12.6等腰三角形（第1课时等腰三角形的性质1—等边对等角） 教学课件（共27张ppt） 北京版2024八年级上册数学

北京版2024·八年级上册
三、等腰三角形与直角三角形
12.6等腰三角形
第一课时等腰三角形的性质1—等边对等角
第十二章 三角形
学 习 目 标
1
2
3
理解等腰三角形的定义和构成要素
掌握"等边对等角"的性质定理
能运用性质进行角度计算和简单证明
知识回顾
回顾三角形的分类（按边分类）
定义：满足什么条件的三角形是等腰三角形？
有两条边相等的三角形
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
情境导入
"设计师要制作一批对称的三角形领结，要求两边长度相等。如果顶角设计为100°，那么底角应该设计多少度才能保证对称美观？
情境导入
等腰三角形由于造型美观，因此在建筑上有着广泛的应用.比如，北京的故宫博物院,巴黎的卢浮宫B 的玻璃金字塔
这些结构中都有造型美观的等腰三角形
新知探究
1.等腰三角形的定义
问题 1：观察图 12 - 39（等腰三角形ABC?），什么样的三角形是等腰三角形？
有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰（AB = AC），另一边叫底边（BC?），两腰夹角叫顶角（∠A），腰与底边夹角叫底角（∠B、∠C）
腰
腰
底
顶角
底角
底角
新知探究
1.等腰三角形
实践与操作
一个平面的五角星里面有许多等腰三角形.下面通过折纸条的方法画一个五角星，并进行观察.
先裁一张宽窄一样的纸条，照图12-42的顺序打一个纸结，然后拉紧、压平；把它的五个顶点描在纸上，将不相邻的两个点用线段连接，便得到一个五角星.
新知探究
1.等腰三角形
图12-43
图12-42
请你通过测量和观察，指出图12-43中的五角星中一共有多少个等腰三角形.
五个
新知探究
2.等腰三角形的性质
实物操作：
1.如图,用一张长方形纸片对折、剪开，展开后就得到等腰三角形.
可以看出，折痕两侧的部分完全重合.因此可以判断，等腰三角形是一个轴对称图形，它的两个底角相等.
新知探究
2.等腰三角形的性质
利用图形计算器，也可以直观地看到：不同形状的等腰三角形，它的两个底角的度数都相等，如图.
∠ABC=65.05°
∠ACB=65.05°
∠A'BC=56.26°
∠ACB=56.26°
∠A"BC=44.19°
∠A"CB=44.19°
∠A"BC=21.25°
∠A"CB=21.25°
新知探究
2.等腰三角形的性质
理论验证：
已知：如图12-46,在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
图12-46
问题 1：怎么构造全等三角形，证明∠B=∠C？
作顶角平分线AD（或底边上的中线、底边上的高 ），把等腰三角形分成两个三角形（∠BAD和∠ CAD），通过证明全等，得出角相等。
新知探究
2.等腰三角形的性质
理论验证：
已知：如图12-46,在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
图12-46
问题 2：证明全等的条件有哪些？为什么选SAS？
已知：AB=AC（已知）
∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）
AD=AD（公共边）
SAS
新知探究
2.等腰三角形的性质
理论验证：
已知：如图12-46,在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
图12-46
证明：作∠BAC的平分线，交BC于点D.
AD平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴ △BAD≌△CAD(SAS)
∴ ∠B=∠C.
你还有其他证明
方法吗?
新知探究
2.等腰三角形的性质
A
B
C
证明：
作底边的中线AD，
则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法二：作底边上的中线
D
新知探究
2.等腰三角形的性质
归纳小结
由此得出等腰三角形性质定理1:
等腰三角形的两个底角相等(简记为：等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
问题 1：等腰三角形中，已知顶角∠A，怎么求底角？依据是什么？
典例解析
例1 已知：如图12-47,在△ABC中，AB=AC,∠A=120°.求∠B,∠C分别等于多少度.
图12-47
依据 “等边对等角”∠ B =∠C，再结合三角形内角和180°。
等边对等角
AB=AC
∠ B =∠C=????????????°?????????????°????=30°
?
