3.2 等式的基本性质 课件（3课时、48张ppt）2025-2026学年数学湘教版七年级上册

2.1 代数式的概念
3.2 等式的基本性质
第三章 一次方程(组)
课时1 等式的基本性质
1.理解并掌握等式的基本性质；
2.会利用等式的基本性质对等式进行变形.
在小学时，我们已经学习过了两个等式的基本性质，你还记得吗？
等式的基本性质Ⅰ：
等式两边都加上或减去同一个数，等式两边仍然相等.
等式的基本性质Ⅱ：
等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等.
方程是含有未知数的等式，那么对于含有未知数的等式，上述基本性质还成立吗？下面来研究.
活动1 探究等式的加减性质
探究：等式的基本性质
如图所示，天平左侧放有一个未知质量的砝码（设为x克）和 2 个 10 克的砝码，右侧放总重 50 克的砝码，天平恰好平衡。
问题 1：根据天平平衡原理，如何用含未知数x的等式表示？
提示：由于天平平衡，则左盘总质量 = 右盘总质量.
答：x + 20 = 50.
学生模拟操作：从两侧同时拿走 2 个 10 克砝码（即等式两边同时减 20），天平仍然平衡，得到?x + 20 - 20 = 50 - 20.
问题 2：在不破坏平衡的条件下，如何通过调整天平两侧砝码，使左侧只剩下未知砝码x？小组合作探究，并用方程表示此过程，说说有什么启发？
问题3：为什么天平两侧必须拿走相同质量的砝码？如果只拿走左侧砝码，天平会怎样？
答：对应等式性质，两边操作需一致；单边操作会导致天平不平衡.
对于含有未知数的等式也成立的等式的基本性质Ⅰ：等式两边都加上或减去同一个数，等式两边仍然相等.
活动2 深入探究等式的乘除性质
如图所示，天平左侧放有 3 个相同的未知砝码（每个x克），右侧放有总重 60 克砝码，天平恰好平衡.
问题 1：根据天平平衡原理，如何用含未知数x的等式表示？
答：由于左盘总质量 = 右盘总质量，则3x = 60.
答：不行，右边无法确定2个未知砝码的重量.
学生模拟操作：由于天平左侧放有 3 个相同的未知砝码，则两侧同时平均分成 3 份（即等式两边同时除以 3），每份左盘x克，右盘 20 克，天平仍然平衡，得即3x÷3=60÷3， x = 20.
?
问题 2：在不破坏平衡的条件下，如何通过调整天平两侧砝码，让左侧只剩 1 个未知砝码？类似活动一，两侧同时拿走2个未知砝码，这样可行吗？小组合作探究，并用方程表示此过程，说说有什么启发？
对于含有未知数的等式也成立的等式的基本性质Ⅱ：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等.
等式的基本性质Ⅱ：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等.
对于含有未知数的等式也成立的等式的基本性质
等式的基本性质Ⅰ：等式两边都加上或减去同一个数(或整式），等式两边仍然相等.
注意：
1.等式的性质Ⅰ是加法或减法运算,等式的性质Ⅱ是乘法或除法运算；
2.等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算；
3.等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子；
4.等式两边都不能除以0，即0不能作除数或分母.
如果?12x=13y,那么3x= ；
?
解：(1)因为x+2=7y+6,由等式的基本性质Ⅰ可知，等式两边同时都减去2，得 x=7y-4.
(2)因为?12x=13y，由等式的基本性质Ⅱ可知，等式两边同时乘以(??6)，得 3x=?2y .
?
?2y
?
如果x+2=7y+6,那么x= ；
x=7y-4
1.填空，并说明理由
2.判断下列等式变形是否正确，并说明理由.
（1）如果4m?3n+2=7，那么4m=5?3n；
（2）如果2x?17=4x?25，那么52x?1=7(4x?2).
?
解：（1）错误.由等式的基本性质1可知，等式两边都加上3n并减去2，得 4m=5+3n
?
（2）正确.由等式的基本性质2可知，等式两边都乘以35，得
5(2x?1)=7(4x?2)
?
