＋q的小球在圆心处的合电场强度大小E2＝E1＝k，方向由O指向P；在P点的带电荷量为－2q的小球在圆心处产生的电场强度大小E3＝k，方向由O指向P。所以若仅将P点的带电小球所带的电荷量换成－2q，根据电场的叠加可知，圆心处的电场强度大小E＝E2＋E3＝k。选项C正确。
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习题课一 电场中的平衡和运动轨迹问题
核
心 素
养 目
标 科学
思维 1.能根据电场的叠加原理解决电荷的受力平衡问题和运
动问题。
2.会分析电场线与轨迹相结合的问题。
3.会用对称法和补偿法分析非点电荷产生的电场问题
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
要点一 库仑力作用下的平衡
【解读】
1. 库仑力作用下的平衡问题
库仑力作用下的平衡问题，可能是只有库仑力，也可能有其他
力，但其本质都是平衡问题。解题的关键是进行受力分析并列
出平衡方程。
2. “三步”处理库仑力作用下的平衡问题
库仑力作用下电荷的平衡问题与力学中物体的平衡问题处理方式相
同，也就是将力进行合成与分解。
【典例1】 竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A、B带同种电
荷。现用水平向左的推力F作用于小球B，两球分别静止在竖直墙和水
平地面上，如图所示。如果将小球B向左推动少许，当两球重新达到
平衡时，与原来平衡状态相比较（ ）
A. 地面对小球B的支持力不变
B. 两小球之间的距离不变
C. 竖直墙面对小球A的弹力变大
D. 小球A的位置在原来位置的下方
解析：以A球为研究对象，分析受力，受力
图如图甲所示，设B对A的库仑力与墙壁的
夹角为θ，由平衡条件得竖直墙面对小球A
的弹力为FN1＝mAgtan θ，将小球B向左推动
少许时，θ减小，则竖直墙面对小球A的弹
力FN1减小； 再以A、B整体为研究对象，分析受力如图乙所示，由平衡条件得F＝FN1，FN2＝（mA＋mB）g，则F减小，地面对小球B的支持力一定不变，故A正确，C错误；由以上分析得到库仑力F库＝，θ减小，cos θ增大，F库减小，根据库仑定律分析得知，两球之间的距离增大，故B错误；根据受力情况可知，小球A位置一定在原来位置的上方，故D错误。
如图，质量分别为mA和mB的两小球带有同种电荷，电荷量分别为qA和
qB，用绝缘细线悬挂在天花板上。平衡时，两小球恰处于同一水平位
置，细线与竖直方向间夹角分别为θ1与θ2（θ1＞θ2）。两小球突然失
去各自所带电荷后开始摆动，最大速度分别为vA和vB，最大动能分别
为EkA和EkB，则（ ）
A. mA∶mB＝tan θ1∶tan θ2
B. qA∶qB＝1∶1
C. vA∶vB＝∶
D. EkA∶EkB＝tan ∶tan
解析： 对A进行受力分析可知，A所受到的库仑力大小为F＝
mAgtan θ1，同理B受到的库仑力为F＝mBgtan θ2，两球间的库仑力大小
相等，方向相反，
因此mA∶mB＝tan θ2∶tan θ1 ①，A错误；两个小球间的库仑力总是
