3.6 二元一次方程组的解法 课件（3课时、48张ppt）2025-2026学年数学湘教版七年级上册

2.1 代数式的概念
3.6 二元一次方程组的解法
第三章 一次方程(组)
2.1 代数式的概念
3.6.1 代入消元法
第三章 一次方程(组)
1. 了解解二元一次方程组的核心思想是“消元”；
2.掌握用代入消元法解二元一次方程组的步骤；
3. 通过探索二元一次方程组的解法，经历化“二元”为“一元”的过程，初步体会消元的思想以及把复杂问题转化为简单问题的化归思想.
在上节课中，我们列出二元一次方程组????+????=35，4????+2????=94并知道????=12，?????=23????是这个方程组的一个解，这个解是怎样得到的呢？
?
找出这两个二元一次方程的公共解.
试值法依赖巧合，无法解决非整数解或复杂系数方程组，需寻找普适方法，系统地解出二元一次方程组.
探究一：代入消元法
活动 根据下列情境回答下列问题
问题1：对于鸡兔同笼问题，有两种列方程的方式，将两者进行比较，有什么发现？小组交流.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设一个未知数
设两个未知数
兔
x
x
鸡
35 - x
y
等量关系式
4x + 2(35 - x) = 94 ③
x＋y＝35，
4x＋2y＝94.
在x + y = 35中，y可表示为35 - x，这相当于用含x的式子 “替代”y.
①
②
问题2：根据发现，如何将方程②4x＋2y＝94转化成方程③4x + 2(35 - x) = 94？依据是什么?
4????+235?????=94 ③
?
解得 ????=12
?
将 x 用12代入x + y = 35 ①式，得 ????=35?12=23.
?
能，将y = 35 - x代入方程②4x＋2y＝94即可得到③；等量代换.
问题3：得到方程③后，如何继续求解这个二元一次方程组？
经检验，x=12y=23 是由方程①和②组成的二元一次方程组的解.
?
求出一个变量后，带入哪个方程才能求出另一个变量？
思考 回顾整个探究过程，解这个二元一次方程组的完整过程是怎样的?
4x + 2y = 94
y = 35 - x ，
2(35 - x )
①
②
将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫做消元思想.
x+y=35，
4x+2(15 - x)=94
x = 12
转化
将x回代到方程①，解出y的值 y=23.
二元一次方程组
代入到方程②
方程①变形，用x的代数式表示y
一元一次方程
消去一个未知数y
得出未知数x的值
得出另一个未知数y的值
再把x的值带回到方程①
得出方程组的解
将两个未知数的值代会原方程组检验
这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法.
变形
代入
求解
回代
写解
活动2 解方程组: (1)?????3????=1 ①5?????9????=?13 ② (2)2?????4????=0 ①5?????7????=3 ②
?
问题2:当二元一次方程组的两个方程中未知数的系数都不是1或-1时该如何求解呢?
选一个系数简单的方程将其变形；
对于(2)用含y的式子表示x，因为方程①变形时，通过移项、系数化为1，能很方便地得到x = 2y这样简单的表达式 .
探究二：选择合适的未知数进行代入消元
问题1:观察这两组方程组，对每一组方程组的其中一个方程进行变形，用含x的代数式表示y,还是用含y的代数式表示x?小组讨论并说明理由.
问题3:求解二元一次方程组：2?????4????=0 ①5?????7????=3 ② 并写出完整过程.
?
解：将方程①移项，得 2????=4????
?
把 y 用1代入③式，得 ????=2?.
?
两边都除以2，得 ????=2????
?
③
把③式代入方程②中，得 5×2?????7????=3
?
解得 ????=1
?
因此，????=2????=1是原二元一次方程组的解.
?
变形
代入
求解
回代
写解
注意：检验方程组的解.
思考 用消去未知数 y 的方法能否求前面方程组2?????4????=05?????7????=3 的解？动手试一试.
?
把 x 用2代入③式，得 ????=1?.
?
把③式代入方程①中，得 2?????4×5?????37=0
?
解得 ????=2
?
因此，????=2????=1是原二元一次方程组的解.
?
解：将方程② 移项且两边都除以?7?，得 ????=5?????37
?
③
对比来看，x = 2y在后续代入计算时，可能更便于操作，因为系数是整数，计算相对更简单，所以优先选择x = 2y这种表示形式.
①
②
操作步骤
具体做法
思维动机解释
1. 选元
选系数简单的方程，如2?????4????=0，表示为x = 2y
减少分数运算，简化代入难度
2. 代入
将x的表达式代入另一方程
等量代换消去y转化为一元方程
3. 求解
解一元一次方程得x的值
先求一个未知数，为回代做准备
4. 回代
将x代入表达式求y
利用已求变量，完成方程组的解
5. 写解
写出方程组的解
呈现方程组的解，结束求解流程.
6. 检验
代入原方程组验证
确保计算无误差，符合方程组解的定义，验证解的正确性
操作步骤
具体做法
思维动机解释
1. 选元
减少分数运算，简化代入难度
2. 代入
将x的表达式代入另一方程
等量代换消去y转化为一元方程
3. 求解
解一元一次方程得x的值
先求一个未知数，为回代做准备
4. 回代
将x代入表达式求y
利用已求变量，完成方程组的解
5. 写解
写出方程组的解
呈现方程组的解，结束求解流程.