等式两边都加上或减去同一个数(或整式），等式两边仍然相等.
等式的基本性质
性质1
应用
等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等.
运用等式的性质求有关代数式的值
性质2
请在括号中写出下列等式变形的理由.
（1）如果2????+????=????+3????+7，那么????=2????+7；
（2）如果5????=7????，那么????=75????；
（3）如果?14????=?12????，那么????=2????；
（4）如果5????+11=3?????7，那么5????+14=3?????4.
?
（等式的基本性质Ⅰ）
（等式的基本性质Ⅱ）
（等式的基本性质Ⅱ）
（等式的基本性质Ⅰ）
2.根据等式的基本性质填空.
(1)如果a-3=b+2,那么a-1=　　;
?(2)如果3a=-2a+5,那么3a+　　=5;?
(3)如果14m=4,那么m=　　;
?(4)如果32m=2n,那么m=?　　;?
(5)如果-4x=8,那么x=　　.?
?
b+4
43n
?
2a
16
-2
3.已知 mx = my，下列结论错误的是 （ ）
A. x = y B. a + mx = a + my
C. mx－y = my－y D. amx = amy
解析：根据等式的性质 1，可知 B、C 正确；根据等式的性质 2，可知 D 正确；根据等式的性质 2，A 选项只有 m ≠ 0 时才成立，故 A 错误，选A．
A
易错提醒：此类判断等式变形是否正确的题型中，尤其注意利用等式的性质 2 两边同除以某个字母参数时，只有这个字母参数确定不为 0 的情况下，等式才成立.
4.已知5x2-5x-3=7,利用等式的基本性质求x2-x的值.
解:5x2-5x-3=7，
由等式的基本性质Ⅰ可知,等式两边都加上3，得
5x2-5x-3+3=7+3，即5x2-5x=10，
由等式的基本性质Ⅱ可知,等式两边都除以5，得
5????2?5????5=105,，即x2-x=2.
?
2.1 代数式的概念
3.2 等式的基本性质
第三章 一次方程(组)
课时2 移项
1.能根据等式的基本性质得出移项法则；
2.会通过移项、合并同类项将形如 ax + b = cx + d 的一元一次方程化为 x = a 的形式，体验化归思想.
1. 含有未知数的等式的基本性质Ⅰ是什么？
2. 含有未知数的等式的基本性质Ⅱ是什么？
等式两边都加上或减去同一个数（或整式），等式两边仍然相等.
等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等.
活动 利用等式的基本性质把下列方程化成????=????的形式
?
探究：移项法则
(1)7????=6?????5 ； (2)2????+80=110.
?
(1)在7????=6?????5的两边都减去6?????，
得 7?????6????=6?????5?6?????，
即 ????=?5.
?
(2)在方程2????+80=110的两边都减去80，
得 2????+80?80=110?80?，
即 2????=30.
在方程2x = 30的两边都除以2，
得 ????=15?.
?
问题1：观察下列方程的变化，你有什么发现？
7????=6?????5
?
7?????6????=?5?
?
2????+80=110
?
2????=110?80
?
项6????改变符号后，将其从等号右边移到左边；
项80改变符号后，将其从等号左边移到右边.
?
定义：把方程中的某一项改变符号后，从等式的一边移到另一边，方程的这种变形叫作移项.必须牢记：移项要变号.
可将移项视为 “变号搬家”
误区：1.混淆移项与合并同类项，明确移项是跨等号的项移动，合并同类项是同侧项的加减；
2.只有当项跨越等号移动时才需要变号，同侧运算绝不变号.
问题2：观察左侧把方程化成????=????的形式的步骤，想想移项的目的是什么？
?
7????=6?????5 ；
?
在7????=6?????5的两边都减去6?????，
得 7?????6????=6?????5?6?????，
即 ????=?5.
?
将含有未知数的项集中到等式一侧，常数项集中到另一侧，形成 “未知数项 = 常数项” 的形式，以便求解.