大小相等，与两小球带电量大小无关，因此无法求出两球电量间的关
系，B错误；由于两球处于同一高度，则l1cos θ1＝l2cos θ2＝h ②，又
由于两球下摆的过程中，机械能守恒，则
mgl（1－cos θ）＝Ek＝mv2 ③
由②③联立可得＝
由①②③联立利用三角函数关系可得＝，C错误，D正确。
要点二 库仑力作用下的运动
【解读】
【典例2】 如图所示，光滑绝缘水平面上两个相同的带电小圆环A、
B，电荷量均为q，质量均为m，用一根光滑绝缘轻绳穿过两个圆环，
并系于结点O。在O处施加一水平恒力F使A、B一起加速运动，轻绳恰
好构成一个边长为l的等边三角形，则（ ）
A. 小环A的加速度大小为
B. 小环A的加速度大小为
C. 恒力F的大小为
D. 恒力F的大小为
解析：设轻绳的拉力为FT，则对A，有FT＋FTcos 60°＝k，FTcos
30°＝maA，联立解得aA＝，B正确，A错误；恒力F的大小为F
＝2maA＝，C、D错误。
如图所示，质量均为m、带等量异种电荷的A、B两个小球放在光滑绝
缘的固定斜面上，给B球施加沿斜面向上、大小为F＝2mg（g为重力
加速度）的拉力，结果A、B两球以相同的加速度向上做匀加速运动，
且两球保持相对静止，两球间的距离为L，小球大小忽略不计，斜面
的倾角θ＝30°，静电力常量为k。求：
（1）两球一起向上做加速运动的加速度大小；
答案：g
解析：以A、B两个小球整体为研究对象，两球一起向上做
加速运动，设加速度为a，根据牛顿第二定律有2mg－2mgsin θ
＝2ma，解得a＝g。
（2）A球所带的电荷量。
答案：L
解析：设A球的带电荷量为q，对A球研究，根据牛顿第二定律有
k－mgsin θ＝ma，解得q＝L。
要点三 电场线和带电粒子运动轨迹问题
【解读】
1. 带电粒子做曲线运动时，合力指向轨迹曲线的凹侧，速度方向沿轨
迹的切线方向。
2. 分析方法
（1）由轨迹的弯曲情况结合电场线确定电场力的方向。
（2）由电场力和电场线的方向可判断带电粒子所带电荷的正负。
（3）由电场线的疏密程度可比较电场力的大小，再根据牛顿第二
定律F＝ma可判断带电粒子加速度的大小。
【典例3】 某电场的电场线分布如图所示，虚线为某带电粒子只在
静电力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则（ ）
A. 粒子一定带负电
B. 粒子一定是从a点运动到b点
C. 粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度
D. 粒子在c点的速度一定大于在a点的速度
解析：做曲线运动的物体，合力指向运动轨迹的凹侧，由此可知，带
电粒子受到的静电力的方向为沿着电场线向左，所以粒子带正电，A
错误；粒子可能是从a点沿轨迹运动到b点，也可能是从b点沿轨迹运动到a点，B错误；由电场线的分布可知，粒子在c点处受静电力较大，加速度一定大于在b点的加速度，C正确；若粒子从c运动到a，静电力与速度方向成锐角，所以粒子做加速运动，若粒子从a运动到c，静电力与速度方向成钝角，所以粒子做减速运动，故粒子在c点的速度一定小于在a点的速度，D错误。
