(共55张PPT)
12.4 逆命题和逆定理
12.4.1 互逆命题与互逆定理
1.了解互逆命题、互逆定理,会写一个命题的逆命题.
2.会通过判定命题真假,区分是逆命题还是逆定理;
3.知道证明一个定理的逆命题是真命题还是假命题的一般方法.
1.两直线平行,内错角相等;
内错角相等,两直线平行;
2.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧;
如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;
3.平行四边形的对角线互相平分;
对角线互相平分的四边形是平行四边形;
观察下列命题的条件和结论,你发现了什么
上面三组命题的条件和结论恰好互换了位置.
在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题就叫做它的逆命题.
命题“两直线平行,内错角相等”的
条件为: ;
结论为: .
因此它的逆命题为_______________________.
两直线平行
内错角相等
内错角相等,两直线平行
每一个命题都有逆命题,只要将原命题的条件改成结论,并将结论改成条件,便可得到原命题的逆命题.
求一个命题的逆命题的方法:
原命题正确,它的逆命题正确吗?
原命题正确,它的逆命题不一定正确
例:真命题“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题
如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
例如“两直线平行,内错角相等”与 “内错角相等,两直线平行”为互逆定理.
1.逆命题、互逆命题不一定是真命题,但逆定理、互逆定理,一定是真命题.
2.不是所有的定理都有逆定理.
你能举例说明吗?
温馨提示
1.一个假命题的逆命题可以是真命题,甚至可以是定理.
例如:“相等的角是对顶角”是假命题,但它的逆命题“对顶角相等”是真命题,且是定理.
2.命题“两直线平行,同位角相等”和它的逆命题“同位角相等,两直线平行”都是定理,因此它们就是互逆定理.
3.定理对顶角相等就没有逆定理.
(1)条件:一个三角形是直角三角形.
结论:它的两个锐角互余.
逆命题:如果一个三角形的两个锐角互余,那么这个三角形是直角三角形.此逆命题为真命题.
1.指出下列各命题的条件和结论,写出它们的逆命题,并判断其真假:
(1)如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余.
(2)等边三角形的每个角都等于60°.
(2)条件:一个三角形是等边三角形;
结论:它的每个角都等于60°.
逆命题:如果一个三角形的每个角都等于60°,那么这个三角形是等边三角形.此逆命题为真命题.
1.指出下列各命题的条件和结论,写出它们的逆命题,并判断其真假:
(1)如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余.
(2)等边三角形的每个角都等于60°.
1.写出逆命题的关键是分清楚原命题的条件和结论,然后将它的条件和结论交换位置就得到这个命题的逆命题.
2.判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理,判断一个命题是假命题只需要举出反例就可以了.
2.判断定理“在一个三角形中,等角对等边”是否有逆定理,若有,请写出它的逆定理,若没有,说明理由.
分析:判断的标准是逆命题是否为真
解:有逆定理,它的逆定理为:在一个三角形中,等边对等角.
判断一个定理是否有逆定理的方法:
把定理作为命题,写出它的逆命题
判断其逆命题是否正确,如果不正确,举一个反例即可,如果是真命题,加以证明即可判断原定理有逆定理.
互逆定理
互逆命题
互逆命题
与互逆定理
第一个命题的条件是第二个命题的结论;
第一个命题的结论是第二个命题的条件.
一个定理的逆命题也是定理,这两个定理叫做互逆定理.
逆命题与
逆定理
每个命题都有逆命题;
但一个定理不一定有逆定理.
判定是否是逆定理的方法是证明.
1.下列说法中正确的是( )
A.每个命题都有逆命题
B.每个定理都有逆定理
C.真命题的逆命题都是真命题
D.假命题的逆命题都是真命题
A
2. 命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.若一个数是正数,则它的平方是负数
B.若一个数的平方是正数,则它是负数
C.若一个数不是负数,则它的平方不是正数
D.若一个数的平方不是正数,则它不是正数
B
3. 下列定理中,没有逆定理的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补
B.全等三角形的对应角相等
C.直角三角形的两个锐角互余
D.两内角相等的三角形是等腰三角形
B
4. 下列命题:
①内错角相等,两直线平行;
②全等三角形的对应边相等;
③若a=b,则a2=b2;
④互补的角为邻补角;
⑤对顶角相等;
它们的逆命题是真命题的有 .(只填序号)
①
②
④
5.写出命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题,并判断其真假:
逆命题:如果两个三角形的对应角相等,那么这两个三角形全等.
此逆命题为假命题.
