12.6等腰三角形（第5课时等边三角形的判定） 教学课件（共26张ppt） 北京版2024八年级上册数学

北京版2024·八年级上册
等腰三角形与直角三角形
12.6等腰三角形
第五课时等边三角形的判定
第十二章 三角形
学 习 目 标
1
2
3
掌握两种等边三角形的判定方法
能综合运用平行线、等腰三角形等知识进行证明
会识别复杂图形中的等边三角形
知识回顾
回顾等边三角形的性质：
边的关系？
等边三角形三边都相等
角的关系？
等边三角形三个内角都是60°
对称性如何？
等边三角形有三条对称轴
A
B
C
等边三角形：AB=AC=BC
知识回顾
等腰三角形判定回顾：
判定方法
法定义法
等角对等边
直接测量边长
证明两角相等
情境导入
"这些完美六边形结构实际上由多个等边三角形组成。工程师如何快速确认这些三角形都是等边的？"
新知探究
等边三角形的判定
思考与交流
1.三个角都相等的三角形是什么三角形?
2.有一个角是60°的等腰三角形是什么三角形?
新知探究
等边三角形的判定定理1
1.三个角都相等的三角形是什么三角形?
A
B
C
已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，探究△ABC是什么三角形？
猜想：△ABC是等边三角形
请验证你的猜想
新知探究
等边三角形的判定定理1
A
B
C
第一步：角度分析：
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和）
又∵ ∠A = ∠B = ∠C = x
∴ 3x = 180°
∴ x = 60°
即所有内角均为60°
思想方法：
角度定量计算：利用内角和定理建立方程
新知探究
等边三角形的判定定理1
A
B
C
第二步边角关系转化：
在△ABC中：
∵ ∠B = ∠C = 60°
∴ AB = AC （等角对等边）
∵ ∠A = ∠C = 60°
∴ BA = BC （等角对等边）
∵ AB = AC 且 BA = BC
∴ AB = BC = AC
思想方法：
边角互化：运用"等角对等边"性质
传递性推理：a=b且b=c
? a=b=c
新知探究
等边三角形的判定定理1
归纳小结
由此推出等边三角形判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
A
B
C
符号语言：
在△ABC中
∵∠A=∠B=∠C
∴AB=AC=BC
∴△ABC为等边三角形
新知探究
等边三角形的判定定理2
2.有一个角是60°的等腰三角形是什么三角形?
猜想:如果一个等腰三角形有一个60°的内角，那么这个三角形是等边三角形
A
B
C
是哪个角？
顶角？
底角？
分类进行讨论
新知探究
等边三角形的判定定理2
分类证明：
情况1：顶角为60°
已知：△ABC中AB=AC，∠A=60°
求证：AB=BC=AC
A
B
C
证明：∵ AB=AC
∴ ∠B=∠C
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
即60° + 2∠B = 180°
∴ ∠B = ∠C = 60°
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴△ABC为等边三角形
新知探究
等边三角形的判定定理2
A
B
C
情况2：底角为60°
已知：△ABC中AB=AC，∠B=60°
求证：AB=BC=AC
证明：∵ AB=AC
∴ ∠B=∠C=60°
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 60°
∴ 三个角均为60°
∴△ABC为等边三角形
思想方法：
分类讨论：考虑60°角的不同位置
代数思想：设未知角建立方程
定理嵌套：用判定定理1证明判定定理2
新知探究
等边三角形的判定定理2
归纳小结
由此推出等边三角形判定定理2：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
A
B
C
符号语言：
在△ABC中
∵∠A=60°，AB=AC
∴△ABC为等边三角形
典例解析
例5 已知：如图12-57,△ABC是等边三角形，DE//BC,DE分别交AB,AC于点D,E.试判断△ADE的形状.
解：证法1：角度法（教材方法）
∵ △ABC等边
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵ DE∥BC
∴ ∠ADE=∠B=60°（同位角）
∠AED=∠C=60°（同位角）
∴ ∠A = ∠ADE = ∠AED = 60°
由判定定理1得△ADE等边
典例解析
例5 已知：如图12-57,△ABC是等边三角形，DE//BC,DE分别交AB,AC于点D,E.试判断△ADE的形状.
证法2：比例法
∵ DE∥BC
∴????????????????=????????????????
∵ AB=AC AD=AE
又∠A=60°
由判定定理2得 △ADE等边三角形
?
典例解析
思想方法对比：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}证法
核心思路
关键定理
适用场景
角度法
比例法
通过平行线转移角度
构造等腰+60°
平行线性质
比例线段+
判定定理2
有平行条件时
出现比例关系时
课堂练习
1.如图，下列条件能判定△ABC 是等边三角形的有______
____.（填序号）
?
②③④⑤
①????????=???????? ;
②????????=????????=???????? ;
③∠????=∠????=∠???? ;
④????????=????????,∠????=????????? ;
⑤∠????=∠????=????????? .
?
课堂练习
2.下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的
三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有(　　)
A．①②③ B．①②④
C．①③ D．①②③④
D
课堂练习
3.根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
（1）
（2）
（6）
（5）
不
是
是
是
是
是
（4）
（3）
不一定
是
课堂练习
4.若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？
　　证明： ∵　△ABC 是等边三角形，
∴　∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵　DE∥BC，
∴　∠B =∠D，∠C =∠E．
∴　∠EAD =∠D =∠E．
∴　△ADE 是等边三角形．
A
D
E
B
C
课堂练习
5.上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
课堂练习
6.如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．
课堂总结
课堂总结
方法归纳：
证明路径选择：
已知角度→用角度法
已知边角关系→用等腰+60°法
复杂图形处理：
找"手拉手"模型
构造旋转全等
感谢聆听!