问题 2：如果已知底角，怎么求顶角？公式怎么变？
典例解析
例1 已知：如图12-47,在△ABC中，AB=AC,∠A=120°.求∠B,∠C分别等于多少度.
图12-47
顶角 =?180° - 2×底角（因为两底角相等 ），
体现 “等边对等角” 和 “内角和” 的综合应用。
典例解析
例1 已知：如图12-47,在△ABC中，AB=AC,∠A=120°.求∠B,∠C分别等于多少度.
图12-47
解：∵在△ABC中，AB=AC,
∴ ∠B=∠C(等边对等角).
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°,∠A=120°,
∴ ∠B+∠C=180-120°
∴ 2∠B=60°.
∴∠B=30°,∠C=30°.
等腰三角形的性质
三角形内角和定理
典例解析
例2 如图，在△ABC中，AB=AC，点D 在AC上，且BD=BC=AD.
求△ABC 各角的度数.
?
解：∵????????=????????，????????=????????=???????? ，
∴∠????????????=∠????=∠???????????? ，∠????=∠???????????? .
设∠????=????? ，则∠????????????=∠????+∠????????????=????????? .
∴∠????????????=∠????=∠????????????=????????? .
在△????????????中，∠????+∠????????????+∠????=????????????? ，
即????+????????+????????=????????????，解得????=???????? .
∴∠????=????????? ，∠????????????=∠????=????????? .
?
找已知等量关系
运用等腰三角形性质
三角形内角和定理
课堂练习
1．已知等腰三角形的一个角是100°，则它的顶角是( )
A．40°　 B．60° C．80°　 D．100°
2．等腰三角形一边长等于5，另一边长等于9，则它的周长是( )
A．14　 B．23 C．19　 D．19或23
D
D
课堂练习
3．如图，在△ADC中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，则∠ADB＝　 　度．?
　80　
第4题图
4.如图，在△ABC中，AB=AC ，
∠BAE=40? ，AB的垂直平分线分别交AB ，
BC于点D，E，则∠BAC= ______.
?
100?
?
课堂练习
5.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AD=BD ，
∠C=∠ADC，∠BAC=57? ，求∠DAC 的度数.
?
解：∵????????=???????? ，∴∠????=∠???????????? .
∵∠????????????=∠????+∠????????????=????∠????，∠????=∠???????????? ,
∴∠????=????∠???? .
∵∠????????????=????????? ，
∴∠????+∠????=????∠????=??????????????∠????????????=????????????? .
∴∠????=????????? ∠????????????=∠????=????????? .
∴∠????????????=??????????????∠?????????????∠????=????????? .
?
课堂练习
6．一个等腰三角形的边长分别是4 cm和7 cm，求它的周长．
解：①当腰长是4 cm，底边长是7 cm时，能构成三角形，
周长＝4＋4＋7＝15(cm)；
②当底边长是4 cm，腰长是7 cm时，能构成三角形，
周长＝4＋7＋7＝18(cm)．
故三角形的周长为15 cm或18 cm．
课堂练习
7.如图，在△ABC 中，
AB=AD=DC，∠BAD=26? .求∠B和∠C 的度数.
?
解：∵????????=???????? ，
∴∠????=∠????????????=??????????????∠????????????????=???????????????????????????=????????? .
∵????????=????????，∴∠????=∠???????????? .
∵∠????+∠????????????=∠????????????=????????? ，
∴∠????=????????∠????????????=????????.????? .
?
课堂练习
8.如图，在△ABC中，∠BAC=108? ，现将三角形的一个角沿AD 折
叠，使得点C落在边AB上的点C′处.若△BC′D是等腰三角形，则∠C 的
度数为( )
?
C
A. 36? B. 38? C. 48? D. 84?
?
课堂总结
知识框架：
等腰三角形定义：两腰相等
性质定理：等边对等角
实践发现：五角星中的等腰三角形
方法归纳：
几何证明思路：
找已知等量关系
构造全等三角形
利用对应角相等
感谢聆听!