问题3：什么时候需要移项？移项时的具体步骤是什么？
步骤 1：确定需要移动的项；( “未知数项 = 常数项” )
步骤 2：移项是跨等号的项（看作整体）移动，要改变符号；(变号搬家)
步骤 3：移项后合并同类项，再通过系数化为 1 求出未知数.
移项通过 “变号搬家” 简化步骤，避免多次加减操作，提升解题效率.
思考 解方程?5x = 3x + 2，用不移项和移项求解，观察求解过程，回答移项有什么优点？（对于解方程）
不移项解法：逐步消去变量 5x - 3x = 3x + 2 - 3x → 2x = 2
→ x = 1；
移项解法：直接移项变号 5x-3x = 2→2x = 2 →x = 1.
?
移项，得 ?13????=4+5
?
解：
合并同类项，得 ?13????=9
?
两边乘以?3，得 ????=?27.
?
例 把方程?13?????5=4化成????=????的形式.
?
用移项将一元一次方程化为x=a的形式的基本步骤:
?移项?合并同类项?系数化 1.
下面方程的移项是否正确？如有错误，请改正.
（1） 若 ?????4=8，则????=8?4?；
（2） 若3????=2????+5，则?3?????2????=5?；
（3） 若5?????2=4????+1，则5?????4????=1+2.
?
解：（1）不正确，因为移项时没有变号.
改正：若 ?????4=8，则????=8+4?；
?
（2）不正确，因为移项时只有移动的那项需要变号.
改正：若3????=2????+5，则3?????2????=5；
?
（3）正确.
移项的概念
移项
移项
利用移项解方程
移项法则
?移项
?合并同类项
?系数化 1
1.下列方程变形中属于移项的是(　　)
A．由2x＝－1，得x＝?12 B．由????2＝2，得x＝4
C．由5x＋b＝0，得5x＝－b D．由4－3x＝0，得－3x＋4＝0
?
C
2. 通过移项将下列方程变形，正确的是 ( )
A. 由 5x－7＝2，得 5x＝2－7 B. 由 6x－3＝x＋4，得 3－6x＝4＋x
C. 由 8－x＝x－5，得 －x－x＝－5－8 D. 由 x＋9＝3x－1，得 3x－x＝－1＋9
C
3. 把下列方程化为 x = a 的形式：
(1) 4x + 3 = 2 - x；
5x = -1.
两边都除以 5，得
4x + x = 2 - 3.
合并同类项，得
解： (1) 移项，得
两边乘 2，得
合并同类项，得
(2) 移项，得
x = -4.
4. 已知 2m－3 = 3n + 1，则 2m－3n = .
5. 如果 与 互为相反数，则 m 的值
为 .
4
2.1 代数式的概念
3.2 等式的基本性质
第三章 一次方程(组)
课时3 去括号、去分母
1.理解去括号、去分母的概念并掌握相应的方法步骤；
2.根据等式的基本性质，能够利用去括号、去分母把一元一次方程化为 x=a 的形式；
3.知道将一元一次方程化为x=a的形式的基本思路是把“复杂”转化为“简单”，把“未知”转化为“已知”的过程.
观察以下方程的特点，思考如何简化：
3(x - 2) = 12? ????2 + 3????4 = 5?
括号阻碍了未知数?x?的直接运算（需先展开括号）；
分母使系数复杂化（需转化为整数运算）.
?
本节课我们学习如何简化这类方程.
活动1 利用去括号化简方程
探究一：利用去括号、去分母化简方程
把方程3(2x + 5)= x + 5化成x = a的形式.
3（2x + 5）=
3×2x + 3×5 =
6x + 15
这种将方程中的括号去掉，方程的这种变形叫作去括号.
问题1：对于方程左边的整式，如何把括号去掉？
运用乘法对加法的分配律
故 6x + 15=x + 5
(1)去括号法则和乘法对加法的分配律.
思考 方程去括号的依据是什么？去括号的目的是什么？
(2)将方程中的括号去掉后方便移项、合并同类项等操作.
括号前为 “+” 号，去括号后各项符号不变;
括号前为 “-” 号，去括号后各项符号取反;
括号前为系数，需逐项相乘.
