12.6等腰三角形（第4课时等腰三角形的判定） 教学课件（共26张ppt）北京版2024八年级上册数学

北京版2024·八年级上册
等腰三角形与直角三角形
12.6等腰三角形
第四课时等腰三角形的判定
第十二章 三角形
学 习 目 标
1
2
3
掌握"等角对等边"判定定理及其三种证明方法
能识别复杂图形中的等腰三角形
会运用判定定理解决几何问题
知识回顾
回顾等腰三角形的性质：
A
B
C
等腰三角形：AB=AC
"根据定义，等腰三角形最显著的特征是什么？"
两条边相等AB=AC
"除了边的关系，在角度方面有什么特点？"
两底角相等 ∠B=∠C
"如果画出底边上的中线，这条线还有什么特殊身份？"
同时是高线和角平分线
知识回顾
回顾等腰三角形的性质：
性质逆向思考：
已知△ABC中，AD⊥BC且平分BC，求证AB=AC
A
B
C
D
∟
已知条件转化：AD是底边的______？
联想到什么性质？
三线合一的前提是什么？
高线+中线
（三线合一）
（必须是等腰三角形）
知识回顾
回顾等腰三角形的性质：
性质逆向思考：
已知△ABC中，AD⊥BC且平分BC，求证AB=AC
A
B
C
D
∟
证明：∵ AD⊥BC且BD=DC
在△ABD和△ACD中
BD=CD
∠ADB=∠ADC
AD=AD
∴ △ABD≌△ACD（SAS）
∴ AB=AC
知识回顾
回顾等腰三角形的性质：
"我们先用全等证明了AB=AC，才能说它是等腰三角形。但'三线合一'本身是等腰三角形的性质，这里是否存在循环论证？“
已知等腰三角形
推出其他特征
证明等腰三角形
知识回顾
回顾等腰三角形的性质：
命题关系图
我们已经知道：
两边相等
两角相等
那么反过来：
两角相等
？
情境导入
"工匠用等腰三角形原理制作水平仪，当两个底角相等时，就能保证两边长度相同。如何用数学方法验证这个原理？"
新知探究
等腰三角形的判定
小明用量角器画出∠MBC=∠NCB,其中BM 和CN交于点A(图12-54),那么,△ABC是一个什么形状的三角形呢?
思考与交流
你能应用三角形全等的知识证明你的判断吗?
图12-54
新知探究
等腰三角形的判定
已知∠MBC=∠NCB，探究△ABC的形状
甲、乙、丙三位同学在图12-54的△ABC中各添加了一条辅助线(图12-55),你能用哪位同学添加辅助线的方法证明AB=AC?
A
B
C
D
甲：作∠BAC的平分线，
交BC于点D
A
B
C
E
乙：取BC的中点E
连接AE
A
B
C
F
∟
丙：过点A作AF⊥BC
于点F
新知探究
等腰三角形的判定
在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC。三位同学分别采用不同的辅助线策略：
A
B
C
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}证明者
辅助线
核心定理
全等判定方法
甲
乙
丙
作角平分线AD
角平分线定义
AAS
取中点E连AE
中点定义
SAS
作高AF
垂线定义
HL
新知探究
等腰三角形的判定
A
B
C
D
甲：作∠BAC的平分线，
交BC于点D
甲同学证法：
解：作∠BAC的平分线AD，交BC于D
则∠BAD = ∠CAD
在△ABD与△ACD中
∠B = ∠C （已知）
∠BAD = ∠CAD （已证）
AD = AD （公共边）
∴ △ABD ≌ △ACD （AAS）
∴ AB = AC
关键点说明：
1.角平分线创造了两个相等的角，为AAS全等创造条件
2.这是最直接的证法，但需要准确作出角平分线
3.适用于已知角度关系明确的情况
新知探究
等腰三角形的判定
乙同学证法：
解：取BC的中点E，连接AE
则BE = EC （中点定义）
在△ABE与△ACE中
BE = EC （已证）
∠B = ∠C （已知）
AE = AE （公共边）
∴ △ABE ≌ △ACE （SAS）
∴ AB = AC
关键点说明：
1.中点构造创造了相等的线段
2.利用SAS定理时，注意夹角是∠AEB与∠AEC
3.此方法在已知中点条件时特别有效
A
B
C
E
乙：取BC的中点E
连接AE
新知探究
等腰三角形的判定
丙同学证法：
解：过A作AF⊥BC，垂足为F
则∠AFB = ∠AFC = 90° （垂直定义）
在△ABF与△ACF中
∠AFB = ∠AFC （已证）
∠B = ∠C （已知）
AF = AF （公共边）
∴ ∴ △ABF ≌ △ACF （AAS）
∴ AB = AC
关键点说明：
1.高线创造了直角条件
2.既可用AAS也可用HL证明
3.特别适合已知垂直关系的场景
A
B
C
F
∟
丙：过点A作AF⊥BC
于点F
新知探究
等腰三角形的判定
归纳小结
由此推出等腰三角形判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简记为：等角对等边).