如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M点以相同速度
垂直于电场线方向飞出a、b两个带电粒子，仅在静电力作用下的运动
轨迹如图中虚线所示，则（ ）
A. a一定带正电，b一定带负电
B. a的速度将减小，b的速度将增加
C. a的加速度将减小，b的加速度将增加
D. 两个粒子的动能，一个增加一个减小
解析： 由曲线轨迹只能判断出a、b受力方向相反，带异种电荷，
无法判断哪个带正电荷，A错误；由粒子的偏转轨迹可知静电力对a、
b均做正功，动能增加，B、D错误；由电场线的疏密可判定，a所受
静电力逐渐减小，加速度减小，b正好相反，C正确。
要点四 非点电荷的电场强度
【解读】
1. 对称法求电场强度
对于一些特殊的带电体，由于不满足公式E＝的适用条件，我们
不能利用此公式直接进行计算，处理此类问题一般要采用诸如：对
称法、补偿法、微元法等方法来求解。如一个点电荷产生的电场强
度，在以该点电荷为圆心的某一球面上，各处电场强度的大小是相
同的，所以直接或间接知道球面上某点电场强度的大小，即可知道
球面上其他点电场强度的大小。非点电荷形成的电场，如带电金属
板，其两侧的电场强度也具有对称性，关于金属板对称的点电场强
度大小相等，方向相反。
2. 补偿法求电场强度
如一个粗细均匀的封闭圆环，电荷在圆环上均匀分布，圆心处电场
强度为零，若在圆环上截取很小一段（截去的长度与圆环相比可以
忽略不计），那么截去的一段与剩下的不完整的圆环产生的电场强
度大小相等，方向相反。
【典例4】 均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中
于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总
电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在
轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。已知M点的场强大小为E，则N
点的场强大小为（ ）
A. －E B.
C. －E D. ＋E
解析：左半球面AB上的正电荷产生的电场等效为带正电荷量为2q的整
个球面的电场和带电荷量为－q的右半球面的电场的合电场，则E＝
k－E'，E'为带电荷量为－q的右半球面在M点产生的场强大小。带
电荷量为－q的右半球面在M点的场强大小与带正电荷量为q的左半球
面AB在N点的场强大小相等，则EN＝E'＝k－E＝－E，A正确。
如图所示，均匀带正电的圆环所带的电荷量为Q，半径为R，圆心为
O，A、B、C为垂直于圆环平面且过圆环中心的轴上的三个点，已知
BC＝2AO＝2OB＝2R，当在C处放置一点电荷时（不影响圆环的电荷
分布情况，整个装置位于真空中），B点的电场强度恰好为零，则由
此可得A点的电场强度大小为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看
作点电荷，其所带电荷量为q＝；每一点电荷在B处的场强为E1＝
k＝；由对称性可知，各小段带电环在B处的场强
E的垂直于轴向的分量相互抵消，而E1的轴向分量之和即为带电环在B
处的场强，则EB＝nE1cos 45°＝；C点处放置一点电荷时，B点的
电场强度恰好为零，说明C处点电荷和圆环上的电荷在B处产生的场强
大小相等，方向相反，设C处电荷的带电量为q'。则有k＝EB，
解得q'＝Q，C处电荷带正电；根据对称性知，圆环在A处的场强大
小为EA1＝EB＝，方向向左。C处电荷在A处产生的场强为EA2＝
k＝，方向向左；所以A点的电场强度大小为EA＝EA1＋EA2＝，故选B。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 一带负电荷的质点，只在静电力作用下沿曲线abc由a运动到c，已
知质点的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，图中可能正
确的是（虚线是曲线在b点的切线）（ ）
解析： 质点从a运动到c，质点的速率是递减的，可知质点所受
静电力方向与运动方向成钝角，又根据曲线运动条件，可知静电力
指向轨迹弯曲的凹侧，因负电荷所受静电力与电场强度方向相反，
故D正确。
2. 质量为m、电量为＋q的小球悬挂在天花板上，带负电的点电荷Q1
与q的水平距离为r时，绳子与竖直方向的夹角为30°，带负电的点
电荷Q2与q的水平距离为r时，绳子与竖直方向的夹角为60°，则两
点电荷的电量之比Q1∶Q2为（ ）
A. 1∶3 B. ∶1
C. 3∶1 D. 1∶
解析： 带电小球受重力mg、绳子拉力T、电荷Q1对
小球的库仑力F，如图所示，带电小球受力平衡，由平
衡条件可知F＝mgtan 30°
由库仑定律可得F＝k，Q1＝＝＝
同理可得Q2＝＝＝
则两点电荷的电量之比为Q1∶Q2＝1∶3，B、C、D错
误，A正确。
3. 如图所示，光滑绝缘的水平面上固定两个带有等量正电荷的小球
A、B。将一带电小球C放在A、B连线的中点O处，C恰好处于静止
状态。若将B缓慢向右移动，则C将（ ）
A. 静止不动
B. 向左运动
C. 向右运动
D. 可能向左，也可能向右运动
解析： A、B是两个固定的带有等量的正电荷小球，两者连线中
点电场强度为零，小球B十分缓慢地远离A移动，导致原来的位置
电场强度不为零，根据电场强度叠加的原理，可知电场强度向右，
由于不清楚小球C的电性，所以小球C受力可能向左，也可能向
右，所以小球C的运动情况是可能向左运动，也可能向右运动，故
A、B、C错误，D正确。
