12.2三角形的性质（第3课时三角形外角的性质） 教学课件（共25张ppt） 北京版2024八年级上册数学

北京版2024·八年级上册
一、三角形及其性质
12.2第三课时 三角形外角的性质
第十二章 三角形
学 习 目 标
1
2
3
掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和及三角形的内角和．
会利用三角形的外角性质解决问题.
能运用外角的性质角度计算问题，并分类三角形（锐角、直角、钝角）。
知识回顾
回顾三角形的内角的性质。
三角形内角和定理：
三角形按边分类：
三角形三个内角的和等于180°.
等边三角形、等腰三角形、不等边三角形
新知探究
1.三角形外角的定义
如图,D是△ABC的边BC延长线上的一点，此时，∠ACD是∠ACB的邻补角.我们称三角形的每一个内角的邻补角为外角.图中∠ACD就是△ABC的一个外角.
外角
新知探究
1.三角形外角的定义
一个三角形有几个外角？
A
B
C
外角
外角
外角
外角
外角
外角
一个三角形有6个内角
新知探究
1.三角形外角的定义
A
B
C
外角
相邻内角
不相邻内角
新知探究
思考与交流
2.三角形外角的性质
在图中，∠ACD与∠A,∠B之间有什么数量关系?试证明你的发现.
猜想：∠ACD=∠A+∠B
转化为数学问题：
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
新知探究
2.三角形外角的性质
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
验证猜想：
新知探究
2.三角形外角的性质
三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
归纳小结
典例解析
例 如图12-13,B,C,D，E是同；直线上的四点，∠B=∠BAC=30°,∠CAD等于60°，∠ADE等于多少度？
求∠ADE，∠ADE=∠ACD+∠CAD
∠CAD=60°（已知），∠ACD=∠B+∠BAC
∠B=∠BAC=30°（已知）
三角形的外角等于与它不相邻两个内角和
典例解析
例 如图12-13,B,C,D，E是同；直线上的四点，∠B=∠BAC=30°,∠CAD等于60°，∠ADE等于多少度？
解：∵在△ABC中，∠B=∠BAC=30°,
∴∠ACD=∠B+∠BAC(三角形的内角和定理的推论）
=30°+30°=60°.
又∵在△ACD中，∠CAD=60°,
∴∠ADE=∠ACD+∠CAD(三角形的内角和定理的推论)
=60°+60°=120°.
新知探究
思考与交流
如图,线段AB,CD,EF两两交于点G,P,H.怎样求∠A+∠C+∠E+∠B+∠D+∠F等于多少度?
(
(
(
1
2
3
=∠AGP
=∠BHP
=∠FPG
∠AGP+∠1=180°
∠BHP+∠2=180°
∠FPG＋∠3=180°
158°×3=540°
(
(
(
1
2
3
新知探究
思考与交流
如图,线段AB,CD,EF两两交于点G,P,H.怎样求∠A+∠C+∠E+∠B+∠D+∠F等于多少度?
解：∵∠AGP=∠A+∠C ∠FPG=∠D+∠F ∠BHP=∠B+∠E
∵∠AGP+∠1+∠FPG+∠2+∠BHP+∠3=180°×3=540°
∴∠AGP+∠FPG+∠BHP=540°-（∠1+∠2+∠3）=360°
∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D+∠F=360°
新知探究
练习：
如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
解法一：
新知探究
解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
新知探究
解法三：过A作AM平行于BC，
∠3＝ ∠4
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝ ∠BAM，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°
M
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
D
E
F
新知探究
思考与交流
1.三角形的内角中最多能有几个直角?
2.三角形的内角中最多能有几个钝角?
（最多1个，两个直角和已达180°）
（不可能，两个钝角和已超180°）
新知探究
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；
有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形，
这样，三角形按角可以分类为：
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
典例解析
例 图是一个四边形，你能推出∠A,∠B,∠C,∠D四个角的度数之和吗?
证明：连接AC，将四边形分为两个三角形
思路：连接对角线AC，构造三角形，将四边形内角和转化为三角形的内角和
提分笔记
∵∠DAC+∠DCA+∠D=180°
∠CAD+∠ACB+∠B=180°
∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠DAC+∠DCA+∠D+
∠CAD+∠ACB+∠B=180°+180°=360°
新知探究
2.进一步观察图形，发现规律，并填写表：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
图形
内角和
三角形
四边形
五边形
六边形
......
多边形
(4-2)×180°=360°
(3-2)×180°=180°
(5-2)×180°=540°
(6-2)×180°=720°
(n-2)×180°
课堂练习
1.判断下列图中的∠1是否为△ABC 的外角.
?
解：②中的∠1是△ABC 的外角，其他都不是.
?
∠1=_____，
∠2=______??
?
2.写出下列图形中∠1和∠2 的度数：
?
∠1=_____，
∠2=______?
?
40?
?
140?
?
110?
?
∠1=_____，
∠2= ______

?
70?
?
50?
?
140?
?
课堂练习
3.如图，已知△ABC的外角是∠ACD .
?
（1）若∠A=40? ，∠B=60? ，则∠ACD= ______；
?
100?
?
（2）若∠ACD=130? ，∠A=∠B,则∠A= ______.
?
?65??
?
4.将一副三角板分别按如图所示的
方式叠放，写出∠α 的度数.
?
∠α=_____∠α= _____
?
75?
?
15?
?
课堂练习
5.已知：
如图，∠4，∠5，∠6是△ABC 的三个外角.求证：
∠4+∠5+∠6=360? .请补充证明过程：
?
证明：∵∠4是△ABC 的一个外角，
∴ _______________.
同理，∠5= _________，
∠6= _________.
?
∠4=∠2+∠3?
?
∠1+∠3?
?
∠1+∠2
?
∴∠????+∠????+∠????=????∠????+∠????+∠???? .
∵ _____________________，∴∠????+∠????+∠????=????×?????????????=????????????? .
?
∠????+∠????+∠????=?????????????
?
课堂总结
感谢聆听!