6.判断定理“四边形的内角和等于360°”是否有逆定理,若有,请写出它的逆定理,若没有,说明理由.
解:有逆定理,它的逆定理为:内角和等于360°的多边形是四边形.
12.4.2 线段垂直平分线
1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.
2.会运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决有关问题.
如图,直线MN是线段AB的垂直平分线,P是MN上任一点,连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折,你发现了什么?
M
N
P
A
C
B
对折后PA、PB能够完全重合,PA=PB.
你能给出PA=PB的证明吗?
M
N
P
A
C
B
已知:如图,MN丄AB,垂足为点C,AC =BC,点P是直线MN上的任意一点.
求证:PA=PB.
证明:∵MN ⊥AB,
∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义).
在△ACP和△BCP中,
∵AC=BC,∠ACP=∠BCP,PC=PC,
∴△ACP≌△BCP(SAS).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
M
N
P
A
C
B
几何语言叙述:
∵点P在线段AB的垂直平分线上
(或PC⊥AB,AC=BC),
∴PA=PB.
线段垂直平分线的性质定理:
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
A
B
Q
M
N
C
写出线段垂直平分线性质定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题,分析条件和结论,想想其逆命题是否为真命题?说说你的依据.
思考
条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在线段的垂直平分线上
这个点到线段两端的距离相等
一个点到线段两端的距离相等
这个点在线段的垂直平分线上
逆命题 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
已知: 如图,QA=QB.
求证: 点Q在线段AB的垂直平分线上.
分析:
思路1:作垂线,证中点;
思路2:作中线,证垂直.
A
B
Q
M
N
C
证明:如图,过点Q作MN⊥AB,垂足为点C,
∵QA=QB,QC⊥AB,
∴AC=BC(等腰三角形的三线合一).
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.
已知: 如图,QA=QB.
求证: 点Q在线段AB的垂直平分线上.
尝试写出后一种添加辅助线的证明过程
A
B
Q
M
N
C
证明:如图,取线段AB的中点C,连接QC,
∵QA=QB,AC=BC,
∴QC⊥AB(等腰三角形的三线合一).
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.
已知: 如图,QA=QB.
求证: 点Q在线段AB的垂直平分线上.
A
B
Q
M
N
C
应用格式:
∵PA=PB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
P
A
B
作用:判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线性质定理的逆定理:
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
上述两条定理互为逆定理.
解:∵AB=AC,
∴点A在线段BC的垂直平分线上.
又∵MB=MC,
∴点M在线段BC的垂直平分线上,
∴直线AM是线段BC的垂直平分线.
A
B
C
D
M
如图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线,说说你在操作后的发现.
发现:三角形三边的垂直平分线交于一点.这一点到三角形三个顶点的距离相等.
怎样证明这个结论呢
试一试
分析:要证明三角形三边的垂直平分线交于一点,只要证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.
其思路可表示如下:
B
C
A
P
l
n
m
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点P在AC的垂直平分线n上
证明:如图,连结PA、PB、PC.
∵点P在AB,AC的垂直平分线上,
∴PA=PB,PA=PC(线段垂直平分线
上的点到线段两端的距离相等).
∴PB=PC.
∴点P在BC的垂直平分线上(到线段两端
距离相等的点在线段的垂直平分线上).
B
C
A
P
l
n
m
证明三角形三边的垂直平分线交于一点.这一点到三角形三个顶点的距离相等.
1.关于线段的垂直平分线有以下说法:
①一条线段的垂直平分线的垂足,也是这条线段的中点;
②线段的垂直平分线是一条直线;
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴.
其中正确的说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
B
2.如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是( )
A.AB=AD B.CA平分∠BCD
C.AB=BD D.△BEC≌△DEC
C
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线l交AC于点D,则∠CBD的度数为( )
A.30° B.45° C.50° D.75°
B
4.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )
A.三条高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
D
5. 如图,在△ABC中,∠A =30°,∠C=90°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点D. 求证:点D在AB的垂直平分线上.
证明:∵∠C=90°,∠A =30°
∴∠ABC=60°,
∵BD是∠ABC 的平分线,
∴∠ABD=30°,∴∠A=∠ABD=30°,
∴AD=BD,
∴点D在AB的垂直平分线上.
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
互逆定理
12.4.3 角平分线
1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理.
2.理解角平分线是到角两边距离相等的点的集合.
3.能利用定理进行证明或计算,解决相关实际应用问题.
在一个三角形居住区内修有一个学校P,P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处?
A
B
C
一 角平分线的性质定理
如图,点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点,且PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,将∠AOB沿OC对折,你发现了什么?