4. 如图所示，16个电荷量均为＋q（q＞0）的小球（可视为点电
荷），均匀分布在半径为R的圆周上。若将圆周上P点的一个小球
的电荷量换成－2q，则圆心O点处的电场强度为（ ）
A. ，方向沿半径向左 B. ，方向沿半径向左
C. ，方向沿半径向右 D. ，方向沿半径向右
解析： 原来圆周上均匀分布的都是电荷量为＋q的小球，由于
圆的对称性，圆心处电场强度为0。在P点的带电荷量为＋q的小球
在圆心处产生的电场强度大小为E1＝k，方向由P指向O，可知其余15个带电荷量为＋q的小球在圆心处的合电场强度大小E2＝E1＝k，方向由O指向P；在P点的带电荷量为－2q的小球在圆心处产生的电场强度大小E3＝k，方向由O指向P。所以若仅将P点的带电小球所带的电荷量换成－2q，根据电场的叠加可知，圆心处的电场强度大小E＝E2＋E3＝k。选项C正确。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 如图所示，一个绝缘半圆环上均匀分布有同种电荷，固定在绝缘水
平面上，在圆弧的圆心处放有一个点电荷，点电荷受到的电场力为
F，若截走圆弧的，则圆心处的点电荷受到的电场力大小变为
（ ）
A. F B. F
C. F D. F
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解析： 根据对称性可知圆环左、右半部分对点电荷的电场力大
小相等（设为F0），方向与竖直方向夹角均为45°，根据力的合成
可得F0＝F，解得F0＝F，故选A。
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2. 如图甲、乙所示，两个带电荷量均为q的点电荷分别位于带电荷量
线密度相同、半径相同的半圆环和圆环的圆心，环的粗细可忽略
不计。若图甲中环对圆心点电荷的库仑力大小为F，则图乙中环对
圆心点电荷的库仑力大小为（ ）
A. F B. F
C. F D. F
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解析： 由题图甲中均匀带电半圆环对圆心点电荷的库仑力大小
为F，可以得出圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F。将题图乙
中的均匀带电圆环分成三个圆环，关于圆心对称的两个圆环对
圆心点电荷的库仑力的合力为零，因此题图乙中的圆环对圆心点
电荷的库仑力大小为F，故C正确，A、B、D错误。
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3. 如图所示，质量为m的带电小球A悬挂在绝缘细线上，且处在电场
强度为E的水平匀强电场中，当小球A静止时，细线与竖直方向成
30°角，则小球所带的电荷量应为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 小球受到三个力作用：重力mg、电场力F和细线的拉力
FT，根据平衡条件得知，F和FT的合力与重力mg大小相等、方向相
反，根据平衡条件可得tan 30°＝＝，解得q＝，故A正
确，B、C、D错误。
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4. 如图所示，带正电的小球a在外力作用下静止在绝缘光滑竖直面上
的P点，带正电的小球b用绝缘细线系住，挂在绝缘光滑竖直面上
的O点，b球静止时与a球在同一水平面内。若将小球a从P点缓慢移
到C点过程中，小球b所受的库仑力大小（ ）
A. 逐渐增大 B. 逐渐减小
C. 保持不变 D. 先减小后增大
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解析： 设细线长为L，O、P间距离为h，两球间
距为x，对小球b受力分析，如图所示，在小球a缓
慢下移过程，由相似三角形可得＝，两电荷间
库仑力为F＝k，联立可得＝k，由h变大
可知x变大，则F变小，故B正确。
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5. （多选）某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受静
电力作用，由M运动到N，其运动轨迹如图中虚线所示，以下说法
正确的是（ ）
A. 粒子必定带正电荷
B. 粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度
C. 粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
D. 粒子在M点的动能小于它在N点的动能
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解析： 根据粒子运动轨迹弯曲的情况，可以确定粒子所受
静电力的方向沿着电场线方向，故此粒子必定带正电荷，A正确；
由于电场线越密电场强度越大，带电粒子所受静电力就越大，根据
牛顿第二定律可知其加速度也越大，故此粒子在N点的加速度较
大，B错误，C正确；粒子从M点到N点，静电力的方向与运动方向
之间的夹角是锐角，静电力做正功，根据动能定理得此粒子在N点
的动能较大，D正确。
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6. 如图所示，光滑绝缘水平面上有质量分别为m和2m的小球A、B，
两小球带异种电荷。将方向水平向右、大小为F的力作用在B上，
当A、B间的距离为L时，两小球可保持相对静止。若改用方向水平