问题2:运用所学知识，如何把方程32x+5=x+5化成x=a的形式？
?
运用乘法对加法的分配律，得
6x+15=x+5
?
移项，得
6x?x=5?15
?
合并同类项，得
5x=?10
?
两边都除以5，得
x=?2
?
1.解方程?2(2x+1)=x，下列去括号正确的是( ).
A. ?4x+1=?x B. ?4x+2=?x
C. ?4x?1=x D. ?4x?2=x
?
D
2.方程2(3x－1)－(x－4)＝1去括号正确的是(　　)
A．6x－1－x－4＝1 B．6x－1－x＋4＝1
C．6x－2－x－4＝1 D．6x－2－x＋4＝1
?
D
问题1：方程中含有分母，使系数复杂化需转化为整数运算，那怎样才能把分母去掉？
活动2 利用去分母化简方程
把方程52????=43?????7 化成x = a的形式.
?
在原方程的两边都乘6，得6×52x=6×(43x?7)
15x=8x?42.
?
思考 为什么方程的两边要乘6？乘2或者乘3可以吗？为什么？
答：乘2或者乘3可以，但是下一步方程中仍然含有分母.而6是这个方程中各分母的最小公倍数，同时乘以6可以将所有的分母都去掉.
在原方程的两边都乘各个分母的最小公倍数，从而将分母去掉，方程的这种变形叫作去分母.
问题2：运用所学知识，如何把方程52????=43?????7 化成????=????的形式？
?
解：
在原方程的两边都乘6，得
52x×6=(?43x?7)×6
?
移项，得
去括号，得
15x=8x?42
?
15x?8x=?42
?
合并同类项，得
7x=?42
?
两边都除以7，得
x=?6
?
下面方程的去分母是否正确？如有错误，请改正.
（1）5????3?2?????35=2 ，去分母，得5x?2x+3=2；
（2）3????+15+5????4=4，去分母，得43x+1+25x=80.
?
解：（1）不正确，方程两边应该同时乘以15才能去掉分母.
改正： 5????3?2?????35=2 ，去分母，得25x?3(2x?3)=30
?
（2）正确.
去括号：运用乘法对加法的分配律，将方程中的括号去掉.
去分母：在原方程的两边都乘各个分母的最小公倍数，从而将分母去掉.
当方程同时包含括号和分母时，通常按以下顺序操作：
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
去括号，看符号：
是“+”，不变号；
是“-”，全变号
去括号与去分母
去括号
去分母
括号前有因数时，不要漏乘
在方程两边同乘各分母的最小公倍数
不要漏乘不含分母的项
1.下面把方程 化成x + a的形式是否正确？如不正确，请改正.
解方程： 2(2x+3)=2+x
解 去括号，得 4x+3=2+x
移项，得 4x +x = 2-3
化简，得 5x = -1
方程两边都除以5 ，得
x = -
应改为4 x +6 =2+x
应改为4 x– x = 2-6
应改为3???? =?4
?
应改为 x =
方程两边都除以3，得
3. 方程?????12-2????+33=1，去分母正确的是( )
A. 3(x－1)－2(2x＋3)＝1
B. 3(x－1)－2(2x＋3)＝6
C. 3x－1－4x＋3＝1
D. 3x－1－4x＋3＝6
?
B
2.把方程????+5=12(????+3) 化成x + a的形式是_________.
?
????=－7
?
4.解下列方程：
解：去分母，得3(1－x)＋12＝4(2x＋1)，
去括号，得3－3x＋12＝8x＋4，
移项，得－3x－8x＝4－3－12，
合并同类项，得－11x＝－11，
两边都除以－11，得x＝1.
1?????4+1=2????+13
?
5.一艘轮船航行在A，B两地之间，已知该船在静水中每小时航行12 km，轮船顺水航行需用6 h，逆水航行需用10 h，求水流速度．
解：设水流速度为x km/h，则顺水速度为(x＋12) km/h，逆水速度为(12－x) km/h，由题意，得
6(x＋12)＝10(12－x)
解得x＝3.
答：水流速度为3 km/h.