对折后PD、PE能够完全重合,PD=PE.
角是轴对称图形吗?它的对称轴是什么?
D
P
A
C
B
E
O
已知: 如图, OC是∠AOB的平分线,点P是OC上的任意一点,PD丄OA,PE丄OB, 垂足分别为点D和点E.
求证:PD=PE.
D
P
A
C
B
E
O
说说大概的证明思路
分析:图中有两个直角三角形PDO和PEO,只要证明
这两个三角形全等,便可证得PD=PE.
D
P
A
C
B
E
O
证明:∵OC平分∠AOB, P是OC上一点,∴∠DOP=∠BOP.
∵PD⊥OA,PE⊥OB ,∴∠ODP=∠OEP=90°.
在△OPD和△OPE 中,
∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP,
∴△OPD≌△OPE (A.A.S.).
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
已知: 如图, OC是∠AOB的平分线,点P是OC上的任意一点,PD丄OA,PE丄OB, 垂足分别为点D和点E.
求证:PD=PE.
角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言描述:
∵ OC平分∠AOB,且PD⊥OA, PE⊥OB.
∴ PD= PE.
D
P
A
C
B
E
O
应用所具备的条件:
(1)角的平分线;
(2)点在该平分线上;
(3)垂直距离.
定理的作用:
证明线段相等.
二 角平分线的判定定理
写出性质定理的逆命题,分析命题的条件和结论,思考性质定理的逆命题是真命题吗?说说你的依据.
条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在角的平分线上
这个点到这个角两边的距离相等
一个点到角两边的距离相等
这个点在这个角的平分线上
角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.
逆命题:如果一个点到角两边的距离相等,那么这个点在这个角的平分线上.
分析:只需证明∠AOP和∠BOP所在的Rt△PDO和Rt△PEO全等.
B
A
D
O
P
E
已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=PE.
求证:点P在∠AOB的角平分线上.
证明:过点O、P作射线OP.
∵ PD⊥OA, PE⊥OB ,∴ ∠PDO= ∠PEO = 90°.
在 Rt△PDO和 Rt△PEO中,
∵ OP = OP,PD = PE,
∴ Rt △PDO≌ Rt △PEO, (H. L.),
∴ ∠DOP= ∠EOP(全等三角形的对应角相等).
∴点Q在∠AOB的平分线上.
B
A
D
O
P
E
已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=PE.
求证:点P在∠AOB的角平分线上.
角平分线的判定定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
应用格式:
∵ PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,
∴点P 在∠AOB的平分线上.
角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
D
P
A
C
B
E
O
应用所具备的条件:
(1)位置关系:点在角的内部;
(2)数量关系:该点到角两边距离相等.
定理的作用:判断点在角平分线上.
试一试
你能给出三角形三个内角平分线交于一点的证明吗?
分析:只需要证明第三条角平分线经过另外两条角平分线的交点即可
思路可表示如下:
AP是∠BAC的平分线
PD⊥AB,PF⊥AC
BP是∠ABC的平分线
PD⊥AB,PE⊥BC
PD=PF
PD=PE
PF=PE
点P在∠BCA的平分线上
A
B
C
P
D
F
E
证明:过点P作PD⊥AB,PE⊥BC, PF⊥AC,
垂足分别为D、E、F.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上(已知),
∴PD=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等).
同理 PE=PF.
∴ PD=PF(等量代换).
∴ 点P在∠A的平分线上,
已知:如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P.
求证:点P也在∠A的平分线上.
A
B
C
P
E
D
F
M
N
到AB、BC、CA三边的距离都相等的学校P的位置,在∠A、∠B、∠C三个角的三条角平分线交点处.
A
B
C
问题解决:
1.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B .下列结论中不一定成立的是( )
A.PA=PB
B.PO平分∠APB
C.OA=OB
D.AB垂直平分OP
D
2.如图,已知∠CDA=∠CBA=90°,且CD=CB,则点C在∠______的平分线上,点A在∠_______的平分线上.
DAB
DCB
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,F在AC上,BE=FC,
求证:BD=DF.
证明:∵AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,∠C=90°,
∴DE=DC.
在Rt△BDE和Rt△FDC中,
ED=CD,
BE=FC,
∴Rt△BDE≌Rt△FDC,
∴BD=DF.
判定定理
性质定理
角平分线
1.内容:角平分线上的点到角两边的距离相等.
2.应用:见角平分线,得垂线段相等
1.内容:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
2.应用:判断一个点是否在角平分线上