向左的力作用在A上，欲使两小球间的距离保持为2L并相对静止，
则外力的大小应为（ ）
A. F B. F
C. F D. F
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解析： 当方向水平向右、大小为F的力作用在B上，A、B间的
距离为L时，对A、B组成的整体，有F＝3ma1，对小球A，有
＝ma1，若改用方向水平向左的力作用在A上，两小球间的距离保
持为2L并相对静止时，对A、B组成的整体，有F'＝3ma2，对小球
B，有＝2ma2，联立可得F'＝F，B正确，A、C、D错误。
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7. 如图所示，在竖直空间A点固定一带电荷量Q＝1×10－7 C的正点电
荷甲，另一带电荷量q＝2×10－7 C的正点电荷乙从A点正上方H＝
0.5 m的C点由静止释放，乙释放时的加速度大小为6.4 m/s2，乙运
动过程中速度最大位置在B点。若静电力常量k＝9×109 N·m2/C2，
重力加速度大小g取10 m/s2，则点电荷乙的质量m和A、B间的距离h
分别为（ ）
A. m＝2×10－4 kg；h＝0.30 m
B. m＝2×10－4 kg；h＝0.35 m
C. m＝1×10－4 kg；h＝0.30 m
D. m＝1×10－4 kg；h＝0.35 m
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解析： 乙释放时，根据牛顿第二定律有mg－k＝ma，解得点
电荷乙的质量m＝2×10－4 kg，当点电荷乙受到合力为零时速度最
大，则A、B间的距离h满足mg＝k，解得h＝0.30 m，故A正确，
B、C、D错误。
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8. （多选）如图所示，电荷量为Q的均匀带电圆盘竖直固定，质量为
m、电荷量为q的带正电小球（可视为试探电荷）通过绝缘轻质细
线悬挂于天花板上，小球静止时，细线与竖直方向成θ角，小球位
于圆盘中心轴线上且与圆盘中心相距d，静电力常量为k，重力加速
度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A. 带电圆盘在小球处产生的电场方向沿中心轴线向右
B. 小球与带电圆盘间的静电作用力大小为k
C. 带电圆盘在小球处产生的电场强度大小为
D. 若带电小球的电荷量突然消失，则带电圆盘在小球处产生的电场也将消失
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解析： 根据电场的叠加及对称性可知带电圆
盘在小球处产生的电场方向沿中心轴线，又因为
小球的受力情况，可知电场力方向水平向右，小
球带正电，正电荷受力方向与电场强度方向一
致，故带电圆盘在小球处产生的电场方向沿中心
轴线向右，A正确；圆盘不是点电荷，无法直接
用库仑定律计算静电力，B错误；小球受力情况
如图所示。
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由平衡条件可知小球受到的静电力为F＝mgtan θ，故此处的电场强度为E＝＝，C正确；电场是否消失与场源电荷有关，与试探电荷无关，故若带电小球的电荷量突然消失，带电圆盘在小球处产生
的电场不会消失，D错误。
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9. 如图所示，质量分别为m1、m2的两个带同种电荷的小球A、B，分
别用长为l的绝缘细线悬挂在同一点O，两细线与竖直方向各成一定
的角度α、β，两小球用一绝缘轻质弹簧相接，A、B球连线与过O点
竖直线交于C点，初始时刻弹簧处在压缩状态，现增加A球的电荷
量，下列说法中正确的是（ ）
A. 两细线的拉力之比变大
B. 两细线的夹角不变
C. AC与BC的长度之比不变
D. OC长度一定变大
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解析： 对两小球受力分析如图所示。
F1、F1'为A、B两小球之间的库仑力，F2、
F2'为两小球之间的弹簧弹力，满足F＝F1
＋F2＝F'＝F1'＋F2'，对A球受力分析，F、
T1、m1g三力满足相似三角形，则有＝
＝，同理对B球亦有＝＝，A球的电荷量增大时两球距离会增大，夹角α、β增大，但仍有＝，＝，绳长不变，C点上移，OC长度变小。故C正确。
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10. （多选）如图所示，带箭头的曲线表示某一电场中的电场线的分
布情况。一带电粒子在电场中运动的轨迹如图中虚线所示。若只
考虑静电力的情况下，则下列判断中正确的是（ ）
A. 若粒子是从A运动到B，则粒子带正电；若粒子是从B运动到A，则粒子带负电
B. 不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电
C. 若粒子是从B运动到A，则其加速度减小
D. 若粒子是从B运动到A，则其速度减小
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解析： 根据做曲线运动的物体所受合外力指向运动轨迹的凹
侧，可知静电力与电场线的方向相反，所以不论粒子是从A运动
到B，还是从B运动到A，粒子必带负电，故A错误，B正确；电场
线密的地方电场强度大，所以粒子在B点时受到的静电力大，在B
点时的加速度较大，若粒子是从B运动到A，则其加速度减小，C