6. 检验
代入原方程组验证
确保计算无误差，符合方程组解的定义，验证解的正确性
代入消元法步骤归纳
将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想---____
代入消元法
核心思想
代入消元法的步骤
变形→代入→求解→
___ →写解→____
消元
回代
检验
1.把下列方程改写成用含x的代数式表示y的形式.
(1)2x+y=7； (2)4x-3y+6=0.
(1)y=7-2x.
2.由方程组 ????+????=6，?????3=???? 可得出x与y的关系式是（ ）
?
A. x+y=9
B. x+y=3
C. x+y=-3
D. x+y=-9
A
解析：将y-3=m代入x+m=6中得：x+y-3=6,则x+y=9.
(2)y=43x+2.
?
3.用代入法解方程组????=2?????3， ①3?????2????=10. ②将方程①代入②中，所得的正确方程是（ ）
A. 3x-4x-3=10 B. 3x-4x+3=10
C. 3x-4x+6=10 D. 3x-4x-6=10
?
解析：将①代入②中得：3x-2（2x-3）=10,即3x-4x+6=10.
C
4. 解方程组：&3y?2=x+1,&2x?1=5y?8.
?
解：将原方程组整理，得 &3y?2=x+1,&2x?1=5y?8.
由①，得 x=3y?7 ，③
把③代入②，得 23y?7?5y=?6 ，解得 y=8 .
把 y=8 代入③，得 x=17 .
?
所以原方程组的解为 &?x=17,y=8.
?
若方程 5x2m+n + 4y3m-2n = 9 是关于 x、y 的二元一次方程，求 m 、n 的值.
解：
由题意可列方程组
2m + n = 1
3m - 2n = 1
①
②
由①得
把③代入②得
n = 1 - 2m.
③
3m – 2(1 – 2m) = 1.
把 m=37 代入 ③，得
?
m的值是37，n的值是17.
?
2.1 代数式的概念
3.6.2 加减消元法
第三章 一次方程(组)
1.了解加减消元法是解二元一次方程组的另一种基本方法,会用加减消元法解二元一次方程组；
2. 进一步理解解二元一次方程组的“消元”思想；
3.能根据二元一次方程组的特征选择适当解法解方程组，进一步发展观察、归纳、类比等能力.
已知二元一次方程组 7????+3????=1，2?????3????=8.??? 可以用代数消元法进行求解，回顾代数消元法解一元二次方程组的步骤.
?
①
②
变形→代入→求解→回代 →写解→检验
探究一：利用加减消元法解系数相等或互为相反数的二元一次方程组
活动 解二元一次方程组: 7????＋3????＝1， ① 2????－3????＝8. ②
?
把②变形得x=3y+82(y=2?????83),代入①,不就消去x(y)了.
?
把②变形得3y=2x-8,可以直接代入①呀!
问题1：求解上面这个方程组，有哪些解法?小组讨论.
问题2：观察方程组 7????＋3????＝1， ① 2????－3????＝8. ② 中未知数的系数有什么特点?这对解方程组有什么启发?小组讨论.
?
对未知数y，3和-3互为相反数,若两个方程相加,就能消掉y!
若 f=????，????=????，则 f ± ????=????±????.
?
9x ＝ 9
(7x＋3y)
＋ (2x－3y)
＝ 1
＋ 8
把 x 用 1 代入方程①，得
7×1 + 3y = 1，解得 y = －2.
两边都除以 9，得 x = 1.
因此， 是原二元一次方程组的解.
x = 1，
y = －2
解：由 ① + ② 得
问题3：这种解法的依据是什么?并写出完整的求解过程.
解二元一次方程组：
2x＋3y＝－1，
2x－5y＝7.
①
②
解：由 ①－② 得
把 y 用 －1 代入方程①，得
3x＋3×(－1)＝－1，
解得 x＝1.
8y＝－8，
两边都除以 8，得 y＝－1.
因此， 是原二元一次方程组的解.
x＝1，
y＝－1
加减
求解
回代
写解
加减→求解→回代 →写解→检验
1.同一未知数的系数互为相反数时，
把两个方程的两边分别 .
相加
2.同一未知数的系数相等时，
把两个方程的两边分别 .
相减
观察以下两个方程组的结构特点以及解题过程，说说有什么发现?
活动 解二元一次方程组2????+3????=?11，① 6?????5????=9. ②
?
问题1：观察这个方程组，这两个方程直接进行加减运算，可以达到消元的目的吗?若不行，如何消元使其转化为一个一元一次方程?
不可以，将其中一个未知数的系数变成相等或互为相反数.
探究二：利用加减消元法解系数无明显关系的二元一次方程组
问题2：如何让y的两个系数变成相等或互为相反数，在整数运算中，有学过类似找 “公共结果” 的方法，是什么呢?
找到一个数，让3和-5分别乘以相应的数后，得到相同（或相反）的结果；最小公倍数.
