12.6等腰三角形（第2课时等腰三角形的性质2—三线合一） 教学课件(共21张PPT)北京版2024八年级上数学册

(共21张PPT)
北京版2024·八年级上册
三、等腰三角形与直角三角形
12.6等腰三角形
第二课时等腰三角形的性质2—三线合一
第十二章 三角形
学 习 目 标
1
2
3
深刻理解等腰三角形"三线合一"的性质定理
掌握利用尺规作图找等腰三角形关键线的方法
能综合运用性质解决几何证明问题
知识回顾
回顾等腰三角形已学性质：
定义：有两条边相等的三角形
性质1：等边对等角
轴对称性
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
知识回顾
回顾等腰三角形已学性质：
如何证明一个三角形是等腰三角形？
已知等腰△ABC中AB=AC，∠A=100°，求底角度数？
"除了角的性质，等腰三角形还有更奇妙的性质等待我们发现..."
①证明两边相等 ②证明两角相等
∠B=∠C=(180°-100°)÷2=40°
情境导入
"工匠在建造等腰三角形屋顶时，要确定最高点的垂直位置。在没有现代测量工具的情况下，他们发现只需找到底边中点，连接顶点就能保证垂直。这其中蕴含着什么几何原理？"
新知探究
等腰三角形的性质
实践与操作
1.学生分组用制不同尺寸的等腰三角形
2.分别作出：
①底边高线（使用垂直工具）
②底边中线（使用中点工具）
③顶角平分线（使用角度平分工具）
3.测量比较三条线的位置关系
新知探究
等腰三角形的性质
发现归纳
A
B
D
高
中线
C
角平分线
1.三条特殊线完全重合
2.该重合线与对称轴一致
新知探究
等腰三角形的性质
发现归纳
由此得出等腰三角形性质定理2:
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线重合
(简记为：三线合一).
新知探究
等腰三角形的性质
定理证明：
已知：△ABC中AB=AC，AD为底边BC的中线
求证：AD同时是高线和角平分线
图12-50
证明：由AB=AC，BD=DC（中点）AD=AD
得△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠BAD=∠CAD（AD平分∠BAC）∠ADB=∠ADC
又∵∠ADB+∠ADC=180°
∴∠ADB=∠ADC=90°（AD⊥BC）
形成定理：
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（三线合一）
新知探究
等腰三角形的性质
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
几何语言表达：如图,在△ABC中,
新知探究
作图应用
问题解决（课本例2）：
只有直尺和无刻度直尺时作角平分线
操作步骤：
1.找底边中点D（用直尺测量取中）
2.连接顶点A与中点D
3.AD即为所求角平分线
D
原理分析：
根据三线合一，中线AD必然平分顶角
新知探究
定理应用
例3 已知：如图12-51,点B,D,E,C在同一直线上，AB=AC,AD=AE.
求证：BD=CE.
图12-51
证明：取BC的中点F,连接AF.
在△ABC中，
: AB=AC,
∴ AF⊥BC(等腰三角形底边上的高线和中线重合).
在△ADE中，
: AD=AE,
∴ DF=EF(等腰三角形底边上的高线和中线重合).
∴ BF-DF=CF-EF.
∴BD=CE.
△ABC为等腰三角形
△ADE为等腰三角形
关键点强调：
1.双等腰三角形结构的处理技巧
2.中点构造法的妙用
3.线段差的性质应用
新知探究
如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，
其中，立柱，且顶角 ，则
______， _____.
定理应用
抽象出等腰三角形
三线合一的性质
课堂练习
1.如图，在中，，是 的中点，
，则_____， _____.
2．等腰三角形是一个轴对称图形，它的对称轴是
　所在的直线．
顶角平分线(或底边上的高或底边上的中线)　
课堂练习
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
C
课堂练习
C
4.墙上钉了一根木条，陈老师想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平。在这个测平仪中，AB = AC，BC边的中点D处挂了一个重锤。陈老师将BC边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点A。如果重垂线过点A，那么这根木条就是水平的。这其中的原理是（ ）
A. 等边对等角 B. 垂线段最短
C. 等腰三角形的 “三线合一”
D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
课堂练习
A
5.如图，在△ABC中，AB = AC，点D为BC的中点，若∠C =44°，则∠D的度数（ ）
A.46° B. 48° C.50° D. 52°
6.如图，分别以线段AB的端点A，B为圆心，取大于AB长为半径，作两条相交的弧，交点记为C，D，点E在射线DC上。若∠ACB = 100°，∠AED = 30°，则∠ EAC = °
20
课堂练习
7.如图，在中，，为边 上的中
线，为上一点，且， ，
求 的度数.
解：，为边上的中线， ，
.又 ，
.
.
课堂总结
课堂总结
方法归纳：
1.证明三线合一的思路：
先确定其中"一线"的身份
通过全等证明其他属性
2.辅助线添加技巧：
见等腰，想三线
中点问题连中线
3.实际应用要点：
建筑测量中的快速定位
机械设计的对称校验
4.易错警示：
注意"三线合一"仅适用于底边
非等腰三角形不具有此性质
使用前必须确认等腰条件
感谢聆听!