A
B
C
符号语言：
在△ABC中
∵∠B=∠C
∴AB=AC
典例解析
例4 已知：如图12-56,在△ABC中，AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC.问图中共有多少个等腰三角形.试说明理由.
图12-56
思维引导：
已知AB=AC
△ABC为等腰三角形
求底角∠B=∠C=72°
BD平分∠ABC：∠ABD=36°
△ABD：∠A=∠ABD=36°
△BDC：∠BDC=∠C=36°
新知探究
1.在△ABC中：
AB=AC → ∠B=∠C=(180°-36°)/2=72°
2.BD平分∠ABC：
∠ABD=∠CBD=36°
3.在△ABD中：
∠A=∠ABD=36° → AD=BD
4.△BDC中：
∠BDC=180°-36°-72°=72°=∠C → BD=BC
5.综上，等腰三角形有：
△ABC、△ABD、△BDC
完整解答过程：
课堂练习
1.下列条件能判定△ABC 为等腰三角形的是( )
?
C
A. ∠A=30? ，∠B=60? B. ∠A=40? ，∠B=80?
C. ∠A=50? ，∠B=65? D. ∠A=60? ，∠B=70?
?
2.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（　　）
A．105° B．120° C．135° D．150°
B
课堂练习

3.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）
A. 4个 B. 5个
C. 6个 D. 7个
D
A
C
B
D
E
O
课堂练习
4.如图，在△ABC中，∠BAC=108? ,∠B=36? ,∠CAD=72? .
?
（1）∠C=_____,∠BAD= _____;
（2）图中一共有___个等腰三角形，分别是_____________________.
?
36?
?
36?
?
3
△ABC,△ACD,△ABD
?
课堂练习
5.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC 上的点，BD=CE，
∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC 是等腰三角形.
?
证明：∵∠????????????=∠???????????? ，
∴∠????????????=∠???????????? .
在△????????????和△???????????? 中，
&∠????????????=∠????????????,&∠????????????=∠????????????,&????????=????????,
∴△????????????≌△???????????????????????? .
∴????????=????????.∴∠????????????=∠???????????? .
?
∴∠????????????+∠????????????=∠????????????+∠???????????? ,
即∠????????????=∠????????????.∴????????=???????? .
∴△???????????? 是等腰三角形.
?
课堂练习
6.如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于 点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
课堂练习
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．
求证：△AEF≌△BEC．
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°-90°-30°=60°，
∴∠FAE=∠EBC．
∵E为AB的中点，
∴AE=BE．
又∵ ∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA）．
课堂总结
课堂总结
方法升华：
"一题多解"思维培养：
1.比较三种证法的优劣
2.甲法最简洁，丙法适用范围广
几何证明"三看"原则：
看条件（角相等）
看结论（边相等）
看联系（全等三角形）
易错警示：
1.避免"边边角"错误使用
2.注意辅助线描述的规范性
3.角度计算时的单位统一
感谢聆听!