3.4 相似三角形的判定 专项练习（含答案）

3.4
相似三角形的判定
解答题专项练习
　
一．解答题（共12小题）
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明．
　
2．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
　
　
　
3．如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．
　
4．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．
　
5．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°．求证：△ABD∽△DCE．
　
6．如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M．
（1）填空：AC=　　　　　　，AB=　　　　　　．
（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；
（3）判断△CAB和△DEF是否相似？并说明理由．
　
7．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F=∠C．
（1）若BC=8，求FD的长；
（2）若AB=AC，求证：△ADE∽△DFE．
　
8．如图：方格纸中的每个小正方形边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
①判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
②点P1，P2，P3，D，F都是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．（写出一个即可，并在图中连接相应线段，不必说明理由）
　
9．如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB．
　
　
10．如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．
（1）证明：△ABD∽△DCF；
（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．
　
　
11．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边BC、AC上的点，且BD=CE，连接BE、AD，相交于点F．
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）图中共有　　　　　　对相似三角形（全等除外）．
并请你任选其中一对加以证明．你选择的是　　　　　　．
　
12．如图，△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）．
（2）请选择其中的一对三角形，说明其相似的理由．
　
3.4
相似三角形的判定
解答题专项练习
参考答案与解析
　
一．解答题（共12小题）
1．解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；
（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，
在△ADE和△BDE中
∵，
∴△ADE≌△BDE（AAS）；
证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD．
　
2．（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴，
∵DF=DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF=DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
　
3．解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，
有，
∵M为AB中点，AB=，
∴AM=，
∵BC=6，
∴MN=3；
②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，
有，
∵M为AB中点，AB=，
∴AM=，
∵BC=6，AC=，
∴MN=，
∴MN的长为3或．
4．证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠FAE+∠AFE=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠FAD=∠CBE，
∴△AFE∽△BCE．
　
5．证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，
∵∠ADE=45°，
∴∠2+∠3=135°，
∴∠1=∠3，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE．
6．解：（1）如图，由勾股定理，得
AC==2．
AB==2
故答案是：2，2；
（2）如图所示，BC==2．
又由（1）知，AC=2，AB=2，
∴AC2+BC2=AB2=40，
∴∠ACB=90°．
tan∠1==．
综上所述，∠ACB的值是90°和tan∠1的值是；
（3）△CAB和△DEF相似．理由如下：
如图，DE=DF==，EF==．
则===2，
所以△CAB∽△DEF．
7．解：（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴，DE∥BC．
∴∠AED=∠C．
∵∠F=∠C，
∴∠AED=∠F，
∴FD==4；
（2）∵AB=AC，DE∥BC．
∴∠B=∠C=∠AED=∠ADE，
∵∠AED=∠F，
∴∠ADE=∠F，
又∵∠AED=∠AED，
∴△ADE∽△DFE．
8．解：①△ABC和△DEF相似．理由如下：
∵根据图示知：AB=2，AC=，BC=5，ED=4，DF=2，EF=2，
∴===，
∴△ABC∽△DEF；
②△ACB∽△DP3P2．理由如下：
∵由①知，△ABC∽△DEF，
∴∠D=∠A．
连接DP2P3，DP3=，DP2=，P2P3=．
∵==，
∴△ACB∽△DP3P2．
9．证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AEC=∠AFB=90°．
∵∠A是公共角，
∴△ABF∽△ACE．
∴，
∴，
又∠A是公共角，
∴△AEF∽△ACB．
　
10．（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠3=60°，
∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，
∴∠1=∠DFC，
∴△ABD∽△DCF；
（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，
∴△AEF∽△DCF，
∴△ABD∽△AEF，
故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD．
　
11．（1）证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BA，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（2）4对，分别是△BDF∽△BEC，△DBF∽△DAB，△AFE∽△ACD，△AFE∽△BAE，
选择证明△AEF∽△BEA，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BA，∠C=∠BAE=60°，AC=BC，
∵BD=CE，
∴AE=CD，
∴△ACD≌△BAE（SAS），
∴∠DAC=∠ABE，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA．
　
12．（1）解：△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；
（2）△ABD∽△ACE．
证明：由（1）知△ABC∽△ADE，
∴=，
∴AB×AE=AC×AD，
∴=，
∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．