正确；从B到A过程中静电力与速度的方向成锐角，速度增大，D
错误。
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11. 如图所示，用两根绝缘线把两个小球悬挂起来，a球电荷量为＋
q，b球电荷量为－2q，若两球间的库仑力远小于b球的重力，且两
根线都处于绷紧状态，现加一水平向左的匀强电场，待平衡时，
表示平衡状态的图是（ ）
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解析： 以a、b整体为研究对象，整体电荷量相当于 －q，水平
方向受向右的静电力，上面的线向右倾斜；以b球为研究对象，带
负电荷，受向右的静电力，下面的线也是向右倾斜，故选C。
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12. 如图所示，半径为R的导体环的顶端有一宽为l的小狭缝A，且满足l远小于R，在导体环上均匀分布着总电荷量为q的负电荷。已知静电力常量为k，则下列说法正确的是（ ）
A. 导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由A指向O
B. 导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由O指向A
C. 导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由O指向A
D. 导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由A指向O
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解析： 该导体环可认为是从封闭的导体环上取下宽为l的一小
段后的剩余部分，对宽为l的一小段导体分析，由于l远小于R，因
此可视为点电荷，其在圆心O处产生的电场强度大小为E＝
＝，又因为宽为l的一小段导体带负电荷，故电场强度
方向由O指向A。
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根据对称性知，封闭的导体环在圆心O处产生的合电场强度为0，所以
宽为l的一小段导体在圆心O处产生的电场强度与该导体环在圆心O处
产生的电场强度大小相等、方向相反，则导体环在圆心O处产生的电
场强度大小为，方向由A指向O，A、B、C错误，D正确。
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13. 如图所示，水平粗糙绝缘杆从物体A中心的孔穿过，A的质量为
M，用绝缘细线将另一质量为m的小球B与A连接，整个装置所在
空间存在水平向右的匀强电场E，A不带电，B带正电且电荷量大
小为q，A、B均处于静止状态，细线与竖直方向成θ角，则（ ）
A. 细线中张力大小为mgcos θ
B. 细线中张力大小为
C. 杆对A的摩擦力大小为qE
D. 杆对A的支持力大小为Mg
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解析： 对小球B进行
受力分析，受力示意图
如图甲所示，由于B小
球处于静止状态，根据
平衡条件可得T＝或
T＝，故A、B错误；对物体A和小球B整体进行受力分析，受力示意图如图乙所示，由于整体处于静止状态，根据平衡条件可得f＝qE，N＝Mg＋mg，故C正确，D错误。
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14. 如图所示，长l＝1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为
质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直
方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电荷量q＝1.0×10－6 C，匀强
电场的电场强度E＝3.0×103 N/C，取重力加速度g＝10 m/s2，sin
37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
（1）小球的质量；
答案：4×10－4 kg
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解析：小球静止，根据平衡条件可知tan 37°＝
解得m＝＝ kg＝4×10－4 kg。
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（2）若剪断细绳，则经过1 s小球获得的速度大小；
答案：12.5 m/s
解析：剪断细绳，根据牛顿第二定律有＝ma
解得a＝＝ m/s2＝12.5 m/s2
经过1 s后小球获得的速度为v1＝at1＝12.5×1 m/s＝12.5 m/s。
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（3）若撤去电场，则小球到达最低点对细绳的拉力大小。
答案：5.6×10－3 N
解析：撤去电场，小球从静止落到最低点的过程，有
mgl（1－cos 37°）＝mv2
小球在最低点时，有T－mg＝m
解得T＝mg＋m＝mg＋＝5.6×10－3 N。
根据牛顿第三定律知小球到达最低点时对细绳的拉力T'＝T
＝5.6×10－3 N。
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