12.1 命题、定义、定理与证明 课件 (共44张PPT)2025-2026学年华东师大版(2024)八年级上册数学

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名称 12.1 命题、定义、定理与证明 课件 (共44张PPT)2025-2026学年华东师大版(2024)八年级上册数学
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资源类型 教案
版本资源 华东师大版
科目 数学
更新时间 2025-10-15 09:01:12

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(共44张PPT)
12.1 命题、定义、定理与证明
12.1.1 命题
1.了解命题的概念.
2.会区分一个命题的条件和结论,能把一个命题改写成“如果……,那么……”的形式
3.了解判断一个命题真假的方法,会用反例说明假命题.
试判断下列句子是否正确?
(1)三角形的内角和等于180°;
(2)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;
(3) 两直线平行,同旁内角相等;
(4) 直角都相等;
(1)(2)(4)是正确的,(3)是错误的.
这几个句子的共同特点是:可以判断一件事情的正确或错误
它们有什么共同点?
概念:判断某一件事情的语句,即表示判断的语句叫做命题.
下列语句中,是判断一件事情的吗?
1.时间都去哪儿了? 2.美不胜收的风景(啊)
3.拍书包两下 4.把门关上
5.连接点A和点B
探究
这些都不是判断一件事情的语句! 所以都不是命题.
我们如何识别某个语句是否是命题?
某个语句被读者看了(或者听了)以后,读者能够得出且只能够得出“这,是正确的.”或者“这,是错误的.”结论,这样的语句就是“判断某一件事情的语句”,也就是命题.否则就不是“判断一件事情的语句”.
思考
试一试
1.你能举出一些命题吗
2.能否举出一些不是命题的语句?
命题一定不是:
1.疑问句 2.感叹句 3.祈使句
4.把字句 5.表示某个动作的语句等
观察下列命题,你能发现这些命题有什么共同的结构特征?
(1)如果两个三角形的三条边相等,那么这两个三角形全等;
(2)如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等;
(3)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
交流讨论
如果一个三角形的三边相等,那么这个三角形是等边三角形.
条件
结论
已知事项
由已知事项推断出来的事项
命题都可以写成“如果……,那么……”的形式,其中用“如果”领起的部分就是条件,用“那么”领起的部分就是结论.
归纳
指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果……,那么……”的形式
(1)同位角相等,两直线平行;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(1)条件是:同位角相等
结论是:两直线平行
改写成:如果同位角相等,那么两直线平行.
指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果……,那么……”的形式
(1)同位角相等,两直线平行;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(2)条件是:一个三角形的三个角相等
结论是:这个三角形是等边三角形
改写成:如果一个三角形的三边相等,那么这个三角形是等边三角形.
1.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”后接的部分是条件,“那么”后接的部分是结论.
2.有些命题的条件和结论不明显,可将它经过适当变形,改写成“如果……,那么……”的形式.
1.命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行” 的条件是(  )
A.平行
B.两条直线
C.同一条直线
D.两条直线平行于同一条直线
D
2.把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并分别指出它们的条件和结论:
(1)全等三角形的对应边相等;
(2)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
解:(1)改写成:如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等;
条件:两个三角形全等;结论:这两个三角形的对应边相等;
(2)改写成:如果在同一平面内,有两条直线分别垂直于第三条
直线,那么这两条直线互相平行;
条件:在同一平面内,有两条直线分别垂直于第三条直线;
结论:这两条直线互相平行.
(1)三角形的内角和等于180°;
(2)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;
(3) 两直线平行,同旁内角相等;
(4) 直角都相等.
如果条件成立,那么结论一定成立.像这样的命题,称为真命题
当条件成立时,不能保证结论总是正确,或者说结论不成立,像这样的命题,称为假命题.
正确
正确
错误
正确
你是如何识别一个命题是真命题还是假命题的?
要识别一个命题是真命题,可以用演绎推理加以论证;
要识别一个命题是假命题,只需要举一个反例就可以了;
例如:要说明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题,只需举出一个反例:一个30°的锐角与一个120°的钝角之和为150°,不是平角.
思考
这种方法叫“举反例”
3.指出下列命题中的真命题和假命题:
(1)同位角相等,两直线平行;
(2)多边形的内角和等于180°;
(3)三角形的外角和等于360°;
(4)平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(真命题)
(假命题)
(真命题)
(真命题)
分类与判断
概念
命题
对某一件事作出判断的语句叫做命题.
真命题和假命题.
结构
由条件和结论两部分组成,常写成“如果……,那么……”的形式.
1.下列语句是命题的有( )
①锐角小于90°;
②经过两点,能画且只能画一条直线;
③大象是白颜色的动物;
④作AD⊥BC;
⑤同旁内角互补,两直线平行.