解：①×5，得
10x+15y=-55 .
③
③+④，得
(10x+15y)+(18x-15y)=-55+27 ，
去括号，得
10x+15y+18x?15y=-55+27，
?
合并同类项，化系数为1得
x=-1 .
把x用-1代入方程①，得
2×(-1)+3y =-11，
解得
y=-3 .
因此， ????=?1，????=?3????是原二元一次方程组的解.
?
问题3：求解二元一次方程组2????+3????=?11， ①6?????5????=9. ②并写出完整步骤.
?
②×3，得
18x-15y=27 .
④
变形
加减
求解
回代
写解
注意：检验方程组的解.
思考 用消去未知数 x 的方法能否求解前面的方程组2????+3????=?11， ①6?????5????=9. ②?动手试一试.
?
对比来看，因为x的系数本身有倍数关系（6是2的3倍 ），选择消去x时计算量更小、更简便.
解：①×3，得
6????+9????=?33 .
?
③
③-②，得
(6????+9????)?(6?????5????)=?33?9 ，
?
去括号、合并同类项、化系数为1，得
????=?3 .
?
把y用-3代入方程①，得
2????+3×(?3)=?11，
?
解得
x=-1 .
因此，????=?1，????=?3???? 是原二元一次方程组的解.
?
二元一次方程组
变形后的两方程加减
方程①②变形，使y的系数相同（或相反）
一元一次方程
消去一个未知数y
得出未知数x的值
得出另一个未知数y的值
再把x的值带回到方程①
得出方程组的解
将两个未知数的值代会原方程组检验
这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法.
变形
加减
求解
回代
写解
小系数方程乘倍数
直接加减消元
求最小公倍数变形
观察系数关系
解一元一次方程
思考 加减消元法如何将二元一次方程组消元得到一元一次方程?
相等/相反
倍数关系
无规律
解二元一次方程组的基本思路:
消去一个未知数（简称消元），得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程，求出一个未知数的值，接着再去求另一个未知数的值.
二元一次方程组
一元一次方程
求出一个未知数的值
求出另一个未知数的值
消元
用自己的语言总结二元一次方程组的基本思路，然后与同学交流.
议一议:
解方程组：
③
代入法
加减法
解：由①得
将③代入②，得
代入③，得
解：①×4-② ，得
代入①，得
①
②
代入消元法和加减消元法是两种求解二元一次方程组的方法,应根据具体情况灵活选择.
代入消元法与加减消元法
对比维度
代入消元法
加减消元法
核心特征
方程中存在系数为1或-1的未知数或未知数表达式简洁
同一未知数系数相等(相反)数； 同一未知数系数成倍数关系，或经简单变形可实现相等(相反)
操作优势
直接用一个未知数表示另一个，代入即可消元
利用系数关系，一步或简单变形后加减，快速消元
优先级
系数1或-1、简洁表达式
系数相等（相反）、成倍数关系
记忆口诀
有1有-1，代入快快走；
表达式简洁，代入更省力
系数相等（相反），加减直接选； 系数成倍数，变形加减捷
加减消元法
求解步骤
方程组中同一个未知数的系数的绝对值____或__________
相等
成整数倍
解题技巧
→ →求解→
回代 →写解→检验
变形
加减
1.二元一次方程组????+????=6，?????3????=?2 的解是（ ）
A.????=5????=1 B.????=4????=2 C.????=5????=?1 D.????=?4????=?2
?
B
2.利用加减消元法解方程组2????+????=?6，①5?????3????=7 ② 下列做法正确的( )
A.要消去y，可以将①×5+② B.要消去y，可以将①×3+②
C.要消去x，可以将①×5-② D.要消去x，可以将①×3-②
?
B
4.解方程组：① ????=2????3?????5????=9 ② 4?????2????=73????+2????=10 ③ ????+????=03?????4????=1 ④ 4????+5????=92?????3????=7
比较适宜的方法是（ ）
A.①②用代入法，③④用加减法 B.①③用代入法，②④用加减法
C.②③用代入法，①④用加减法 D.②④用代入法，①③用加减法
?
3.已知方程组 3????+2????=14?????3????=2下列变形正确的是（ ）
A.12????+8????=1，12?????9????=2B.9????+6????=3，8?????6????=4C.12????+6????=4，12?????12????=6 D. 3????+6????=14?????6????=2
?
B
B
5.已知关于x，y的二元一次方程组 ????????+????????=13，(????+????)?????????????=9 的解为????=3，????=2， 求a，b的值.
?
解：根据题意，得
①
②
②×3-①，得
7b=14 ，
解得
b=2 .
把b用2代入①式，得
3a+2×2=13 ，
解得
a=3 .
所以，a=3，b=2 .
3????+2????=13，3(????+????)?2????=9
?
6. 已知方程组 3????+2????=????+2，①2????+3????=???? ② 的解满足方程 x + y = 8，求 m 的值.

?
解：①+②，得 5x + 5y = 2m + 2.
又∵x + y = 8，
∴5×8 = 2m + 2.
解得 m = 19.
故 m 的值为 19.