A.①②③   B.①②⑤
C.①②③⑤   D.①②④
C
2.下列命题是真命题的是( )
A. 如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角
B. 如果a2=b2, 那么a=b
C. 两个互补的角一定是邻补角
D. 如果两个角是同位角,那么这两个角一定相等
A
3.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例,正确的反例是(   )
A.∠α=60°,∠α的补角∠β=120°,∠β>∠α
B.∠α=90°,∠α的补角∠β=90°,∠β=∠α
C.∠α=100°,∠α的补角∠β=80°,∠β<∠α
D.两个角互为邻补角
C
4.下列命题中,假命题有( )
①若a =b =4,则a=b=2;
②若a>b,则a >b
③若a>b,b>c,则a>c
④ 若 则a =b
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
5.把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式:
(1)对顶角相等;
(2)平行于同一条直线的两条直线平行;
解:(1)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
(2)如果两条直线平行于同一条直线,那么这两条直线平行.
12.1.2 定义、定理与证明
1.理解定义、基本事实、定理等概念.
2.理解证明的概念,并会对真命题进行证明.
我们学过线段、角等名词,观察以下语句,它们在描述的功能有什么共同特点?
把一条线段分成两条相等线段的点,叫做这条线段的中点.
由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角.
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
这些语句都是用来说明各自对应的名词所包含的确切意义
我们在学习一些新的数学名词时,对它们进行了清晰、明确的描述,这样的语句叫做这些名词的定义.
定义就像标签,把事物与事物区别开.
一个数学名词的定义揭示了它的本质特征,能够帮助我们准确地理解它,并作出准确的判断.
你能再举出一些学过的定义的例子吗?
(1)两个角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为邻补角.
(2)两个角有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角.
(3)两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.
(4)从直线外一点引一条直线的垂线,这点和垂足之间的线段叫做垂线段.
(5)含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的这些命题是真命题吗?
1.两点确定一条直线;
2.两点之间,线段最短;
3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
5.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
以上命题都是正确的,即都是公认的真命题.
命题有真有假,有的命题不是一目了然就能辨出真假,这就需要我们用推理的方法来加以证明
基本事实:数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也称它为公理.
1.是真命题;
2.是实践中总结的;
3.作用是证明的依据.
例如下列的真命题作为基本事实:
1.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;
2.全等三角形的对应边、对应角分别相等.
定理:数学中,有些命题可以从基本事实或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
1.是真命题;
2.是用逻辑推理证明的;
3.作用是证明其他的依据
比如:“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等,两直线平行”这条基本事实的基础上推理而出的,它又可以作为判定平行线的依据.
基本事实、定理、命题的关系:
命题
真命题
假命题
基本事实(正确性由实践总结)
定理(正确性通过推理证实)
证明其他命题正确的依据
(1)一位同学在钻研数学题时发现:
2 + 1=3,
2 × 3 + 1 =7,
2 × 3 × 5+1 =31,
2 × 3 × 5 × 7 + l = 211.
于是,他根据上面的结果并利用质数表得出结论:从质数2开始,排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数.
思考
他的结论正确吗?
计算一下
2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1,
你发现了什么?
(2)如图所示,一位同学在画图时发现:三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论:任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.
他的结论正确吗?
思考
画一个钝角三角形试试看.
钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部,所以该同学的说法不正确
(3)我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和,得到一个结论:n边形的内角和等于(n-2)×180°.这个结论正确吗?是否有一个多边形的内角和不满足这一规律?
实际上,这是一个正确的结论.
思考
上面的几个例子说明了什么问题?
通过特殊的事例得到的结论可能正确,也可能不正确.
定义:根据条件、定义以及基本事实、定理等,经过演绎推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.
归纳
例1 证明命题:直角三角形的两个锐角互余.
已知:如图,在△ABC中,∠C=90°.
求证:∠A+∠B=90°.
证明:∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°),
又∵∠C=90°(已知),
∴∠A+∠B=180°-∠C=90°(等式的性质).
此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据,因此我们把它也作为定理.
方法归纳:演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基本事实与已知的定理外,等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据.
如图所示,下列推理不正确的是(  )
A.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠C=180°
B.∵∠1=∠2,∴AD∥BC
C.∵AD∥BC,∴∠3=∠4
D.∵∠A+∠ADC=180°,∴AB∥CD
C
证明
定义
定义、定理与证明
步骤:(1)根据题意作出图形.
(2)写出已知和求证.
(3)写出证明的过程
基本事实
、定理
1.下列真命题能作为基本事实的是(  )
A.对顶角相等
B.三角形的内角和是180°
C.在同一平面没,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.内错角相等,两直线平行
C
2.“经过两点有且只有一条直线”是(  )
A.基本事实 B.假命题
C.定义 D.以上都不是
A
3.下列命题可作为定理的有(  )
(1)两直线平行,同旁内角互补;(2)相等的角是对顶角;
(3)等角的补角相等;(4)垂线段最短.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
4.根据题意可知,下列说理过程中所依据的基本事实或定理是_______________________.
如图,若∠1=∠4,则AB∥CD;
若∠2=∠3,则AD∥BC.
内错角相等,两直线平行
5.如图,B,A,E三点在同一直线上,AD∥BC;∠B=∠C;求证:AD平分∠EAC.
证明:∵AD∥BC(已知),
∴∠B=∠EAD(两直线平行,同位角相等),
∠C=∠DAC(两直线平行,内错角相等).
又∵∠B=∠C(已知),
∴∠EAD=∠DAC(等量代换),
即AD平分∠EAC.